Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

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1 Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd y l integrl, convirtiendo l integrl en l operción invers de l derivd. Hst hor, hemos considerdo l áre jo un curv como un significdo de l integrl, epresdo simólicmente como f ( d = áre jo l curv y = f ( desde hst (Figur 4.) y Figur 4. Qué sucede cundo uno de los límites de integrción no es un constnte sino un vrile? Tendrímos que el áre en cuestión serí tmién vrile y dependerí del vlor de este límite vrile de integrción. Imginemos que queremos clculr el áre jo l curv y = f ( desde 0 hst ( 0 ). El áre dependerí de los vlores que tomr, esto es, el áre serí un función de l vrile y podrímos epresrl como A( (Figur 4.).

2 A( 0 Figur 4. A( descrie los vlores del áre jo l curv f( en distintos momentos. Por ejemplo, A( ) y A( ) se puede considerr que representn dos vlores del áre en distintos momentos pr los cules A( ) sucedió ntes que A( ) (Figur 4.). 0 0 Figur 4. Utilizndo est ide de áre vrile, regresemos l situción de clculr el áre jo l curv desde hst, esto es: f ( d. Pensemos que y son dos de estos momentos pr los cules el áre tom los vlores A() y A() y donde A() sucede ntes que A(), digmos que A() represent el vlor inicil del áre y A() el vlor finl. Pr clculr el vlor del áre jo l curv desde hst deemos considerr el vlor inicil y el vlor finl del áre y efectur l rest A() - A() (Figur 4.4).

3 0 A() 0 A() Figur A() A() L rest A() - A() epres el áre cumuld entre y, en ese sentido l integrl dee cumplir con l siguiente relción f ( d = A( ) ) Pero, qué relción gurdn ls funciones A( (función áre) y f(? A(, como lo dijimos nteriormente, descrie vlores del áre jo l curv f( en distintos momentos. L vrición de estos vlores es epresd por l diferenci A(+h)-A(. Geométricmente, l diferenci de áres, result ser proimdmente el áre de un rectángulo de se h y ltur f(. En l Figur 4.5 presentmos un secuenci gráfic considerndo, primero el momento del áre A(, después el momento del áre A(+h), inmeditmente l rest de ms áres y, finlmente, l identificción del rectángulo de se h y ltur f(. +h A( A(+h)

4 f( +h h A(+h) A( Figur 4.5 Rectángulo f(h El áre del rectángulo f(h es proimdmente l vrición o incremento del áre A(. Entonces, donde se lee es proimdmente igul A ( + h) f ( h L rzón de cmio del áre se otiene l dividir l vrición entre h A( + h) h f ( h = h f ( y considerndo el límite cundo h tiende cero ( h 0 ) A( + h) lim = h 0 h f ( El ldo izquierdo de l iguldd nterior es el límite de un cociente y no es ms que l definición de l derivd de l función A(. De cuerdo l geometrí del áre jo l curv, hemos encontrdo que l relción entre ls funciones A( y f( es precismente que f( es l derivd de A(, f(=a (. En l relción A ( + h) f ( h, si llmmos h = d, el vlor del áre A ( + h) qued epresdo de l siguiente mner: A ( + d = A( + f ( d pr culquier en [, ] Y, sumándole l vlor del áre A() todos los vlores de ls áres f(d desde hst encontrmos el vlor cumuldo del áre A(): A ( ) = A( ) + f ( d

5 Por otr prte, l rest A()-A() determin l cumulción de áre cundo está considerd en el intervlo [, ]: A ( ) ) = f ( d Así, l iguldd A (=f( relcion l derivd y l integrl epresd por (L epresión A A ( d = A( = A( ) ) ( es sólo un notción de l rest A( ) ). Así culquier función G( que nteced l rr, con los vlores y, indic que hy que evlur l función G(, respectivmente, en y : G() y G() y efectur l rest G()-G()). Por l epresión A ( d = A(, tiene sentido pensr l integrl como l operción invers de l derivd ; y que l integrr un función dd f(, se otiene l función F( cuy derivd es l función dd: F (=f(. L función f(, en l epresión de l integrl, implícitmente es l derivd de otr función F(. Así, l función F( se le conoce como función primitiv; Función primitiv = integrl de su función derivd. Un vez estlecid l relción entre l derivd y l integrl, l integrl dquiere un crácter opercionl, el cul consiste en hllr funciones primitivs prtir de su función derivd. Conociendo l función primitiv y su derivd en form eplícit se puede construir un tl de integrción, pr determinr lguns fórmuls de integrción que fcilitn cálculos de integrles. Sin emrgo, recordemos que l derivd de un función constnte es cero. Así, pr funciones que incluyen términos constntes en sus epresiones, por ejemplo, +, 5 result que l derivd de cd un de ests es l función f(=. Esto quiere decir que l función primitiv de f(= puede ser culquier de ls tres funciones, de hecho culquier función + c, donde c es culquier constnte, es tmién un función primitiv de f(=. Es preciso, entonces, que l hllr un función primitiv se le ñd un constnte C. f ( d = F( + c

6 Oserv, demás, que l derivd de l primitiv F(+c es f(: [ F ( + c] = [ F( ] + [ c] = F ( + 0 = F ( = f ( Tl I Derivd de F( F ( = f ( Función F( n c n n n + si n 0 n + + c n + + c si n ( + ) m m ( + ) ( m + ) + si m En l Tl I se muestrn ls primitivs de lguns funciones (f(), se puede compror que l derivr F( otenemos f(. Por medio de l Tl I y l epresión de l integrl f ( d = F( + c se determinn ls siguientes fórmuls de integrción: Tl II: fórmuls de integrción n n+. d = + c n n+ n. d = + c n +. d = + c m+ m ( + ) 4. ( + ) d = + c ( m + ) Contmos, hst hor, con diferentes epresiones de l integrl, donde l crcterístic esencil consiste en los límites de integrción; f F ( d = F( + c (sin límites de integrción) y ( d = F( ) F( ), donde F ( = f (, pr (con límites de integrción)

7 Ams epresiones están relcionds por l función primitiv F( y l función derivd F (: f F ( d = F( + c y ( d = F( ) F( ) sin emrgo l primer epresión determin un función, mientrs que l segund determin un número. Ejemplo 4.. Aplicr ls regls ásics de integrción Integrl dd Reformulr Integrr Simplificr d d + c + c d d + c + c 4 ( + ) d ( + + ) d c c 5 Ejemplo 4.. Consideremos l función d. f ( = y clculemos ls integrles d y Solución: De cuerdo l fórmul de integrción n+ n d = + c n + l integrl d es igul l función F ( = + c, es decir, d = + c (función).. Inicimos con un función f(=.. Integrmos d y resultó l función F ( = + c. Oservmos que l derivd de F( es f(=.

8 Pr clculr l integrl d necesitmos l función primitiv, que en este cso es F ( = + c y de este modo sólo se requiere clculr l rest F( ) F() y que l constnte se nul, es decir, Ls epresiones simólics de l integrl f F( ) + c [ F() + c] = F() F() ; () () 9 d = F() F() = = = 4 (número) F ( d = F( + c y ( d = F( ) F( ), donde F ( = f (, pr relcionn ls funciones primitiv y derivd jo l siguiente secuenci de funciones (ls flechs indicn ls plicciones de dos operciones: derivd e integrción): función F( función derivd F ( función primitiv F(+c L epresión simólic con límites de integrción ( d = F( ) F( ) integrl definid y l epresión simólic sin límites de integrción conoce como integrl indefinid. Actividd. Clcul ls siguientes integrles: ) 4 d ) f 4 d c) d 4 d) d e) ( + d f) ( 5 d g) ( 9 n d h) d 5 4 se conoce como f ( d = F( + c se i) d 8 ( + 0). Clcul el vlor del áre limitd por l curv y = 4 + 0, el eje X y ls rects = y = 4.

9 . L velocidd, de un utomóvil por ejemplo, es l medid de cómo éste cmi su s posición con respecto l tiempo, su fórmul se escrie comúnmente v =, donde s es t el cmio en l posición (metros, kilómetros, mills, etc.) y t es el lpso donde ocurre este cmio (segundos, minutos, hors, dís, etc..). Si medimos el cmio en l posición pr lpsos muy pequeños, est medid se proimrá l velocidd instntáne de nuestro s utomóvil. L fórmul pr l velocidd instntáne es v = lim, es decir, l velocidd t 0 t instntáne es l derivd de l posición respecto del tiempo. L velocidd instntáne de un utomóvil, durnte un intervlo de tiempo, está por l función del tiempo: v ( t) = 0.t + m/s. ) Encuentr l función posición s(t) ) Si l posición inicil del utomóvil er 0 metros, Cuál es l posición del mismo después de 7 segundos? c) En cuánto cmió l posición del vehículo durnte el intervlo de tiempo que v del segundo 5 l segundo 7? 4. L ts de crecimiento de un polción es l medid del cmio en el número de hitntes en un intervlo de tiempo, l ts de crecimiento instntáne es l derivd de l polción respecto del tiempo. L ts de crecimiento instntáne de un polción entre los ños de 980 y 995 está dd por l función P ( t) = 0.t + t + hitntes/ño, t=0 corresponde l ño 980. Si l polción en el ño de 980 er de 4,000 hitntes: ) Encuentr l función polción P(t) ) Cuál er l polción en el ño de 989? c) Cuánto se incremento l polción entre los ños de 985 y 990? 5.- En economí se mnejn los conceptos de Costos (C), Ingresos (I) y Utilidd (U). Un relción fundmentl de estos conceptos es l siguiente U = I C (ls utiliddes son l diferenci entre los ingresos y los costos), si los ingresos son myores los costos tendremos un utilidd positiv (gnnci), pero si son los costos los myores tendremos un utilidd negtiv (pérdid). Los costos, ingresos y l utilidd son funciones que dependen de l cntidd ( de rtículos producidos y vendidos. Costo mrginl, Ingreso mrginl y Utilidd mrginl son ls derivds del Costo, Ingreso y Utilidd respectivmente. A l función costo l podemos representr por C(, mientrs que l función costo mrginl por C (, del mismo modo pr los otros dos conceptos. Los Costos mrginles de ciert empres están ddos por C ( = 5 y los ingresos mrginles por I( = 5 4 ) Encuentr ls epresiones pr ls funciones Costo, Ingreso y Utilidd. ) El digrm de jo muestr ls gráfics del costo mrginl y del ingreso mrginl.

10 pr otener l función costo deemos integrr l función costo mrginl, geométricmente signific encontrr l función áre jo l curv de costo mrginl. Lo mismo es pr l función ingreso. Así C ( ) = C ( ) d y I ( = I ( d (nótese que l función ingreso y l función costo sólo tienen sentido pr 0, lo mismo pr ls derivds de ls misms), l función utilidd es U ( = I( C( ó U ( = I ( d C ( d, geométricmente l función utilidd es el áre entre ls curvs formds por ls gráfics de costo mrginl e ingreso mrginl. Apoyándote en l gráfic de rri, cuál es l utilidd máim de l empres?

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