Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales

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1 Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse como un sucesiv mplición de los demás conjuntos numéricos, cumpliéndose que: N Z Q R Esquemáticmente: Nturles Enteros Rcionles Reles Negtivos Frccionrios Irrcionles Cundo no se dvierte nd se trbj con números reles Esto es, el número de prtid o el buscdo es un número rel, no debiendo restringirlo nturl, entero o rcionl Est premis es muy importnte y necesri en Análisis Mtemático (en Cálculo) Así, los conceptos de función, de límite, de derivd tienen significdo en R, y pueden resultr no válidos pr los demás conjuntos numéricos Por eso, l definir el conjunto de los números reles hy que precisr los conceptos (Aunque quí se seguirá siendo generlist, l menos se concretrán lgunos conceptos) L rect rel Los números reles pueden representrse sobre un rect Así: A cd punto de l rect le corresponde un número rel; y l revés, cd número rel le corresponde un punto de l rect L rect rel es compct : no tiene ningún punto vcío, sin rellenr Entre cd dos números reles siempre hy otro número rel Así, entre 0,65 y 0,66 está, por ejemplo, 0,65 Entre 0,65 y 0,65 está 0,650 En consecuenci, entre cd dos números reles hy infinitos números reles Los números reles con infinits cifrs decimles suelen proimrse, pero hy que sber que se h hecho un proimción Cundo se oper debe hcerse con el número rel ecto, no con su proimción Y cundo se d un resultdo debe drse el número rel, unque puede convenir dr su proimción pr entender mejor el resultdo Así, por ejemplo si un resultdo es puede drse 5, 66, pero no dr como solución sólo 5,66 Definición iomátic de R El conjunto de los números reles se puede definir de mner iomátic como sigue: ) R tiene estructur lgebric de cuerpo: l tern (R, +, ) es un cuerpo Con esto se quiere decir que en R hy definids dos operciones + y, sum y producto, que cumplen ls siguientes propieddes: Respecto de l sum: Asocitiv: b c b c b c Conmuttiv: b b Eiste neutro, que es el 0, que cumple: 0 0 Todo elemento de R tiene opuesto El opuesto de se escribe y cumple: 0

2 Respecto del producto: Asocitiv: b c b c b c Conmuttiv: b b Eiste elemento unidd, que es el, que cumple: Todo elemento de R, distinto de 0, tiene inverso El inverso de se escribe o y cumple que: Además se verific l propiedd distributiv: b c b c ) R es un conjunto totlmente ordendo Esto quiere decir que ddos dos número reles, e y, se cumple lgun de ls desigulddes siguientes: < y, o bien, y < (El símbolo < puede sustituirse por ) < y signific que y > 0 y signific que y 0 Gráficmente, un número rel es myor que otro si está representdo su derech Los números situdos l izquierd del 0 se llmn negtivos; los situdos su derech, positivos Además se verificn: Si y z y z, pr culesquier, y, z R Si y z yz, pr culesquier, y R y z 0 Si y z yz, pr culesquier, y R y z 0 Observción: El conjunto de los números rcionles, Q, verific ls propieddes nteriores Lo que hce más potente R es el siguiente iom ) Aiom del etremo superior: "Todo conjunto de números reles no vcío y cotdo superiormente posee etremo superior" Esto es, si A es un conjunto de números reles, A, y está cotdo superiormente, entonces A tiene un cot superior mínim Cot: Un conjunto A R está cotdo superiormente si eiste un número k, tl que pr todo A se cumple que k A k se le llm cot de A Un conjunto A puede tener infinits cots (Análogo pr cot inferior) Etremo superior (m): es l menor de ls cots superiores de A; l cot superior mínim (tmbién se llm supremo) Si m A, se le llm máimo, pues coincide con el myor número de A (Análogo pr etremo inferior; mínimo) ) El conjunto de los números reles que son menores que, A R, está cotdo superiormente por 7, y por, y por, El etremo superior, l cot superior mínim es Este conjunto no tiene máimo: no puede concretrse; se sbe que es,999 b) El conjunto de los números reles B R, está cotdo superiormente por,, y por,, y por,0 L cot superior mínim de B es Este conjunto tiene un vlor máimo, que es c) El conjunto de los números reles C R, está cotdo inferiormente por 0, y por 0,9, y por, que es el etremo inferior, l cot inferior máim; coincide con el mínimo de C (Este conjunto tmbién está cotdo superiormente por )

3 Intervlos Los intervlos son subconjuntos de l rect rel Intervlo bierto (, b) = todos los números reles que son myores que y menores que b: (, b) = R b ) (, ) = R b) (, ) = R Intervlo cerrdo [, b] = todos los números reles que son myores o igules que y menores o igules que b: [, b] = R b Ejemplo: [0, ] = R 0 Los intervlos pueden definirse tmbién utilizndo el concepto de vlor bsoluto,, cuy, si 0 definición es:, si 0 Con esto, se tiene: ) k k < < k Por tnto, decir que k equivle decir que (k, k) Igulmente, k k k [k, k] ) De mner nálog: k k k k k ( k, k) k k k k k k k ) < < (, ) b) < [, ] c) < < < < 5 (, 5) d) [6, ] Observción: Al conjunto de números reles que cumple l desiguldd r se le llm tmbién entorno de, centro y rdio r, y se denot por E r () Así, E () = (, + ) = (, 5), es el entorno de centro y rdio ) Ls epresiones k o k definen los intervlos: k < k o > k (, k) (k, + ) k k o k, k k,

4 4 Funciones reles de vrible rel Un función f, de un vrible rel, es un regl que sign un único número rel y cd número de su dominio Puede indicrse sí: f: R R; y f () Por tnto, un función puede definirse como un conjunto de pres (, y) de mner que no hy pres con el mismo primer elemento Así, por ejemplo, los pres (, ) y (, ) no pueden pertenecer l mism función, pues eso indicrí que l número le corresponden dos números, el y el, en contr de que l correspondenci debe ser únic A se l llm vrible independiente Cundo se represent se hce en el eje horizontl, el eje de bsciss, el eje OX L y es l vrible dependiente Se represent en el eje verticl o de ordends, el eje OY Ambs vribles son números reles Ls funciones reles suelen drse medinte un fórmul o epresión lgebric Por ejemplo: f ( ) ; g( ) Tmbién se escribe: y ; y El domino de l función lo formn los números pr los cules eiste el vlor de f () Dom(f) = { R f () eiste} El vlor de f () no eiste cundo lgun de ls operciones que l definen no puede relizrse Por ejemplo: l división por cero, l ríz de un número negtivo, el logritmo de un número menor o igul que cero; (En esos csos, l operr con clculdor sldrá el mensje de ERROR) Otrs veces será l nturlez del problem lo que restring su dominio; por ejemplo, un tiempo o un longitud no pueden tomr vlores negtivos L imgen o recorrido de l función es el conjunto de vlores que tom f () cundo pertenece l dominio; es, por tnto, el conjunto de resultdos Im(f) = {y R y f (), Dom(f)} Gráfic de un función Ls funciones de vrible rel suelen representrse en el plno crtesino medinte un líne Ls coordends de esos puntos vienen dds por los pres (, y) = (, f () ), siendo del dominio de f ) L función f ( ) soci l número f() = = ; 0 Los pres de elementos relciondos pueden drse con yud de un tbl Así: 0 4 f() Representndo en el plno crtesino esos pres (puntos (0, 0), (, ), (, ), (, 0), (, 4), (4, 4) ) y uniéndolos medinte un líne continu se obtiene l gráfic de dich función El dominio de est función es Dom(f) = R, todos los números reles, pues pr culquier número rel tiene sentido (puede hcerse) l operción El recorrido de f ( ) es el conjunto de resultdos que tome l epresión pr culquier vlor de Por trtrse de un prábol, el vlor más pequeño del recorrido se d en el vértice, V(/, 9/4) Por tnto, su recorrido es el conjunto Im(f) = [ 9/4, + )

5 5 b) L función g( ) soci l número g ( ) ; 0 En cmbio, 4 no puede socirle ningún número rel, pues g ( 4) 4 El dominio de g () está formdo por los números reles menores o igules que : Dom(g) = { R } = (, ] El recorrido de g( ) son los resultdos que se obtienen l clculr l ríz cundo : son los números reles myores o igules que 0 Esto es, Im(g) = [0, + ) c) L función h ( ) no está definid cundo = ; su dominio es: Dom(h) = R {} d) L función e( t) 80t, que determin el espcio recorrido por un vehículo que se mueve 80 km/h durnte un tiempo t, sólo tiene sentido pr t 0 Si lo que se conoce es l gráfic de l función y f (), entonces: El dominio viene ddo por los vlores del eje horizontl (eje OX) que tienen correspondiente Si l verticl por cort l gráfic de f entonces es del dominio de f L imgen, f( 0 ), de un número 0, es el vlor de l distnci, medid verticlmente, desde 0 hst l gráfic de f Si l gráfic trnscurre por debjo del eje, l imgen es negtiv El recorrido viene ddo por los vlores del eje verticl (eje OY) que son correspondiente de lgún del dominio Si l horizontl por y 0 cort l gráfic de f entonces y 0 pertenece l recorrido de f Pr l función dd en l figur djunt: Dom(f) = [0, 6); Im(f) = [, 5] Observción: Si lgun rect verticl cort l gráfic de f en más de un punto, entonces es líne no define un función Funciones definids trozos Un función puede venir definid medinte vris epresiones lgebrics L mner de drls suele ser: f( ), si f ( ) f ( ), si Se indic sí que l función que ctú pr los vlores de es f (), y pr los vlores de es f () Ejemplo: si L función f ( ), soci los números menores o igules que, el vlor si ; y los myores que, el resultdo de Algunos pres de vlores son: Pr : (, 0), (, 4), (0, 0), (, ), (, ), (, 0), Pr > : (4, ), (5, ), (6, ), (7, ), Su gráfic serí l djunt

6 6 Funciones usules Funciones polinómics n Son de l form f ( ) n 0, con n un número nturl El dominio de definición de ests funciones es todo R: están definids siempre El grdo de un función polinómic es el del polinomio correspondiente L función polinómic de de grdo n cort l eje OX en un máimo de n puntos Ls bsciss n de los puntos de corte son ls soluciones de l ecución n 0 0 Ejemplo: L función f ( ), cort l eje OX en ls soluciones de l ecución 0 Ests soluciones son =, doble, y = Como puede observrse, f ( ) ( ) ( ) El punto de corte con el eje OY se obtiene dndo el vlor 0 L gráfic de est función es l djunt Funciones rcionles P( ) Ls funciones rcionles son de l form f ( ), donde P () y Q () son polinomios Q( ) Ests funciones están definids pr todo vlor de que no nule el denomindor Ests funciones pueden tener síntots: verticles, en los ceros del denomindor; horizontles si el grdo del numerdor es menor o igul que el grdo del denomindor, oblicus si el grdo del numerdor es un unidd myor que el grdo del denomindor ) El dominio de f ( ) es R {0, }; su denomindor se nul pr = 0 y = Tiene dos síntots verticles, que son ls rects = 0 y = L rect y = 0 es síntot horizontl b) L función f ( ) está definid pr todo R; su denomindor no se nul nunc Funciones con rdicles Son de l form y n f ( ), siendo n nturl y f () culquier otr función Ests funciones están definids cundo está definid f () y, demás, puede hcerse l ríz Por tnto: ) Ls funciones rdicles de índice pr están definids sólo si f ( ) 0 ) Ls funciones rdicles de índice impr están definids siempre que lo esté f () ) f ( ) está definid pr Dom(f) = [, + ) b) f ( ) está definid pr todo R c) f ( ) está definid pr todo R {}

7 7 d) f ( ) 4 está definid pr todo R, pues el rdicndo nunc es negtivo e) ( ) f 4 está definid cundo 4 0 (, ] [, + ) Observción: Pr determinr el dominio de ests funciones conviene recordr l resolución de inecuciones con rdicles L función eponencil Es de l form f ( ) y, > 0 y Crcterístics fundmentles: Su domino es R Siempre tom vlores positivos Esto es: f ( ) 0, pr todo Si l bse >, l función siempre es creciente Si l bse 0 < <, l función siempre es decreciente Cort l eje OY en y =, pues 0, pr culquier vlor de El eje OX, l rect y = 0, es un síntot horizontl de l función; hci si >, y hci + si 0 < < Observción: L función Así, por ejemplo: siempre f f ( ) es idéntic f ) ( ) En consecuenci, (, y l mism que f f ( ) ( ) con > es decreciente Dos csos comunes de l función eponencil son f ( ) 0 y f ( ) e Tmbién son frecuentes f ( ) 0 y f ( ) e Ests últims funciones pueden escribirse como f ( ) y f ( ) 0 e g( ) L función generl f ( ) está definid siempre que lo esté g() Ejemplo: f ( ) está definid pr todo número rel distinto de : Dom = R {} L función logrítmic L más sencill es f ( ) log y log ( > 0; ) Pr ls bses usules, = 0 y = e: f ( ) log y f ( ) ln Crcterístics fundmentles: Su dominio es R +, los reles positivos: > 0 Tom vlores que vn desde + : Recorrido = (, + ) El eje OY, l rect = 0, es síntot verticl de su curv Si > (que es lo usul), l función es creciente (Si 0 < <, l función será decreciente) L función generl f ( ) log g( ) está definid siempre que g() > 0

8 8 ) f ( ) log está definid siempre que 0 ; esto es, cundo > Por tnto, su dominio es el intervlo (, + ) b) ( ) log f está definid siempre, pues 0 pr todo c) ( f ) log está definid siempre que 0,, f () Observción: Como f ( ) log, se deduce que ls funciones eponencil y logrítmic son inverss; esto es, si plicmos sucesivmente el logritmo y l eponencil en l mism bse, volvemos l punto de prtid O se: log log y Funciones trigonométrics: seno, coseno y tngente Ls epresiones más sencills de ests funciones son: f ( ) sen f ( ) cos f ( ) tg Crcterístics fundmentles de seno y coseno: Su dominio de definición es R Por tnto, es un número rel; no es un ángulo propimente dicho: si se quiere, es un ángulo en rdines, no en grdos Los vlores que tomn vrín entre y : el recorrido de mbs es el intervlo [, ] Son periódics de periodo p = Esto es: sen sen( ) ; cos cos( ) L función seno es simétric respecto del origen f ( ) sen ( ) sen f ( ) L función coseno es simétric respecto del eje OY f ( ) cos ( ) cos f ( ) Sus gráfics son ls siguientes: Crcterístics fundmentles de l tngente: Su dominio de definición es R k, pues pr k se nul el denomindor: cos k 0 Tom vlores que vrín entre y + : su recorrido es todo R Es periódic de periodo p = Esto es: tg tg, pr culquier vlor de su dominio Tiene por síntots verticles ls rects k Observción: Ls clculdors trbjn ests funciones en el modo rdines: MODE RAD Suelen designrse con ls letrs sin, cos y tn, que quí se emplern tmbién

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