TASA DE VARIACIÓN MEDIA

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1 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá. TASA E VARIACIÓN MEIA L siuiente tbl orece el número de ncimientos en cd mes lo lro de un ño en un determind poblción: Meses Ncimientos Pr sber, por ejemplo, cómo vrido el número de ncimientos entre los meses de Enero y Abril, bstrá con dividir l vrición de ncimientos entre l vrición de los meses: ncimientos/mes El número que se obtiene mide l vrición medi del número de ncimientos mensul. Indic que, por término medio, el número de ncimientos de un mes otro umentdo en 0. Si cemos lo mismo entre Abril y Septiembre tenemos: ncimientos/mes A este número se llm Ts de Vrición Medi. En enerl: d un unción deinid en un intervlo [,b], se llm ts de vrición medi de l unción en [,b] l cociente: TVM b b L Ts de Vrición Medi es l proporción entre l vrición de l ordend y l vrición de l bscis en el intervlo [,b]. Por tnto se trt de l pendiente de l rect secnte l ráic de en el intervlo [,b]. ERIVAA E UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO d un unción se llm derivd de en un punto de bscis l límite: ' lim 0 L derivd de un unción en un punto es un número rel. Clculemos l derivd de l unción en =: Como = pendiente de l rect tnente ' lim 0 y, sustituyendo:.

2 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá. ' lim 0 lim 0 lim 0 Clculremos l derivd de = en el punto = : ' lim 0 lim 0 lim lim 0 0 Es decir, = es derivble en el punto = y =.. Por tnto =. FUNCIÓN ERIVAA. ERIVAAS SUCESIVAS Hemos visto como clculr l derivd de un unción en un punto =. Pero si or queremos clculr l derivd de en dos o más puntos, tendremos que repetir los cálculos pr cd uno de ellos. L orm de evitr l repetición de los cálculos es determinr l unción derivd de pr un punto enérico y después prticulrizr en los puntos desedos. L unción derivd de un unción dd o simplemente derivd es un unción que soci cd, donde l unción es derivble, su derivd. L unción derivd de y= se desin por y = o y viene dd por: ' lim 0 Clculemos l unción derivd de l unción deinición de derivd: ' lim 0 lim 0 Por ejemplo, en =: =0=0. Vmos clculr l unción derivd de l unción ' lim 0 Conocid l unción derivd ejemplo: ' o erivds sucesivs:. Pr ello sustituimos por en l 0 ' lim 0 : lim lim lim ' '. 0 lim 0 0, podemos clculr l derivd de en culquier punto. Por A prtir de l unción derivd primer se puede deinir tmbién, si eiste, su derivd, y recibe el nombre de derivd seund. Se desin por y = o. Análomente se deinen ls unciones derivds tercer, curt,, n-ésim, que se desinn por,,, n o,,, n.

3 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá. REGLAS PARA EL CÁLCULO E ERIVAAS Pr clculr ls derivds de operciones con unciones no será necesrio plicr l deinición de derivd, sino que podrá cerse de orm rápid si se siuen ls rels de derivción que se muestrn continución. Ests rels están bsds en l deinición de derivd y en ls propieddes de los límites relcionds con ls operciones con unciones. erivd de un unción constnte 0 k erivd de erivd de un unción potenci n n n n, siendo n un número culquier / / / / erivd del producto de un número por un unción ' k k 0 erivd de l sum de unciones, + [+]= + Ejemplo: erivd del producto de dos unciones []='+' Ejemplo: 9 9 erivd del cociente de dos unciones ` ` Ejemplo: erivd de un unción compuest. Rel de l cden: ' '

4 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá erivd de ls unciones eponenciles [e ]=e [ ]=ln e e 7 7 ln7 7 7 e e ln 7 erivd de ls unciones lorítmics [ln]= lo ln ln 7 7 lo ln ln ln ln ln ln SUMA E OS FUNCIONES PROUCTO E UN NÚMERO REAL POR UNA FUNCIÓN PROUCTO E OS FUNCIONES TABLA E ERIVAAS [+] = [] + [] [k] = k []; kr [] = [] + [] COCIENTE E OS FUNCIONES FUNCIÓN COMPUESTA FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIÓN IENTIA []= [k]=0, kr []= FUNCIÓN POTENCIAL ' FUNCIÓN EXPONENCIAL e e e e ' ln ln ' FUNCIÓN LOGARÍTMICA ln ln ' ' ln ' lo lo FUNCIÓN FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN COMPUESTA ln

5 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Hemos visto que l Ts de Vrición Medi es l proporción entre l vrición de l ordend y l vrición de l bscis en el intervlo [,b] y que, por tnto, se trt de l pendiente de l rect secnte l ráic de en el intervlo [,b]. Así pues, si queremos llr l ecución de l rect tnente l ráic de y= en =, disponemos de los siuientes dtos: - El punto de tnenci es,. - L pendiente de l rect es m=. A prtir de estos dtos se obtiene que: L ecución de l rect tnente l ráic y= en el punto = es: y-=`- Clculemos l ecución de l rect tnente l ráic de l unción en =. y ' y, y que =. Hllemos l ecución de l rect tnente l prábol en el punto de =. Como = =, el punto de tnenci es,. Además, =. Por tnto, l pendiente de l rect tnente en = será: m = = 0. Entonces, l ecución de l rect tnente en = es: y = 0 - CRECIMIENTO Y ECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. En l iur se observ l rect tnente un unción creciente. L rect tnente es siempre creciente tmbién pr culquier punto, por lo que su pendiente será positiv siempre. Por tnto podemos decir que: Si un unción es creciente en el intervlo,b y es derivble en los puntos de este intervlo, entonces > 0. Análomente: Si un unción es decreciente en el intervlo,b y es derivble en los puntos de este intervlo, entonces < 0. En l iur se tiene l ráic de un unción con un máimo y un mínimo reltivos. En mbos puntos, l rect tnente l curv es orizontl y, por tnto, de pendiente nul. Por est rzón: Si un unción tiene máimos o mínimos reltivos y es derivble en esos puntos, entonces su derivd se nul en estos puntos: ' 0 0.

6 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá. Así, l derivd proporcion un procedimiento rápido y eicz pr estudir, medinte su sino, l monotoní crecimiento de un unción. Se siuen los siuientes psos: º. Se clcul y se resuelve l ecución = 0. Ls soluciones de est ecución son los puntos críticos, posibles máimos ó mínimos de l unción. º. Se estudi el sino de l derivd, dndo vlores, pr determinr si es creciente o decreciente. espués se determin si los puntos críticos son máimos ó mínimos. Pr comprobr si los vlores de en los que se nul l derivd primer son máimos o mínimos se clcul l derivd seund y se sustituye el punto en '. Entonces: Si '' 0 <0 tiene un máimo reltivo en 0. b Si '' 0 >0 tiene un mínimo reltivo en 0. Estudi l monotoní, máimos y mínimos de l unción: Solución: Máimo reltivo en = y mínimo reltivo en =.. CURVATURA. PUNTOS E INFLEXIÓN Un curv es cóncv ci rrib ci ls y positivs en un punto cundo, l trzr l tnente en ese punto, l curv qued por encim de l rect tnente. Un curv es cóncv ci bjo ci ls y netivs en un punto cundo, l trzr l tnente en ese punto, l curv qued por debjo de l rect tnente. Puntos de inleión de un curv son los puntos en que cmbi el sentido de l curvtur psndo de cóncv conve o de conve cóncv. En los puntos de inleión l tnente trvies l curv. Si tiene un punto de inleión en o, entonces '' o =0. PROBLEMAS E OPTIMIZACIÓN Se trt de problems en los que queremos encontrr el vlor máimo o mínimo vlor óptimo de cierts unciones. En lunos csos tendremos que ormulr l unción de un vrible que deberemos optimizr. En otros csos, l unción que y que optimizr es un unción de vris vribles y el problem se inici buscndo relciones entre ls vribles que, substituids en l unción oriinl, l convierten en un unción de un vrible. Un vez relizdo este primer pso, derivremos l unción y l iulremos cero. Ls soluciones de est ecución serán los posibles vlores que optimicen el resultdo del problem. En el cso en que l solución no se únic, deberemos determinr qué vlor nos interes interpretndo el resultdo de cuerdo con ls condiciones impuests en el plntemiento y seurándonos de que l solución se dmisible, es decir, que ten sentido.

7 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá.7 REPRESENTACIÓN E FUNCIONES. ESQUEMA A SEGUIR Propieddes Crcterizción ominio eiste y tl que y= - ls unciones polinómics están deinids pr todos los vlores de. - ls unciones rcionles no están deinids en los puntos que nuln el denomindor. - Ls unciones rdicles de índice pr no están deinids en los vlores que cen netivo el rdicndo. - Ls unciones eponenciles están deinids pr todos los vlores de. - ls unciones lorítmics no están deinids pr los vlores menores o iules que cero. Simetrís: Función pr simetrí respecto l eje de -= ordends b Función impr simetrí respecto l eje de -=- ordends Periodicidd +T= Puntos de corte con los ejes: Corte con el eje OX b Corte con el eje OY =0, ninuno, uno o más puntos. 0=y, ninuno o un punto. Rms ininits. Puntos en el ininito. Punto -,? punto de prtid de l ráic b Punto +,? punto de lled de l ráic Asíntots: Asíntots verticles: = b Asíntots orizontles: y=k c Asíntots oblicus: y=m+n lim lim k 7 Puntos de discontinuidd lim 8 Monotoní: Intervlos de crecimiento b Intervlos de decrecimiento c Puntos críticos 9 Curvtur: Intervlos de conveidd. b Intervlos de concvidd. c Puntos de inleión. Estudindo el sino de -k pr vlores rndes o pequeños de, se veriu l posición de l curv respecto l síntot. m lim, n lim m ;m,nr;m0. L posición de l curv respecto su síntot se veriu estudindo el sino de -m+n cundo tom vlores rndes o pequeños. `>0 `<0 `=0 y `` > 0 Mínimo `=0 y `` < 0 Máimo ``< 0 ``> 0 ``=0 y ``` 0

8 el blo de mte de id CSI: erivds. Pá.8 Pr proceder l trzdo de l curv en unción de estos dtos conocidos y que seuir los siuientes psos:. Seprr en el plno quells zons donde l unción no eiste.. Situr los puntos de corte los ejes, los etremos y los puntos de inleión.. Trzr ls síntots.. Inicir el trzdo de l curv empezndo por el etremo izquierdo del dominio y lo lro de un síntot, si l y.. Continur el trzdo siuiendo los criterios de crecimiento y decrecimiento y ciendo psr l curv por los puntos conocidos. L ráic se concluye por el etremo dereco del dominio y lo lro de un síntot, si l y.