MOVIMIENTO DE RODADURA

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1 E.T.S.. Agrónomos. U.P.. OVENTO DE ODADUA Cuerpos rodntes. Considermos el moimiento de cuerpos que, debido su geometrí, tienen l cpcidd de rodr: eser, ro, disco, supericie eséric, cilindro poydo sobre su genertriz,... Estos cuerpos pueden deslizr, rodr o mbs coss simultánemente. Consideremos un eser de rdio que desliz sobre un supericie, por tnto se está trsldndo sin dr uelts, y por tnto todos los puntos de l eser tienen l mism elocidd de trslción. Ahor considermos que l eser no está poyd sobre ningun supericie, y que gir con elocidd ngulr ω ; los puntos superior e inerior de l supericie se mueen con elocidd ω respecto l centro de l eser (que se encuentr en reposo). En l igur se muestr un eser que tiene un moimiento de rotción. El punto más lto de l eser se muee hci l derech con elocidd ω respecto l centro (que está en reposo) y el punto más bjo se muee hci l izquierd con l mism elocidd ω respecto l centro, pero dirigid hci l izquierd Consideremos que l eser rued sobre un supericie. Cundo l eser h girdo un ángulo, el punto de contcto (A) entre l bol y el plno se muee un distnci s s A Como el centro de l eser se encuentr sobre el punto de contcto, el centro de gredd G tmbién se h moido l mism distnci s. s

2 E.T.S.. Agrónomos. U.P.. L elocidd del centro de gredd es por tnto ds d( ) G ω y l celerción del dt dt dg d( ω) centro de gredd es G α. dt dt Ests condiciones no deslizntes se denominn condiciones de roddur. El cuerpo está sobre el plno y rued con elocidd ω sin deslizmiento, se trt de un moimiento de rotción en torno un eje que ps por el punto de contcto. Ese punto está instntánemente en reposo. El punto superior se muee con elocidd, el centro de gredd se muee con elocidd y el punto en contcto con el suelo está instntánemente en reposo, como se obser en l igur. El moimiento es equilente que l eser gire con elocidd ngulr ω en torno un eje que pse por el centro de gredd y demás se trslde con un elocidd ω. De est orm, el punto superior se muee con elocidd de trslción y elocidd debid l rotción ω (es decir + ω) y el punto en contcto con l supericie está en reposo porque se muee con elocidd de trslción y elocidd de rotción ω porque hci l izquierd (es decir ω 0 ). Y el centro de gredd se muee con elocidd de trslción y sin elocidd debid l rotción. Ddo que el moimiento puede considerrse como l combinción de un moimiento de trslción y un rotción en torno un eje que ps por el centro de gredd, podemos hcer un reducción en el punto de contcto de orm que el moimiento de roddur es equilente un rotción pur plicd en el punto de contcto. Si se consider como un rotción pur en torno l eje de contcto, se debe cumplir l ecución undmentl de l dinámic de rotción α C Si se consider como un trslción y un rotción se debe cumplir l ecución de l dinámic de trslción C G y de l rotción α ientrs existe roddur (rued sin deslizr) el suelo ejerce un uerz de rozmiento sobre l eser, es un uerz de rozmiento estátic AZ μn, y no hy disipción de energí mecánic; en este cso se tiene rodmiento con deslizmiento. En el moimiento de roddur l energí mecánic se conser.

3 E.T.S.. Agrónomos. U.P.. Cundo un objeto se desliz mientrs rued, l condición no desliznte dej de cumplirse. Es el cso de un bol que se lnz en un boler con elocidd inicil pero sin rotción inicil. Cundo l bol desliz lo lrgo de l pist, el rozmiento cinético hce que se disminuy l elocidd linel inicil, demás d lugr que l bol comience rodr. L elocidd linel decrece y l elocidd ngulr ument hst que se lcnz l condición de roddur. Cíd de cuerpos rodntes por un plno inclindo. Consideremos un conjunto de sólidos que tienen cpcidd de rodr, esto es un cilindro, un supericie eséric, eser, ro y disco Cundo un cuerpo rodnte se encuentr sobre un plno inclindo, dependiendo del lor del ángulo de inclinción el cuerpo rued o desliz; pr clculr el lor del ángulo crítico prtir del cul el cuerpo no rued sino que desliz, considermos que el plno está inicilmente en posición horizontl y mos inclindo. Al ir inclinndo el plno el cuerpo comienz rodr sin gsen deslizr pero llegrá un momento en el que el cuerpo comienz deslizr, dejándose de cumplir l condición de roddur Cuándo se produce? Pr que lor del ángulo ocurre?. gcos g Supericie eséric Eser Disco Aro

4 E.T.S.. Agrónomos. U.P.. A medid que mos inclinndo el plno prece un uerz de rozmiento estático (), de orm que se conser l energí mecánic. Se pretende determinr, l uerz de rozmiento, l celerción linel con que se muee el centro de gredd y l celerción ngulr. Todos ellos dependen del momento de inerci del cuerpo rodnte. El peril de todos los cuerpos rodntes en un plno inclindo es el mismo; en l igur se muestrn ls uerzs que ctún durnte el moimiento de roddur del cuerpo. gsen gcos g Durnte el moimiento de rotción se eriic que C '', demás se cumple '' de donde (1) de donde l uerz de rozmiento es Por otr prte se eriic que F de donde g sen (). Sustituyendo l uerz de rozmiento en () se tiene gsen de donde l celerción del centro de gredd, en unción del momento de inerci correspondiente, es g sen de donde l uerz de rozmiento es + g sen Si en lugr de clculr el momento de ls uerzs respecto l eje que ps por el centro de gredd, lo clculmos respecto l eje que ps por el punto de contcto (eje ) se tiene C ' ' g sen () y teniendo en cuent que ' ' se tiene gsen Z + de donde l celerción es g sen (4). De l ecución F se tiene g sen (), e introduciendo el lor de l celerción obtenido en l ecución (4) se deduce que l uerz de rozmiento es

5 E.T.S.. Agrónomos. U.P.. g sen( ) Por tnto, pr ls igurs seleccionds, l plicción de ls expresiones g sen + y g sen proporcion los lores mostrdos en l tbl. + Aro Disco Supericie eséric Eser Lπ ro σπ Aπ A4π V4/π disco σπ sup.es σ4π eser ρ4/π 1 ro disco sup. es. Vπ H cilindro ρπ H 1 eser cilindro ro su. es. cilindro disco eser Si el plno inicilmente está horizontl, y se inclinndo lentmente, prece l uerz de rozmiento estátic porque el punto de contcto está instntánemente en reposo, y por tnto no se disip energí; el lor de l uerz de rozmiento depende del ángulo de inclinción, y prtir de un lor crítico del ángulo el cuerpo no rued sino que desliz. Pr clculr dicho ángulo, tenemos en cuent que el lor de l uerz de rozmiento es μ N, por tnto con e el lor de l uerz de rozmiento clculdo nteriormente g sen μ g cos e + se deduce el lor de l tngente del ángulo crítico Aro Disco Supericie eséric Eser 1 g sen g sen g sen g sen g sen mg sen mg sen mg sen mg sen mg sen tg μ tg μ tg μ tg μ tg μ

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