DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

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1 DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD El determinnte de un mtriz cudrd es un número socido ell y cuyo cálculo depende del orden de dich mtriz. Si es un mtriz cudrd de orden n n, el determinnte de l dich mtriz se denot por: o det( ). Determinnte de un mtriz de orden Pr clculr el determinnte de un mtriz cudrd de orden recomendmos plicr los siguientes métodos:. Regl de Srrus Es un método práctico y de fácil plicción. Se suelen encontrr dos forms en su plicción. Ejemplo : Clculr Primer form de l regl de Srrus - Se reescriben los elementos de l mtriz dd repitiendo ls dos primers fils. - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl principl (de izquierd derech) y se sumn los resultdos prciles: D princ D princ ()()() ( )( )() ()()( )

2 - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl secundri (de derech izquierd) y se sumn los resultdos prciles: D sec un D sec un ()()() ( )( )() ()()( ) 8 - El determinnte es l diferenci: D D 8 9 princ sec un Ejemplo : Clculr Segund form de l regl de Srrus - Se reescriben los elementos de l mtriz dd repitiendo ls dos primers columns. - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl principl (de izquierd derech) y se sumn los resultdos prciles: D princ D princ ()()() ()( )() ()( )( ) - Se multiplicn los elementos tomdos en el sentido de l digonl secundri (de derech izquierd) y se sumn los resultdos prciles: D sec un D sec un ()()() ()( )( ) ()( )() 8 - El determinnte es l diferenci: D D 8 9 princ sec un b. Método de los cofctores Este método si bien es bstnte mecánico, tiene l ventj de ser un método seguro. Su plicción supone mnejr los conceptos de menor complementrio ( M ) y cofctor ( cof ) de un elemento.

3 El menor complementrio del elemento, de un mtriz cudrd de orden n, denotdo por M, es el determinnte de orden n- que result de eliminr l fil i y l column j en l mtriz. El cofctor del elemento, de un mtriz cudrd de orden n, es igul i j ( ) veces su menor complementrio: cof ( ). M. i j Ejemplo : Clculr 8 - Se escoge un fil o column culquier. Escogemos l column - Se clculn los cofctores de los elementos de l column (o fil) escogid. cof ( ) M ( ). ().() 8 cof ( ) M ( ). ( ).( 8) 8 8 cof ( ) M ( ). ().( 8) 8 - Se multiplicn los elementos de l column (o fil) escogid por sus respectivos cofctores. El determinnte será igul l sum de los resultdos prciles..cof.cof. cof ().() ().(8) ( ).( 8) 7 Ejemplo : Clculr 8 - Se escoge un fil o column culquier.

4 Escogemos l fil - Se clculn los cofctores de los elementos de l fil (o column) escogid. cof ( ) M ( ). ().( 8) 8 cof ( ) M ( ). ( ).( ) cof ( ) M ( ). ().() - Se multiplicn los elementos de l fil (o column) escogid por sus respectivos cofctores. El determinnte será igul l sum de los resultdos prciles..cof.cof. cof ( ).( 8) (8).() ().() 7 Determinnte de un mtriz de orden Pr clculr el determinnte de un mtriz cudrd de orden recomendmos plicr los siguientes métodos:. Método de los cofctores Básicmente se plicn los mismos psos que pr el cálculo del determinnte de un mtriz cudrd de orden. L diferenci rdic en que en este cso los cofctores contendrán determinntes (menores complementrios) de orden. En generl, cunto myor el orden de l mtriz, más pesd se hrá l plicción de este método por lo que no es recomendble pr determinntes de orden myor que.

5 Ejemplo : Clculr - Se escoge un fil o column culquier. Se recomiend escoger quell que conteng el myor número de ceros. Escogemos l column - Se clculn los cofctores de los elementos de l column (o fil) escogid. Básicmente clculmos los cofctores correspondientes los elementos no nulos. cof ( ) M ( ). ().() cof ( ) M ( ). ().(8) 8 - Se multiplicn los elementos de l column (o fil) escogid por sus respectivos cofctores. El determinnte será igul l sum de los resultdos prciles..cof.cof.cof. cof ().() ().cof ( )(8) (). cof b. Método de reducción del orden Con este método se busc reducir l mtriz dd otr de orden que, l ser más simple, fcilite su cálculo. Esto se consigue plicndo un propiedd de los determinntes y luego el método de los cofctores. Propiedd: El determinnte de un mtriz cudrd no se lter si un fil (o column) se le sum (o rest) el múltiplo de otr fil (o column)

6 L ide es plicr est propiedd de mner que se generen ceros en un de ls fils o columns de l mtriz dd. Teng en cuent que si un fil o column tiene elementos no nulos, siempre será posible convertirlos en nulos excepto uno de ellos. Ejemplo : Clculr - Se escoge un fil o column culquier. Se recomiend escoger quell que conteng lgún. Mejor ún si demás contiene ceros. Escogemos l fil. - Tomndo como referenci el elemento unitrio (pivote), plicremos l propiedd menciond buscndo convertir en ceros los otros elementos de l fil. Recuerde: Si busc convertir en ceros los elementos de un fil, debe hcer operciones con columns. ls demás columns se le sumrá o restrá un múltiplo de l column del pivote (c ). L column del pivote no cmbi. Hcemos: c c ; c c ; c c () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) plicmos el método de los cofctores con l fil (o column) donde se generron los ceros, en este cso l fil..cof.cof.cof. cof ().cof ().cof ().cof (). cof

7 cof Nótese que hber convertido en ceros los elementos de l fil brevi los cálculos. ( ).M ( ) Resolvemos el determinnte resultnte de orden. Pr esto plique culquier de los métodos estudidos. ( ).( ) Ejemplo : Clculr - Se escoge un fil o column culquier. Se recomiend escoger quell que conteng lgún. Mejor ún si demás contiene ceros. Escogemos l fil. - Tomndo como referenci el elemento unitrio (pivote), plicremos l propiedd menciond buscndo convertir en ceros los otros elementos de l fil. Debemos hcer operciones con columns. ls demás columns se le sumrá o restrá un múltiplo de l column del pivote (c ). L column del pivote no cmbi. Hcemos: c c ; c c () () () ()

8 7 - plicmos el método de los cofctores con l fil (o column) donde se generron los ceros, en este cso l fil..cof.cof.cof. cof ().cof ().cof ().cof (). cof cof Nótese que hber convertido en ceros los elementos de l fil brevi los cálculos. ( ).M ( ). 7 - Resolvemos el determinnte resultnte de orden. Pr esto plique culquier de los métodos estudidos. ().() Pr reforzr este tem puede consultrse otrs entrds etiquetds como Determinntes del presente blog

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