INDICE Potencial Eléctrico, debido a una carga Q.

Transcripción

1 INDICE CONTENIDO AGINA UNIDAD I. Segund prte 10% otencil Eléctrico 13 otencil debido crgs 13 puntules Superficies equipotenciles. 14 roblems 14 roblems de potencil Eléctrico otencil eléctrico Así como el cmpo eléctrico describe l fuerz por unidd de crg que se ejerce sobre dich crg ubicd en ese cmpo, l energí potencil puede interpretrse por unidd de crg. Este concepto es el de potencil eléctrico. El potencil eléctrico es entonces, energí potencil eléctric por unidd de crg: V p = U/q El potencil se mide en voltios en el SI y equivle 1 joule por coulomb. El potencil tmbién es llmdo por otros utores voltje, cíd de tensión, diferenci de potencil. El potencil V b, esto es, el potencil en el punto con respecto l potencil en el punto b, es igul l trbjo relizdo por l fuerz eléctric cundo un unidd de crg se mueve de b otencil Eléctrico, debido un crg Q. Un crg Q es l fuente de un potencil eléctrico V en un punto ubicdo un distnci r de est crg. V = K Q/ r (Ec: 1) Donde Q= crg que produce el potencil eléctrico. r= distnci entre l crg y el punto donde se dese determinr el potencil eléctrico. Antes de continur con un ejemplo, es importnte señlr lo siguientes spectos: Si r tiende l infinito el potencil es cero, por tl motivo se dice que el potencil en el infinito es cero Cundo se tiene un distribución de crgs puntules q1, q2, q3 fijs en el espcio y se quiere determinr el potencil resultnte en un punto debido est distribución de crgs, se procede en l form siguiente:. Se clcul seprdmente los potenciles V1,V2, V3 que cd un de ls crgs fuentes origin en el punto. b.se efectú l sum lgebric de los potenciles obtenidos considerndo como positivos los potenciles credos por crgs positivs y como negtivos los credos por ls crgs negtivs. Designndo por V el potencil resultnte se obtiene: V = V1 V2 V Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

2 Ejemplo Nº31: Determinr el vlor del potencil eléctrico credo por un crg puntul q1=12 C en un punto (p) ubicdo 10 cm. so Nº1: V = K Q/ = 12K/0,1 mts V= 120 voltios Ejemplo Nº32: Dos crgs eléctrics q 1=3x 10 6 C y q 2= 9x10 9 C, están en el vcío seprds por un distnci de 4 m. Clculr en que punto de l rect que ls une el potencil eléctrico es nulo. so Nº1: ubicmos el punto màs cerc de l crg de menos mgnitud, porque debemos compensr con l distnci, es decir, en l medid que uno se leje de un crg, el potencil tiende disminuir. V1 =kq1/x y V2 =kq2 / (4x) Como V 1 = V 2, tenemos : kq1/x =kq2 / (4x), eliminmos ls k, y sustituimos los vlores de ls crgs: 4x=3x entonces x=1 mts q1 p q2 x 10 cm 4 cm 12c F:1.52 F: otencil Eléctrico debido un distribución continú de crgs. Se vn presentr tres tipos de distribuciones, (muy precido fuerz y cmpo eléctrico pr cd un se posee un integrl: 2.1. Distribución Linel: l densidd de crg linel λ = Q/L V= K dq/r 2.2. Distribución es Superficil, l densidd de crg superficil es σ = Q/A. V= K dq/r 2.3.Distribución Volumétric, l densidd de crg volumétric ρ = Q/V V= K dq/r Ejemplo Nº33 Se posee un brr de longitud L, con un densidd linel λ y un crg totl Q, determinr:. El potencil en el punto p. b. L diferenci de potencil entre V pv p1 f.1.54) (ver figur so Nº1: Ecuciones: λ = q/l pero dq = λ dl= λdx, E= K dq/r 2 = k λdx/r 2 so Nº2: Asumiendo el origen donde se encuentr el punto p, tenemos que los límites de integrción vn desde Xo hst (XoL). b 1 F: Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

3 so Nº3: or otro ldo l distnci entre el dx y el punto es r, pero tmbién l distnci entre dx y el origen es x, en tl sentido r=x. so Nº4: Finlmente nos qued l integrl de l siguiente form: Vp = k λdx / (x) so Nº5: r encontrr l diferenci de potencil, nos flt buscr el potencil que produce l distribución en el punto 1. Esto lo hcemos igul, como en los psos nteriores, pero colocndo el origen en 1. Entonces los límites son: (XoLb) hst ( Xob ). Y el potencil pesr que tiene l mism integrl, l evlur v tener un menor potencil en 1, debido que se encuentr màs lejos de l distribución linel: Vp = k λdx / (x) El potencil Viene ddo: V= K dq/r, donde: r 2 = H 2 2. y los límites vn de 0º hst 2π, y dq =λ dθ, sustituimos y obtenemos: V= K λ dθ/( H 2 2 ) 1/2 = λ 2π/( H 2 2 ) 1/2 [v] Superficies Equipotenciles y el Trbjo: Superficies equipotenciles Un superficie equipotencil es quéll en l cul todos sus puntos tienen el mismo potencil eléctrico, por lo que el trbjo relizdo pr trnsportr un crg eléctric de un punto otro sobre dich superficie es nulo. Tmbién se puede decir, que l dirección del cmpo eléctrico siempre v de ls regiones de myor menor potencil eléctrico. En l figur 1.57, se comprueb lo ntes descrito, l plc de l derech tiene un myor potencil (por ser positiv) y l de l izquierd es negtiv, entonces, el cmpo v de l plc positiv l negtiv. E so Nº6: or lo tnto l diferenci viene dd: VpVp1 Ejemplo Nº34 Se posee l siguiente distribución linel de rdio, un ltur h del centro de l distribución se encuentr el punto p, encontrr el potencil en p. so Nº1: Ecuciones: λ = q/l pero dq = λ dl= λdx, H F:1.55 el trbjo, hecho por el gente externo (fuerz) de mover un crg de prueb desde un punto otro viene ddo: W = q (VfVi) Ejemplo Nº35 Del ejemplo nterior (#3), se dese encontrr el trbjo, en trsldr un crg de prueb q o entre los siguientes puntos.. Desde el infinito hst 1. b. Desde el infinito hst. c. Desde el punto 1 hst. F: Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

4 so Nº1: De ejemplo nterior se conocen Vp y Vp1, fltrí el potencil en el infinito, y por lo y dicho nteriormente V = 0 voltios. so Nº2: El W desde el infinito hst 1., signific trer un crg qo de prueb desde el infinito hst el punto p1, por lo tnto est diferenci de potencil se reduce: W = qo ((Vf1Vi )= qo ((Vf1) so Nº3: Desde el infinito hst el punto p, nos qued: w= q o (V pv i ) = q o (V f). so Nº4: Desde el punto 1 hst., W = q((vpvp1) Energí otencil Eléctric (U) Si un crg de prueb q o se mueve trvés de un diferenci de potencil, se puede decir que su energí potencil (U) cmbi y viene dd: U = Uf Ui = qovfi L fuerz eléctric producid por crgs estátics es conservtiv, por lo tnto el trbjo hecho por un fuerz de este tipo no depende de l tryectori, que un crg describe desde su posición inicil hst l finl. Entonces, el trbjo relizdo por l fuerz en un crg de prueb desde un posición inicil hst l posición finl viene ddo: W = U Si se plic l conservción de l energí se tiene : U K = 0, est ecución es muy versátil, nos permite encontrr dtos de velocidd de l crg en culquier punto de su tryectori si conocemos los potenciles en cd punto. Cso especil energí de un sistem de crgs: Si se posee un sistem de crgs, l energí potencil es l sum de todos los términos, evitndo que se repitn términos, en l ecución. Not:L unidd de energí es el Electrónvoltios (1eV = 1.6x10 19 Joule), que represent l energí que dquiere o pierde un electrón l moverse trvés de un diferenci de potencil de 1 voltio Ejemplo Nº 35. Dd l siguiente configurción, encontrr l energí totl del sistem. so Nº1: r determinr l energí potencil de tod l configurción, es necesrio sumir que un de ls crgs de l configurción se mueve y está psndo justmente por el punto dónde estb ubicd, por lo tnto, se tienen que sumir por seprdo que cd crg se muev. so Nº2: busquemos l energí potencil sobre cd crg y los productos que se repiten no se tomn en cuent. U2C = 2 ( V4C V3c) U4C = 4 ( V2C V3c) U3C = 3 ( V4C V2c) 2c 4 mts 3 mts 4c 3c F: Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

5 L Energí Ut = 2 V4C 2V3c 4 V3c) Joule Como el potencil eléctrico se mide en voltios, se le suele llmr voltje. Se puede hblr de los voltjes en distints posiciones de un cmpo eléctrico, hy o no hy crgs en dichs posiciones. Si te frots un globo en el cbello, el globo dquiere un crg negtiv que produce un potencil de, quizá, vrios miles de voltios. Aunque el voltje del globo crgdo es elevdo, l energí potencil eléctric es bj debido que l cntidd de crg es pequeñ. Este ejemplo reslt l diferenci entre l energí potencil eléctric y el potencil eléctrico. Recuerd tmbién que l fuerz y el cmpo eléctrico son mgnitudes vectoriles, y deben sumrse vectorilmente, mientrs que el potencil eléctrico y l energí potencil eléctric son esclres, y pueden sumrse de form norml. Ejemplo Nº36 Se dese determinr l velocidd, que tiene l crg q en el punto p, si prte desde el infinito y se dirige l distribución linel positiv. Ver figur F:1.52 so Nº1: Usmos l ecución W = U, donde el trbjo viene ddo: W = KfKi, sustituimos y obtenemos: q H F:1.52 KfKi = [qviqvf). Ahor vmos ver que términos se nuln debido ls condiciones del problem. so Nº2: Como l crg q prte del infinito el potencil inicil (en el infinito) es igul cero, y como prte del reposo l energí cinétic inicil es cero (en cso que se dig que posee un velocidd, y no es cero). so Nº3: or lo tnto l ecución se reduce : Kf = [ qvf). Vmos clculr cd un: K = ½ mv 2 y V = es el potencil generdo por l distribución en el punto p viene ddo: V = λ 2π/( H 2 2 ) 1/2 [v].vmos dejr l letr V, pr tod l resolución pero sin confundirl con l velocidd que es v. Entonces sustituimos: ½ mv 2 = qv v = [2qV/m ] 1/2 Ejemplo Nº37. Un electrón entr en un región con un cmpo eléctrico uniforme credo por dos plcs prlels, uniformemente crgds con potenciles de 100 voltios y 150 voltios, tl como se muestr en l figur Nº1.52, l velocidd inicil del electrón es 5x10 6 m/s, determine l velocidd del electrón cundo sle del cmpo. 150V 100V E F:1.52 F:1.53 so Nº1: El cmpo E, v de l plc positiv l negtiv (es contrrio l velocidd del electrón), por lo tnto l fuerz sobre el electrón viene dd: F = qe (1), como q=e e 5 Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

6 so Nº2: F = ee, en vist que l crg v de un potencil menor (150v) uno myor (100 v), sldrá con un rpidez myor, en este sentido plicmos el teorem de trbjo y energí (W=q U). KfKi = [qviqvf). Sustituimos y nos qued: 1/2mevf 2 = 1/2mevi 2 e (VfVi) = 10x10 7 m/s Diferenci de otencil Eléctrico y Ley de Guss. Se define como l vrición de l energí potencil por unidd de crg. Se puede determinr por medio de:. VfVi = E dl Cos θ V fv i = diferenci de potencil. E = Cmpo determindo por Guss. dl = diferencil de longitud Est ecución generlmente se emple cundo se conoce el cmpo eléctrico y nos piden l diferenci de potencil y si uno de los puntos est en el infinito podemos encontrr el potencil en un punto llmdo tmbién potencil bsoluto. El cmpo se determin por l Ley de Guss generlmente, de lo contrrio plicmos l Ley de Coulomb. Ejemplo Nº38. Se posee un cscrón esférico de rdios y b, con un densidd ρ, determinr: I. El potencil en un punto p ubicdo sobre el rdio b. b F:1.57 II. El potencil en un punto 1 ubicdo sobre el rdio. III. L diferenci de potencil V p1v p. so Nº1: L ecución utilizr es: V fv i = E dl Cos θ, y sumimos en este tipo de ejercicios que un crg de prueb prte del infinito (si el problem no nos dice nd), entonces el Vi = 0 ( recuerde que el potencil en el infinito es cero y de hì prte l crg de prueb), l ecución se reduce: V p = E 1 dl 1 Cos θ 1, so Nº2: Ahor buscmos un cmpo que encierre l punto de llegd y que siempre teng l mism crg encerrd desde que se prte del infinito y se r lleg l punto p, en este cso se sume un gussin r>b, y l crg encerrd en : Q enc1 = Q v, E1 donde Q v = 4 ρ π(b 3 3 )/3 so Nº3: Vmos encontrr el dl1 y θ1. Se observ que : Cos θ1 = 1 y dl=dr dl1 so Nº4: Finlmente l ecución nos qued: V p = E 1 dr, y los límites desde: ( b) so Nº5: r encontrr el potencil en 1, tenemos que volver plnter el ejercicio, pero sumiendo hor que l crg de prueb se trsld desde el infinito hst 1, pero no se puede hcer un sol integrl, como en el cso nterior, qo F: Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

7 porque durnte el recorrido desde el infinito hst 1, l crg encerrd cmbi y es necesrio plnter dos integrles pr el potencil, un: que v desde el infinito hst el punto ( y clculdo en los psos nteriores) y otr desde hst 1, que es l que vmos buscr hor. V p1 V p = E 2 dl 2 Cos θ 2 note, que es otro cmpo, otro dl y un nuevo ángulo, se procede buscr cd uno, como se hizo nteriormente. despejmos Vp1, V p1 = E 2 dr V p so Nº9: r l diferenci de potencil solmente se busc el cmpo que hy entre los dos puntos, V p1 V p = E 2 dr, 1.13.roblems so Nº6: Se coloc un gussin en:. <r<b, encierr un prte del volumen de crg por lo tnto : ρ = Q/V y V = 4 πr 3 /3 sustituimos y despejmos l crg: Q = (ρ 4 πr 3 )/3 luego derivmos l crg y el rdio (son los que vrín) dq = ρ ( 4 πr 2 )dr donde, se procede integrr el volumen que contiene l crg encerrd. dq = ρ ( 4 πr 2 )dr (integrndo r) Q = ρ 4 π/3 R 3 = ρ 4 π(r 3 3 )/3 E = Q /ε =Q /(4 πr 2 ε) [N/C] so Nº7: Vmos buscr hor el dl2 y θ2. Se observ que : Cos θ2 = 1 y dl=dr so Nº8: Finlmente l ecución nos qued: V p1 V p = E 2 dr, y los límites desde: (b ), q E2 dl2 b r 1. El cmpo eléctrico en un punto especil es cero, explique si debe ser cero el potencil en ese punto. 2.El Cmpo eléctrico estático es cero dentro de un conductor. De esto se deduce que necesrimente el potencil dentro del conductor se cero?. (Resp: No) 3.Dos crgs positivs están seprds un distnci, Existe un punto sobre ls línes que ls une donde el cmpo es cero?, es posible logrr que el potencil se cero en es mism tryectori?. 4.Se poseen dos esfers un de rdio R y otr de.4 rdio 2R, con crgs q y Q respectivmente, se conectn por medio de un lmbre conductor, encontrr:.los potenciles eléctricos. b. Qué esfer tiene más crg l finl. (Resp: q=q/2) c. Dónde l mgnitud del cmpo eléctrico es myor. (Resp: en l esfer de menor rdio).5 5.Dd l siguiente distribución superficil (positiv) con un rdio interno y externo b. Encontrr el potencil en el punto p. Resp: Vp = k σdrdθ/ (R 2 H 2 ) 1/2, integrndo: rdio desde b y el àngulo oº 2π σ q Q 7 Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017

8 6. Se posee l siguiente distribución linel de longitud L, se dobl en un rco circulr de rdio R y brc un ángulo α (ver figur.6).. Encuentre el potencil en el centro del rco circulr. b. L vrill se estir de mner que form un círculo del mismo rdio, l crg totl permnece sin cmbios, cuál es el potencil en el centro de círculo. Resp:Vp = krdθ/r integrndo desde 3π/2 Θ 3π/2 α λ 8 Encontrr el potencil en el punto p debido l distribución linel. V p= K λdx / h 2 x 2 ) 1/2 r p13 E h F:1.2 Ө x 7. Dds ls siguientes crgs puntules, encontrr energí del sistem. Si cd ldo tiene un longitud. Resp(robNº7): quitmos : 5c U p5c=(4k/6k/2 1/2 4k/) J 4c Up4c=(6k/4K/2 1/2 ) J 6c Up6c=(4k/) J Ut =Up5c Up4c (4k/ Up6c J.7 5c 4c 4c 6c 9 Tenemos tres crgs de 4,5 y 6 culombios situds en los vértices del triángulo (2,0), (6,0) y (4,3), respectivmente. Clculr el potencil eléctrico en el punto (4,0), sí como l energí potencil que tendrí llí un crg de 3 culombios.. (4,3) 6c : 8 Apuntes físic II (potencil eléctrico) UnexpoVEBI. Docente: Ing: Freddy Cbllero. 2017