TEMA 2. DETERMINANTES

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1 TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se represent A o det(a). Determinntes de orden. Consideremos l mtriz A = ( ) Su determinnte es el número rel : A = = Determinntes de orden. Consideremos l mtriz A = ( ) L regl de Srrus nos clcul el determinnte: A = + + Determinntes de orden n. Se A = ( ij ) un mtriz cudrd de orden n. Def. Se llm menor complementrio del elemento ij l determinnte de l mtriz de orden n- obtenido suprimiendo l fil i y l column j. Se represent α ij Def. Se llm djunto del elemento ij l número A ij = ( ) i+j α ij Def. El determinnte de un mtriz cudrd es igul l sum de los productos de los elementos de un culquier de sus fils o columns por sus djuntos respectivos. n A = ij A ij j= Propieddes de los determinntes.. EL determinnte de un mtriz tringulr es el producto de los elementos de l digonl principl.. El determinnte de un mtriz coincide con el de su trspuest.

2 . Si todos los elementos de un fil (o column) son, su determinnte es.. Si permutmos entre sí dos fils (o columns) de un mtriz cudrd, su determinnte cmbi de signo.. Si un mtriz tiene dos fils (o columns) igules su determinnte es. 6. Si se multiplicn todos los elementos de un fil (o column) por un constnte, el determinnte de l mtriz qued multiplicd por dicho número.. Si un mtriz tiene dos fils (o columns) proporcionles, su determinnte es. 8. Si todos los elemento de un fil ( o column ) son sum de dos sumndos, el determinnte descompone en sum de otros dos determinntes, sustituyendo l fil ( o column) por los primeros y segundos sumndos.. Si un fil (o column) le summos un combinción linel de ls restntes, el determinnte no vrí.. Si un fil (o column) es combinción linel de ls restntes, el determinnte vle.. El determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes. Rngo de un mtriz Se A = ( ij ) un mtriz cudrd de orden n. Def. Se llm menor de orden k de dich mtriz l determinnte de l mtriz cudrd obtenido por l intersección de k fils y k columns. Def. Se llm rngo de un mtriz l máximo orden de sus menores no nulos. Invers de un mtriz Se A = ( ij ) un mtriz cudrd de orden n. Def. Se llm mtriz invers de A l mtriz A tl que A A = A A = I n Propieddes.. L invers, si existe, es únic.. (A ) = A. (A B) = B A. (A t ) = (A ) t Un mtriz tiene invers si, y solo si, su determinnte es distinto de. L invers se clcul de l siguiente mner: A = (Adj(A))t A Donde Adj(A) es l mtriz formd por los djuntos de los elementos de A.

3 EJERCICIOS. Clcul los siguientes determinntes:. Hll: Clcul: b c b c c b. Clcul los siguientes determinntes: m m m m m c c c m c b b m c b. Clcul los siguientes determinntes: , 6. Hll el rngo de ls siguientes mtrices: A = ( ) B = ( 6) C = ( ) 8 6 D = ( ) F G

4 . Hll los vlores de k pr que el rngo de A se siendo A = ( ) k k 8. Hll el rngo de A según los distintos vlores de k donde A = ( k ) x k. Hll el rngo de A en función de x, donde A = ( x ) x. Hll l mtriz djunt de A.. Hll l mtriz invers de A.. Comprueb que A A I, con l mtriz del ejercicio nterior.. Resuelve l ecución mtricil X A B = C donde A, B y C. 6. Resuelve l ecución mtricil A X B = C donde A, B y C.. Dd l mtriz de A. Pr qué vlores de no existe A? Hll A pr =. 6. Sen A y B dos mtrices de orden tles que A = y B =. Hll rzondmente A, A B t, A B t y B A B.. Si A es un mtriz de orden tl que A =, cuánto vle A?

5 b c 8. Si el determinnte de l mtriz A d e f, verigu el vlor de g h h 6d e f d f e f e g h 6b i c y de c g i b h c b. i h. Hll el vlor de x x x x x x x x x 6. Dd un mtriz A cudrd de orden cuyo determinnte vle, cuánto vle el determinnte de A?. Sen F, F, F y F ls fils de un mtriz cudrd de orden, cuyo determinnte vle. Hll rzondmente: ) El vlor del determinnte de k A, donde k es un número rel no nulo. b) El determinnte de l mtriz que tiene por fils F F, F, F y F.. Dd un mtriz cudrd de orden que verific que A A. Hll los posibles vlores del determinnte de A.. Sen C, C yc ls columns de un mtriz cudrd de orden, cuyo determinnte vle. Se A l mtriz cuys columns son C, C C y C. Hll A.. Se considern ls mtrices A y B vlores del prámetro pr los que A B es invertible.. Encuentr los. Se considern ls mtrices A y ecución mtricil BA A AB X. B. Resuelve l 6. Siendo A y B. Resuelve A X B.

6 . Si A, B y C. Resuelve I B X A C. 8. Resuelve l ecución A B X A con A y B. Clcul l mtriz X que verific C B AX con 6 A, B y 8 C.. Estudi el rngo de l mtriz m A según los distintos vlores de m.. Estudi el rngo de l mtriz A según los distintos vlores de.. Estudi el rngo de l mtriz A según los distintos vlores del prámetro.

7 PAEU. Clculr el rngo de l mtriz ( ). (junio ). Si B es un mtriz cudrd de dimensión x cuyo determinnte vle, clcul el determinnte de B y el de B². (junio ). A) Averigur pr qué vlores de m l mtriz A = ( m) no tiene invers. m B) Clculr l mtriz invers de A pr m=. C) Sbemos que el determinnte de un mtriz cudrd vle - y que el determinnte de l mtriz A vle -6. Cuál es el orden de l mtriz A? (septiembre ). Se M un mtriz cudrd que cumple l ecución M²- M= I, donde I denot l mtriz identidd. s mtrices A = ( ) y B = ( ). ) Estudir si existe l mtriz invers de M. en cso firmtivo expresr M - en términos de M e I.. b b) Hllr tods ls mtrices M de l form ( ) que cumpln l ecución M²- b M= I. (junio ). A) Determinr en función del prámetro rel el rngo de l mtriz A = ( ). B) Se C un mtriz x de columns C y C y determinnte, y se B un mtriz x de determinnte. Si D es l mtriz de columns C y C -C, clculr el determinnte de l mtriz BD -. (septiembre ) 6. Sen ls mtrices A= ( ), B= ( ) y C= ( ). ) Clculr, cundo se posible, ls mtrices C B t, B t C y B C. b) Hllr pr que el sistem x A+y B= C de tres ecuciones y dos incógnits se comptible determindo y resolverslo pr ese vlor de. (junio ). Se l mtriz A = ( ) y B = ( ).

8 ) Pr qué vlores de l mtriz A es inversible? b) Estudir el rngo de según los vlores de. c) Hllr pr que se cumpl A = A. (junio ) 8. Clculr ls mtices y B tles que A + B = ( ) y A + B = ( ) (septiembre ) + +. Se l mtriz A = ( + + ) ) Discutir su rngo en función de los vlores de. b)pr =, resolver l ecución mtricil A t X = ( ), siendo A t l mtriz trspuest de A. (junio ). ) Dds ls mtrices A = ( ), B = ( ) y C= ( ). Resolver l ecución mtricil X A = B C. b) Sen F, F y F ls fils de un mtriz cudrd de orden cuyo de determinnte. Clculr rzondmente el vlor del determinnte de l mtriz cuys fils son respectivmente F -F, F y F. (septiembre ) m +. Dd l mtriz A = ( m + ), se pide: m ) Hllr los vlores de m pr los que l mtriz A teng invers. b) Pr m =, clculr, si es posible, l mtriz invers de A. (junio ) ( ). Consideremos l mtriz M = ( ( ) ). ) Clculr el rngo de M en función del prámetro A. b) Pr =, resolver l ecución M ( x y ) = 6 (x y ) (septiembre ). ) Discutir pr qué vlores de l mtriz M = ( ) tiene invers. Clculr M - pr =. b) Si B es un mtriz cudrd de orden y B = -, clculr B t, donde B t es l mtriz trspuest de B. (junio 6). ) Se AB es un mtriz cudrd de orden y A =. Tiene invers l mtriz A? Clculr A - y, (A -). b) Pr qué vlores del prámetro el rngo de l mtriz ( + ) es? (septiembre 6)

9 . S en A y B. ) Estudir si A y B tienen invers y clculrl cundo se posible. b) Determinr X tl que A X = B + I, siendo I (junio ) 6. ) Se M. Estudir, en función del prámetro, cundo M posee invers. Siendo A clculr A² y A -. (septiembre )

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