Derivación e integración numéricas

Transcripción

1 Cpítulo 4 Derivción e integrción numérics 4.1 Introducción A veces es necesrio clculr el vlor, L(f, que el funcionl L sign l función f perteneciente un conjunto F. Algunos ejemplos son los siguientes: L(f=f (,siendof elconjuntodelsfuncionesderivblesen. L(f=f (,siendohorf elespciodelsfuncionesquedmiten derivd tercer en. L(f= f,dondefpuedeserelconjuntodelsfuncionesintegrbles- Riemnn en el intervlo[, b]. Entodosloscsos,Lseráunfuncionllinel,esdecir,L(f+g=L(f+ L(gprculesquierelementosf yg delconjuntof,y,l(αf=αl(f, siendoαunesclrrelrbitrrioyf pertenecientef. En muchs situciones práctics no será posible obtener explícitmente el vlordel(f. Porejemplo,silvricióndelconcentrcióndeunrectivo es proporcionl l concentrción existente en cd instnte, resolviendo l ecución diferencil conocemos que l curv solución es de tipo exponencil. Pero,? cuánto vle l pendiente en t = 1 de l curv que represent l concentrción si lo único que podemos medir es l concentrción en cd instnte?,esdecir,? cómopodemosclculrl(f=f (1? Noconocemosun expresión explícit de l función f. Aunque el problem más frecuente es que

2 Cpítulo 4. Derivción e integrción numérics senecesiteconocerelvlordeunderivdprimero,losumo,lsegund, enunpunto,tmbiénpuedequesenecesiteclculrunderivddeorden superior,f (k (,esdecirquel(f=f (k (,ynoseconoceunexpresión explícit de f(o, cso de conocerl, es excesivmente complej. Posiblemente sóloseconozcelvlordef enpuntospróximosl,inclusoenelpropio. Elloserviráprproximrelvlordef (k (. Esunproblemdederivción numéric. Otroejemplo. Sbemosquelfunciónf(x= 1 x ex escontinuenelintervlo[1,3]. Pero,? cómopodemosclculr x ex dx?? YL(f= 3 1 f(xdx? Noexisteunprimitivdef queseexpreseentérminoselementles. Engenerl,enmuchsocsioneshyqueclculrelvlor f(xdxprunfunción f integrble en [,b], de l que no se conoce un primitiv y, por tnto, no podemos plicr l regl de Brrow. Posiblemente se conozc el vlor que f tom en vrios puntos del intervlo [,b], veces en todos los puntos del intervlo,inclusopuedequeelvlordederivdsdef enpuntosdelmismo. Esosdtosnosserviránprproximrelvlorde f(xdx.esunproblem de integrción numéric. Podrímos dr más ejemplos, correspondientes otros funcionles L, pero son los dos nteriores, derivción e integrción, los más interesntes. En culquier cso, desde el punto de vist de l proximción de L(f medinte fórmuls de tipo interpoltorio, el trtmiento serí idéntico en todos los csos: proximr f por un interpolnte, p, y tomr como proximción del(felvlorl(p.niquedecirtienequeelespciointerpoldorlque pertenece p debe estr constituido por funciones sencills de form que se posible clculr L(p. 4. Fórmuls de tipo interpoltorio Los polinomios son funciones muy sencills de derivr y de integrr, por lo que son muy utilizdos como interpolntes pr obtener fórmuls de derivción e integrción numérics. Por ejemplo, si se dispone de dtos lgrnginos, podemos proximr L(f medinte el que L sign l polinomio de interpolcióndef. Másconcretmente,conocidoslosvloresqueftomenlosnodos (distintosx 0,x 1,...,x n,sep P n elúnicopolinomiotlquep(x i =f(x i, 0 i n;entonces L(f L(p (4.1 es un fórmul de tipo interpoltorio pr L en P n cuyos nodos son x 0, x 1,...,x n.

3 4. Fórmuls de tipo interpoltorio 3 Supongmos, por ejemplo, quepes el polinomiodegrdo menor o igul queunoqueinterpollfunciónf enlospuntosx 0 =4yx 1 =6. Entonces y,sil(f= f,podemoshcer p(x=f(4+ f(6 f(4 6 4 f = L(f L(p= = p (x 4 ( f(4+ f(6 f(4 (x 4 dx = f(4(b + f(6 f(4 4 (b Tendrímos sí un primer fórmul de integrción numéric, de tipo interpoltorioenp 1,cuyosnodosson4y6(normlmentelosnodospertenecen l intervlo[, b]. Sinembrgo,siL(f=f (5,setiene f (5= L(f L(p=p (5 = f(6 f(4 Es un fórmul de derivción numéric, con dos nodos, que permite proximr f (5prtirdelvlordef enlospuntos4y6. Tnto pr ls fórmuls de integrción como ls de derivción numéric, los dtos más hbitules son los vlores de l función en puntos distintos, llmdos nodos delfórmul. Elespciointerpoldorsuelesereldelospolinomiosde grdomenoroigulquensihyn+1dtos.noobstnte,podríutilizrse otro espcio interpoldor y los dtos podrín ser distintos. Por ejemplo, pr proximr l integrl podrín usrse lgunos dtos derivd. En lo que sigue, slvoqueseespecifiqueotrcos,elespciointerpoldorseráp n ylosdtos serán lgrnginos, correspondientes n + 1 nodos. El error de truncmiento, R(f, cometido l proximr L(f medinte lfórmuldetipointerpoltorio(4.1esr(f=l(f L(p=L(f p. Comoesconocido,f peselerrordeinterpolción.

4 4 Cpítulo 4. Derivción e integrción numérics 4.3 Fórmuls de derivción numéric En primer lugr, suponemos que es necesrio proximr l derivd primer def enunpunto,esdecirl(f=f (. Vmosobtenerfórmulscondos y tres nodos (con un solo nodo x 0 se tiene p(x = f(x 0 y, por tnto serí f ( 0,fórmulquecrecedeinteréspordrlmismproximciónpr todslsfuncionesyprtodopunto. Condosnodos,x 0 yx 1,setienequep(x=f(x 0 + f(x 1 f(x 0 x 1 x 0 (x x 0 y, por tnto, l fórmul de derivción numéric es f ( f(x 1 f(x 0 x 1 x 0. Es rzonble que los nodos sen próximos.. Si x 0 =yx 1 =+h (conh 0,lfórmules f ( f(+h f(. (4. h Sihtiendecero,lproximcióntiendelvlorexctocundofesderivble en;portnto,prhmuypequeño,lproximciónserábuencundono se produzcn errores l evlur f ni en ls operciones. Six 0 = hyx 1 =+h,lfórmulresultntees f ( f(+h f( h. (4.3 h Contresnodos, x 0,x 1 yx,lssiguientessonlstreseleccionesmásimportntes: x 0 = h,x 1 =,x =+h. Tmbiéndlugrlfórmul(4.3. x 0 =,x 1 =+h,x =+h. En este cso el polinomio de interpolción es p(x=f(+ f(+h f( h (x +f[,+h,+h](x (x h. Esinmeditocomprobrquelfórmuldederivciónnuméricf ( p (setrduceen f ( 3f(+4f(+h f(+h. h

5 4.3 Fórmuls de derivción numéric 5 x 0 = h,x 1 = h,x =. Unprocesonálogodlugrlfórmul f ( f( h 4f( h+3f(. h Del mismo modo podrín clculrse fórmuls con cutro, cinco o más nodos. A continución vmos ver fórmuls de tipo interpoltorio pr l derivd deorden,esdecir,l(f=f (. Debehbertresomásnodospuescondos elpolinomioesdegrdounoysuderivdsegundesnulprtodfunción f yprtodopunto. Contresnodos,x 0,x 1 yx,elpolinomiodeinterpolciónpes p(x=f(x 0 +f[x 0,x 1 ](x x 0 +f[x 0,x 1,x ](x x 0 (x x 1, conloculf ( p (=f[x 0,x 1,x ]. Indicmoscontinuciónlstres elecciones más frecuentes. x 0 = h,x 1 =,x =+h. Dlugrlfórmul x 0 =,x 1 =+h,x =+h. Produce l fórmul x 0 = h,x 1 = h,x =. En este cso, f ( f( h f(+f(+h h. f ( f( f(+h+f(+h h. f ( f( h f( h+f( h. El proceso pr ls demás fórmuls de derivción numéric, tnto si es de orden superior dos (digmos k como si los nodos son diferentes de los considerdos nteriormente, es totlmente nálogo: se clcul el polinomio de interpolciónysehllsuderivddeordenkenelpunto. Posteriormente dremos otrs fórmuls.

6 6 Cpítulo 4. Derivción e integrción numérics 4.4 Fórmuls de Integrción numéric: Fórmuls simples SupongmoshorqueelfuncionllinelesL(f= f(xdx. L fórmul de integrción numéric bsd en un nodo, x 0, se obtiene integrndoelpolinomiodeinterpolciónp(x=f(x 0 enelintervlo[,b]: f(xdx f(x 0 dx=(b f(x 0. Gráficmente, si f es no negtiv, lo que se hce es proximr el áre debjodelcurvy=f(x, comprendidentrex=yx=b,poreláre delrectángulodebseb ylturf(x 0. Si x 0 =, se denomin fórmul del rectángulo izquierd; si x 0 = b, fórmul del rectángulo derech yfórmul del punto medio six 0 = +b. Sonls siguientes, respectivmente: f(xdx (b f( f(xdx (b f(b ( +b f(xdx (b f Condosnodos,x 0 yx 1,elpolinomiodeinterpolciónesp(x=f(x 0 + (x x 0. Lcorrespondientefórmuldeintegrciónnumérices f(x 1 f(x 0 x 1 x 0 f(xdx ( f(x 0 + f(x 1 f(x 0 (x x 0 dx x 1 x 0 ( (b x 0 =(b f(x 0 + f(x 1 f(x 0 x 1 x 0 Six 0 =yx 1 =b,eslfórmuldeltrpecio: f(xdx (b f(+f(b. ( x 0 Con tres nodos se tiene un de ls fórmuls más importntes en l integrciónnuméric: ldesimpson. Correspondex 0 =,x 1 = +b yx =b

7 4.5 Fórmuls de Newton-Cotes 7 (interpolciónenp. LfórmuldeLgrngeprelpolinomiodeinterpolción es p(x=f(x 0 (x x 1(x x (x 0 x 1 (x 0 x +f(x 1 (x x 0(x x (x 1 x 0 (x 1 x + f(x (x x 0(x x 1 (x x 0 (x x 1. Sustituyendo los vlores concretos de los nodos e integrdo entre y b, se obtiene f(xdx b [ ( ] +b f(+4f +f(b. 6 Obsérvesequeelpesoenelnodocentrlescutroveceselpesoenlosextremos. Pr un fórmul de tipo interpoltorio el número de nodos de interpolción puede ser mucho myor que el usdo ntes. Además, los nodos pueden ser diferentes; por ejemplo, nd nos impide pr proximr l integrl entre [1,3]usrlosnodosx 0 =1.35yx 1 =.9enlugrdeloscorrespondientesl fórmuldeltrpecio. Incluso,enlugrdeinterpolrenP n,podemosutilizr otro espcio de funciones(polinomios trigonométricos, funciones spline, etc.. En definitiv, un infinidd de posibiliddes diferentes. 4.5 Fórmuls de Newton-Cotes El intervlo de integrción [, b] se puede dividir en n subintervlos de igul longitud,h= b n. Entonces,sielegimoscomonodoslospuntosx i=+ih, i=1,...,,lfórmulobtenidsedenomindenewton-cotesbiertcon nodos. Porejemplo,conn=seobtienelfórmuldeNewton-Cotes conunsolonodo,queeslfórmuldelpuntomedio. Si elegimos como nodos los puntos x i = +ih, i = 0,...,n, l fórmul obtenid se denomin de Newton-Cotes cerrd con n + 1 nodos. Por ejemplo, con n = 1 se obtiene l fórmul de Newton-Cotes con dos nodos, que es l fórmuldeltrpecio. Conn=seobtieneldeSimpson. Otrs fórmuls de Newton-Cotes, y sus errores de trunctur, son ls siguientes: fórmul3/8desimpson Conh= b 3, f(xdx= 3h 8 (f(+3f(+h+3f(+h+f(b 3h5 80 f(iv (ξ

8 8 Cpítulo 4. Derivción e integrción numérics fórmuldeboole Conh= b 4, f(xdx= h 45 (7f(+3f(+h+1f(+h+3f(b h+7f(b fórmul de Newton-Cotes biert con dos nodos Conh= b 3, f(xdx= 3h (f(+h+f(b h+h3 4 f (ξ 8h f(vi (ξ Podrímos dr muchs más fórmuls de Newton-Cotes, pero es conocido que l interpolción lgrngin sobre puntos igulmente espcidos no es convergente(ejemplo de Runge. Luego no es recomendble usr un fórmul de Newton-Cotes con muchos nodos pr obtener grn precisión. Sin embrgo, como l integrl es ditiv, podemos descomponer el intervlo de integrción en n subintervlos medinte un prtición uniforme del mismo connodosx i =+ih,i=0,...,n,yexpresrlintegrlen[,b]comosum de integrles en los intervlos inducidos por l prtición: f(xdx= i=0 xi+1 x i f(xdx. (4.4 Si n es grnde los intervlos de integrción son pequeños con lo cul el errorlplicrunfórmuldeintegrciónencdunopuedequesepequeño. El error totl de trunctur es l sum de los errores en cd subintervlo. Veremosposteriormentequesuvlortiendecerocundon. 4.6 Fórmuls compuests Ls fórmuls compuests son ls obtenids l plicr un mism fórmul simpledeintegrciónnumériccdunodelossumndosde(4.4. Dmoslgu-. nscontinución(prsimplificr,notmosf i =f(x i,f i+ 1 =f( xi +x i+1

9 4.7 Orden de precisión de ls fórmuls de tipo interpoltorio 9 Fórmul del rectángulo l izquierd compuest f(xdx h f i. Fórmul del rectángulo derecho compuest Fórmul del punto medio compuest Fórmul del trpecio compuest i=0 f(xdx h f i+1. i=0 f(xdx h f i+ 1. f(xdx h i=0 ( f 0 +f n Fórmul de Simpson compuest ( b f(xdx h f 0 +f n + 6 i=1 f i. + i=1 f i +4 i=0 f i Orden de precisión de ls fórmuls de tipo interpoltorio Sif esunpolinomodegrdomenoroigulquenlserinterpoldporun polinomiopdep n seobtienelmismfunción,p=f,conloculelerrorde lfórmulprdichfunciónesr(f=l(f p=l(0=0. Esdecir,ls fórmuls de tipo interpoltorio son excts pr tod función de P n. Luego su orden de precisión es myor o igul que n. Pr sber el orden excto sólotendremosqueclculrelerrorquesecometeconlsfuncionesx n+k (o bienconlsfunciones(x c n+k,prk=1,,..hstquedichoerrorse distintodecero. Porejemplo,lfórmuldelrectángulo(exctenP 0 derror diferentedeceroprlfunciónx,yquer(x = 1 (b 0 (b =.

10 10 Cpítulo 4. Derivción e integrción numérics 1 (b 0.Suordendeprecisiónescero. Sinembrgo,prlfórmuldel puntomediosecumplequer ( x +b ( (x =0yR +b 0,conlque lfórmuldelpuntomediotieneordendeprecisión1. Estoysesbísinmás que observr l expresión del error. En l del rectángulo prece l derivd primer de l función mientrs que en l del punto medio interviene l derivd segund. Es inmedito comprobr que l fórmul del trpecio tiene orden de precisión1yqueldesimpsontieneorden deprecisión3. Análogmente,l fórmuldederivciónnuméricf ( f(+h f( h tiene orden de precisión 1, mientrs que f ( f(+h f( h h tiene orden de precisión. Es decir, lgunseleccionesdenodossonmejoresqueotrs,puestoqueconunsolonodo tenemos uns fórmuls de integrción numéric que tienen orden de precisión cero y otr con precisión 1; en derivción numéric, con dos nodos hy fórmuls con precisión 1 y otr con precisión, etc. El orden de precisión es en tods ells l menos n, pero? cuánto más puede umentr con un elección decud de los nodos? Suponiendo que los dtos de interpolción son todos lgrnginos, en ls fórmuls pr l derivd primernosepuedeumentrelordenmáslládelvlorn+1. Además,si Π(x=(x x 0 (x x n,de(??y(??sededuceque R(f=(f p ( =f[x 0,...,x n,,]π(+f[x 0,...,x n,]π ( = f(n+ (ξ (n+! Π(+f(n+1 (ξ (n+1! Π ( SenecesitqueΠ (=0prconseguirelordenn+1.Prumentrmás senecesitríqueπ(=0porloqueseríuncerodobledeπ(x=0y, portnto,tendrímoscomodtoelpropiovlordef (. Resumiendo, en est práctic se obtienen fórmuls de tipo interpoltorio, yseoperdedosforms: Seobtieneelpolinomiodeinterpolción,p,delfunciónf prtirde lsfórmulsdelgrngeonewtonyseproximl(fmedintel(p. Como l interpolción es exct cundo f es un polinomio de P n, l proximciónl(f L(pprp P n se convierteenl(f=l(p, resultdo que nos permite bordr l determinción de l fórmul pr L(f imponiendo que se exct en P n. Por ejemplo, l fórmul de

11 4.7 Orden de precisión de ls fórmuls de tipo interpoltorio 11 integrción numéric del tipo L(f= f c 1 f(+c f(b se clcul obligndo que se exct en P 1, es decir, si e 0 (x = 1 y e 1 (x=x,seimponequesecumplnlscondiciones L(e i =c 1 e i (+c e i (b, i=0,1. Si l fórmul de integrción numéric es gussin, entonces debemos hllr el polinomio ortogonl decudo, clculr sus ríces y utilizr ésts como nodos de interpolción. Por último, debemos indicr que Mthemtic dispone de órdenes específics pr mnejr los polinomios ortogonles clásicos y de un orden especilmente diseñd pr proporcionr un proximción de l integrl de un función con un lt exctitud, NIntegrte.