Capítulo 4 El Teorema Fundamental del Cálculo (G. Izquierdo 06/2017)

Transcripción

1 Tis is pge Printer: Opque tis Cpítulo 4 El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) En este cpítulo remos uso del Cálculo Diferencil por lo que resultrá conveniente que el lector repse los métodos pr clculr l derivd, sí como los propieddes más relevntes de est. Problem 4.. Clcule l derivd de ls siguientes funciones: ) f ) = 4 b) g ) = sen c) y t) = 4 t4 d) ) = cos 3 e) f ) = y y un contnte) Problem 4.. ) Enuncie el teorem del vlor medio pr funciones diferencibles. 4.. Un ide intuitiv que llev l teorem Tl vez ls ides que dn origen uno de los resultdos ms trscendentes de l Mtemátic y surgido del estudio del movimiento de un prtícul. Pr eplicr este punto pensemos en un prtícul que se mueve sobre un rect y cuy posición en cd instnte de tiempo está dd por un función y t), esto es, que en cd tiempo t l prtícul se encuentr en el punto correspondiente l vlor y t). Por supuesto, si conocemos l posición en culquier instnte de tiempo, l distnci recorrid prtir de un tiempo inicil t st culquier tiempo t es simplemente l diferenci y t) y t ).) Aor bien, en el cpítulo encontrmos que l distnci recorrid y l velocidd están relcionds ví l integrl. A sber, l distnci recorrid prir de un tiempo t y st un tiempo culquier t es igul l integrl de velocidd en el intervlo [t, t, en otros términos, sbemos que y t) y t ) = t v s) ds 4..) lo que nos d l siguiente relción entre l función de posición y l velocidd y t) = y t ) + t v s) ds 4..) Por otr prte se sbe del Cálculo Diferencil que si y t) es l función que describe l posición de un prtícul l tiempo t, entonces, su velocidd

2 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) está dd por l derivd, esto es, v t) = dy dt t) = y t) 4..3) Si uno nliz con cuiddo l relción entre ls igulddes nteriores uno puede llegr dos fórmuls fundmentles. En primer lugr, como v s) = y s) se obtiene, substituyendo en l iguldd 4..), l fórmul y t) y t ) = t y s) ds 4..4) En segundo lugr, si usmos l fórmul 4..) en l relción 4..3) obtenemos l iguldd v t) = d [ y t ) + v s) ds dt t lo que junto con el eco de que y t ) es un constnte y por ende su derivd es, nos llev l fórmul v t) = d [ v s) ds 4..5) dt t Ls fórmuls 4..4) y 4..5) son, en esenci ls dos conclusiones del Teorem Fundmentl del Cálculo. A continución discutiremos con detlle cd un de ells. 4.. El Teorem Fundmentl del Cálculo. Prte Empecemos por estudir l fórmul 4..4) que tmbién podemos escribir como t y s) ds = y t) y t ) 4..) Si uno ce bstrcción de los conceptos de posición y velocidd, est iguldd nos dice que l integrl de l derivd de un función se puede clculr, simplemente restndo les vlores de l función en los etremos de integrción. Pr clrificr est ide consideremos l integrl t sds como se sbe s es l derivd de l función y s) = s, esto es, s = y s) y por tnto l integrl se puede escribir en l form t sds = t y s) ds

3 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 3 y de cuerdo con l fórmul 4..) se tiene que t sds = t y s) ds = y t) y t ) Como en este cso y s) = s, obtenemos que el vlor de l integrl es t sds = t y s) ds = y t) y t ) = t t En el ejemplo?? del cpítulo 3 con = t,b = t y s en lugr de ) se llegó que ) t sds = sds = t t t = t t Este ejemplo ce muco más plusible el que l fórmul 4..), efectivmente, nos d el vlor de l integrl. Vemos lo que ocurre con nuestr fórmul y l integrl π sen sds En este cso el lugr de t lo ocup el número, mientrs que t le corresponde el vlor π y no es difícil ver que l función sen s es l derivd de cos s, esto se, si t =, t = π y y s) = cos s, entonces, sen s = y s). Y, de cuerdo con l fórmul 4..), se tiene que π sen sds = π y s) ds = y π) y ) = cos π) cos ) = )) ) = lo que coincide con el resultdo obtenido en el ejemplo?? del cpítulo. Es clro de estos ejemplos que l fórmul 4..) prece tener vlidez muco más llá del conteto de ls propieddes del movimiento de un prtícul. Antes de continur es conveniente reescribir l fórmul 4..) usndo un notción más generl. Así, usremos pr l vrible de integrción, en lugr de l función velocidd v t) considerremos un función f ) y pr los límites de integrción integrción, en lugr de t y t usremos y b. En estos términos l integrl t v s) ds or se escribe como b f ) Finlmente, puesto que l velocidd es un derivd, pr poder usr nuestr fórmul es necesrio ver l integrndo f ) como l derivd de otr función. Est nuev función tiene un nombre especil.

4 4 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Definición 4.. Diremos que un función F es un primitiv o ntiderivd de l función f en el intervlo [, b, si y solo si df ) = F ) = f ) pr todo en [, b De cuerdo con est definición, el ppel de l función de posición y t) en 4..) es or ocupdo por l función primitiv F ). Así, si tommos en cuent los cmbios de notción señldos más rrib, tendremos que l fórmul 4..) or se lee b f ) = F b) F ), donde F ) es un primitiv de f ). Esto nos llev l siguiente teorem. Teorem 4.. Teorem Fundmentl del Cálculo. Prte. Se f un función continu en [, b y se F un primitiv de f, entonces, b f ) = F b) F ) Demostrción. L ide pr l demostrción se bs en el Teorem del Vlor Medio pr l derivd. Como se sbe si F es un función diferencible en un intervlo bierto k, k ) y continu en el cerrdo [ k, k, entonces eiste un punto ξ k en [ k, k tl que F ξ k ) k k ) = F k ) F k ) Aor bien, en nuestro cso, sbemos que f ) = F ) y por lo tnto ls sums de Riemnn pr f se pueden escribir en l form n f ξ k ) k k ) = k= n F ξ k ) k k ) Si elegimos en cd subintervlo el punto ξ k de modo que el Teorem del Vlor Medio pr l derivd se cumpl en cd subintervlo tendrímos que pr cd k y, por ende, n f ξ k ) k k ) = k= k= F ξ k ) k k ) = F k ) F k ) n F ξ k ) k k ) = k= n F k ) F k )) Pero l últim iguldd es un sum telescópic del tipo n k= k k ) con k = F k ), en consecuenci n f ξ k ) k k ) = k= k= n F k ) F k )) = F n ) F ) k=

5 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 5 y como,,..., n, n son puntos de un prtición de [, b, = y n = b, lo que implic que n f ξ k ) k k ) = F b) F ) k= Así, con est mner de elegir los puntos ξ k, pr l sucesión de sums de Riemnn uniforme concluimos que b f ) = lím n n k= como se querí demostrr. f ξ n k) k k ) = lím F b) F )) = F b) F ) n No está por demás señlr que un consecuenci inmedit de este teorem es l siguiente Corolrio 4.. Si F es un función con derivd continu en [, b, entonces, b b F df ) ) = = F b) F ) df ) Demostrción. Puesto que un primitiv de l función f ) = es justmente F ), el Teorem Fundmentl del Cálculo primer prte nos permite concluir que, en efecto b F ) = b df ) = F b) F ). Antes de continur es conveniente fmilirizrse con l primitiv o ntiderivd de lguns funciones. Ejemplo 4.. ) Pr l función f ) =, un primitiv es F ) =, puesto que F ) = = f ). b) Pr l función f ) = sen, un primitiv es F ) = cos, y que F ) = sen ) = sen = f ). c) Un primitiv de l función f ) = 3 es F ) = 4 4. En efecto, F ) = ) = 3 = f ). Problem 4.3. Encuentre primitivs pr ls funciones ) f ) = cos. Respuest: F ) = sen ) b) f ) = 4. Respuest: F ) = 5 5 ) c) f ) = 8. Respuest: F ) = 9 9 ) d) f ) = sec. Respuest: F ) = tn ) He quí lgunos ejemplos que ilustrn como se plic l primer prte del Teorem Fundmentl del Cálculo TFC).

6 6 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Ejemplo 4.. Considere el problem de clculr l integrl El primer pso es identificr l función que se v integrr, en este cso l función es f ) =. El segundo pso es encontrr un primitiv de est f. No es difícil verificr que F ) = 3 3 es un primitiv de f ) =, en efecto, De cuerdo con el teorem F ) = 3 3 ) = = f ) = F ) F ) = 3 )3 3 )3 = 3 Vle l pen observr en este ejemplo que l función tmbién es un primitiv de y si est ubier sido nuestr elección pr F, se tendrí que = F ) F ) = [ [ 3 ) )3 + 5 = 3 )3 5 3 )3 5 = 3 )3 3 ) = 3 )3 3 )3 = 3 que es el vlor que obtuvimos nteriormente. Notemos demás que si ubiérmos sumdo culquier constnte c en lugr de 5, el resultdo ubier sido el mismo. Ejemplo 4.3. Clculemos π 4 sec Como se sbe, l función sec es l derivd de tn. En los términos del teorem esto nos dice que l F ) = tn es un primitiv de f ) = sec, por lo tnto π 4 sec = F π 4 ) F ) = tn π 4 tn = =

7 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 7 Ejemplo 4.4. Pr clculr 9 debemos encontrr un primitiv de f ) =. Aunque primer vist no prece fácil encontrr est primitiv, si uno revis los resultdos sobre diferencición de rdicles, encontrrá que F ) = es un de ls funciones deseds y que F ) = d = Por lo tnto 9 = F 9) F ) = 9 = 3 = Notción 4.. Con frecuenci se us l notción F ) b pr denotr l diferenci F b) F ), esto es F ) b = F b) F ) Usndo est notción en los ejemplos 4.3, 4.3 y 4.4 uno puede escribir los resultdos en l form = 3 3 = 3 )3 3 )3 = 3 y π 4 sec = tn π 4 = tn π 4 tn = = 9 = 9 = 9 = 3 = lo que dej ver más clrmente cul es l primitiv que se está considerndo Cálculo de primitivs pr lguns funciones Los ejemplos nteriores dejn ver que el poder clculr integrles prtir de l primer prte del TFC, depende de nuestr cpcidd pr encontrr primitivs pr un función dd. Tomndo en cuent que l condición pr

8 8 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) l primitiv es que F ) = f ), un primer lterntiv pr clculr primitivs es leer l revés ls tbls de derivción. Pr clrr este punto consideremos l tbl de derivción de ls funciones trigonométrics F ) = sen F ) = cos F ) = tn F ) = cot F ) = sec F ) = csc F ) = cos F ) = sen F ) = sec F ) = csc F ) = sec tn F ) = csc cot De cuerdo con esto un primitiv de f ) = cos es F ) = sen y que F ) = cos = f ). Pr f ) = sen un primitiv es F ) = cos, pues F ) = sen = f ). Procediendo de est form uno obtiene l siguiente tbl Integrndo f ) = cos f ) = sen f ) = sec f ) = csc f ) = sec tn f ) = csc cot Primitiv F ) = sen F ) = cos F ) = tn F ) = cot F ) = sec F ) = csc He quí lgunos ejemplos. Ejemplo 4.5. De cuerdo con l tbl se tiene que ) π 3 π 6 csc = cot π 3 π 6 = cot π 3 cot π 6 = 3 3 = 3 b) c) π 4 sec tn = sec π 4 = sec π 4 sec = π 3 π 6 csc cot = csc π 3 π 6 = csc π 3 csc π 6 = 3 = 3 3 Vemos or como podemos clculr ntiderivds de ls potencis de. Usndo un ide similr uno puede cer el siguiente nálisis pr ls potencis de : Pr F ) = sbemos que F ) =, pr F ) = se

9 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 9 tiene que F ) =, pr F ) = 3 l derivd es F ) = 3, etc. De donde obtenemos que un primitiv de f ) = es F ) =, un primitiv de f ) = es F ) =, pr f ) = 3 un primitiv es F ) = 3 y sí sucesivmente. Sin embrgo, como se verá más delnte, result muco más conveniente clculr primitivs de ls funciones,,, etc. en lugr de ls primitivs de,, 3,.... Aor bien, pr encontrr un primitiv de f ) =, notemos que l multiplicr l iguldd = por obtenemos que d =, esto nos dice que un primitiv de f ) = es F ) =. De modo similr pr f ) =, podemos prtir de que 3 = 3 y multiplicr por 3, pr llegr que un primitiv de f ) = es F ) = 3 3. Problem 4.4. ) Encuentre un primitiv de f ) = 3. Uno puede cecr si su resultdo es correcto verificndo que l derivd se justmente 3. Respuest: F ) = 4 4 ) b) Encuentre un primitiv de f ) = 4. Uno puede cecr si su resultdo es correcto verificndo que l derivd de l primitiv se justmente 4. Respuest: F ) = 5 5 ) Uno puede seguir l líne de pensmiento recién epuest pr clculr primitivs de ls potencis de. En efecto, sbemos que y por ende Lo que muestr que n+ es un ntiderivd de n. = n + ) n+ = n + ) n d n+ n+ = n F ) = n + n+ Teorem 4.3. Pr cd entero positivo n se tiene que un primitiv de l función f ) = n es l función F ) = n + n+ Problem 4.5. ) Use l notción de eponentes pr escribir ls siguientes epresiones e l form r : ) b) 4 c) 5 4 d) 3 e) 5

10 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Respuest: ), b) 4, c) 4 5, d) 3, e) 5 ) b) Clcule ls derivds de ) b) 4 y c) 3 Respuest: ), b) y c) ) Si uno tiene presente que pr culquier eponente rcionl r l función r es diferencible en el intervlo, ) y que, en dico intervlo, l función r sigue l mism regl de derivción que n, esto es, r = rr uno puede plicr los mismos rgumentos que usmos nteriormente pr obtener un primitiv de r. Proposición 4.4. Pr culquier función de l form f ) = r con el eponente r un primitiv en culquier subintervlo de, ) es F ) = r + r+ Eisten dos spectos de est conclusión que vle l pen desglosr un poco: En primer, l epresión pr l ntiderivd cundo r = no tiene sentido pues, en ese cso, r + = ) + = y, por ende, l epresión r+ no está definid en este cso. Así, pr l función f ) = = l fórmul nterior no nos d un primitiv. De eco, el encontrr un primitiv de y estudir ls propieddes de dic primitiv merece todo un cpítulo prte, por lo que pospondremos est discusión st el siguiente cpítulo. El segundo punto observr es que solo se considern ls primitivs de f ) = r en el intervlo, ). L rzón pr ello es que funciones como = o 3 4 solo están definids pr > y en csos como el de = el dominio no puede incluir. Así que si queremos un resultdo que incluy todo tipo de eponente diferente de, tendremos que restringirnos l intervlo, ). Por supuesto en cd cso específico uno puede determinr si el dominio puede mplirse o no. Vemos lgunos ejemplos de como usr este resultdo. Ejemplo 4.6. Consideremos l integrl 6 4

11 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Empecemos por observr que f ) = 4 puede escribirse en l form f ) = 4 y que el intervlo de integrción [, 6 está contenido en, ), por lo que podemos firmr que un primitiv de f ) = 4 es F ) = 4 + = y, de cuerdo con el TFC, = = = = 4 5 Ejemplo 4.7. ) Pr l integrl 3 4 Notemos que [, 3 está contenido en el intervlo, ) y que = 4 4 por lo que, sin myor problem, se tiene que un primitiv de f ) = 4 es F ) = = 3 3 = 3 lo que nos permite concluir que = = 3 3 ) = b) Pr l integrl 4 l situción es un poco más delicd y que [, no está contenido en, ) por lo que no podemos usr directmente nuestro resultdo. Sin embrgo, en este cso se tiene que f ) = está definid y es continu 4 en [,, demás, en el mismo intervlo F ) = = 3 es 3 diferencible y F ) =. Así que F ) = 4 3 sigue siendo un primitiv 3 de f ) = en [, y del TFC se sigue que 4 4 = ) 3 3 = 3 ) 3 3 ) 3 = 7 4 Si esto summos l linelidd de l integrl teorem??) el rngo de integrles que or podemos clculr se mplí. Ejemplo 4.8. Clcule 6 3 sen ) Empezmos por usr l linelidd pr obtener que 6 3 sen ) = 6 3 sen

12 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) luego usmos l primer prte del TFC pr concluir que 6 3 sen π ) = 6 3 sen = cos = ) 4 4 cos cos )) = + cos Tmbién puede usrse el TFC en combinción con le teorem?? pr clculr otro tipo de integrles Ejemplo 4.9. Considere l integrl 3 El problem quí es que no prece fácil encontrr un primitiv de l función f ) = 3 en el intervlo [,. Sin embrgo, si uno observ que y que f ) = 3 = 3 en el intervlo [, f ) = 3 en el intervlo [, Entonces, el teorem?? nos grntiz que 3 = = Ls últims dos integrles se pueden clculr usndo directmente el TFC pr concluir que 3 = = = )) ) ) 4 4 = 7 4 No podemos olvidr que l integrl es importnte pr resolver mucos problems. He quí dos ejemplos

13 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 3 Ejemplo 4.. Un prtícul se mueve de modo que su velocidd vrí de cuerdo l función v t) = t m seg. Cuál es l distnci recorrid por l prtícul desde el instnte inicil t = seg. st el instnte t = 4seg.? Como se vio, l distnci recorrid es l integrl de l velocidd en el intervlo de tiempo considerdo, por lo que en este cso se tiene que Distnci recorrid = t v t) dt = 4 tdt De lo epuesto nteriormente se sigue que un ntiderivd de v t) = t = t es y t) = + + = 3 t 3 t por lo tnto 4 4 tdt = 3 t 3 = ) = 6 3 = 6 3 Así que l distnci recorrid es 6 3 m. ) 3 3 Ejemplo 4.. Clcule el áre bjo l gráfic de y ) = en el intervlo [, 3. y R. 3 Observemos primero que y ) = es un función no negtiv por lo que el áre bjo l gráfic está dd por l siguiente integrl Áres R) = 3

14 4 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Ls primitivs de y ) = = son de l form por lo que G ) = Áres R) = + + = = = 3 = 3 ) ) 3 = 3 + = 3 Problem 4.6. Clcule ls siguientes integrles ) 3 ) + π b) cos tdt c) 6 Respuests: ) 8 3 Problem 4.7. Clcule Respuest: π, b), c) 5, d) 5.) sen θ dθ = = π π π sen θ dθ sen θdθ + sen θdθ = cos θ π 5 4 y + 3 y ) dy d) π 4 5 sec sds. π π π π sen θdθ sen θdθ cos θ π π = 4.) Problem 4.8. Clcule el áre bjo l gráfic de y ) = en el intervlo [ 3,. Respuest: Como tmbién en el intervlo [ 3, l función y ) = es no negtiv el áre es 3 = = 3 3 ) 4... L integrl indefinid No es difícil ver que cundo se tiene un ntiderivd F ) de un función f, entonces, culquier función de l form G c ) = F ) + c donde c es un constnte, es tmbién un primitiv de f. En efecto, puesto que l derivd de un constnte es G c ) = dg c ) = d df ) F ) + c) = + dc df ) = + = F ) = f )

15 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 5 lo que muestr que, pr culquier constnte, G c tmbién es un primitiv de f. Ante est observción uno se podrí cer l pregunt siguiente: Además de ls funciones G c ) = F ) + c, brá otr clse de ntiderivds? l respuest est pregunt, como se demuestr continución es NO. Teorem 4.5. Si f es un función continu en [, b, culesquier dos primitivs, en ese intervlo, difieren por un constnte. Esto es, si F y G son dos primitivs de f en el intervlo [, b, entonces, eiste un constnte c tl que G ) = F ) + c Demostrción. El rgumento que cbmos de eponer muestr que culquier G de l form G ) = F ) + c es un ntiderivd de f. Aor bien, si G es culquier otr primitiv de f, entonces, G ) = f ) en todo [, b. Esto implic que, pr todo en [, b d dg [G ) F ) = df = G ) F ) = f ) f ) = Pero, como se sbe del Cálculo Diferencil, l derivd de un función es cero en todo un intervlo si y solo si l función es constnte. Por lo tnto, G ) F ) = c pr todo en [, b lo que muestr que G debe ser de l form G ) = F ) + c. Así, un vez encontrd un ntiderivd, bstrá sumr un constnte decud pr obtener culquier otr primitiv. En este punto debe resultr más que clro que encontrr ntiderivds o primitivs de un función es un errmient clve pr el cálculo de integrles. Tl vez por est estrec relción entre ls primitivs y ls integrles es que se introduce el concepto y l notción de integrl indefinid. Definición 4.. Por el símbolo f ) se denot l fmili de primitivs de l función f y es llmd l integrl indefinid de f.

16 6 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Ejemplo 4.. Un primer ejemplo es l integrl de un constnte Como un primitiv de l función constnte f ) = es l función F ) = se tiene que = + c Ejemplo 4.3. De cuerdo con l definición de integrl indefinid cos π = sen π + c π y que, ls primitivs de f ) = cos π son de l form Ejemplo 4.4. Pr clculr sen π + c π 4 5 observemos que 4 5 = 5 4 y por lo tnto, pr >, un primitiv es por lo tnto 4 5 = c = 9 + c pr > ) 9 Es importnte recordr que cundo se trt de eponentes frccionrios o negtivos uno debe tomr en cuent el dominio dende el integrndo está definido. Un primer consecuenci de l definición es el siguiente resultdo, el cul se obtiene usndo el mismo tipo de rgumento que en el corolrio 4.. Corolrio 4.6. Si y es un función con derivd continu dy ) y ) = = y ) + c Ejemplo 4.5. En l integrl d tn podemos usr el corolrio pr concluir que el corolrio, d tn = tn + c

17 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 7 Un propiedd que ered l integrl indefinid es l linelidd: Si G ) y H ) son ls primitivs de ls funciones g ) y ), respectivmente, entonces, d [αg ) + βh ) = αg ) + βh ) = αg ) + β ) por lo que αg + βh es un primitiv de αg + β. Dico en términos de l notción que cbmos de introducir uno tiene el siguiente Teorem 4.7. L integrl indefinid es linel. Esto es, pr culesquier α y β números reles [αg ) + β ) = α g ) + β ) No debemos olvidr que l culidd fundmentl de tod primitiv de un función es que su derivd debe ser l función. Así, un mner de verificr que se clculó correctmente un integrl indefinid es, simplemente, derivr el resultdo y ver que est derivd se igul l función que se está integrndo. Ejemplo 4.6. Pr verifique que cos = sen + cos + c bst cecr que F ) = sen +cos es un primitiv de f ) = cos. En este cso se tiene que F ) = sen + cos sen = cos = f ) por lo que podemos estr seguros de que nuestr integrl indefinid se clculó correctmente. Problem 4.9. Clcule ls siguientes integrles indefinids ) + ) b) cos tdt c) 5 4 y + 3 y ) dy d) 5 sec sds. Respuests: ) c, b) sen t + c c) 4 4 y ) 5 + y ) 3 + c, d) 5 tn s + c.) Terminmos est sección señlndo que en un cpítulo posterior se desrrollrán más métodos pr clculr integrles usndo l primer prte del TFC.

18 8 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 4.3. El Teorem Fundmentl del Cálculo. Prte. L segund prte del Teorem Fundmentl del Cálculo se bs en l fórmul 4..5) [ d t v s) ds = v t) dt t Lo primer que reslt de est fórmul es que si se consider el límite superior como un vrible, l integrl define un función de es vrible. Ejemplo 4.7. Consideremos l integrl s 3 ds Pr cd vlor de t fijo, l primer prte del TFC nos dice que t s 3 ds = = 4 t4 4 4 = 4 t4 4 4 s4 Así, si considermos el límite superior de l integrl como un nuev vrible, l integrl s3 ds nos d l función v t) = 4 t4 4. Un specto de notción que result importnte pr evitr posibles confusiones es que, en este conteto, el etremo superior de l integrl se tom como un nuev vrible y, por lo tnto, es conveniente distinguirl de l vrible de integrción. Con bse en esto, usremos símbolos distintos pr denotr ls dos vribles. Así, en lo que sigue evitremos usr epresiones como v t) dt o f ) y en su lugr escribiremos v s) ds Por ejemplo, si se tiene l integrl b cos y se quiere considerr el etremo superior de l integrl como un vrible, escribiremos cos ξdξ Por supuesto, l elección de los símbolos pr el etremo superior y l vrible de integrción, pueden elegirse de cuerdo l conteto en que se está trbjndo, pero uno debe tener clro que el resultdo debe ser un función que depende de l vrible correspondiente l etremo superior de l integrl.

19 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 9 Problem 4.. Si l función F está definid como F ) = 3 ξdξ ) Qué integrl tendrí que clculr pr obtener el vlor de F 3)?. Ojo: no se le pide que clcule l integrl Respuest: Puesto que F 3) = ξdξ, l integrl clculr es 3 ξdξ) b) Qué integrl tendrí que clculr pr obtener el vlor de F )?. Ojo: no se le pide que clcule l integrl. Respuest: En este cso F ) = 3 ξdξ y como el límite superior de l integrl es menor que el inferior, l integr clculr es 3 ξdξ y F ) = 3 ξdξ = 3 ξdξ) c) Qué integrl tendrí que clculr pr obtener el vlor de F + )? Respuest: Aquí F + ) = ξdξ y l integrl clculr es 3 ξdξ) d) Quién es l función F )? Respuest. F ) = ) 4 3.) Problem 4.. Encuentre eplícitmente l función definid por l integrl θ π 4 cos φdφ Respuest: L primer prte del TFC nos dice que θ cos φdφ = sen φ θ π π sen θ ). Por lo que l función que se obtienen es sen θ + ) En este punto se podrí pensr que result un tnto ocioso describir un función usndo un integrl cundo l primer prte del TFC nos puede dr eplícitmente l función que se consider. El punto es que l prte de nuestro teorem es muy limitd y ún con los métodos que se desrrollrn más delnte, eisten un grn cntidd de integrles que no podremos clculr eplícitmente y pr ls cules es importnte conocer sus propieddes. Esto ocurre cundo se estudin integrles del tipo = ξ dξ, θ sen φ ) dφ, z ζ 3 dζ En todo cso l fórmul 4..4), nos dice que, cundo el etremo superior de un integrl es un vrible, l derivd de l integrl con respecto est vrible es l función que se está integrndo. En form más precis: Teorem 4.8. Teorem Fundmentl del Cálculo. Prte. Se f un función continu en el intervlo [α, β. Entonces, pr cd en [α, β, l función F definid como F ) = α

20 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) es diferencible en [α, β y F ) = df ) = d [ = f ) α Antes de dr l demostrción es conveniente que el lector repse los teorems?? y?? vistos en el cpítulo 3. Demostrción. Pr ver que F por simplicidd suprimiremos el subíndice ) es diferencible en cd punto de [α, β debemos verificr que los límites lterles F + ) F ) lím + eisten y son igules. Empecemos por observr que F + ) F ) Del teorem?? sbemos que por lo tnto + α y F + ) F ) lím [ = [F + ) F ) = + α F + ) F ) = α + [ = + α 4.3.) Pr el límite por l derec, > y por ende < +. De cuerdo con el Teorem del Vlor Medio pr l integrl Teorem??), eiste un punto η + en el intervlo [, + tl que + = f η ) [ + = f η + ) y substituyendo esto en 4.3.) obtenemos l iguldd [ F + ) F ) = + = [ ) f η + = f η ) Finlmente, como η + +, cundo se proim cero η+ se proim y puesto que f es continu se tiene que lím f η + ) + = f )

21 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) por lo que podemos concluir que F + ) F ) lím = lím + + [ + = lím f η + ) + = f ) Pr el límite por l izquierd tmbién se cumple l iguldd [ F + ) F ) = + Pero, como en este cso <, se tiene que + <. Por lo que, de cuerdo lo convenido en el cpítulo 3, est iguldd l podemos escribir en l form F + ) F ) [ = + = [ + En este cso el Teorem del Vlor Medio pr l integrl nos dice que eiste un punto η en el intervlo [ +, tl que por lo que + F + ) F ) = f η = ) [ + ) = f η ) [ = + Como + η y tiende, el punto η l continuidd de f Esto muestr que [ f η F + ) F ) lím = lím f η + ) = f ) ) ) = f η se proim y por F + ) F ) F + ) F ) lím = lím = f ) + y por lo tnto, pr cd [α, β, l función F es diferencible y F F + ) F ) ) = lím = f ) Que es lo que se querí demostrr Como se puede precir en el teorem cemos referenci un intervlo [α, β y no l costumbrdo [, b, l rzón es que es costumbre usr l letr )

22 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) pr denotr el etremo inferior de l integrl y puesto que el resultdo no solo consider el cso en el que el límite inferior de itegrción es el etremo izquierdo del intervlo. Así, pr evitr confusiones usmos α y β pr denotr los etremos del intervlo donde f ) es continu y nos reservmos l letr pr el límite inferior de l integrl. Corolrio 4.9. Se f un función continu en el intervlo [α, β. Entonces, pr todo punto en [α, β l función F ) = es diferencible pr todo en [α, β y F ) = df ) = d [ = f ) Demostrción. El teorem??, nos dice que pr cd en [α, β lo que implic que α F ) = = α = α + α α y como l integrl es un constnte pues no depende de ), se α sigue de ls regls de derivción que F ) = d [ = d [ α α α Finlmente, l segund prte del Teorem Fundmentl del Cálculo nos dice que [ d = f ) α por lo tnto F ) = d [ = f ) Vle l pen mencionr que si el punto que se elige es myor que α, l función F ) = no solo está definid pr, tmbién está definid pr entre α y pero, en este cso, uno debe tener presente l definición??. Otro eco que prece clro prtir de l definición de primitiv de un función, es que el TFC prte y su corolrio nos dicen que ls funciones F ) son ntiderivds o primitivs de f.

23 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 3 Corolrio 4.. Si f es continu en un intervlo [α, β, pr cd en [α, β, l función es un primitiv de f. F ) = L segund prte del TFC nos dice cul es l derivd con respecto l límite superior de un integrl. Pero qué ocurre si lo que se quiere es considerr l límite inferior como l nuev vrible? Dico de otr form qué podemos decir de l función H ) = β? L respuest está en el corolrio 4.9. Puesto que puede ser culquier punto del intervlo cerrdo [α, β, podemos elegir = β y concluir que es diferencible y que pero y, por ende H ) = d F β ) = F β ) = d H ) = [ β β [ β β = = d [ = f ) β β = d [ = f ) β Así, l derivd con respecto l límite inferior de l integrl es el negtivo de l función que se está integrndo. Más generlmente Teorem 4.. Se f un función continu en el intervlo [α, β. Entonces, pr todo punto b en [α, β l función H b ) = b es diferencible pr todo en [α, β y [ H b ) = dh b ) = d b = f ) Problem 4.. Dé un demostrción del teorem 4.. Sugerenci: El rgumento epuesto ntes de enuncir el teorem muestr que d f ). Pr etender el resultdo culquier b [α, β, use el eco de que β = b de.) + β b y observe que β b [ β = no depende

24 4 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Terminremos est sección presentndo otr consecuenci de l segund prte del TFC, l cul está relciond con l regl de l cden pr l derivd. Recordemos que si F ) y u ) son funciones diferencibles y l composición F u) ) = F u )) está bien definid, entonces, l regl de l cden nos dice que d F u) ) = df u )) = F u )) u ) Problem 4.3. ) Qué función se obtiene de l composición F u, si F ) = sen y u ) =? Respuest: Puesto que l composición F u se obtiene substituyendo u ) en lugr de en l epresión pr F ), se tiene que F u) ) = F u )) = sen u )) = sen.) df u)) b) Clcule. Respuest: Puesto que F ) = cos, F u )) = cos u )) = cos y, como u ) =, se sigue de l regl de l cden df u)) que = F u )) u ) = cos ) ) = cos ).) Problem 4.4. Considere ls funciones F ) = dξ y u ) = sen ξ 4 + ξ + Qué función se obtiene de l composición F u? Respuest: Puesto que l composición F u se obtiene substituyendo u ) en lugr de en l epresión pr F ), se tiene que F u) ) = F u )) = u) ξ dξ = 4 +ξ + sen ξ 4 +ξ + dξ.) Vemos or como podemos usr el TFC prte pr clculr l derivd de integrles del tipo u), b v) y u) v), L clve está en observr que, por ejemplo, l integrl u) se puede ver como l composición de l función F ) = con l función u ). En efecto, l substituir u ) en lugr de en l epresión pr F ) se obtiene que F u) ) = F u )) = u)

25 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 5 Tomndo esto en cuent, l regl de l cden nos dice que [ d u) = d F u) ) = F u )) u ) 4.3.) Por el TFC prte sbemos que F ) = f ), por lo tnto F u )) = f u )) Usndo esto en 4.3.) podemos concluir que [ d u) = f u )) u ) De modo similr pero usndo el teorem 4. se tiene que [ d b = f v )) v ) v) Pr ls integrl de l form u) v) podemos elegir un punto c en el intervlo de continuidd de f y plicr el teorem?? pr reescribir nuestr integrl en l form u) v) = c v) + u) c Aor podemos usr ls dos fórmuls y encontrds pr concluir que [ [ d u) = d c u) + v) v) c [ [ c u) = d v) + d = f v )) v ) + f u )) u ) = f u )) u ) f v )) v ) c Teorem 4.. Se f un función continu en [α, β y sen u ) y v ) dos funciones diferencibles tles que su imgen esté contenid en el intervlo [α, β. Entonces, ) Pr culquier en [α, β l función G ) = u)

26 6 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) es diferencible y G ) = d b) Pr culquier b en [α, β l función es diferencible y c) L función es diferencible y W ) = d G ) = d [ u) = f u )) u ) H ) = [ b b v) v) W ) = u) v) = f v )) v ) [ u) = f u )) u ) f v )) v ) v) Ejemplo 4.8. Pr clculr l derivd de l función G definid por G ) = sen ξ 4 + ξ + dξ uno puede observr que G ) es l composición de l función F ) = dξ con l función u ) = sen y usr l regl de l cden y ξ 4 +ξ + el TFC prte pr concluir que [ G ) = d sen ξ 4 + ξ + dξ = F sen ) cos = sen4 + sen + cos O, tmbién, puede plicr el inciso ) del teorem con, u ) = sen y f ξ) = y concluir que ξ 4 +ξ + [ G ) = d sen ξ 4 + ξ + dξ = Ejemplo 4.9. Si queremos clculr [ d sen ξ 4 + ξ + dξ sen4 + sen + cos

27 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 7 podemos plicr el inciso c) del teorem con u ) = sen, v ) = y f ξ) = pr concluir que ξ 4 +ξ + [ d sen ξ 4 + ξ + dξ = sen4 + sen + cos Problem 4.5. Encuentre ls derivds de ls siguientes funciones ) ξ 4 + ξ dξ b) sen cos ξ ) dξ c) tn 3 ξ ) dξ d) 3 sen ξ cos3 ξdξ. Respuests: ) 8 + 4, b) sen 5 +cos 5, c) 3 tn, d) sen cos 3.) L ecución y ) = f ). Uno de los problems más importntes en mtemátics es el determinr como es un función cundo lo que se conoce de ell es un relción que involucr su derivd. El cso más sencillo de este tipo de problems es el de determinr como es l función cundo se sbe que su derivd stisfce un ecución de l form y ) = f ) donde f es un función conocid. El punto de prtid pr resolver este problem es l siguiente formulción del corolrio 4.. Teorem 4.3. Si y es un función con derivd continu, entonces, y ξ) dξ = y ) y ) esto es y ) = y ξ) dξ + y ) Pr poder resolver un ecución de l form y ) = f ) usndo este resultdo, es necesrio conocer un punto pr el cul se teng el vlor y ). Ejemplo 4.. Pr encontrr l función y ) que stisfce l ecución y ) = 3 + si sbemos que y ) = 4, plicmos el teorem con = pr obtener que y ) = y ξ) dξ + y ) Como y ξ) = ξ 3 + ξ y y ) = 4 se tiene que y ) = = y ξ) dξ + y ) ξ 3 + ξ ) dξ + 4

28 8 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) Clculndo l integrl ξ 3 + ξ ) dξ = 4 ξ4 + ξ = podemos concluir que l función buscd es y ) = Ejemplo 4.. Dé un función que cumple ls siguientes dos condiciones { y θ) = cos θ y ) = Tmbién quí podemos usr el teorem 4.3 pr obtener que y como se sigue que θ y θ) = = θ θ y θ) dy + y ) cos ξdξ + cos ξdξ = sen ξ θ = sen θ sen = sen θ y θ) = sen θ + Aquí emos elegido l como el etremo inferior de l integrl y que conocemos el vlor de l función justo en ese punto. Ejemplo 4.. Encuentre l solución del siguiente problem { y t) = 3 t + t pr t > y 8) = En este cso si elegimos l 8 como el límite inferior de l integrl obtenemos que y t) = = 8 8 y s) ds + y 8) 3 s + s ) ds + = 3 4 t t 44 Note tmbién que emos usdo s como l vrible de integrción, pero podrímos ber usdo culquier otr letr o símbolo sin que se fectr el resultdo.

29 4. El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) 9 Problem 4.6. Encuentre l solución del siguiente problem { y ) = y ) = Respuest: y ) = 4ξ ) dξ + ) = ) Problem 4.7. Encuentre l solución del siguiente problem { y ) = y ) = 4 Respuest: y ) = 4ξ ) dξ + 4 = ) Problem 4.8. Encuentre l solución del siguiente problem { y θ) = cos θ y π) = Respuest: y ) = θ cos φdφ + = sen θ +.) π