17532 = Hemos usado el 10 como base, pero podíamos haber usado cualquiera. Por ejemplo el 9, entonces.

Transcripción

1 Tem 1.- V de números Números pr contr. Un de ls primers ctividdes intelectules que reliz el ser humno es l de contr: el número de flechs, el número de ovejs, el número de enemigos, etc. En Mtemátics ess ctividdes están relcionds con los números enteros, primero con los positivos y tmbién con los negtivos. Enteros positivos Los números enteros positivos (o nturles ) son los inmeditmente relciondos con el concepto de contr. Son {0, 1, 2,..., n,... } Por tnto, son números nturles. El conjunto de estos números se denomin N y contiene el 0 o no gusto del profesor. Son los números más elementles, pero tiene propieddes interesntes: 1.- Operciones. Hy definid un sum y un producto con ls hbitules propieddes: socitividd, conmuttividd, existenci de 0 y 1 y distributividd del producto respecto l sum. Además, tnto l sum como el producto tienen un ley de simplificción..- Si x + y = x + z, se cumple y = z. b.- Si x y = x z y x 0, se cumple y = z. Ejemplo Notd que l del producto no es ciert pr x = 0 y que 0 7 = 0 3 y 7 3. El producto permite dr significdo potencis de un número con exponente nturl (x n es el producto de x por sí mismo n veces) que tiene ls propieddes hbitules.- x m+n = x m x n. b.- (x m ) n = x mn. c.- x m y m = (xy) m 2.- Orden. Hy un relción de orden comptible con l sum y el producto..- x + y x + z, si y sólo si y z. b.- Si x 0, x y x z si y sólo si y z. Ejemplo Así equivle 0 13 y equivle 5 9. El orden no es comptible con ls potencis. Pruéblo. 3.- División con resto, divisibilidd y fctorizción. Todo ello está bsdo en l existenci de un lgoritmo de división con resto. Destquemos l propiedd de que todo nturl se puede escribir de form únic como producto de números primos. Expresrlo de es mner es fctorizrlo. Ejemplo =

2 Con l fctorizción podemos construir inmeditmente el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números nturles. Tmbién se pueden hllr usndo el lgoritmo euclídeo. 4.- Sistems de numerción Tod est prfernli permite escribir los números nturles como estáis costumbrdos. Vemos primero el significdo de l expresión hbitul de un número nturl. Así = Hemos usdo el 10 como bse, pero podímos hber usdo culquier. Por ejemplo el 9, entonces (9 = Enteros L primer mplición de los números nturles es pr representr deuds : los enteros negtivos. Nos permiten resolver ecuciones como x + 7 = 1 que no tienen solución en los números nturles. {..., n,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., n,... } 1.- Operciones Conserv ls propieddes vists y le ñde l existenci pr todo número de un inverso pr l sum. L existenci de números negtivos hce un poco extrñ l multiplicción (el hecho de que teng que ser ( 5) ( 3) = 15 ún os sorprende lgunos). Pero todo funcion bien. 2.- Orden. Tmbién extiende el orden definido en los nturles y sigue siendo comptible con l sum y con el producto por números positivos. Pero el producto (o l simplificción) por números negtivos invierte l desiguldd. Así b.- Si x 0, x y x z si y sólo si y z. 2

3 1.2.- Números pr medir. Slen nturlmente en cunto se intent medir ls coss. Un vez fijmos un ptrón, e.g. el metro, no siempre hy un cntidd enter de uniddes en lo que estmos midiendo. Pr medir el ccho que sobr, prece lógico dividir el ptrón en trozos igules más pequeños. Frcciones Dicho de otr mner, hor queremos introducir números que nos permitn resolver ecuciones de l form 27x = 13. Pr ello queremos expresiones de l form El primer hecho extrño es l existenci de vris frcciones que representn el mismo número y que resuelven l mism ecución. Así 1 2 = 2 4 = 5 10 = 7 14 = Frcciones irreducibles. Escogemos como representción de un frcción L llmmos representción irreducible. 1.- Operciones. L sum se define b con b > 0 y m.c.d.(, b) = 1. b + c d = d + bc bd Se reliz de form más sencill si mbs frcciones se representn con el mismo denomindor (por ejemplo, el mínimo común múltiplo) y que b + c b = + c. b El producto es b c d = c bd Con esto, tod frcción no nul tiene inverso respecto l producto. Así ( ) 1 b = b. Ls potencis de frcciones se definen ( b ) n = n b n. 3

4 2.- Orden. Suponemos tods ls frcciones de este prtdo con denomindor positivo. b c d cundo d cb. Ejemplo 1/7 1/5 El orden es comptible con sum por números culesquier y producto por números positivos. 3.- Expresión deciml de un frcción. Podemos usr indefinidmente l división con resto y llegr obtener 1 3 = 0, = 0, 3. Que signific esto? L expresión deciml signific 0, = De l mism mner, siempre podemos hllr un expresión deciml de un número frccionrio y siempre es periódic. Por cierto, lgunos números tienen dos expresiones decimles cules?. Recíprocmente, tod expresión deciml periódic corresponde un número frccionrio. Y ls no periódics, como 0, ? 4

5 Rdicles Tmbién slen nturlmente en cunto se intent medir ls coss. Así, medir l digonl de un cudrdo de ldo 1 fue un dolor de muels pr los griegos (l digonl mide 2 que no es un frcción). Ls más sencills (cudrds y cúbics) slen de mner nturl prtir de problems geométricos, por ejemplo l rzón áure. Nosotros ls ñdiremos lgebricmente, como soluciones de l ecución x n =. L solución de es ecución se represent trdicionlmente como Tmbién prece lógico representrlo como x = n. x = 1/n. Luego, n = 1/n. Cumplen ls propieddes hbitules de potencis. Su expresión deciml no es periódic. Ls frcciones que contienen rdicles pueden tener vris expresiones. Pr evitr confusiones, cundo se puede, se eliminn los rdicles del denomindor. Veremos ejercicios de ello. Números trscendentes Aún qued por ver l myor prte de los números reles. Son los trscendentes. Como ejemplo de ellos dos que y conocéis L rzón de l longitud de un circunferenci con su diámetro (y conocid en l ntigüedd) π = 3, y l bse de los logritmos nturles, de introducción más reciente e = 2,

6 Vlor bsoluto y prte enter A todo número rel se le puede signr su vlor bsoluto olvidándonos del signo. Así 2, 3 = 2, 3; 3, 5 = 3, 5. Tmbién podemos hblr de l prte enter de un número rel como el myor entero que es menor o igul que él. Así E(2, 3) = 2; E(e) = 2; E( 1, 5) = 2. Conjuntos numéricos El conjunto de los números nturles se denot por N (conteniendo 0 o no según ls mnís del profe ), el de los números enteros por Z, el de los rcionles Q, y el de todos los reles por R. Otros conjuntos numéricos interesntes son los que están compuestos por todos los números entre dos. Así si < b, se definen los intervlos de extremos y b por ], b[ está formdo por los números reles x que cumplen < x < b. [, b[ está formdo por los números reles x que cumplen x < b. ], b] está formdo por los números reles x que cumplen < x b. [, b] está formdo por los números reles x que cumplen x b. Tmbién interesntes son los que están compuestos por todos los números myores (o menores) que uno ddo. Así, se definen los intervlos no cotdos de extremo ], [ está formdo por los números reles x que cumplen < x. [, [ está formdo por los números reles x que cumplen x. ], [ está formdo por los números reles x que cumplen x <. ], ] está formdo por los números reles x que cumplen x. 6