Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Transcripción

1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se clcul el áre de regiones poligonles (triángulo, polígonos regulres). Sin emrgo, cundo ls regiones están limitds por rcos de curvs, l geometrí o tiene recursos pr clculr sus áres. En principio, vmos clculr el áre de regiones limitds por l gráfic de un función continu f en un intervlo cerrdo [, ], el eje horizontl y ls rects verticles x = y x =. Supongmos que pr todo vlor x del intervlo [, ] verific que f(x). L ide intuitiv pr clculr el áre de l región consiste en dividir dich región en rectángulos verticles. ) Vmos dividir el intervlo [,] en intervlos, pr ello considermos l siguiente prtición: P = { = x, x, x = } Por ser l función continu en cd uno de esos suintervlos lcnz mínimo en cd uno de ellos. Llmmos: m = mín f(x) en [x, x ] m = mín f(x) en [ x, x ] Tenemos dos rectángulos: R de se x x y ltur m R de se x x y ltur m L sum de ls áres de los dos rectángulos es inferior l áre del recinto, por ello, se llm sum inferior. s(f, P ) = m (x x ) + m (x x ) Áre ) Si dividimos [,] en intervlos, considermos l prtición: P = { = x, x, x, x = } Llmmos: m = mín f(x) en [x, x ] m = mín f(x) en [ x, x ] m = mín f(x) en [ x, x ] L sum de ls áres de los tres rectángulos es: s(f, P ) = m (x x ) + m (x x ) + m (x x ) Áre

2 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II Al dividir [,] en más suintervlos, oservmos que l sum de los rectángulos es myor que l sum en l prtición nterior, es decir, se verific: s(f, P ) > s(f, P ) Se oserv que medid que tommos prticiones más fins, los rectángulos vn disminuyendo su se, ls sums inferiores se vn incrementndo y proximándose por defecto l áre del recinto. Generlizndo: Vmos dr un definición de sum inferior: Dividimos el intervlo de [,]en n prtes de igul longitud. Llmmos x = ls medids de ls ses de todos los rectángulos n Los puntos extremos de los n intervlos son x, x,..., x n. Llmmos m i l mínimo que tom l función en cd intervlo de l form [ x i, x i ] L sum inferior es: s(f,p n ) = m (x x ) + m (x x ) + + m n (x n x n ) = n n i i i i i= i= m (x x ) = m x

3 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II Ahor vmos relizr el mismo procedimiento pero tomndo los rectángulos con lturs el máximo en cd intervlo. ) Considero l prtición P = { = x, x, x = } Se M = máx f(x) en [x, x ] y M = máx f(x) en [ x, x ] Tenemos dos rectángulos: R de se x x y ltur M R de se x x y ltur M L sum de ls áres de los dos rectángulos es superior l áre del recinto, por ello, se llm sum superior: S(f, P ) = M (x x ) + M (x x ) Áre Por ser M i m i en cd intervlo [x i,x i ] se verific que S(f, P ) s(f, P ) ) Si dividimos [,] en intervlos, considermos l prtición: P = { = x, x, x, x = } Se M = máx f(x) en [x, x ] ; M = máx f(x) en [ x, x ] ; M = máx f(x) en [ x, x ] Con est prtición, tenemos tres rectángulos de igul se x i x i y ltur M i = máx f(x) en [x i,x i ] Se verific: ) S(f, P ) Áre s(f, P ) S(f, P ) = M (x x ) + M (x x ) + M (x x ) ) Al dividir [,] en más suintervlos se verific S(f, P ) < S(f, P ) Se oserv que medid que tommos prticiones más fins, los rectángulos vn disminuyendo su se, ls sums superiores se vn disminuyendo y proximándose, por exceso, l áre del recinto. Generlizndo: Vmos dr un definición de sum superior: Dividimos el intervlo de [,]en n prtes de igul longitud. Llmmos x = ls medids de ls ses de todos los rectángulos n Los puntos extremos de los n intervlos son x, x,..., x n. Llmmos M i l máximo que tom l función en cd intervlo de l form [x i, x i ]

4 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II L sum superior es: S(f,P n ) = M (x x ) + M (x x ) + + M n (x n x n ) = n n i i i i i= i= M (x x ) = M x Además, medid que l prtición es más fin l diferenci entre l sum superior e inferior se v proximndo cero, es decir, el áre por defecto y el áre por exceso se proximn más l áre del recinto. Prece rzonle que el límite de l sum (cundo x = xi xi y por lo tnto representrí el áre totl jo l curv f(t). n n lim M (x x ) = lim m (x x ) = f (x)dx i i i i i i n n x i= x i= Definición: Si f es continu y no negtiv en un intervlo cerrdo I = [,], definiremos l integrl definid entre y de f como el áre de l región limitd por l gráfic de f, el eje x y ls rects verticles x = y x =. Se denot por: f (x)dx A los extremos del intervlo y se les llm límite inferior y superior de integrción, respectivmente.

5 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 5 PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.- Si c en un punto interior l intervlo [,], entonces c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.-.- f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx c Al permutr los límites de integrción, l integrl cmi de signo..- L integrl definid es linel. L integrl de l sum (o diferenci) de dos funciones es l sum (o diferenci) de sus integrles. [ ] f (x) ± g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx L integrl de un función multiplicd por un número es igul l número multiplicdo por l integrl de l función. 5.- Si f(x) g(x) pr culquier x [,] se verific k f (x)dx = k f (x)dx f (x) dx g(x)dx TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL. REGLA DE BARROW.. Teorem Fundmentl de Cálculo Considermos l función integrl como el áre entre un punto fijo del dominio y culquier otro punto x: x F(x) = f (t)dt A est función F(x) l llmremos función integrl o función áre. Un vez clculd nuestr función áre, podemos hllr el áre pr cd vlor de x, es decir, podremos hcer: F() = f (x)dx Se f(x) un función continu en el intervlo I = [,]. Entonces l función: x F(x) = f (t)dt es derivle y F (x) = f(x), x (,) El teorem demuestr que l función que nos determin el áre limitd por l función f entre y x pr cd vlor de x, F(x), es un función cuy derivd es l función f(x).

6 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 6.. Regl de Brrow Se f un función continu en un intervlo [,] y G(x) un primitiv culquier de f(x) en [,]. Entonces: f (x) dx = G() G() Este resultdo es l Regl de Brrow y nos relcion l integrl definid (y por tnto el cálculo de áres) y l teorí de l integrción (como cálculo de primitivs). Pr clculr integrles definids Clculmos un primitiv de f Evlumos l primitiv en los límites de integrción, y Relizmos l diferenci del vlor otenido en menos el otenido en ) Ejemplos π / cos x dx π / π / π cos x dx = [ senx] = sen sen = = 6 ) ( ) x x dx x x dx = x x x = 9,8 (,8) = 9 ( ) 5 ) ) x dx x + x x x + x + x + x dx x dx = dx = = x + = 5 x x ( ) x x dx dx x x dx x x x x x = = = = = 8 6 = + =

7 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 7 5) e lnx dx e Integrmos por prtes: ln x dx u = ln x du = dx x ln x dx = x ln x x dx = x ln x x x dv = dx v = x e e e [ ( ) ln x dx = x ln x ] e = e( ) ln = ( ) = e e e e 6) π / senx cos x dx π / π / π senx cos x dx sen sen sen x = = = 7) cos( π x) + dx x cos(π x)dx = ln x + sen(π x) = ln ln = ln x + π

8 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 8 APLICACIONES. CÁLCULO DE ÁREAS.. Áres limitds por un función y el eje OX.. ) L función f(x) es positiv en [,] Si función f(x) es positiv en [,], entonces l integrl definid es positiv: Áre = f (x)dx Ejemplos. Clcul el áre encerrd por l práol y = x x y el eje X. L curv cort l eje X en los puntos donde y = : x x = x( x) = x = ; x =. Áre = x 6 (x x )dx = x = = u. Clcul el áre comprendid entre l curv y = x x +, el eje X y s rects x = y x =. I. Clculmos ls soluciones de l ecución: x x + = No tiene soluciones, por lo que no cort l eje X. II. Buscmos un primitiv: G(x) = (x x + )dx = x x + x III. Áre = G() G() = (6 8 + ) = 6 u. Hll el áre jo l curv y = x entre x = y x = I. Buscmos un primitiv: G(x) = x dx = 6 III. Áre = x dx = x 8 = = u x

9 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 9 Ejemplos. Clcul el áre de l región limitd por l curv y = (x ) (x + ) y ls rects y =, x =, x = Ls ríces de l función son x = - y x =, prtir de x = l función es positiv. (x ) (x + ) = x x x + Áre = Áre = x x x (x x x + )dx = + x = = u 5. Clcul el áre limitd por l práol y = x, el eje X y ls rects x =, x =. Áre = x 6 x dx = = 9 = u x 6.- Clcul el áre de l región limitd por l curv y = x y ls rects y =, x =, x = x 7 dx = ln x ln 7 ln ln x = = u Áre = ( )

10 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II..) L función f(x) es negtiv en [,] Si f(x) es negtiv en [,], entonces l integrl definid es negtiv. Áre = f (x)dx = f (x)dx Ejemplos. Clcul el áre comprendid entre l práol y = x y el eje X. El áre es el mismo que l comprendid entre l práol y = -x + y el eje X A = ( x + ) dx Por ser simétric respecto eje Y, se verific: A = x 8 ( x + ) dx = + x 8 u = + =. Clcul el áre limitd por l práol y = x 7x + 6, el eje X y ls rects x =, x = 6. Áre = 6 x 7 (x 7x + 6) dx = x + 6x Áre = = = u

11 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II.. c) L función tom vlores positivos y negtivos en [,] Si l función tom vlores positivos y negtivos en [,], determinmos los puntos de corte de l función con el eje OX. Se divide el recinto en vrios recintos de form que en cd uno de ellos l función mntiene el mismo signo. Se clcul por seprdo l integrl definid de l función en cd intervlo tomndo sus vlores en vlor soluto. El áre del recinto será l sum de ls áres de cd recinto. Ejemplos. Clcul el áre comprendid entre l práol y = x 6x + 8x y el eje X. L curv cort l eje X en x =, x =, x = En [,] l curv es positiv y que f() = En [,] l curv es negtiv y que f() = - A = A = A = x (x 6x + 8x) dx = x + x = = u x (x 6x + 8x) dx = x + x = u Por tnto, el áre vle 8 u.. Hll el áre comprendid entre l función y = x x 6x y el eje X. I. Hllmos ls soluciones de l ecución: y = x x 6x x( x x 6) = x =, x =, x = II. Buscmos su primitiv: x x G(x) = ( x x 6x) dx = x III. Áre: A = f (x)dx + f (x)dx 6 6 f (x) dx = G() G( ) = = 6 6 f (x) dx = G() G() = = A = u + =

12 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II. Clculr el áre que encierr con el eje x l gráfic de l función: f(x) = x 7x +x Clculmos los puntos de corte con el eje x: x 7x +x = x(x 7x + ) = x(x 5)(x ) = Puntos de cortes: x =, x =, x = 5 L función es positiv en [, ] y negtiv en [,5] o f() = 7 + = > o f() = 7 + = = - 7< 5 5 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx En [, ] l función es positiv, luego el áre es: x 7x 56 6 ( ) f (x) dx = x 7x + x dx = + 5x = + = u En [,5] l función es negtiv, luego el áre es: 5 5 x 7x f (x) dx = + 5x = + 5 = = u Por tnto, el áre totl es: Áre = f (x)dx = + = u. Clcul el áre jo l curv y = x entre x = - y x = I. Clculmos ls soluciones de l ecución: x = x = II. Buscmos un primitiv: G(x) = III. Áre = = (x )dx x x (x )dx + (x )dx Áre = G(/) G(-) + G() G(/) = = = u 6 6 6

13 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II.. Áres limitds por dos curvs. Si ls curvs son f(x) y g(x), siendo f(x) > g(x) en todo el intervlo [, ], se cumple que el áre limitd por ls dos curvs en el intervlo [, ] es: Áre = [ f (x) ] g(x) dx Si ls curvs se cortn en el intervlo, se sudivide el intervlo en otros menores, en cd uno de los cules se plicn l integrl nterior, determinndo qué curv está por encim, y se sum el resultdo. En todo cso siempre es necesrio hllr los puntos de corte entre ls curvs, que se clculn igulndo ls expresiones lgerics de ms funciones: y resolviendo l ecución resultnte. f(x) = g(x) Ejemplos. Determine el áre encerrd entre ls curvs f(x) = x 6x + y g(x) = 6x x. Determinmos los puntos de corte entre ms curvs: f(x) = g(x) x 6x + = 6x x x x + = x 6x + 5 = x =, x = 5 Oservndo ls gráfics de f y g en distintos sistems coordendos podemos ver que el áre uscd es l diferenci de ls áres clculds en los ejemplos nteriores. Clculmos el áre plicndo l fórmul: 5 Áre = [ g(x) f (x)] dx = [ ] [ ] Áre = 5 6 u + = x x x + 6x dx = x + x dx = x + 6x x

14 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II. Clcul el áre comprendid entre ls práols y = 6x x, y = x x Clculmos los puntos de cortes entre ls práols: 6x x = x - x 8x x = x =, x = Áre = (6x x ) (x x) dx = (8x x )dx Áre 8 6 = x x 6 u = =. Clcul el áre comprendid entre ls práols y = x 5 e y = x + 5. I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x 5 = -x + 5 x = ± 5 II. Áre: 5 5 ( ) ( ) ( ) x + 5 x 5 dx = x + dx = x x = + = + = = = 5 u Áre = 5. Clculr el áre limitd entre ls curvs y = x e y = x. I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x = x x =, x = II. Áre: x ( x x ) dx = x = = u

15 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II Clcul el áre comprendid entre ls curvs dds en cd uno de los ejercicios siguientes: ) y = x ; y = 8 x I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x = 8 x x = x =, x = II. Áre: ( ) ( ) ( ) 8 x x dx = x + dx = x x = = + = u ) y = x ; y = x I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x = x x = x = ± II. Áre: ( ) ( ) ( ) x x dx = x dx = x x = = + = + = u c) y = x x + x ; y = x I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x x + x = x x x + x = x =, x =, x = II. Áre: (x x + x)dx + ( x + x x)dx = x x x + x + + x x = + = u

16 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 6 d) y = x(x )(x ) ; y = I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x x + x = x =, x =, x = II. Áre: (x x + x)dx + ( x + x x)dx = x x x + x + + x x = + = u e) y = x x ; y = x + x I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x + x = x x x 6x = x =, x = II. Áre: ( x + 6x)dx = x x ( 8 7) + = + = 9 u f) y = x + x ; y = x 7 I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x + x = x 7 x x = x =, x = II. Áre: x 5 ( x + x + )dx = + x + x = 9 + = u

17 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II 7 g) y = x ; y = I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x = x = - ; x = II. Áre: ( x )dx = x x = + = u h) y = x( x) y l rect y = x. I. Clculmos los límites de integrción determinndo los puntos de corte entre ms curvs: x + x = x x x = x =, x = II. Áre: x x ( x + x + )dx = + + x = + = = u 6 6