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1 TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n en IR, como un conjunto de mxn números reles distribuidos en m fils y n columns. Cd uno de esos números se llm elemento de l mtriz. Designremos un mtriz por A = ( ij ) mxn = ( ij ). Los subíndices indicn l posición que ocup dicho número dentro de l mtriz, el elemento ij se encuentr en l fil i y en l column j, Por ejemplo: A = es un mtriz de orden x. 5 7 A quién represent?, qué lugr ocup -? Dos mtrices de l mism dimensión son igules si lo son todos los elementos que ocupn idéntic posición en mbs mtrices. Es decir, A = B si ( ij ) = (b ij ). Ejercicio : Sen ls mtrices A = ) Hll el orden d cd mtriz. b) Cuál es el vlor de, b y c? 5, B = y C = 9 Ejercicio : Determin x, y, z pr que A y B sen igules, siendo A= y 4x B = z 4 5 y Págin 9, ejercicio 58 Voluntrios. Págin 9, ejercicios: 54, 55, 57, TIPOS DE MATRICES. Mtriz Fil. Es un mtriz de dimensión xn (tmbién llmdo vector fil).. Mtriz Column. Es un mtriz de dimensión mx (tmbién llmdo vector column).

2 . Mtriz Cudrd. Tiene el mismo número de fils que de columns. Un mtriz de orden nxn se llm mtriz cudrd de orden n. En ests podemos definir digonl principl de un mtriz cudrd que es l formd por los elementos,,..., nn. Llmmos digonl secundri l líne determind por n, n-,..., n. 4. Mtriz tringulr. Es un mtriz cudrd en l que los elementos situdos un mismo ldo de l digonl principl son nulos. Si los ceros están situdos por debjo de l digonl principl se llm mtriz tringulr superior y si están situdos por encim de l digonl principl se llm mtriz tringulr inferior. 5. Mtriz digonl. Es un mtriz cudrd que se crcteriz porque todos los elementos que no están en l digonl principl vlen cero. 6. Mtriz esclr. Es un mtriz digonl con todos los elementos de l digonl principl igules. Si los elementos de l digonl principl de un mtriz esclr vlen est se llm mtriz unidd, y se denomin por I o I n. 7. Mtriz nul. Es un mtriz cuyos elementos son todos nulos. 8. Mtriz opuest. Dd l mtriz A = ( ij ) su opuest es A = (- ij ). 9. Mtriz trspuest. Dd un mtriz A = ( ij ) mxn, su mtriz trspuest es quell que se obtiene l intercmbir en l mtriz A sus fils por sus columns y se represent por A t. L dimensión de A t es nxm y el elemento t ij será igul l ji de l mtriz A. Se verific que (A t ) t = A.. Mtriz simétric. Es un mtriz cudrd que se crcteriz porque ij = ji pr todo i, j. (i j). Es decir, l mtriz coincide con su trspuest verificndo A = A t.. Mtriz ntisimétric. Es un mtriz cudrd cuy mtriz coincide con l opuest de su trspuest. Es decir, se crcteriz porque ij = -ji pr todo i, j. (i j) y los elementos de l digonl principl son todos nulos. Tmbién se llmn hemisimétrics. Se verific A = - A t. Por ejemplo A= 7.. EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES DE DIMENSIONES m x n. Designmos por M mxn (IR) l conjunto de mtrices de orden m x n cuyos elementos son números reles. En dicho conjunto podemos definir ls siguientes operciones: Sum de mtrices: ( ij ) + (b ij ) = (c ij ) De mner que cd elemento de l mtriz (c ij ) se obtiene sumndo los elementos que ocupn igul posición en ls mtrices A y B. Propieddes: º-- Es intern: Y que l relizr l sum el resultdo sigue siendo un mtriz de orden mxn. º-- Asocitiv: [( ij ) + (b ij )] + (c ij ) = ( ij ) + [(b ij ) + (c ij )] Compruébese que se cumple en virtud de l socitiv de l sum de números reles. º-- Elemento neutro:

3 Es l mtriz cero de orden mxn (todos sus elementos son el número cero). Así culquier mtriz sumd con mtriz cero se obtiene l mism mtriz. 4º-- Elemento simétrico de un mtriz: Es l mtriz opuest de l mtriz dd, se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de l mtriz dd. De este modo, si summos l mtriz dd con su opuest se obtiene l mtriz cero (elemento neutro). ( ij ) + (- ij ) = () 5º-- Conmuttiv: ( ij ) + (b ij ) = (b ij ) + ( ij ), l cul se cumple en virtud de l propiedd conmuttiv de l sum en IR. Por verificr ests propieddes se dice que [ M mxn (IR), +] es un grupo belino. Voluntrios. Págin 9, ejercicios: 6, 6, 6. Producto de un número rel por un mtriz: Se k un nº rel y ( ij ) un elemento de M mxn (IR) se define k.( ij ) = (b ij ) de form que se multiplic k por cd elemento de l mtriz ( ij ) y sí obtenemos l mtriz (b ij ), el resultdo de l operción es otro elemento de M mxn (IR). A diferenci de l operción sum est operción es extern en el sentido de que no se oper con dos mtrices, sino con un nº y un mtriz. Se verificn ls siguientes propieddes: 6ª Distributiv respecto de l sum de mtrices k nº rel, ( ij ) y (b ij ) M mxn (IR):k.[( ij ) + (b ij )] = k.( ij ) + k.(b ij ) 7ª Distributiv respecto de l sum de esclres k y h nº reles, ( ij ) M mxn (IR): (k+h)( ij ) = k( ij ) + h( ij ) 8ª Asocitiv mixt k y h nº reles, ( ij ) M mxn (IR): (kh)( ij ) = k[h( ij )] 9ª Elemento unidd, ( ij ) M mxn (IR):. ( ij ) = ( ij ) Por verificr el conjunto M mxn (IR) ests propieddes con ls operciones sum y producto por un número rel, decimos que dicho conjunto qued dotdo de estructur de espcio vectoril. Ejercicio : Dd ls mtrices A = I, A + B I., B = 5. Clcul A + B, A B, A - B, A + I, A 4 Ejercicio 4: Dds ls mtrices A = 4 y B =, clcul: A + B, B A, A B, A + B I, B A, A t + B t y (A + B) t. Ejercicio 5: Obtener ls mtrices A y B que verifiquen el sistem

4 A B 4 A B Ejercicio 6: Clcul ls mtrices A y B sbiendo que 5 A B A B Multiplicción de mtrices: Dds ls mtrices A y B, se define mtriz producto C como quell cuyo elemento c ij result de sumr los productos elemento elemento, de l fil i de l mtriz A por los de l column j de l mtriz B. Pr poder relizr l multiplicción de dos mtrices es necesrio que el número de columns de l primer mtriz se igul que el número de fils de l segund mtriz. L mtriz producto C v tener igul número de fils que l primer mtriz, e igul número columns que l segund. Es decir: (ij) mxn x (bij) nxp = (cij) mxp. Obsérvese en cmbio, que si considermos un conjunto de mtrices cudrds Mnxn(IR) podemos multiplicr dos mtrices de orden nxn pr obtener otr del mismo orden. Por tnto en el conjunto de mtrices cudrds M nxn (IR) l multiplicción de mtrices es un operción intern. Propieddes del producto de mtrices cudrds de orden n: ) Asocitiv: [(ij) x (bij)] x (cij) =(ij) x [(bij) x (cij)] b) Elemento Unidd. Se trt de l llmd mtriz unidd (los elementos de l digonl principl son todos, y los demás elementos vles cero. Se l design por I. (ij) x I = I x (ij) = (ij) c) Elemento simétrico de A es un mtriz A - que verific que A. A - =A -. A = I. L posibilidd de que exist elemento simétrico se estudirá en el tem siguiente. Se llm mtriz invers de l mtriz dd. Adelntremos no obstnte, que no tods ls mtrices cudrds tienen invers, como veremos en el tem siguiente, por lo tnto no podemos decir que se cumpl l propiedd de existenci de elemento simétrico respecto l operción "x". A ls mtrices que tienen invers se les llm mtrices inversibles y quells que no l tienen se llmn mtrices singulres. d) Conmuttiv. No se cumple tl propiedd, contrejemplo Siendo A =, B = A. B = 4 5 y B. A = 7 e) Distributiv de l multiplicción respecto de l sum de mtrices, sen (ij), (bij), (cij) Mnxn (IR) se verific que (ij) x [(bij) + (cij)] =[(ij) x (bij)] + [(ij) x (cij)]

5 f) Asocitiv respecto de l multiplicción por un número rel. Se k un nº y (ij),(bij) Mnxn (IR) entonces se verific k [ (ij) x (bij)] = [k (ij)] (bij) Ejercicio 7: Con ls mtrices del ejercicio, clcul A.B, B.A, (A.B) t, (B.A) t, A t.b t, A, A. 4 5 Ejercicio 8: Dds ls mtrices A = 5, B = 7 D =. Clcul A.B, B.A, A.C, C.A, C.B, B.C, A.D, C.D y A. C = y Voluntrios. Págin 9, ejercicios: 6, 64, 65, 66, 67. Ejercicio 9: Dd ls mtrices A= mtricil XA = B + P., B = 4 4 y P = 6 4, resuelve l ecución Ejercicio : Dd ls mtrices M=, N = 5 mtricil MX + N = P. 9 y P =, resuelve l ecución Voluntrios. Págin 9, ejercicios: 7, 7, 75, 77, 78, 79,8. Observciones: ) A x B = O no implic que A = O ó B = O. Por ejemplo A= 4 6 b) Tmpoco se cumple que (A + B) = A + B + AB. c) No se cumple que si A x B = A x C entonces B = C. d) (A t ) t = A t (A + B) t = A t + B t (A. B) t = B t. A t e) Un mtriz cudrd A es idempotente si A = A. f) Un mtriz cudrd M es ortogonl si M t M = I. y B = 9 6 Ejercicio : Utilizndo ls mtrices del ejercicio 4, clcul A.B. B.A, A y B. Ejercicio : Dd l mtriz A= 4, clcul A A + I. Ejercicio : Si AMn (IR) y verific que A = A, clcul B siendo B = A I.

6 Ejercicio 4: Demuestr que A A I = O siendo A =. Ejercicio 5: Clculr ls potencis n-sims de ls siguientes mtrices. Resltr l utilidd pr clculr A. A= B= C= D = E = F = G = H= c b I= x cos senx senx cos x J= K= Voluntrios. Págin 9, ejercicios: 68, 7, 7,. Ejercicio 6: Demuestr que culquier mtriz cudrd se puede descomponer en sum de un mtriz simétric y otr ntisimétric. Aplíclo A = Ejercicio 7: Se consider A = b b con, b números reles: ) Clcul y b pr que A =. b) Pr los vlores obtenidos en el prtdo nterior, clculr A, A 4 y A n. Ejercicio 8: Hll A tl que A. =. A Ejercicio 9: Dd l mtriz A =, clcul otr mtriz B, distint de l mtriz nul y de l mtriz unidd, tl que A B = B A

7 Ejercicio : Dd ls mtrices A = que verifique B C = A. y B =, determin, si existe, un mtriz C 6 Ejercicio : Hll ls mtrices X = ecución mtricil X = X. b, con, b y c números reles, que stisfcen l c Voluntrios. Págin 9, ejercicios: 74, 76.

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