Electricidad y Magnetismo - FIS1533 Interrogación 1 Martes 10 de Abril de 2012 Profesores: María Cristina Depassier, Max Bañados y Sebastián A.

Transcripción

1 Electricidd y Mgnetismo - FIS1533 Interrogción 1 Mrtes 10 de Abril de 2012 Profesores: Mrí Cristin Depssier, Mx Bñdos y Sebstián A Reyes - Instrucciones -Tiene dos hors pr resolver los siguientes problems -Se clro y ordendo -Escrib los resultdos finles de cd problem con lápiz pst, de lo contrrio perderá el derecho recorrección -Todos los problems tienen el mismo peso en l not finl - Problem 1 Ocho prtículs puntules con crg están ubicds en los vértices de un cubo de ldo como se muestr en l figur Llmremos P l punto ubicdo en el centro de l cr del cubo ue yce sobre el plno y = (ver figur) () Determine el cmpo eléctrico producido en el punto P por ls cutro crgs ue se ubicn en y = (1,5 ptos) (b) Encuentre el cmpo eléctrico en P producido por l crg ubicd en el origen (1,5 ptos) (c) Clcule el cmpo eléctrico totl en el punto P (1,5 ptos) (d) Encuentre l energí potencil totl (U) del sistem (1,5 ptos) z P y x 1

2 Problem 2 Considere un cilindro sólido infinito de rdio El cilindro tiene un densidd volumétric constnte de crg ρ 0 Además, sobre su mnto existe un densidd superficil de crg σ 0, tmbién constnte () Determine el cmpo eléctrico E en todo el espcio (3 ptos) (b) Integrndo el cmpo cmpo eléctrico propidmente, determine el potencil eléctrico V en todo el espcio En este cálculo sum ue potencil V es cero un distnci 2 del eje del cilindro (3 ptos) Problem 3 Un esfer conductor de rdio se encuentr en el interior de un cscrón esférico conductor de rdio interior b y rdio exterior c L esfer interior se encuentr potencil V 1 y el cscrón potencil V 2 () Clcule l crg totl ue tiene l esfer de rdio (1,5 ptos) (b) Clcule l densidd de crg en l prte exterior del cscrón (superficie de rdio c) (1 pto) (c) Clcule el potencil en todo el espcio: r <, < r < b, b < r < c y r > c (1,5 ptos) Si l esfer exterior se conect tierr, (d) Cuánto vldrá el potencil en r > c? (1 pto) (e) Qué crg totl tendrá el cscrón esférico? (1 pto) 2

3 Sol Problem 1 () El punto P está ubicdo en l posición r P = 2î + ĵ + 2 ˆk, es decir, l centro del cudrdo formdo por ls crgs ubicds en y = Por lo tnto, es fácil drnos cuent ue, como ls crgs son igules, el cmpo se cncel en el punto P E P = 0 (b) Sbemos ue el cmpo eléctrico producido en l posición r P por un crg puntul situd en el origen es, r P E 0 = 4πɛ 0 r P, 3 donde, r P = (/2) (/2) 2 = 3 2 Entonces, reemplzndo demás el vlor de r P ue escribimos en () obtenemos, E 0 = 4πɛ 0 2 ( ) 3/2 ( î + ĵ + 1 ) 2 ˆk (c) En l prte () y estblecimos ue en el punto P el cmpo totl producido por ls crgs en y = es cero Por lo tnto, el cmpo eléctrico totl en P corresponde l producido por ls cutro crgs en y = 0 Otr vez es conveniente provechr ls simetrís del problem y drnos cuent ue el cmpo en P debe tener sólo componente ĵ, ddo ue ls componentes en el plno xz se cnceln Finlmente, nos dmos cuent tmbién ue ls componentes ĵ contribuíds por cd un de ls cutro crgs en y = 0 son igules l componente en es dirección del cmpo producido por l crg en r = 0 y ue clculmos en l prte (b) Entonces, E T OT = 4 4πɛ 0 2 ( ) 3/2 2 ĵ 3 (d) Pr obtener l energí potencil del sistem debemos encontrr tods ls prejs posibles de prtículs con sus respectivs distncis Pr esto es útil imginr (o dibujr) ls línes uniendo ls crgs Por ejemplo, ls rists del cubo nos indicn tods ls lines 3

4 de lrgo uniendo ls crgs Ests son 12 en totl L energí potencil contribuid por ests prejs es entonces, U = πɛ 0 Luego, podemos considerr ls prejs ue se ubicn en los extremos de ls digonles de ls crs de los cubos ue están un distnci 2 Son 6 crs, con dos digonles cd un, en totl 12 prejs con est distnci entre ells L contribución de ests prejs l energí potencil es U 2 = πɛ 0 2 Por último, existen tmbién prejs ue se ubicn en vertices opuestos del cubo, es decir, un distnci 3 L cntidd de prejs posibles de este tipo son 4 Su contribución l energí potencil es, U 3 = 4 2 4πɛ 0 3 Finlmente, l energí potencil totl es U = U + U 2 + U 3 = ( ) 4πɛ Sol Problem 2 1 r < Consideremos un superficie de Guss definid como un cilindro sólido de rdio r < y lto L prlelo l eje de simetrí del cilindro originl L ley de Guss implic l iguldd Q(r) = E d s (1) ɛ 0 r Q(r) es l crg contenid en el interior del cilindro de rdio r <, Q(r) = πr 2 Lρ 0 (2) (Auí l crg superficil σ 0 no jueg ningún rol) Sobre el mnto del cilindro de rdio r, el cmpo eléctrico es prlelo l vector d s, E ds = E r 2πrL (3) r 4

5 Sobre ls tps del cilindro, E es perpendiculr d s y no hy controbución Igulndo (2) con (3) encontrmos, E = rρ 0 2ɛ 0 ˆr (4) r > El cálculo en este cso se hce exctmente igul L únic diferenci es ue hor l crg totl contribuye l densidd superficil σ 0 (Otr diferenci es ue l crg totl contenid en l superficie de Guss no crece con r) L crg contenid en l superficie de Guss es Q = π2 Lρ 0 ɛ 0 + 2πLσ 0 ɛ 0 (5) El flujo de cmpo es igul ue en el cso nterior E ds = 2πLrE r (6) y se obtiene r ( E 2 ρ 0 = + σ ) 0 ˆr 2ɛ 0 ɛ 0 r 2 El potencil se puede encontr integrndo el cmpo eléctrico Fijndo el cero del potencil en el punto r = 2 se tiene V (r) = = r=2 r=2 (7) E d r (8) E r dr (9) pr clculr V (r) solo debemos reeemplzr los vlores del cmpor eléctrico encontrdos en () en est fórmul r > ( V (ext) 2 ρ 0 (r) = + σ 0 r=2 2ɛ 0 ɛ 0 ( 2 ρ 0 = + σ ) 0 ln(r) 2ɛ 0 = ɛ 0 ( 2 ρ 0 2ɛ 0 + σ 0 ɛ 0 5 ) ln ) 1 dr (10) r r (11) r=2 ( r ) (12) 2

6 r < En este cso hy un peueñ complicción puesto ue debemos seprr l integrl en un trmo exterior y otro interior, V (int) (r) = r=2 E r (ext) dr = V (ext) rρ 0 () dr r= 2ɛ 0 = V (ext) () ρ r 0 r 2 4ɛ 0 r= E r (int) dr = V (ext) () ρ 0 4ɛ 0 (r 2 2 ) (13) donde V (ext) () es el potencil exterior clculdo ntes evludo en el punto r = Sol Problem 3 ) Supongmos ue l crg en l esfer interior es Q El cmpo en l región entre y b es debido solmente l crg en l esfer interior, y ue por simetrí l crg de l esfer exterior no produce cmpo Entonces pr < r < b el cmpo es y por lo tnto E I ( r) = kq r ˆr 2 b b ( dr 1 V 2 V 1 = E I d r = kq r = kq 2 b 1 ) de donde se despej l crg ue se pide clculr Q = kb(v 1 V 2 ) b b) Si l crg en l esfer de rdio es Q, ddo ue el cmpo eléctrico en el cscrón conductor es 0, el teorem de Guss nos dice ue en l pred intern r = b del conductor se deposit l crg Q En l pred extern se deposit un crg Q c ue nos piden clculr El cmpo pr r > c será entonces E II ( r) = kq c r ˆr 2 6

7 y en est región c V 2 V ( ) = E II d r = kq c c Podemos elegir ue el potencil se cero en infinito y ue ls crgs están en un región cotd, de modo ue l crg en l prte extern del cscrón es Q c = cv 2 /k c) Se nos pide clculr el potencil en todo el espcio Pr r > c V (r) V ( ) = ue reemplzndo Q c no es más ue E II d r = kq c r V II (r) = V 2 c r El potencil en el espcio entre los conductores es V (r) V 2 = Reemplzndo Q y despejndo ued b E I d r == kq ( 1 r 1 b V I (r) = V 2 + (V 1 V 2 )(b r) (b )r Verificmos ue V I () = V 1, V II (b) = V 2 d) Si l esfer exterior se conect tierr el potencil en r > c es cero, puesto ue el potencil del cscrón será cero No hbrá crg en su superficie extern r = c, el cmpo en r > c será cero y el potencil constnte e igul cero e) L crg totl en el cscrón será Q, depositdo en l superficie intern Otr mner de hcer este problem es l siguiente: r b Dd l simetrí esféric del problem, el potencil en l zon intermedi tendrá l form V (r) = Q 1 4πɛ 0 r + V 0 (14) ) 7

8 donde Q es l crg en l superficie del conductor interior, y V 0 es un constnte Puesto ue conocemos el potencil en r = y r = b, ls constntes Q, V 0 se pueden encontrr medinte ls conditiones Q 1 4πɛ 0 + V Q 1 0 = V 1, 4πɛ 0 b + V 0 = V 2 (15) Restndo mbs ecuciones V 0 es elimindo y encontrmos un relción pr Q en función de V 1, V 2 L solución es, Q = 4πɛ 0 (V 1 V 2 ) b b (16) Por otro ldo, multiplicndo (2) por, y (3) por b, y luego restndo mbs ecuciones l crg Q es elimind y encontrmos un ecución pr V 0 cuy solución es: V 0 = bv 2 V 1 b (17) El potencil en l zon r b finlmente es V (r) = b V 1 V 2 + bv 2 V 1 b r b (18) Podri prcer extrño ue este potencil no es cero cundo r = Este resultdo es válido en l zon r b Por lo tnto no es correcto evlurlo pr r > b El cmpo eléctrico en este zon será: E = V = y proceder de l mism mner pr r > c b V 1 V 2 ˆr (19) b r 2 8