Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti

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1 Solucionrio Mtrices números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS Los jrdines cifrdos De l pred del fondo prtí un lrgo psillo débilmente ilumindo; lo recorrí y, l finl, me encontré nte un puert con pertur de combinción: junto l puert, bjo un pequeñ pntll cudrd, hbí nueve botones numerdos, dispuestos en tres fils de tres. Me cordé del cudrdo mágico. El enno me hbí dicho que el contenido de l cjit me brirí más de un puert, y no tení por qué referirse sólo l músic. Squé el cudrdo de metl [un reproducción del cudrdo de números que prece en el grbdo de Durero tituldo Melncolí] y lo exminé l débil luz del psillo. Ls combinciones de ls puerts solín tener cutro cifrs, y los números más significtivos de quel cudrdo ern el 5 y el 4 del centro de l últim fil: 54 er el ño en que Durero hbí relizdo su Melncolí, y El Bosco hbí muerto por ess fechs, tl vez ese mismo ño. Mrqué el 54 y ls cifrs fueron preciendo en l pntllit cudrd: ls tres primers en l fil superior y el 4 debjo del primer. Trs unos segundos, ls cifrs desprecieron sin que ocurrier nd. Entonces pensé que tení que llenr l pntll y mrcr, por tnto, nueve cifrs. L probbilidd de certr er remotísim. Mrqué ls nueve primers cifrs de mi cudrdo mágico, y luego ls nueve últims. Luego probé con los números del l 9 en el orden en que precín en el cudrdo:,, 5, 8, 9, 6, 7, 4,. Probé vris combinciones más, pero sin éxito. Entonces, cundo estb punto de renuncir, se me ocurrió otr posibilidd: el cudrdo mágico que tení en l mno podí ser simplemente un modelo, un referente. Puesto que tení que llenr un pntll de tres por tres y hbí nueve botones numerdos del l 9, tl vez tuvier que componer con ellos un cudrdo mágico de orden tres: disponer los nueve dígitos de form que tods sus fils, columns y digonles sumrn lo mismo. [ ] Estb cnsdo y turdido, y mi primer impulso fue intentr resolver el cudrdo mágico por tnteo. Pero mi reducid pizrr mnul no permití muchos ensyos... De pronto me cordé del método de Holmes: descrtr lo imposible. Qué psrí si el estuvier en l primer csill?, me pregunté. En ese cso, como tods ls fils y ls columns tenín que sumr 5, hbrí que poner en l primer fil dos números que sumrn 4, y... [...] Mrqué los números en ese orden y el cudrdo mágico se formó en l pntll. Con un suve zumbido, l puert se brió. Crlo rbetti

2 Solucionrio Los jrdines cifrdos Crlo rbetti El nrrdor de est novel es un hombre de medin edd que h sido bndondo por su mujer Nor. Un dí conoce otr mujer, Elen, de l que se enmor pesr de que un migo, que es profesor de mtemátics, le dice que es mujer no le conviene porque tmbién v dejrlo. Él contest: Al menos quisier tener l oportunidd de comprobrlo. No hy muchs mujeres sí; ni un en un millón Alto hí! exclmó el migo levntndo ls mnos con gesto lrmdo. Si empiezs tergiversr los spectos mtemáticos de l cuestión, estás perdido. Qué tienen que ver ls mtemátics con esto? Mucho. Estás cyendo en l fici en l que cen todos los tontos enmordos, vlg el pleonsmo, l bsurd flci de pensr que el objeto de su mor es único e irrepetible, o cundo menos un bien escsísimo. En tod mi vid sólo he conocido dos mujeres como ells. Supongmos, y es mucho suponer, que eso se cierto. A cuánts mujeres hs conocido? Depende de lo que se entiend por conocer. Qué entiendes tú cundo dices que en tod tu vid sólo hs conocido dos como ells? Bueno, he conocido muchs mujeres lo suficiente como pr drme cuent de si, en principio, me interesbn o no. A cuánts? No ls he contdo, pero muchs Vrios cientos Semos generosos y consideremos que hs conocido mil mujeres Io suficiente como pr drte cuent de su posible decución como objeto moroso. Bien, eso signific que l frecuenci estdístic del tipo Nor-Elen es del dos por mil. Así que, pr empezr, lo de «un en un millón» es pur hipérbole. Pero Déjme seguir. Hy unos tres mil millones de mujeres en el mundo, de ls cules proximdmente un tercio tendrán entre veinte y cincuent ños (por tu bien y el de ells. espero que no te interesen ls niñs ni ls ncins). Es decir, hy unos mil millones de mujeres con ls que, en principio, podrís relcionrte. Si l incidenci del tipo Nor-Elen es del dos por mil, eso signific que hy unos dos millones de cndidts que se justn tu concepto de mujer idel. Como verás, es mtemáticmente bsurdo que te obsesiones con un de tn dudos morlidd y oscurs intenciones como Elen, hbiendo otros dos millones esperándote. [ ] construye el cudrdo mágico que le permitió l protgonist de est novel brir l puert. un cudrdo o un rectángulo de números como el nterior (unque no cumpl ningun propiedd especil) se llm mtriz. Hy situciones que se pueden representr medinte un mtriz. Descubre lgun. Si el estuvier en l primer csill hrí flt encontrr tres prejs de números cuy sum fuer 4, y esto es imposible. Solo hy dos prejs que sumn 4 : Siguiendo el rzonmiento si el estuvier 6 8 en l segund csill el cudrdo 7 5 que formrí es: 9 4

3 Mtrices ANTES DE COMENZAR RECUERDA resuelve estos sistems. ) x + y + z x y z 4 x y + z 4 b) y + z x + y z x 5yz 7 ) x + y + z x x y z 4 yz ( yz) y z 4 4y 7z 4 x y + z 4 yz y+ z 4 4y 7z 4} 6z z z 4y z 4 y x + y + z y, z x L solución del sistem es x, y y z. b) y + z z y x + y z x + y ( y ) x 5y x 5y 7 x 5y 7 x 5y 7 x x 7 x 5y 7 y 5 7 y z y z L solución del sistem es x, y y z. 5 5 resuelve estos sistems. ) x + y x + y 5 x y b) x 4 y x + 4 y x 4y x y ) x + y x y x y 4y + y 5 y x + y 5 x + y 5 b) y y y x x y x, y 4. En este cso, l solución del sistem es válid. x + y x + y x x y x 4y x, y 4 x y x, y En este cso, l solución del sistem es válid.

4 Solucionrio ACTIVIDADES Escribe un mtriz que cumpl ls siguientes condiciones. Su dimensión se. L mtriz es:. Se venden listones con dos cliddes y de dos longitudes. los listones grndes de bj clidd cuestn,75 y los de lt, mientrs que los listones pequeños de bj clidd cuestn,45 y,6 los de lt. not estos dtos en form de mtriz. L mtriz será de dimensión. Ls fils indicn l clidd; ls columns, el tmño y los elementos de l mtriz, el precio: 45,, 75 6, Hll el vlor de cd incógnit pr que ls dos mtrices sen igules. x + z + x + z y + y + y Pr que ls mtrices sen igules deben tener l mism dimensión y ser igules todos sus elementos. Ls dos mtrices son de dimensión. x + x z + y + z y + z y + y x + x z y z + Es decir, l solución es x, y y z. 4 Escribe un ejemplo de ls siguientes mtrices. ) un mtriz fil con cutro columns. b) un mtriz column con cutro fils. c) un mtriz cudrd de orden 4. Respuest biert. Por ejemplo: ) A ( ) b) B 4 4 c) C 5

5 Mtrices 5 Escribe mtrices que cumpln ls siguientes condiciones. ) Mtriz digonl de orden 4 que cumple que i i 7. b) Mtriz identidd con tres fils. 7 ) A 7 b) B Escribe mtrices que cumpln ests condiciones. ) Digonl de orden. b) Tringulr superior con tres columns, de form que los elementos distintos de cumpln que ij i + j. Respuest biert. Por ejemplo: ) A 8 4 b) B reliz l siguiente operción con mtrices: verigu los elementos que fltn si A + B C. A 4 5 c d 5 b B e f C b + e c d f c 5 d 5+ + f e b 7 6 f c 7 c 5 + d 6 d 5 + e e b b 9 Hz l siguiente operción con mtrices:

6 Solucionrio reliz ls operciones indicds con ests mtrices. A B C ) (A B) + C b) ()(A C) (B + C) ) ( A B) + C b) ( )( A C ) ( B + C ) ( ) clcul l siguiente operción con mtrices: ( ) ( 4) ( ) ( 4) ( 6 8) 5 ( 9 ) Hll el vlor de x en est iguldd de mtrices. ( ) ( 9) x x ( ) ( 9) x x x( x) x 4 x reliz los productos que sen posibles entre ls mtrices A, B y C. A B 6 A B 7 6 B A B C C A 4 C A C no se puede multiplicr, y que l dimensión de A es y l de C es. C B no se puede multiplicr, pues l dimensión de C es y l de B es. 5

7 Mtrices 4 Determin l dimensión de l mtriz resultnte de est operción y, después, compruéblo efectundo ls operciones L dimensión de l mtriz resultnte es comprueb si se cumple que A (B + C) B A + C A, siendo ls mtrices: A B C Si no es cierto, plic correctmente l propiedd L iguldd correct es: A ( B+ C) A B+ A C reliz l operción B A + C A, scndo previmente fctor común l mtriz A. A 4 B 5 Qué propiedd hs plicdo l scr fctor común? C 5 Pr scr fctor común plicmos l propiedd distributiv por l derech. B A+ C A ( B+ C) A 4 ( B+ C) A clcul (A B) t, siendo A y B ls siguientes mtrices. t 7 A 5 4 B t t

8 7 Solucionrio 8 reliz est operción con mtrices: t t t t complet l siguiente mtriz pr que se ntisimétric. b c d e b c d e es ntisimétric si:, b, c, d, e. Estudi si l mtriz A + B es simétric. A B 4 4 A B no es simétric. complet los elementos que fltn en l mtriz pr que sus fils sen linelmente dependientes. 9 b c Pr que sus dos fils sen dependientes tienen que ser proporcionles, λ. 9 λ λ λ λ λ b c b c 6 9 b c 9 6 Determin el rngo de ls siguientes mtrices. ) 7 b) 6 9

9 Mtrices ) Ningun de ls tres fils es proporcionl otr. Comprobmos si lgun fil es combinción linel de ls otrs dos: λ λ λ λ + µ + µ λ + µ µ λ + µ λ µ + µ 7 µ µ µ Como los vlores de µ son diferentes, el sistem no tiene solución. Ningun fil es combinción linel de ls otrs dos, entonces ls tres fils son linelmente independientes y, por tnto, el rngo de l mtriz es. Rngo 7 b) Como y, tods ls fils son proporcionles. Luego el número de fils linelmente independientes es y, por tnto, el rngo de l mtriz es. Rngo clcul el rngo utilizndo el método de Guss: Rngo Hll el rngo medinte el método de Guss: Rngo

10 Solucionrio 5 clcul, si es posible, l invers de ests mtrices utilizndo l definición. ) 4 5 b) + c ) 4 b + c c d + b d b+ d + 4c b+ 4d ( + c) ( b+ d) El sistem no tiene solución, luego no existe mtriz invers. 5 b) b c d 5c 5c 5 b d b 5d 6c 5c b 5 + c c b+ d 6d 5d c b d d Comprobmos que 5 es l mtriz invers: Hll, si es posible, l invers de est mtriz: b c d e f g h i d + g b e + h c f + i + g + g + d + g b+ h + g b + e + h c + i b b+ h c 4 c + f + i + g b+ h d b+ h c + g i c + i h e c + i i f 4 Comprobmos que es l mtriz invers: 4 4 9

11 Mtrices 7 clcul, por el método de Guss-Jordn, l invers de ests mtrices. 6 ) b) ) 6 5 b) Hll, por el método de Guss-Jordn, l invers de l mtriz:

12 Solucionrio 9 clsific ls mtrices y determin su dimensión. A ( ) B C 4 7 D E G H J 4 8 A ( ) Mtriz fil de dimensión B Mtriz column de dimensión 7 C 4 Mtriz cudrd de orden D Mtriz digonl de orden E Mtriz unidd de orden Mtriz tringulr inferior de orden G Mtriz rectngulr de dimensión H Mtriz tringulr superior de orden J 4 8 Mtriz tringulr inferior de orden un empres de utobuses tiene tres línes: A, B y C. El lunes slieron 5 utobuses en l líne A, en l B y 4 en l C. El mrtes slieron utobuses en l líne A, en l B y 4 en l C. El miércoles slió utobús en l líne A, en l B y 5 en l C. represéntlo en form de mtriz. Lo representmos en un mtriz de dimensión. Ls fils representn los dís de l semn: lunes, mrtes y miércoles. Ls columns corresponden ls línes A, B y C, respectivmente. Cd elemento de l mtriz es el número de utobuses

13 Mtrices un fábric elbor dos tipos de productos, X e Y, que vende tres empress A, B y C. inicilmente distribuí. uniddes de cd producto cd un, pero en este mes l empres A recibió 6 uniddes de X y de Y; l empres B recibió 4 uniddes de X y 8 de Y, y l empres C recibió 9 uniddes de X y 7 de Y. represent medinte un mtriz ls disminuciones porcentules que se hn producido en l distribución de los productos ests empress. Ls fils corresponden cd tipo de empres, A, B y C, y ls columns corresponden l tipo de producto, X e Y. Cd elemento de l mtriz es l disminución porcentul de l producción Son tringulres ls siguientes mtrices? Por qué? No, porque ni todos los elementos situdos por encim de l digonl principl, ni todos los situdos por debjo, son cero. 4 No, porque no es cudrd. Sí, porque todos los elementos situdos por encim de l digonl 9 son cero. Pon dos ejemplos de ests mtrices: ) Mtriz column c) Mtriz digonl e) Mtriz tringulr superior b) Mtriz fil d) Mtriz cudrd f) Mtriz tringulr inferior Respuest biert. Por ejemplo: ) 8 c) b) ( 9) d) e) f) 4

14 Solucionrio 4 Hll los vlores de y b pr que ls mtrices sen igules. b 5 A B b 5 b 5, consider ls mtrices: A 6 4 B comprueb con ess mtrices l propiedd conmuttiv de l sum consider ls mtrices 5 5 A 4 y B 4. Qué relción hy entre A B y B A? A B B A A B y B A son mtrices opuests. 7 consider ls mtrices: A 4 B C 4 clcul. ) A + B C c) A B + C e) A (B C) b) A B + C d) A + B + C f) C (A + B) ) A+ B C 4 5 b) A B+ C 4 c) + 4 A B C 5 d) + + A B C 5 e) A B C A B+ C 4 ( ) f) C A+ B A B+ C 4 ( ) 5 4

15 Mtrices 8 Determin un mtriz X que verifique: A + X B, siendo A 6 4 y B 9. A+ X B X B A consider ls mtrices: A B 4 C reliz, si es posible, los siguientes productos. ) AB b) BA c) AC d) BC ) AB b) No se pueden multiplicr B y A, y que l dimensión de B es y l de A es. c) No se pueden multiplicr A y C, y que l dimensión de A es y l de C es. d) B C comprueb que, en generl, el producto de mtrices no cumple l propiedd conmuttiv multiplicndo ests mtrices: A 5 B 5 4 AB BA comprueb que se cumple l propiedd distributiv del producto de mtrices con respecto de l sum utilizndo ests mtrices. A B C 4 8 AB ( + C ) AB + AC

16 Solucionrio 4 Expres l condición que tienen que cumplir dos mtrices M y N pr que pued relizrse su sum. Y, si lo que pretendemos es multiplicrls, qué condición deben cumplir ls mtrices? (Glici. Septiembre 4. Bloque. Pregunt ) Pr que se puedn sumr dos mtrices ests deben tener l mism dimensión. Pr que se puedn multiplicr dos mtrices el número de columns de l primer debe ser igul l número de fils de l segund. 4 con ls mtrices: A B C, y, 4 4 clcul, si es posible: ) A B b) A B c) A(B + C) d) A B 4 ) A B b) A B 4 48 c) AB ( + C ) d) A B con ls siguientes mtrices: A, B 5 y C 8 6, clcul, si es posible: ) ABC b) AB c) A(B C) d) B C ) ABC ABC ( ) b) AB c) No se puede relizr est operción y que B y C no se pueden restr por no tener l mism dimensión. d) B C clcul AB y BA, siendo ls mtrices: A ( ) B (L Rioj. Septiembre. Propuest A. Ejercicio ) AB ( ) BA ( )

17 Mtrices 46 Se A un mtriz m n. ) Existe un mtriz B tl que BA se un mtriz fil? Si existe, qué dimensión tiene? b) Se puede encontrr un mtriz B tl que AB se un mtriz fil? Si existe, qué dimensión tiene? c) Busc un mtriz B tl que BA ( ), siendo A. (Asturis. Junio. Bloque ) ) Pr que BA se un mtriz fil, l mtriz B tiene que ser un mtriz de dimensión m, y l dimensión del producto es n. b) El número de fils de l mtriz AB no depende de l mtriz B, sino que es igul l número de fils de l mtriz A, que es m. Solo es posible obtener un mtriz fil si A es tmbién un mtriz fil. c) L dimensión de l mtriz B es B ( b c). BA ( b c) ( + b) ( + b) ( ), b B ( b c) ( c) con c R. 47 Dds ls mtrices A B y : 4 ) clcule AB y B A. b) compruebe que (A + B) A + B. (Ctluñ. Junio 6. Cuestión ) ) AB 4 4 BA b) ( A+ B) A + AB+ BA+ B Como en este cso, AB BA, entonces se cumple (A + B) A + B. 48 con ls mtrices A 4 y B 5, clcul (A + B) y A + AB + B. Por qué no coinciden los resultdos? cuál serí l fórmul correct pr el cudrdo de un sum de mtrices? ( A+ B) A + AB+ B

18 Solucionrio Como el producto de mtrices no es conmuttivo, el cálculo correcto serí: ( A+ B) A + AB+ BA+ B Lo comprobmos clculndo de nuevo el segundo miembro: 4 4 A + AB+ BA+ B Se considern ls mtrices: A Se pide: ) Hllr (A I). b) clculr A 4 hciendo uso del prtdo nterior. (Mdrid. Año 6. Modelo. Opción B. Ejercicio 4) I ) ( A ) I b) ( A I) A A+ I A A I A ( A I) A A ( I) Sen M y N M + I, donde I denot l mtriz identidd de orden n. clcul N y M. (Glici. Junio. Bloque. Pregunt ) N M 5 Sen A un mtriz de dimensión 5, B un mtriz de dimensión m n y C un mtriz de dimensión 4 7. Si sbemos que se puede obtener l mtriz ABC, cuáles son ls dimensiones de B y de ABC? Pr poder obtener el producto, B tiene que tener tnts fils como columns teng A y tnts columns como fils teng C. Es decir, l dimensión de B es 4 y l dimensión del producto ABC es

19 Mtrices 5 Dds tres mtrices A, B y C, se sbe que ABC es un mtriz de dimensión y que BC es un mtriz de dimensión 4. cuál es el orden de A? (Glici. Junio. Bloque. Pregunt ) L dimensión de ABC es El número de fils de A es y el número de columns de C es. L dimensión de BC es 4 El número de fils de B es 4 y el número de columns de C es. Ls mtrices se pueden multiplicr si el número de columns de A es igul l número de fils de B L dimensión de A es 4. 5 Se l mtriz A. clculr A. (Mdrid. Año 8. Modelo. Opción B. Ejercicio ) A En generl: A n A n A A 54 Se l mtriz A y se n un número nturl culquier. Encuentr el vlor de A n pr cd n y hll A 5 A 5. (Pís Vsco. Junio. Bloque A. Cuestión A) A En generl: A n A 6 A n A 6 9 A Se l mtriz A. Encuentr l regl del cálculo de ls potencis sucesivs de A, es decir, de A n pr culquier número nturl n. A A 4 I A IA A A Así, si dividimos n entre tenemos n p + q, donde q, el resto l dividir n entre, es un número nturl menor que. A si q n p+ q p q q q q A A A A I A A y A A si q I si q 48

20 Solucionrio 56 Dd l mtriz A, hll A, A 5 y A n. A A 4 4 En generl: A n n A A clcul A., siendo A. A A En generl: Si n es un número pr result: A n n Si n es un número impr result: A n n Así, tenemos que: A n. 58 Se l mtriz A. Se pide: ) comprobr que A A. b) Hllr A n. (Mdrid. Año 5. Modelo. Opción B. Ejercicio ) A ) A A A ( A I) A A ( A I) A I 4 49

21 Mtrices b) A A 4 A AA AA A A A 5 A A n n n En generl: A A n Se A. clcul An. A 7 A A A 4 8 n En generl: A n n A A A A Se l mtriz A : ) Pr cd número nturl n, hllr A n. b) clculr A A + A. (Pís Vsco. Junio 6. Bloque A. Cuestión A) ) A A A A A En generl: A n n b) A A + A Dd l mtriz A. Hllr A n pr todo entero positivo n. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) A A A si n A n A si n si n 5

22 Solucionrio 6 Se l mtriz A. Hll el vlor o los vlores de pr que se cumpl l identidd A + A + I, siendo I l mtriz identidd de orden y l mtriz nul de orden. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) A A 4 A + A+ I Sen A, I y B ls mtrices dds por: A I 6 4 B 4 5 contestr rzondmente l siguiente pregunt: Existe lgún vlor de λ R tl que l iguldd (A λi) B se ciert? En cso firmtivo, hllr dicho vlor de λ. (Pís Vsco. Julio 7. Bloque A. Cuestión A) λ A λi λ λ λ λ λ + λ+ λ ( A λi) λ λ λ+ λ λ+ λ λ λ λ + λ + λ+ λ ( A λi) 6 4 B λ+ λ λ + λ λ Igulndo el elemento de ls dos mtrices: λ 4 λ Comprobmos el resultdo pr los demás elementos. λ + λ+ λ 6 4 λ λ+ λ λ + λ λ

23 Mtrices 64 Demuestr que l mtriz A verific un ecución del tipo A + α A + βi, determinndo α y β (I denot l mtriz identidd). (Glici. Septiembre. Bloque. Pregunt ) A A A A α + βi α + β 5+ α+ β 4 + α α 5 α β 5+ α+ β 4 α 4+ α β 65 Sen I y A ls mtrices cudrds: I 7 9 A 7 clculr, escribiendo ls operciones necesris: ) ls mtrices A y A 5. b) los números reles α y β pr los que se verific (I + A) αi + βa. (C. Vlencin. Junio 8. Bloque. Problem ) ) A I 5 A A A A ( I ) ( I) 7 9 A A 7 b) ( I + A) ( I+ A) ( I+ A) ( I+ A) ( I+ A) ( I+ A+ A ) I + A+ A + A I+ A+ A A I+ A I A I ( I + A) αi + βa, siendo α y β 66 clcul l mtriz trspuest de cd un de ests mtrices: 5 4 A B ( 7 ) C D E t t t A 7 B ( 7) C t t D E

24 Solucionrio 67 con ls mtrices A B y 4, comprueb que se cumplen ls siguientes propieddes. ) (A t ) t A b) (A + B) t A t + B t c) (AB) t B t A t t t ) ( A ) A 4 4 t t b) ( A+ B) 5 5 t A + + B t 4 5 c) ( AB) t t 4 4 BA t t 4 4 t 68 Determin qué mtrices son simétrics o ntisimétrics, y reliz los cálculos que se indicn, si es posible. A B 5 C D E ) A t C c) (B + E) t e) A t C t b) CD t d) DD t f) (E) t Son simétrics ls mtrices A y B, y es ntisimétric l mtriz C. ) AC t b) No se puede multiplicr CD t y que l dimensión de C es y l de D t es. t c) ( B+ E) t d) DD t e) AC t t 5 f) ( E ) t t

25 Mtrices 69 responde ests pregunts. ) Existe siempre el producto A t A, siendo A un mtriz culquier? Por qué? b) El producto de dos mtrices simétrics de l mism dimensión es tmbién un mtriz simétric? Por qué? ) Sí, porque si l dimensión de A es m n entonces l de A t será n m, y por tnto, l dimensión de l mtriz producto A t A será n n. t t t b) En generl, no, porque ( AB) BA BA. 7 Sen A, B y C tres mtrices tles que su producto ABC es un mtriz de dimensión y su producto AC t es un mtriz cudrd, siendo C t l trspuest de C. clcul, rzonndo l respuest, ls dimensiones de A, B y C. (Glici. Septiembre 6. Bloque. Opción ) dimensión (A) m n dimensión (B ) p q dimensión (C ) r s dimensión (ABC ) m y s, n p y q r L mtriz AC t es un mtriz cudrd n s y m r. dimensión (A) dimensión (B ) dimensión (C ) 7 En cd un de ls mtrices, determin mentlmente cuál es el myor número de fils y de columns linelmente independientes. 4 5 A ( ) B C D A ( ) fil y column B fil y column E C 5 7 columns (. y. ) y fils 6 9 D columns y fils E 6 fil y column 4 column y fil

26 55 Solucionrio 7 clcul el rngo de ls siguientes mtrices. A 4 6 B 4 C D 4 E El rngo de A es porque l segund column es proporcionl l primer. B C C 4 4 C C C C Como est mtriz es esclond por columns, Rngo (B). C C C + 6,luego Rngo( ) C. D C C Rngo(D). E Como est mtriz es esclond, Rngo (E ). 7 cuál es el myor número de columns linelmente independientes de l mtriz A? C C C C Como el rngo por columns es, solo hy dos columns linelmente independientes.

27 Mtrices 74 Sbiendo que el rngo de l siguiente mtriz es, determin el vlor de. 7 4 C C C 7 4 A C C + 4C Pr que el rngo se, como est mtriz es esclond por columns, el término 5 debe ser cero; luego obtener el vlor de pr que el rngo de l mtriz A se igul. (L Rioj. Junio. Propuest A. Ejercicio ) A Pr que el rngo se, el término + tiene que ser cero, luego Hll el vlor de k, si existe, pr que el rngo de l mtriz A 5 k se. / L tercer column es proporcionl l primer, luego el rngo es, lo más,. Pr que se, l segund debe ser proporcionl l primer, pero esto es imposible porque: /. Luego no hy ningún vlor de k pr el cul el rngo se. 77 Discútse, según el vlor de, el rngo de l mtriz: A (Cstill y León. Septiembre 5. Prueb A. Cuestión ) + + Si Rngodelmtriz A es. Si Rngodelmtriz A es. 56

28 Solucionrio 78 clcul el rngo de A, según los vlores del prámetro. (Extremdur. Junio 7. Opción A. Ejercicio ) A Si 4 Rngo de l mtriz A es. Si 4 Rngo de l mtriz A es. El rngo no puede ser, pues ls dos últims fils de l mtriz son proporcionles. 79 clcule el rngo de l mtriz A en función de los vlores del prámetro k. (Murci. Septiembre 6. Bloque. Cuestión A) k A k + k + + k C C 4 k + k Si k Rngo de l mtriz A es. Si k Rngo de l mtriz A es. k 8 Discute el rngo de l mtriz A k según los vlores de k. (Bleres. Junio 6. Opción B. Cuestión 4) k k k + 5 k k + k + k 5 k + k 5 + k k ± 6 k k k k 5 k Si k + 6 o k 6 Rngo de l mtriz A es. 6 6 Si k + 6 y k 6 Rngo de l mtriz A es

29 Mtrices 8 clcul el rngo de A según los distintos vlores del prámetro rel. (Mdrid. Junio. Opción A. Ejercicio ) A C C ( + 6) 4 El rngo de l mtriz A es siempre. El prámetro no puede ser l mismo tiempo igul 6 e igul 4, entonces los elementos de l últim fil nunc serán todos cero. m 8 Discutir, en función del número rel m, el rngo de l mtriz A + m. (Cstill y León. Septiembre 7. Prueb B. Cuestión ) m m m + m C C + m + m m m + m + m m m m m + Si m Rngo (A), todos los elementos de l últim fil son. Si m Rngo (A), ls fils. y. son proporcionles. Si m y m Rngo (A) 8 Se l mtriz A 4 m. Determine los vlores de m pr que los m rngo (A) <. Puede ser rngo (A) pr lgún vlor de m? (Ctluñ. Año 6. Serie. Cuestión 4) 4 m 4 4 m m 4 m m m m 4m+ m m 4m+ m 58

30 Solucionrio Si m o m Rngo (A) Si m y m Rngo (A) El rngo de l mtriz no puede ser, y que sus tres fils no son proporcionles pr ningún vlor del prámetro m. 84 consider l mtriz A m m m. Hll los vlores de m pr los que el rngo m m m de A es menor que. (Andlucí. Junio 8. Opción B. Ejercicio ) m m m m m m m m m m m m m m m m m m Si m o m Rngo (A) Si m o m Rngo (A) b b 85 Se A +. b+ b ) Prueb que, pr culquier vlor de y b, rngo (A). b) Determin un pr de vlores reles de y b pr que rngo (A), y otro pr de vlores y b de form que rngo (A) 4. (Cntbri. Junio. Bloque. Opción A) b b b+ bb ( + ) b+ b + b + b b b bb ( + ) b + + bb ( ) C C 4 b b 4 b 4 b bb ( + ) bb ( + ) b (b + b bb ( + ) bb ( + ) b bb ( + ) b 4 4 ( b + ) ) 4 b ( b + ) 59

31 Mtrices ) Si Rngo (A). b b Si A + pr culquier vlor de b l menos b + b hy fils distints de cero y que no son proporcionles Rngo (A). b) Si y b b bb ( + ), b bb ( + ) 4 b ( b +) 4 Rngo (A), pues b ( b + ). Si y b En este cso el rngo de l mtriz es 4. b bb ( + ), b bb ( + ) 4 b ( b+) 86 Sen ls mtrices A B y. 4 4 Vemos que mbs tienen rngo máximo, o se. Determinr los vlores de c tles que l mtriz A + cb no teng rngo. cuál es el rngo que tienen ls respectivs mtrices sum? (Argón. Septiembre. Opción B. Cuestión ) c c 4(+ c) c + c + c 4 ( + c) c 4 6 c Si c o c 6, el rngo de l mtriz no es. Si c Rngo de l mtriz es. 7 Si c 6 Rngo de l mtriz 8 4 es. Si c y c 6 Rngo de l mtriz + c 4 ( + c) c es. 6

32 Solucionrio 87 Sen A y B ls mtrices: A B Es fácil comprobr que mbs tienen el máximo rngo, o se. Pero qué ocurre si ls combinmos linelmente? En concreto, estudi el rngo de l mtriz A + λb según los vlores del prámetro λ. (Argón. Septiembre. Opción A. Cuestión ) λ + λ + λ λ + λ λ λ + λ λ + λ λ + λ λ + λλ λλ λ λ λ + λ + λ λ λ λ C C + C λ + λ + λ + λ + λ λ λ λ ( + λ)( λ) λ( + λ λ λ ) Si λ Rngo Si λ Rngo λ + λ Si λ y λ Rngo λ + λ λ 88 Dds ls mtrices A B y, es cierto que rngo (AB) rngo (A) rngo (B)? Justific tu respuest. (Cnris. Junio. Opción A. Cuestión ) AB 5 Rngo (AB ), Rngo (A) y Rngo (B ) Es imposible que se verifique l iguldd. 6

33 Mtrices 89 Dd l mtriz A. Encuentr dos mtrices, B y C, de tmño y de rngo, tles que el rngo de AB se y el rngo de AC se. (Nvrr. Septiembre 7. Grupo. Opción B) A c e Respuest biert. b d f c b d Si B AB Rngo(AB) 5 6 Si C AB Rngo(AC ) 9 un mtriz cudrd de orden tiene rngo. ) cuál es el rngo de l mtriz que result l quitr un fil? b) cuál es el rngo de l mtriz que result l eliminr un column? c) Qué sucederí en los csos nteriores si el rngo de l mtriz inicil fuer? ) El rngo de l mtriz es si eliminmos un fil que depende linelmente de ls otrs y es si ls dos fils que dejmos son proporcionles. b) El rngo de l mtriz es si eliminmos un column que depende linelmente de ls otrs y es si ls dos columns que dejmos son proporcionles. c) En este cso, el rngo siempre serí, porque ls dos línes que dejmos son siempre linelmente independientes. 9 clcul l mtriz invers de ls siguientes mtrices: A 4 B 4 C Aplicmos el método de reducción o de Guss-Jordn: ) 4 4 / / 4 + / / /4 / + /4 / L invers de l mtriz A es: /4 / 6

34 Solucionrio b) 4 + / / / / / / L invers de l mtriz B es: 5/6 / / / / c) Como l mtriz C es l unidd, su invers es ell mism. 9 Hll l invers de l mtriz A. (Nvrr. Junio 4. Grupo. Opción B) / 5/6 / / / / / + + L mtriz invers de A es: 9 clculr, si es posible, l invers de l mtriz: A (Murci. Junio 8. Bloque. Cuestión A) 5 + 4/5 /5 / /5 /5 /5 5 / / L mtriz invers de A es: /5 /5 6

35 Mtrices 94 Dds ls mtrices A B y, clcul (A ) y B B. Por qué se obtiene este resultdo? Por l definición de mtriz invers: (A ) A I; multiplicndo l derech por A los dos miembros, se obtiene (A ) A. Por definición de mtriz invers: B B I. 95 Sen ls mtrices A 4 B y 4. ) comprueb que (AB) B A. b) clcul (B ), de l mner más rápid posible. ) ( AB) / /4 / b) ( B ) ( BB) B B 4 B A /4 / / /4 / 96 Dd l mtriz A 4, clcul (At A ) A. (Andlucí. Junio. Opción A. Ejercicio 4) ( t AA ) t t t t A A A A A A AA A 4 + A / / / / t t AA A 4 / / 5/ / 4 4 / / 6 97 comprueb que l invers de l mtriz A es l mtriz 5 A. 4 (Bleres. Junio 5. Opción B. Cuestión 4) Pr comprobr que un mtriz es l invers de otr, bst con multiplicr ls mtrices y ver que el resultdo es l identidd. 5 4 AA A A

36 Solucionrio m 98 consider l mtriz A m, donde m R. Determin pr qué vlores m de m l mtriz A es regulr (inversible). (Cntbri. Septiembre 7. Bloque. Opción B) m m m m m m m m m + m m m m /( m ) /( m ) m/( m ) m m m m m /( m ) /( m ) m/( m ) m/( m ) m/( m ) /( ) m m L invers, si existe, de l mtriz A es: A /( m ) /( m ) m/( m ) m/( m ) m/( m ) /( m ) Pr poder clculr l invers tenemos que dividir entre ( m ), luego est expresión no puede ser cero. Es decir, l mtriz A es invertible cundo ( m ) m y m. 99 Estudi pr qué vlores de m l mtriz siguiente tiene invers: m m m En cso de ser posible, hll su invers pr m. (Cstill-L Mnch. Año 5. Supuesto 4. Bloque. Pregunt B) m m m m m m m/( m) /( m ) /( m) /( m ) m m m /( m) / ( m( m ) ) /( m) /( m ) m /( m ) /( m ) m 65

37 Mtrices k Sen ls mtrices A k B y. ) Estudi, en función de los vlores reles de k, si l mtriz BA tiene invers. b) Hz lo mismo pr l mtriz AB. (Asturis. Septiembre 6. Bloque ) k ) BA k k k + k k + k + k + k k k k k k k + k + k ± 4 No tiene solución. Como BA es un mtriz de orden y su rngo siempre es, tiene mtriz invers siempre. k b) AB k k k k k k k k k k k k k k 4k k k k k k 4k Como AB es un mtriz de orden y su rngo es <, est mtriz no tiene invers. m Se considern ls mtrices: A B m y, donde m es un número rel. Encuentr los vlores de m pr los que AB tiene invers. (Cstill-L Mnch. Septiembre 5. Bloque. Pregunt B) m AB m + m + m m Si m 4 no tiene invers y que su rngo es. Si m no tiene invers y que su rngo es. Si m y m el rngo de l mtriz es, y por tnto, l mtriz tiene invers. 66

38 Solucionrio En l mtriz A determin, b y c pr que su trspuest A / / coincid con su invers. b c t t t A A AA AA AA I / / / b b c / c b+ c b+ c + b + c Multiplicndo e igulndo términos se obtiene este sistem de ecuciones. b+ c b c, bc c + c c ± b + c + b + c Hy dos soluciones: c, b, c, b, comprueb y contest. ) Si A es un mtriz no singulr y (B C)A, siendo l mtriz nul, comprueb que B C. b) Según el resultdo del prtdo nterior, cundo A 6, l únic mtriz X que verific l ecución XA es l mtriz nul. Es ciert est firmción? Por qué? not: Mtriz singulr es quell que no tiene invers. (Asturis. Junio. Bloque ) ) ( B C) A BA CA BA CA BAA CAA B C b) L firmción es fls, pues el prtdo ) requiere l condición de que l mtriz A se no singulr, sin embrgo, en este cso Rngo (A), con lo que l mtriz es singulr Despej l mtriz X de l ecución AX B y clcúll siendo A y B. Se multiplicn por l izquierd por l invers de A los dos miembros de l ecución, que existe por ser Rngo (A). A AX A B X A B Por lo tnto: X 5 67

39 Mtrices 5 Dds ls mtrices P y A, hállese rzondmente l mtriz B sbiendo que BP A. (Cstill y León. Junio 6. Prueb B. Cuestión ) BP A B AP B AP 6 clcul l mtriz A que hg que: 4 A 5 (L Rioj. Septiembre 6. Propuest A. Ejercicio ) 4 A 5 A A clcul l mtriz X tl que A X A, donde A. (Extremdur. Septiembre 7. Opción B. Ejercicio ) A X A AX I X A + X A 68

40 Solucionrio 8 Hllr un mtriz X tl que A XA B, siendo: A B (Mdrid. Junio 5. Opción B. Ejercicio ) A X A B XA AB X ABA X ABA Determin, si existe, un mtriz A que verifique: A A A / / / / / /4 4 / A / / / / /4 / / / 5/6 / /4 / Encuentr un mtriz X que verifique A X + B I, siendo A B, 4 e I l mtriz identidd. AX + B I AX I B X A ( I B) X A B ( I ) 4 69

41 Mtrices consider ls mtrices: A B clcul l mtriz X que verific A X + B I, donde I represent l mtriz identidd. (Bleres. Septiembre 7. Opción A. Cuestión ) AX + B I AX I B X A ( I B) / / / / + / / / / / / X A ( I B) / / / / 4/ / / / / / resuelve l ecución mtricil XA + B C, donde A, B 4 y C XA + B C XA C B X ( C B) A + / / /4 / /4 / / / X C B A 5 4 /4 / /4 ( ) / / / /4 / / / / / /4 / / 7

42 Solucionrio resuelve l ecución mtricil A X + C B, siendo: A 4 B (Glici. Septiembre 5. Bloque. Pregunt ) C AX + C B AX B C X A ( BC) X A B C ( ) rzon si existe l mtriz invers de A y, en cso firmtivo, clcúll. resuelve l ecución mtricil A X + A I, donde X es un mtriz de orden e I es l mtriz identidd de orden. (Cstill-L Mnch. Año 7. Supuesto. Bloque. Pregunt A) C C + C Rngo( A) L mtriz A tieneinvers. + A AX + A AX A X A I I ( I A) X A A ( I ) 4 7

43 Mtrices 5 7 Sen ls mtrices A, B, x C y E 5. clculr M y z pr que verifique l ecución (AB t + C)M E. (Cstill y León. Junio 7. Prueb B. Problem ) ( AB t + C) M E ( 7 ) + 7 M M M 5 M /7 /7 /7 7 7 M /7 /7 /7 5 /7 5 6 Sen X un mtriz, I l mtriz identidd y B. Hllr X sbiendo que BX + B B + I. (Cstill y León. Septiembre 7. Prueb A. Cuestión ) BX + B B + B X+ B + X + B I ( I) I I ( B + I) X B ( B + I) I / / X B B + / / ( I) I + / / / / 5/ / / / 7

44 Solucionrio 7 resolver l ecución mtricil B(A + I) AXA + B, siendo: A B I (Cnris. Septiembre 7. Opción A. Cuestión ) B( A+ I) AXA+ B BA + B B AXA B AX A B X + X A B 8 clculr un mtriz cudrd X sbiendo que verific XA + BA A, siendo: A (Mdrid. Septiembre 7. Opción B. Ejercicio ) B XA + BA A XA A BA XA A B X I BA B A X IBA I AA I I I x 9 consider ls mtrices A y B. 8 8 Hll x pr que se cumpl A + B x x A + B x x 4 + x x x 8 8 x 8 6 x x x + 6 resolver los sistems mtriciles. ) X + Y b) X + Y 4 4 X Y 5 4 Y X 8 7

45 Mtrices ) b) + X Y + X Y 5 4 / X X 4 4/ Y / / 4/ 5 4 / + 4 X Y X Y 4Y Y X resolver el siguiente sistem mtricil: 4 8 A+ B 7 5A B 8 8 (Cnris. Septiembre 6. Opción A. Cuestión ) 4 8 A+ B 7 5A B A 6B 7 + 5A 6B A A B A B rzon si ls soluciones de ls siguientes ecuciones mtriciles son corrects. considermos como l mtriz nul. ) X Solución X b) XA Solución X c) X AX Solución X A 74

46 Solucionrio ) No es correct porque hy mtrices no nuls que multiplicds por sí misms dn l mtriz cero; por ejemplo, ls mtrices de orden del tipo k y k. k k k k b) Si l mtriz A tiene invers, l únic solución es X. Si no existe A puede hber otrs soluciones, tl como sucede en el cso nterior. c) Escribiendo l ecución en l form: X AX X( X A) se ve que puede hber otrs soluciones. Si un mtriz cudrd A verific A + 7A I, siendo I l mtriz unidd, clcul A en función de A. A + 7A I A(A + 7I ) I A A + 7I 4 Sen A un mtriz cudrd de orden n tl que A A, I l mtriz unidd de orden n y B A I. clcul B. B A I B (A I ) (A I ) 4A A A + I 4A 4A + I I 5 Si A y B son dos mtrices cudrds de orden y A es digonl, se verific AB BA pr culquier mtriz B? cómo deberí ser A pr que se cumplier est iguldd? No siempre se verific AB BA; por ejemplo: AB b c b c BA b c Vemos cómo debe ser A pr que se verifique siempre l iguldd: b b b b b b AB b b b b bb c bb bb b b b cb cb cb b BA b b b b b b b b b b b c b bb bb bb cb cb cb L iguldd de ests mtrices implic b c. Luego l mtriz A debe ser de l form A I. 75

47 Mtrices PREPARA TU SELECTIVIDAD k t k t Dds ls mtrices: A k y B k ) Hllr A. b) clculr l mtriz invers de B. c) En el cso prticulr k, hllr B. (Mdrid. Septiembre 5. Opción B. Ejercicio 4) k t k t ) A k k k k k t A k En generl: A n pr n A k t tk k b) k k k k k t k B ( tk ) k c) B B t t t t t t En generl: B n nt B t Se A l mtriz A. Pr cd número nturl n, hllr An. clculr A A + A. (Pís Vsco. Junio 6. Bloque A. Cuestión A) A A k k t k 76

48 Solucionrio 4 4 A n En generl: A n. A A + A + 9 9I 9 Dds ls mtrices: A y C, hállense ls mtrices X que stisfcen XC + A C + A. (Cstill y León. Junio 5. Prueb B. Cuestión ) A A L mtriz C tiene invers por ser de rngo. XC + A C + A XC C + A A X ( C + A A) C X CC I X 4 Encuentr ls mtrices A y B, sbiendo que verificn ls ecuciones mtriciles: A+ B M 9 6,siendo M A+ B N y N (Cstill-L Mnch. Año 5. Supuesto. Bloque. Cuestión B) A+ B A+ B A+ B A+ B B /5 9/5 B 5/5 /5 6/5 6/5 /5 9/5 77

49 Mtrices A+ B A+ B A /5 /5 /5 A /5 8/5 4/5 9/5 9/5 6/5 5 Se l mtriz A. ) comprueb que verific que A I, con I mtriz identidd y mtriz nul. b) clcul A. c) Bsándote en los prtdos nteriores y sin recurrir l cálculo de inverss, hll l mtriz X que verific l iguldd A X + I A. (Asturis. Septiembre 7. Bloque ) ) A A A A Luego se verific que A I. b) A I A I A A A A c) A X+ I A A X A I AX AA ( I) 4 X A A 6 Sen A, B e I ls mtrices: A 6 4 B 4 5 I Estudir si existe lgún vlor de λ R pr el cul se stisfg (A λi) B. (Argón. Junio 8. Bloque. Opción A) 78

50 Solucionrio λ λ 6 4 λ λ 4 5 λ λ 6 4 λ λ λ λ 4 5 λ + λ λ 6 4 λ λ+ λ λ λ Igulmos elemento elemento y resolvemos ls ecuciones que resultn. λ + 6 λ λ 4 λ λ+ λ λ + 5 m 7 Dd l mtriz A m : m + ) Estudi, según los vlores de m, el rngo de A. b) Pr m, clcul l mtriz X que verific XA + A I, siendo I l mtriz unidd de orden. (Glici. Septiembre 7. Bloque. Opción ) ) m m m m + m + m Si m Rngo A, solo hy un fil con elementos distintos de. Si m Rngo A. b) A. Existe A por ser Rngo (A). XA + A I XA I A X ( I A) A X A I 79

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