Integración numérica por Monte-Carlo

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1 Integrción numéric por onte-crlo Ptrici Svedr Brrer 1 16 de julio de 28 1 Deprtmento de temátics, Universidd Autónom etropolitn-iztplp, psb@xnum.um.mx

2 2 Introducción Se X un vrible letori continu que tom vlores en los reles con función de densidd igul f(x) en el intervlo [α, β] y cero en su complemento en los reles. L probbilidd de que l vrible letori tome el vlor menor o igul [α, β] está ddo por P [X ] = α f(x) dx. L probbilidd es el áre bjo l curv y = f(x) del punto α l punto. L espernz y de l vrinz de est vrible letori X están ddos por E(X) = β α xf(x) dx, V r(x) = E[X 2 ] E[X] 2 = β α x 2 f(x)dx E[X] 2. De igul form se puede definir l espernz de un función continu g de l vrible letori X como E[g(X)] = β α g(x)f(x) dx. Con frecuenci no es posible plicr un método de integrción pr clculr en form exct l integrl. En ese cso hy que proximr l integrl por medio de un método de integrción numéric como el método del trpecio, de Simpson o onte-crlo. Integrción numéric Los métodos de integrción de Newton-Cotes se obtienen l integrr polinomios de grdo n que interpoln l función integrr en el intervlo de integrción. Por ejemplo, supongmos que nos interes clculr F (x) = 1 x /2 2π e s2 ds. Est integrl no puede clculrse por medio de un método de integrción por lo que un form de proximrl es por medio de l integrl del polinomio linel que interpol e s2 /2 en el intervlo [, x]. Se f(x): [, b] R un función cotd en [, b] entonces l integrl de f se puede proximr integrndo un polinomio constnte, linel o cudrático que interpole f en [, b]. 1. L fórmul el rectángulo se obtiene l interpolr f(x) por medio del polinomio constnte p (x) = f( +b 2 ). f(x) dx (b )f( + b 2 ) = R(f). 2. L fórmul del trpecio se obtiene l interpolr f por medio de un polinomio linel p 1 (x) = αx + β que stisfg f() = p 1 (), y f(b) = p 1 (b). Determinr el polinomio linel es equivlente resolver un sistem de ecuciones lineles pr α y β cuy solución es α = f(b) f() b β = f(b) f()b. b

3 Al integrr p 1 (x) en el intervlo [, b] se obtiene l regl del trpecio con h = b El error está ddo por f(x) dx p 1 (x) dx = h (f() + f(b)) = T (f). 2 f(x) dx T (f) = h3 12 (f (η)), < η < b. 3. Por último l integrr el polinomio cudrático que interpol f en x =, x = +b 2, y x = b se obtiene l regl de Simpson con h = b 2 Ejemplos f(x) dx El error que se comete l usr Simpson es p 2 (x) dx = h (f() + 4f( + h) + f(b)) = S(f). 3 f(x) dx S(f) = h5 9 (f (4) (η)), < η < b. 1. Se f(x) = x 3, x3 dx =.25; R(f) =.125, T (f) =.5, y S(f) =.25. En este cso Simpson es exct y que integr en form exct polinomios de grdo menor o igul Se f(x) = e x2 /2 estimr e x2 /2 dx. R(f) = , T (f) = y S(f) = Cálculo de integrles por onte-crlo En el cso que nos ocup, se dese estimr l integrl de un función G continu. Est integrl puede verse como el cálculo del vlor esperdo de l función G cundo se plic un vrible letori con distribución uniforme. Supongmos que el intervlo de integrción es [, 1] y se X 1, X 2 hst X un muestr de vribles letoris, independientes con distribución uniforme en el intervlo [, 1], entonces G(x) dx = E(G(X)) con X un vrible letori uniforme en [, 1]. De est form, con bse en l Ley de los Grndes Números, est integrl se puede proximr por G(x) dx 1 G(x i ). 3

4 4 Todo el problem se reduce generr l muestr. Por otro ldo, obsérvese que culquier integrl sobre el intervlo [, b] se puede trnsformr un integrl sobre el intervlo [, 1] con el siguiente cmbio de vrible x = + (b )u, entonces G(x) dx = (b ) G( + (b )u) du b con u i vribles letoris uniformes en el intervlo [, 1]. G( + (b )u i ), Estimción del error Se X un vrible letori con distribución F, con primero y segundo momento finitos, g un función continu y se I = E(g(X)). Se X 1, X 2,..., X n un muestr de vribles letoris independientes con distribución F y denótese por Î = 1 g(x i). Si σ es l desvición estándr de g(x), entonces se tiene que σ es l desvición estándr de Î, por ser ls X i vribles letoris independientes. Por el Teorem del Límite Centrl se sbe que pr grnde, Z = (I Î ) σ/ se comport como un vrible letori norml con medi cero y vrinz uno por lo que P ( I Î < cσ ) = P ( Z < c) 2Φ(c), con Φ(c) = 1 c /2 2π e x2 dx y c se seleccion dependiendo de l probbilidd que se desee obtener. Por ejemplo, si se quiere que l probbilidd se.95, se seleccion c como Por lo tnto el error que se comete l usr el método de onte-crlo es proximdmente σ. Como se observ, si σ 1, se requiere de = 1 4 pr tener l menos dos cifrs significtivs. Este resultdo permite estimr un intervlo de confinz de α %. Pr ello se seleccion c de tl form que Φ(c) = α. De est mner, con probbilidd α podemos segurr que 2 el vlor excto de l espernz I está en el intervlo [ Î cσ, Î + cσ ]. El problem pr usr el resultdo nterior es que hy que conocer el vlor de l desvición estándr de g(x). Lo que se hce en l práctic es estimrl por l vrinz muestrl. Con este intervlo se determin el tmño que se requiere que teng pr tener l precisión desed. Por ejemplo, si se dese tener un intervlo de confinz del 95 % de longitud 1 2 se debe escoger > 4(1.96) 2 ˆσ 2 g 1 4. Error cudrático medio Desde el punto de vist estdístico el método de onte-crlo gener un estimdor insesgdo y que E(Î) = I. Por otro ldo, el error cudrático medio se define por E((I Î) 2 ) = E(I E(Î)) 2 + V r(î); (1)

5 5 ddo que el estimdor es insesgdo, existe un constnte C > tl que E((I Î) 2 ) = V r(î) Cσ2. Si se dese reducir el error cudrático medio lo que hy que hcer es reducir σ o incrementr el tmño de l muestr de vribles letoris. A veces el vlor de es tn grnde que es costoso incrementr l muestr, por lo que se h optdo por generr métodos pr reducir l vrinz; estos métodos se conocen con el nombre de métodos de reducción de vrinz. En l sección 1.7 se present un ejemplo de estos métodos. Algoritmo de onte-crlo El lgoritmo de onte-crlo pr estimr un intervlo de confinz del 95 % de l espernz de un función F (X), con X un vrible letori uniforme estándr es el siguiente: 1. Denotemos por Ĩi y V r i l medi ritmétic cumuld hst l iterción i, y l vrinz cumuld, respectivmente. 2. Se V r 1 = ; Ĩ = ; se U 1 un uniforme en (, 1) y Ĩ1 = F (U 1 ). 3. Pr i = 2,..., hcer los siguientes psos: 4. I ) Generr un número letorio U i uniforme. b) Ĩi = Ĩi 1 + F (U i) Ĩi 1 i ; V r i = (1 1 i 1 )V r i 1 + i(ĩi Ĩi 1) 2. [Ĩ 1.96 V r, Ĩ V r ]. Ejemplo Usemos lo nterior pr proximr el vlor de I = 1 2π e x2 2 dx. Trnsformemos primero l integrl l intervlo [, 1] I = π 5 2π e x2 2 dx = 5 2π e (2.5u)2 2 du e (2.5u i )2 2 = 1.66 pr = 1. El resultdo no es bueno si comprmos con el vlor que se obtiene l usr ls tbls de l norml cumuld que es igul Con el método del trpecio, que requiere únicmente de dos evluciones de l función, se obtiene el vlor de 1.41 y con Simpson

6 6 Lím. Inf. Aprox. Lím. Sup. Long. Int Figur 1: Aproximciones medinte el método onte-crlo l integrl A continución se presentn lgunos resultdos numéricos pr distintos vlores de. Por lo que con 1 evluciones de l función se obtiene un proximción con dos cifrs significtivs. Es un hecho que onte-crlo converge lentmente por lo que no puede competir con Simpson o Trpecio pr el cálculo de integrles en un vrible, pero pr el cálculo de integrles múltiples este método o vriciones de éste se vuelven muy competitivos e inclusive mejores que culquier otro método de integrción numéric. Integrción múltiple En l sección nterior se nlizó como evlur integrles con dominio en un intervlo rel. Ahor bien, si el dominio es un región de R 2, en l que ls fronters izquierd y derech sen segmentos de rects verticles, (x = y x = b) y l fronter inferior y superior estén dds por ls curvs y = l(x) y y = s(x), respectivmente y l(x) < s(x), x (, b). L integrl doble en ese dominio es: s(x) l(x) f(x, y)dy dx. (2) Si bien, los problems de integrles dobles no siempre precen en l form (2), se supondrá que el problem se pudo reescribir en l form nterior, en donde quizá se necesrio intercmbir x y y. El problem de clculr l integrl se resolverá convirtiéndolo l cálculo de integrles unidimensionles. Pr esto, se define sí que (2) se puede escribir como J(x) I(x) = s(x) l(x) f(x, y)dy, (3) J(x)dx. (4) Se puede obtener un proximción numéric pr (4) plicndo culquier de ls fórmuls de integrción numéric nlizds en l sección nterior, lo cul se puede expresr

7 como I(x) n w i J(x i ). (5) i= Aquí, ls w i son los pesos y ls x i los puntos de l fórmul de integrción que se utilice. Ahor bien, pr x = x i l ecución (3) qued J(x i ) s(xi ) l(x i ) f(x i, y)dy. (6) El nterior es un problem unidimensionl y se puede evlur medinte lgun de ls fórmuls de integrción numéric. Ejemplo Utilice l regl de Simpson pr estimr el vlor de l siguiente integrl I = 2 x 2 1 x 1 x + y dy dx. En este cso, = 1, b = 2, l(x) = x 1 y s(x) = x 2. Aplicndo el procedimiento descrito, y medinte l regl de Simpson, l integrl nterior se puede proximr por en donde, I h x 3 (H(x ) + 4H(x 1 ) + H(x 2 )), x = 1, x 1 = 1.5, x 2 = 2, demás, h x = b 2 =.5 y cd H(x i ) está dd por H(x i ) = x 2 i x i 1 xi + y dy. Por lo que, l proximción de I está dd por: [ I h ] 2 2 x 1 + y dy y dy y dy, Al plicr l regl de Simpson pr l primer integrl se tiene, [ 1 ] 1 + y dy , De form nálog, pr ls otrs integrles se obtiene, y dy , 7

8 y dy Por lo tnto, l proximción finl de l integrl es I.5 [ ( ) ], 3 = De un form similr se pueden clculr integrles múltiples. Pero, entre myor se l dimensión, myor será el número de puntos en donde se debe evlur l función. Así por ejemplo, considérese un región de integrción rectngulr, si en cd eje se subdivide el intervlo corrrespondiente en n subintervlos, entonces, pr el cso de l fórmul extendid de Simpson se tendrán (n+1) 2 puntos de R 2 en donde se debe evlur l función f(x, y). De quí, es clro que si integrmos un función g : R m R, cuyo dominio es un rectángulo de R m y en cd dirección se tomn n subintervlos, el número de puntos en donde se debe evlur l función g es de orden n m. Este vlor crece rápidmente por lo que un lterntiv útil pr proximr integrles de dimensiones lts es el método de onte Crlo. Al igul que en el cso de un dimensión, supóngse que se está interesdo en clculr I = g(x 1, x 2,..., x m )dx 1 dx 2 dx m. Como se comentó en l sección (1.1), I se puede expresr medinte l espernz siguiente: I = E[g(U 1, U 2,..., U m )], en donde U 1, U 2,..., U m son vribles letoris independientes, que se distribuyen de mner uniforme en (, 1). Ahor, si se tomn n conjuntos independientes, cd uno de ellos con m vribles letoris independientes con distribución uniforme en (, 1), se tiene que entonces, y que ls vribles letoris (U i 1, U i 2,..., U i m), i = 1,.., n g(u i 1, U i 2,..., U i m), i = 1,.., n, son independientes e idénticmente distribuids con medi I, podemos utilizr nuevmente l ley fuerte de los grndes números pr estimr I medinte l medi rimétic În = 1 n n g(u 1, i U2, i..., Um). i Con bse en lo nterior, se debe observr que el lgoritmo pr proximr l integrl y determinr los intervlos de confinz, es el mismo l que se dio en el cso unidimensionl. Nótese que, si σ es l desvición estándr de g(u 1, U 2,..., U m ) entonces se tiene que σ n es l desvición estándr de În, por lo que ( I ) cσ P Î n < = P ( Z n < c) = 2Φ(c), n

9 .1. EL ÉTODO ONTE-CARLO 9 con Z n = (I În) σ/, Φ(c) = 1 /2 n e x2 dx y c se seleccion dependiendo de l probbilidd que se desee obtener. Por ejemplo, si se quiere que l probbilidd se.95 se seleccion c como π c Ejemplo Aproxime el vlor de l integrl e (x+y)2 dydx. Al usr el lgoritmo que se dio pr un dimensión se generó l tbl siguiente, los intervlos son l 95 % de confinz. El vlor verddero con 5 decimles de precisión es Lím. Inf. Aprox. Lím. Sup. Long. Int Figur 2: Aproximciones medinte onte-crlo l integrl doble. Ejemplo Aproxime el vlor de l integrl 2 7 ( 8 x i ) 2 dx 1 dx 2...dx 8. Al plicr el lgoritmo que se dio pr un dimensión se generó l tbl siguiente, los intervlos son l 95 % y los resultdos están redondedos 6 decimles. El vlor verddero es 25, el cul con 6 decimles de precisión es En l 192 tbl clrmente se puede observr el ptrón del orden de convergenci, crcterístico del método onte Crlo..1. El método onte-crlo Se sbe por l Ley de los grndes números que un buen estimdor del vlor esperdo de un vrible letori continu X con distribución F es l medi ritmétic de un

10 1 Lím. Inf. Aprox. Lím. Sup. Long. Int Figur 3: Aproximciones medinte onte-crlo l integrl múltiple. muestr finit de vribles letoris, independientes, con distribución F. Es decir, se X 1, X 2,..., X n un muestr de vribles letoris, independientes, con distribución F, con primero y segundo momentos finitos, y denotemos por X = 1 X i entonces pr culquier ε > y < δ < 1, existe un nturl tl que pr tod m se tiene que P ( E(X) X m < ε) > 1 δ. Est es l ide que está detrás del método de onte-crlo y que se us pr estimr el vlor esperdo de un función g continu cuyo rgumento es un vrible letori con distribución F. Si se tiene un muestr de vribles letoris, independientes, idénticmente distribuids con distribución F, entonces E(g(X)) 1 g(x i ).