CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LIMITES, LIMITES TRIGONOMETRICOS, EL NÙMERO e, CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÒN, PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ÀLGEBRAICAS RACIONALES ING. ROBERTO MERCADO DORANTES UNIVERSIDAD AUTONOMA DELESTADO DE MÈXICO PLANTEL DE LAESCUELA PREPARATORIA IGNACIO RAMIREZ CALZADA //

2 Relciones unciones Ejercicio Determin si los siuientes conjuntos de pres ordendos corresponden un unción o un relción: A= {-,,,9,,6, 5,5} B= {,,,6, 5,7, 5,8} Ejercicio C= {,,,, 5,, 6,} D= {,, 6,, 7,,,,,6} Determin si los siuientes dirms representn un unción o un relción: A B A B Ejercico Determin si ls siuientes rics representn un relción o un unción.

3 b Not: Ls unciones relciones pueden tener un representción ric en el plno crtesino. Pr distinuir si se trt de un unción o un relción bst trzr un rect prlel l eje sobre l ric si est intercept en dos o más puntos es un relción, si solo intercept un punto será un unción. Vlor de un unción El vlor rel de un unción es quel que tom cundo se sin un determindo vlor rel Ejemplo Obtén pr 5 Solución: Pr obtener se sustitue =- en l unción se relizn ls operciones indicds, Por lo tnto, es decir = cundo =- o lo que es lo mismo l curv ps por el punto -, en el plno crtesino.

4 Ejercicios Obtén el vlor de ls siuientes unciones: 5 Pr b s t t 5 Pr s c Pr d Pr Dominio rno de un unción Ejemplo Determin el dominio de l unción 6 Solución: L unción es rcionl, el denomindor debe ser distinto de cero, que l división entre cero no est deinid, por lo tnto, se busc el vlor pr el cul +6= obteniendo =-6, por lo tnto el dominio es: Ejemplo D -, 6 6, Determin el dominio de l unción 6 Solución: El rdicndo debe ser mor o iul que cero es decir 6 De donde 6, por lo tnto el dominio es: 6,

5 Ejercicio 5 Determin el dominio de ls siuientes unciones: b c 6 d 7 e Ejercicio 6 Determin el rno de ls siuientes unciones: 9 b 5 e d c Ejercicio 7 Obtén l ric de ls siuientes unciones: e d c b

6 Operciones con unciones Sen dos unciones con dominios D D respectivmente: b c d, Dominio de +=Dominio Dominio de -=Dominio D D D D Dominio =Dominio D D Dominio de Dominio D D, con Ejemplo Obten F+G, F-G, FG F/G, pr ls siuientes unciones: F= {-,-, -,5,,-,,-7,, G={-,-,-,-6,,-,5,} En este cso dominios es: D,,,, D,,,5 l intersección de mbos D D, Por lo tnto: F+G= {-, -+ -, -, 5+ -6} Esto es: F+G= {-,-6, -,-} De mner similr: F-G= {-,-, -,} FG= {-,8, -,} F/G= {-,, -,-5/6}

7 Ejercicio 8 Obten F+G, F-G, FG F/G, pr ls siuientes unciones: F= {-,5, -,-,,9,,-7,,8,,-, 5,} G= {-,6,,-5, -,7,,-6,,,,-} Ejercicio 9 Pr ls unciones F G del ejercicio nterior, obten lo siuiente: F+G b F-G c FG d F/G Ejemplo Sen ls unciones,]} [ 9, { F }, { R G Determin: F+G, F-G, FG F/G },] [ 9, {,]} [ 9, { ]} [ 9, {,]} [ 9, { G F FG G F G F Ejercicio Pr ls siuientes unciones determin: F+G, F-G, FG F/G,, 5, 5 5, 5, e d c b

8 COMPOSICIÒN DE FUNCIONES D {, } { D D } {, } D { D D} Ejemplo Si {,,,,5,6,7,8} {,,,, 5,5, 9,}, determin Solución: Se determinn los pres ordendos de l unción " " de tl mner que, el seundo término, se el primer término de los pres ordendos de l unción " ". Los primeros términos de cd pr ordendo encontrdo, ormn el dominio de l unción composición. Los pres ordendos de,, -,, -5,5 " " que cumplen con l condición son: Por lo tnto, el dominio de l unción composición es: D :{ 5,,} E l rno se evlú de l siuiente mner: Por deinición, entonces el conjunto solución son tods ls prejs ordends de l orm:, Finlmente { 5,6,,,,}

9 Ejemplo Determin, pr Solución Ejercicio Determin pr ls siuientes unciones: F= {,5,,6,,7, 5,8} G= {,,.,,,,5} b F= {,,,,,9,,6} G= {-,, -,,,,,} Ejercicio Determin pr ls siuientes unciones 5 b c FUNCIÓN INVERSA El concepto de invers de un unción presupone que el dominio el rno se invierten, rzón por lo cul no tod unción tiene invers, que l invertir el dominio por el rno, puede ser que ls primers componentes se repitn por lo tnto deje de ser unción. Pr que un unción ten invers es necesrio que l unción se inectiv, es decir, que no se repitn los elementos ni del dominio ni del rno. Gráicmente, un unción inectiv se crcteriz por que tod rect horizontl intersect l ric de l unción en solmente un punto. Ejemplo Determin l unción invers de = -

10 Solución: Por lo que l unción invers de es Gric: Ejercicio Determin l unción invers de: R c b R [

11 LIMITE DE UNA FUNCIÓN El límite de un unción rel de vrible rel con rel de correspondenci cundo l vrible independiente tiende un vlor ijo, es el vlor L hci el cul tiende l unción, se denot: L Que se lee: el ite de cundo es iul L Siniic que cundo est mu cerc de, l unción = est mu cerc de L Geométricmente: L = Ejemplo Considérese l siuiente ric de un ciert unción =, obtener el vlor de su ite cundo tiende. Solución

12 Ejemplo Considérese l siuiente ric de un ciert unción =, obtener el vlor de su ite cundo tiende -. Ejercicio Determine el vlor de los siuientes límites, pr lo cul constru un tbl en donde sine vlores cercnos l vlor hci el cul tiende l vrible. b c 5 7 LIMITES LATERALES Al sinr vlores sucesivmente cd vez más cercnos l vlor l cul tiende, tnto con vlores menores como con vlores mores, se denomin: cálculo de un ite medinte sus ites lterles. Teorem El límite de un unción eiste, si solo si, sus límites lterles eisten son iules, esto es: eiste

13 Ejercicio 5 Clcule los siuientes límites, obteniendo sus límites lterles. b c 8 TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LÍMITES Un orm direct pr clculr el ite de un unción, es medinte el uso de teorems, los más importntes son los siuientes [ ] k k n k k [ ] n n [ ] [ ] n K es un constnte son unciones reles Cundo se plic el teorem #7 pr clculr el ite de un cociente de dos unciones se presentn los siuientes csos: Que resulte un constnte dividid entre otr constnte, mbs dierentes de cero, entonces el vlor del ite es el número rel obtenido l dividir ls dos constntes. b Que resulte cero entre otr constnte dierente de cero, entonces el vlor del ite es iul cero c Que resulte un constnte dierente de cero entre cero, entonces el ite de l unción no eiste porque l división entre cero no est deinid d Que resulte cero entre cero, entonces el ite puede eistir su vlor se obtiene simpliicndo l epresión plicndo los teorems correspondientes

14 Ejercicio 6 Clculr el vlor de los siuientes límites utilizndo los teorems: b c d e LIMITES TRIGONOMETRICOS El ite de un unción trionométric se obtiene utilizndo los siuientes teorems, en los cules se consider que u= u u u u u u senu cosu senu cosu senu u u senu sen cos Con estos teorems es posible obtener el ite de unciones trionométrics. Cundo l unción dd es dierente de l unción seno coseno, primero se plicn identiddes trionométrics después el teorem correspondiente. Entre ls identiddes más usules pr el cálculo de límites, se tienen ls siuientes: tnu cotu secu cscu senu cosu cosu senu cosu secu

15 Ejercicio7 Clculr el vlor delos siuientes límites: b c d e sen7 cos sen sen 5 sen8 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Un unción rel de vrible rel con rel de correspondenci =, es continu en un punto de bscis =, cundo cumple l condición siuiente, llmd condición de continuidd: Cundo est condición no se cumple, entonces l unción es discontinu en =. En este cso, el punto de bscis se denomin punto de discontinuidd de l unción. Eisten tres tipos de discontinuidd de un unción: Tipos de discontinuidd Crcterístics Discontinuidd evitble o restrinible no est deinid, pero el límite en ese punto eiste b Discontinuidd sintótic o ininit no est deinid, tmpoco eiste el ite en ese punto c Discontinuidd de slto o brinco est deinid, el ite en ese punto no eiste

16 Ejemplo Anlizr l continuidd de l unción = - - en =, en cso de que l unción se discontinu, indique que tipo de discontinuidd corresponde. Trce l ric Solución. Se evlú l unción en el punto = Si est deinid. Se obtiene el ite de l unción cundo El ite si eiste Como L unción es continu

17 Ejercicio 8 Anliz l continuidd de ls siuientes s unciones en el punto indicdo trz l ric, en cso de que l unción se discontinu, indique que tipo de discontinuidd pertenece e d c b PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES En un unción lebric rcionl con rel de correspondenci de l orm Donde son unciones polinomiles, los puntos en los cules l unción es iul cero, son puntos de discontinuidd porque l división entre cero no est deinid. Pr encontrr ls bsciss de los puntos de discontinuidd de un unción lebric rcionl se resuelve l ecución obtenid l iulr con cero el denomindor Ejemplo Encontrr los puntos de discontinuidd de l unción: Solución Iulndo con cero el denomindor Resolviendo l ecución por ctorizción

18 Por lo tnto l unción es discontinu en = en = Clculndo el ite de l unción en estos dos puntos pr =, por lo que no est deinid el ite si eiste Por lo que l unción present un discontinuidd evitble en el punto, b pr = 6 no est deinido no eiste el ite Entonces l unción present un discontinuidd ininit en el punto de bscis = Gric

19 Ejercicio 9 Hllr los puntos de discontinuidd de ls siuientes unciones, trce ls rics e indique el tipo de discontinuidd que present. e d c b

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