PROBLEMAS DE INTERACCIÓN ELÉCTRICA RESUELTOS

Transcripción

1 PROBLMAS D ITRAIÓ LÉTRIA RSULTOS PROBLMAS DL URSO Dos prtículs de 1 y +1 se encuentrn, respectivmente, en los puntos (0,0) y (6,0) de un sistem de coordends. lcul: ) L intensidd del cmpo en el punto P (,). Hll su vlor numérico, diuj el vector y expréslo en sus componentes. ) l potencil en el punto P (,). c) l trjo que reliz el cmpo credo por l crg de 1 cundo l crg de +1 se trsld del punto Q (6,0) hst otro fuer del cmpo. Interpret el signo del resultdo. Dtos: k = m /. Ls coordends están en metros. Aprtdo ) q P(, ) q 1 L figur muestr ls intensiddes de los cmpos credos por q 1 y q en P y l intensidd del cmpo totl, que es l sum vectoril de los nteriores. Se ve que los ángulos formdos por los vectores 1 y con l horizontl son igules ( ). Por otro ldo, de l figur se deduce que, ( 90 ) donde, tn / 6, 9º por lo que, ( 90 ) ( 90 6, 9º) 106º lculmos 1 y y luego, con l fórmul del coseno,. Recuerd que l mgnitud de l intensidd de un cmpo credo por un crg puntul q en un punto situdo un distnci r es, k q r Fíjte en que 1 porque q1 q y r 1 r. Por lo tnto, r1 ( m) q m k cos cos ( 1 cos ) 60 ( 1 cos 106) xpresemos hor el cmpo en sus componentes, y que de l simetrí de l figur se deduce que, i j -i x x y / y 0 Aprtdo ) Recuerd que el potencil de un cmpo credo por un crg puntul q en un punto situdo un distnci r viene ddo por, V kq r y -1-

2 donde l crg viene con su signo, pues el potencil es un mgnitud esclr que puede ser positiv (q > 0) o negtiv (q < 0). Por lo tnto, r1 6 q m 10 V k V m 9 r 6 q m 10 V k V m ntonces tenemos que el potencil totl, que es l sum lgeric de V 1 y V, es V V1 V V Aprtdo c) Fíjte que l crg q está en el cmpo credo por q 1. Si q se trsld desde el punto Q (6,0) hst otro fuer del cmpo, el cmpo credo por q 1 relizrá un determindo trjo sore q. De cuerdo con l teorí, pero V 0 (punto de referenci) y, Por lo que, Q Q p p Q Q W ( Q) ( ) q V q V q ( V V ) 6 q1 9 m 10 VQ k V r 6m W p( Q) p( ) q( VQ V ) qvq 10 ( 100V ) 1,10 l signo menos signific que hy que plicr un fuerz extern pr scr l prtícul del cmpo. sto es sí porque l fuerz que el cmpo ejerce sore l crg es de trcción. 6 J --

3 F v Un crg de y 10 mg, que se mueve horizontlmente con un velocidd de 100 m/s, entr en un región en l que existe un cmpo eléctrico uniforme verticl dirigido hci rri de 1000 / de intensidd. Qué distnci horizontl h de recorrer l crg pr que se desvíe un distnci de 10 cm de su tryectori inicil? R L fuerz eléctric y el peso de l crg son, 6 F q / 10 e 6 P mg 1010 kg 9, 81m / s 9, 8110 lo que pone de mnifiesto que el peso es desprecile frente l fuerz eléctric. h l cmpo ejerce sore l crg un fuerz verticl dd por, F q Por otro ldo, F m ; por lo que se deduce que l celerción verticl de l crg es, 6 q / 00 m s 6 m 1010 kg l movimiento de l crg es l composición de dos: Uno horizontl uniforme, de velocidd v = 100 m/s Otro verticl uniformemente celerdo, de velocidd inicil v 0 = 0. Por lo tnto, plicndo ls ecuciones de los movimientos, tenemos, R vt t R v R h h ½ R v h ½t v donde R es el lcnce, h l desvición verticl y t el tiempo. omo se desví verticlmente un distnci de 10 cm, h = 10 cm = 0,1 m. Por lo tnto, 0, 1m R 100 ms,16m 00 ms --

4 l condensdor de l figur tiene un diferenci de potencil entre sus plcs V =.10 V y l seprción entre ells es d = 10 cm. ) Hll el cmpo eléctrico en su interior y diuj el vector que lo represent. ) Si en un punto equidistnte de ls dos plcs (ver figur) se lnz un crg positiv de y 10 mg con un velocidd de 10 m/s, qué distnci horizontl recorre ntes de colisionr con un de ls plcs? d Y F v 0 n l figur se h diujdo l tryectori de l prtícul, l fuerz que ctú sore ell y l intensidd del cmpo eléctrico (mos constntes y de l mism dirección y sentido). l cmpo eléctrico es, d V 10 V 6 10 V m ( ó ) X d 01, m Pr determinr l distnci que recorre l crg, es necesrio conocer l celerción que le comunic l fuerz eléctric. V 6 F q q qv V d 10 md F m 10 kg 0, 1m l movimiento de l crg (que es curvilíneo) es l composición de un movimiento uniforme en el eje OX con velocidd v 0 y otro uniformemente celerdo (con l celerción nterior) en el eje OY sin velocidd inicil y con posición inicil y 0 = d/. Sus ecuciones son, OX x v0t () 1 OY y ½d ½ t ( ) undo l crg colision con l plc negtiv (ver figur), el tiempo trnscurrido es t v mientrs que y = d. Por lo tnto, de l ecución () tenemos, Sustituyendo este vlor en l ecución (1) v v d ½d ½ t t d /, / s 1 x v0tv m 0 cm m s --

5 Se conect un terí de 1 voltios un condensdor plno. Si l seprción de ls rmdurs es de 0, cm, clcul el cmpo eléctrico en su interior. Al conectr el generdor ls plcs (o rmdurs) del condensdor, se produce l crg de éste. L rmdur conectd polo positivo se crg positivmente y l otr lo hce negtivmente, como muestr l figur. omo se explic continución, el proceso de crg finliz cundo l diferenci de potencil entre ls rmdurs del condensdor es exctmente l mism que l que hy entre los polos del generdor. fectivmente, de cuerdo con l ley de Ohm, l corriente eléctric que fluye por el cle que conect el polo positivo del generdor con l rmdur izquierd del condensdor ces cundo l diferenci de potencil en los extremos del cle es cero, lo que ocurre cundo el potencil de rmdur y el del polo positivo del generdor se iguln (por eso l rmdur izquierd se crg positivmente). Un rzonmiento nálogo explic que l rmdur derech se crg negtivmente l mismo potencil que el polo negtivo del generdor. Y que ls rmdurs positiv y negtiv del condensdor tienen, respectivmente, los mismos potenciles que los polos positivo y negtivo del generdor, se deduce que l diferenci de potencil entre ells h de ser l mism que l del generdor. Oserv que, en definitiv, el proceso de crg consiste en un desplzmiento de crgs negtivs ( trvés del generdor) desde l rmdur izquierd del condensdor hst l derech. Un vez conocid l diferenci de potencil entre ls rmdurs es fácil clculr el cmpo eléctrico (constnte) en el interior del condensdor, V 1V 00 V ó d 0, 10 m m --

6 Y Q Q 1m 1 r 1 1 m 1 Se tienen dos crgs puntules fijs loclizds como indic l figur. Determin: ) l potencil y el cmpo en el punto P. ) l trjo que se requiere pr trsldr un tercer crg q = desde el infinito hst el punto indicdo. c) L energí potencil totl del sistem formdo por ls tres crgs. r P y x X l potencil en el punto P, l ser un mgnitud esclr, es l sum lgeric de los potenciles credos por Q 1 y Q ; es decir, donde Q1 Q Q1 Q V V1 V k k k r1 r r1 r r r1 r 1 1 m. Por lo tnto, V V1 V ( 1) ,6 10 V l cálculo de l intensidd del cmpo es más complejo porque es un mgnitud vectoril. l cmpo en P es l sum vectoril de los cmpos credos por ms crgs. Aquí no result práctico plicr el teorem del coseno; es más fácil otener directmente ls componentes de los cmpos de cd crg y luego sumrls. mpezmos con Q 1, 6 Q k 910 1, r1 1 Oserv que 1 represent l mgnitud de l intensidd del cmpo en P (que siempre es positiv); por es rzón hy que tomr el vlor soluto de l crg. Puesto el cmpo tiene l dirección de OX y sentido opuesto, l ecución vectoril que expres su vlor en componentes es (ver figur), 1 1, i o se, 1 no tiene componente en el eje OY y su componente en OX es igul su mgnitud, pero con signo negtivo. Vemos l mgnitud del cmpo credo por Q, 6 6 Q k , r que coincide con el de Q 1. Pr expresr el cmpo en sus componentes tenemos que determinr el ángulo. De l figur se desprende que = º y que l componente en OY es negtiv; por lo tnto, i j cos i sin j x y 1, 810 i 1, 810 j 1, 710 i 1, 710 j n este prolem lo más rzonle es expresr el cmpo totl en sus componentes; entonces, x y x y x x y i j i j i j i j , 810 1, 710 1, 710 0,710 i 1,710 j Por último (unque no se pide en el prolem) l mgnitud del cmpo es, -6-

7 0, , 7 10 x y 1,810 Pr un crg q que se mueve entre dos puntos y de un cmpo se cumple que, W p( ) p( ) W qv qv qv V p qv donde W es el trjo relizdo por el cmpo y V potencil. Así que el trjo que hce el cmpo sore q cundo ést se mueve desde el infinito l punto P es, p 6 p W( cmpo) q V V 10 07, 610 V 0, 07 J donde el signo menos indic que q no se desplz espontánemente desde el hst P; es decir, que l fuerz eléctric del cmpo se opone ese desplzmiento. L fuerz extern mínim necesri pr trsldr q desde el hst P es igul y opuest l que ejerce el cmpo y el trjo que reliz es el mismo, pero de signo opuesto; o se, p p W ( extern) W ( cmpo ) 0, 07 J 0,07 J que es lo que nos pide el prolem (trjo relizdo por l fuerz extern). Pr clculr l energí potencil del sistem formdo por ls tres prtículs, recordemos que l energí potencil no se puede socir un sol prtícul, sino todo el sistem. Puesto que l energí potencil de un sistem formdo por dos prtículs es kqq r, l de nuestro sistem (formdo por ) será, p QQ 1 Q1 q Qq p p( Q1, Q) p( Q1, q) p( Q, q) k k k r r r p QQ 1 Q1 q Qq k 910 r r r y operndo, , p,110 J -7-

8 n un región del espcio existe un cmpo eléctrico uniforme de 00 V/m. Un crg eléctric de 10 y 1 mg está sujet l extremo de un muelle de constnte elástic 0, /m, tl como indic l figur. Se pide: ) L longitud que se lrg el muelle. ) Si l crg se lier del muelle y después de recorrer 1 m choc con un segundo muelle idéntico l primero, cuánto se comprime por efecto de l colisión. omo el cmpo es horizontl, fijmos un sistem de coordends tl que l dirección del cmpo coincid con l del eje OX. De este modo (como y semos) ls ecuciones vectoriles (definids en el eje OX) ls podemos expresr en su form esclr (el signo indic el sentido). Desprecimos el peso de l crg. F el F ele X L crg está en reposo porque ls fuerzs eléctric y elástic, que tienen l mism dirección y sentidos opuestos, se nuln; esto es, hor ien, Fele F ele q y Fel F 0 el k x donde x represent el lrgmiento del muelle y el signo menos se dee que l fuerz tiene sentido opuesto l lrgmiento. Así que, 6 q q kx 0 Δx,0010 m 0,00 cm k 0, m Al lierrse el muelle, l fuerz elástic desprece y l fuerz eléctric impuls l crg hci l derech. Finlmente colision con el segundo muelle, que se comprime y termin por detener su movimiento. Y que ls únics fuerzs que ctún (elástic y eléctric) son conservtivs, l energí mecánic de l crg se mntiene constnte. s decir, l energí mecánic l lierrse del 1 er muelle, m (i), y l que tiene cundo es detenid por l cción del º, m (f), son igules. ntonces, ( i) ( f) ( i) ( i) ( f) ( f) m m c p c p pero ls energís cinétics c( i) c( f) 0, puesto que l crg se hll en reposo cundo se lier del primer muelle y l ser detenid por el segundo; o se, p( i) p( f) p, ele( i) p, ele( f ) p, el( f ) qv qv kx qv V kx p, ele qv y p, el ½kx ½ ½ i f i f Fíjte en que necesitmos conocer V i V f pr hllr l compresión del muelle (x ). omo el cmpo es constnte, se cumple que = (V i V f )/d, donde d es l distnci que hy entre los puntos i y f (hy que escriir V i V f por que V i > V f ). omo l crg recorre 1 m ntes de chocr con el muelle y éste se comprime un cntidd x, se deduce que d = 1 + x. Por lo tnto, q Vi Vf ½kx q 1 x ½kx ½kx qx q 0 ( Vi Vf) / ( 1 x) Sustituyendo los prámetros por sus vlores numéricos, ¼x 10 x 10 0 Δx 0,09 m 9, cm -8-

9 Oserv que no se h utilizdo el dto de l ms de l prtícul. A myor ms más velocidd, pero l energí comunicd es l mism; es decir, l energí de l crg l llegr l º muelle serí l mism (no depende de l ms), por lo éste se comprimirí lo mismo. * * * * * * * * * * * * * Se dispr un electrón horizontlmente, con un velocidd de.10 6 m/s, entre ls plcs de un condensdor plno seprds un distnci d, tl como indic l figur. lcul l distnci l que el electrón choc con l plc positiv y el tiempo que trd en suceder. Dtos: =,010 /; d = 1, cm; q e = 1, ; m e = 9, kg Y v0 F Semos que en dentro del condensdor el cmpo eléctrico es constnte y que está dirigido de l plc positiv l negtiv, como se ve en l figur. Por otro ldo, de l ecución, F q deducimos que, puesto que l crg del electrón es negtiv, l fuerz eléctric d p X tiene sentido opuesto l cmpo; es decir, es verticl y dirigid hci jo (ver figur). Oserv que l ecución está en su form esclr porque l fuerz y el cmpo tienen l dirección del eje OY. ominndo l ecución con l segund ley de ewton otenemos l celerción del electrón en el eje OY, F q 19 e q e 1,610,10 1 m me qe,910 1 F me me 9,1110 s donde el signo negtivo indic que l celerción está dirigid hci jo. De l figur se deduce que el electrón llev un movimiento uniforme en el eje OX con velocidd v 0 y un movimiento uniformemente celerdo en el eje OY con velocidd inicil cero y celerción =,910 1 m/s. L ecución del MRUA en el eje OY es, y v t ½t ½t (pues v 0y = 0) oy Si designmos por t p l tiempo que le llev l electrón lcnzr l plc positiv, en l figur se ve que cundo t = t p, por lo tnto, d y y y 0d d o 1 8 p p d ½t t d 1,10,9 10,6 10 s L ecución del movimiento uniforme del electrón en el eje OX es, x v t donde, como se ve en l figur, x = d p cundo t = t p. Así que l distnci horizontl que recorre el electrón hst colisionr con l plc positiv es, d p 6 8 vt 0 p 10,610 0,09 m,9 cm 0-9-

10 Dos crgs de 6 y 6 (que suponemos fijs) están situds 6 cm de distnci l un de l otr. Si suponemos que ms se encuentrn en el eje OY y igul distnci del origen de coordends, clcul: ) Mgnitud, dirección y sentido del cmpo eléctrico en un punto del eje OX pr el que x = cm. ) Fuerz que ejercen ls crgs sore otr de m situd en ese punto. Aprtdo ) q 1 q F 1 L figur muestr ls intensiddes de los cmpos credos por ls crgs q 1 y q y el cmpo totl, que es l sum vectoril de los nteriores. Recuerd que l intensidd de un cmpo eléctrico en un punto es l fuerz (de trcción o de repulsión) que ejerce sore l unidd de crg positiv colocd en el punto. ot que el sentido de 1 (credo por q 1 ) se dee que l fuerz que q 1 ejerce sore l unidd de crg positiv es de repulsión (crgs del mismo signo se repelen); mientrs que el signo de (credo por q ) es el indicdo porque q ejerce un fuerz de trcción sore l unidd de crg positiv (crgs de distinto signo se tren). Teniendo en cuent que l mgnitud del cmpo credo por un crg puntul es, k q r se deduce que 1 porque q1 q y, como se ve en l figur, ntonces, r1 r cm 6 q ,1610 r1 (10 ) k Aplicndo el teorem del coseno clculmos l mgnitud del cmpo credo por ls dos crgs, pero ntes tenemos que hllr el ángulo. n l figur se ve que, tn 6,9º y ,9 106º Por lo tnto l mgnitud del cmpo totl es, cos 1 1 cos 1 ( 1 cos ), 1610 ( 1 cos 106),9 10 n l figur se preci que 1 y son simétricos respecto l verticl (tienen l mism mgnitud y el ángulo que formn con l horizontl es el mismo); por lo tnto tiene l dirección del eje OY y demás su sentido es opuesto l del eje. Así pues, Aprtdo ) i j j j -,9 10 j pues x = 0 x y y Pr otener l fuerz que el cmpo ejerce sore un crg q = m, recuerd que F q. Así pues, 7 7 F q m,9 10 j 10,9 10 j = -,18 10 j que, como el cmpo, tiene l dirección del eje OY y sentido opuesto, como se ve en l figur. L intensidd de l fuerz es pues, F,

11 q 0 q 1 Tres crgs eléctrics de, - y se hlln loclizds en los puntos (0,0), (0,0) y (0,0) de respectivmente. Hll el cmpo resultnte en el punto P (0,0). Ls coordends están expresds en cm. r 1 r 0 0 1y P y x 10 1x donde (ver figur), 1 r q L flt de simetrí de los vectores que representn los cmpos eléctricos no consej utilizr el teorem del coseno. s más fácil otener directmente ls componentes de los cmpos de cd prtícul y luego sumrls. mpezmos por q 1. L dirección y el sentido de 1 son los indicdos en el diujo porque q 1 es positiv y, por lo tnto, l fuerz que ejerce sore l unidd de crg positiv en el punto P es de repulsión. ntonces l mgnitud del cmpo es, 6 q k 910,10 r1 0, 0, y sus componente en los ejes OX y OY (ver figur) son, 1x 1 cos,10 cos 1,9 10 1y 1 sin,10 sin 1, tn 1 º 0 Vemos el cmpo de q. L dirección y el sentido de son los indicdos en l figur porque, l ser q negtiv, l fuerz que ejerce en P sore l unidd de crg positiv es de trcción. L mgnitud del cmpo es, 6 q 9 10 k 910,6010 r 0, 0,1 y sus componente en los ejes OX y OY (ver figur) son, x -11- cos,60 10 cos6, 1,61 10 y sin,60 10 sin6,, donde (ver figur), tn 0, 6,6º 0 como (ver figur), 90º ,6 6,º Finlmente el cmpo de q. L dirección y el sentido de son los indicdos en l figur porque, l ser q positiv, l fuerz que ejerce en P sore l unidd de crg positiv es de repulsión. L mgnitud del cmpo es, y sus componentes son, 6 q 9 10 k 910 6,7 10 r 0, x 6,7 10 y y 0 l cmpo totl es l sum vectoril de los cmpos individules, x x x y y y i j i 1,9 1,61 6,7 10 1,9, 0 10 j 9,910 i 1,610 j

12 q q 1 ecución que expres el cmpo en sus componentes; esto es, y q x 9,9 10 y x y 1,6 10 n l figur se h diujdo el vector que represent l cmpo credo por ls tres crgs y sus componentes. Pr hllr l mgnitud del cmpo plicmos el teorem de Pitágors, 9,9 10 1,6 10 x y 1,0110 L dirección y el sentido del cmpo qued determindo por el ángulo (ver figur), y tn 0,16 9,0º 9,910 x 6 1 r 1 r1 ************************** lcul el potencil electrostático en los dos vértices contiguos de un cudrdo de 1 m de ldo, si en los vértices opuestos se lojn dos crgs eléctrics de, pero de signos opuestos. Determin el incremento de energí cinétic que experiment un electrón que se desplz de un vértice otro. q1 1 r r q Recuerd que el potencil es un mgnitud esclr; por lo tnto, el potencil en los vértices y del cudrdo (ver figur) es l sum lgeric de los potenciles credos por ls crgs individules en cd punto. Los potenciles credos por q 1 = en los vértices (V 1 ) y (V 1 ) son, donde (ver figur), q1 V1 k 910,70 10 V r q1 V1 k 910 1,91 10 V r r1 1 1 m Los potenciles credos por q = en los vértices (V ) y (V ) son, donde (ver figur), q1 V k 910 1,91 10 V r q1 V k 910,70 10 V r 1 r 1 1 m Los potenciles de ls dos crgs en los puntos (V ) y (V ) son, V V V1 V,7010 1,9110 7,91 10 V V1 V 1,9110,7010-7,91 10 V Si oligmos un electrón, de crg q e = 1, , desplzrse de un vértice otro medinte un tuo hueco que los comunique, lo primero que tenemos que determinr es en qué vértice hemos -1-

13 de colocr l electrón pr que, impulsdo por el cmpo eléctrico, se muev espontánemente desde ese vértice hst el otro. n teorí vimos que un crg negtiv dentro de un cmpo eléctrico se mueve espontánemente en el sentido de los potenciles crecientes. n nuestro cso tenemos que V V, por lo tnto el potencil del cmpo crece l movernos de ; sí pues, tenemos que colocr l electrón en el vértice pr que se desplce espontánemente l. Desprecindo l fuerz grvittori, l únic fuerz que reliz trjo es l fuerz eléctric. Puesto que est fuerz es conservtiv, l energí mecánic del electrón h de permnecer constnte; o se, cte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m c p c p pero c( ) 0 porque se supone que el electrón se colocó en reposo en el punto. Por otro ldo semos que qv; por lo tnto, p 19 qev c( ) qev qe V V 1,610 7,9110 7, () c, 10 J ot 1: n este prolem no puede usrse l ecución V V d porque el cmpo credo por ls crgs no es constnte. o olvides que es ecución solo es válid pr cmpos constntes. ot : Lo que pide el prolem en relidd no es l energí cinétic en el vértice, sino el incremento de energí cinétic. l resultdo otenido es correcto, solo que si huiérmos colocdo l electrón en el vértice con un energí cinétic inicil desconocid tendrímos, ( ) q V ( ) q V ( ) ( ) q V V que d exctmente el mismo resultdo. c e c e c c c e -1-

14 uánt energí se necesit pr situr dos electrones un distnci de, m? Se supone que los electrones inicilmente estn en reposo infinitmente seprdos. n l figur suponemos que el electrón de l izquierd está fijo en su posición. Un mner de logrr que el electrón de l derech se proxime l de l izquierd es imprimirle un velocidd, tl como se ve en l figur; es decir comunicándole energí cinétic. F v F v d Un vez comunicd l energí cinétic, l únic fuerz que ctú sore el electrón (desprecindo el peso) es l fuerz eléctric. Puesto que l fuerz eléctric es conservtiv, l energí mecánic del electrón h de permnecer constnte; es decir, cte ( ) ( d) ( ) ( ) ( d) ( d) m m m c p c p pero p( ) 0 porque el infinito es el cero de l energí potencil por convenio y c( d) 0 porque si c( d ) fuese myor que cero, el electrón se seguirí moviéndose y se cercrí l otro electrón un distnci menor que d. Por lo tnto, d q d kq q d d 19 1,610 c( ) p( ) e 9 ( ) c k p( ) e e,10 Otr form de ordr el prolem es l siguiente: 9, 10 Supongmos que el electrón de l derech se mueve muy despcio, cercándose l de l izquierd, hst que entr en el cmpo eléctrico credo por éste. A prtir de ese instnte, si queremos que los electrones se sign cercndo, hce flt un fuerz extern que venz l repulsión eléctric que se ejercen entre ellos. st fuerz extern reliz un trjo, de modo que l energí mecánic y no permnece constnte y, por nuestros conocimientos de Mecánic, semos que se cumple que, W ( d) ( ) m m m donde W es el trjo relizdo por l fuerz extern. omo el trjo no es más que un form de trnsmitir energí, W represent tmién l energí comunicd l electrón. -19 J -1-

15 A F PROBLMAS SLTIVIDAD (UPA) Un prtícul inicilmente en reposo se celer por un cmpo eléctrico uniforme de 10 / hst lcnzr un velocidd de.000 m/s. Hll: (S0) ) L diferenci de potencil entre los puntos extremos del recorrido. ) l espcio recorrido por l prtícul. Dtos: Prtícul, q =,10-19 ; m = 6,10-7 kg B L diferenci de potencil entre A y B (V A V B ) se puede otener por dos cminos diferentes. Lo hremos primero plicndo l conservción de l energí y luego, cundo hymos resuelto el prtdo (), de otr form. Y que el cmpo eléctrico es conservtivo, l energí mecánic de l prtícul h de permnecer constnte durnte el recorrido (l fuerz grvittori es desprecile frente l eléctric); por lo tnto, pero c ( A ) 0 (prtícul en reposo) y cte ( A) ( B) ( A) ( A) ( B) ( B) m m m c p c p c ( B ) ½ mv ; entonces, p( ) p( ) ½ ( A B) ½ A B mv q V V mv y que en todo cmpo eléctrico, qv. Por lo tnto, X p 7 ½ mv mv 6, 10 kg ( 000m / s) VA VB 0, V 19 q q, 10 Pr otener el espcio recorrido tengmos en cuent que el cmpo es constnte, por lo que l fuerz tmién lo es; lo que signific que l crg, que prte del reposo, llev un movimiento rectilíneo uniformemente celerdo. Hllmos primero l celerción, F q 19 q, / 7 11 m q 9, 8710 m s F m m 6, 10 kg n todo MRUA se cumple que, 0 v v x Donde v es l velocidd finl, v 0 l velocidd inicil (que es cero) y x el desplzmiento relizdo que, en nuestro cso, coincide con l distnci recorrid. Por lo tnto, v v - d x 1,7 10 m 9, 8710 Un vez otenid l distnci recorrid, tmién podemos clculr l diferenci de potencil prtir de ell. n efecto, recordndo que en los cmpos constntes se cumple que, ( V V ) d A donde d es l distnci que hy entre ls superficies equipotenciles que psn por los puntos A y B, que en nuestro prolem coincide con el espcio recorrido. Por lo tnto, podemos clculr l diferenci de potencil de l ecución nterior, B V V d 10 / 1, 710 m 0, V A B -1-

16 y 1B x Dos crgs eléctrics puntules idéntics, de vlor q = 8 se encuentrn situds en dos vértices de un triángulo equilátero de 1 cm de ldo. Se pide: (J0) ) l cmpo en el punto equidistnte ls dos crgs (punto A). ) l cmpo en el vértice que no tiene crg (punto B). c) Hll el trjo que reliz l fuerz eléctric cundo un crg q= 1 se desplz de A B. L mgnitud de l intensidd del cmpo y el potencil de un cmpo eléctrico, credo por un crg puntul q, en un punto un distnci r de l crg son, B A B q 1 B 1A A q l cmpo eléctrico en el punto A es, q q k y V k r r 0 A 1A A y que, l ser q 1 = q y estr situdo el punto A equidistnte de ms crgs y en l rect que ls une, 1A y A son igules y opuestos, por lo que se nuln y el cmpo resultnte es nulo. l cmpo en el punto B es, B 1B B De l figur se desprende, l ser q 1 = q y estr situdo el punto B equidistnte de ms crgs, que 1B y B tienen l mism mgnitud y que son simétricos respecto de l líne verticl que ps por B. Por lo tnto, 6 q1 9m B B k, / l 110 m donde l = r es el ldo del triángulo equilátero. Pr clculr l mgnitud del cmpo en el punto B (esto es, B ) utilizmos l fórmul del coseno, B 1B B 1B B 1B 1B 1B cos cos ( 1 cos ) 1B 1B xpresdo en form vectoril serí, 6 6 ( 1 cos ) ( 1 cos 60º), 010, 10 / B -, 10 j porque el cmpo tiene l dirección de OY y sentido opuesto. Pr hllr el trjo relizdo por el cmpo cundo un crg q se desplz de A B, recuerd que, B A p p A B W ( A) ( B) q( V V ) y que semos que qv, donde q es l crg situd dentro del cmpo. Por lo tnto, hemos de hllr el potencil en los puntos A y B, p 6 q1 q q1 q1 9( 810 ) 6 A 1A A 910 1, 910 V V V k k k k V l l l l q1 q q1 q1 9( 810 ) B 1B B 910 9, 6010 V V V k k k k V l l l l 110 B W q( V V ) , , 610 V +0,960 J A A B 6-16-

17 Se un prtícul puntul fij en el espcio que posee un crg eléctric de 0,. A 8 cm de distnci de dich prtícul se ndon prtiendo del reposo un electrón. lcul l velocidd que dquirirá el electrón después de her recorrido 1 cm. (J0) Dtos: K c = m ; q el = 1, ; m el = 9, kg q 8cm A F 1cm B Fíjte en que l fuerz de repulsión que ejerce l crg q sore el electrón viene dd por l ley de oulom, qq F k e r que no es constnte (depende de r). Por lo tnto l celerción tmpoco es constnte, lo que signific que el movimiento del electrón no es uniformemente vrido y que no podemos utilizr ls ecuciones de este movimiento pr hllr l velocidd. L form de ordr el prolem es trvés de l conservción de l energí. n efecto, desprecindo l fuerz grvittori, l únic fuerz que ctú es l eléctric, que es conservtiv, por lo que se conserv l energí mecánic del electrón. Teniendo en cuent que l energí cinétic inicil es cero se tiene que, ( A) ( B) ( A) ( B) ( B) m m p c p Ahor ien, l energí potencil del electrón en el cmpo eléctrico credo por l crg q (que suponemos puntul) es, qq e p k r Por lo tnto, sustituyendo en l ecución nterior qued, donde (ver figur) punto B es, qqe 1 qqe kqqe 1 1 k mev k mev kqqe v ra rb ra rb me ra rb ra 8 10 m y rb 9 10 m. Así que l velocidd que dquiere el electrón en el ( 0,10 ) ( 1,610 ) v 1,96 10 ms 9,

18 Y v 0 Se un región del espcio donde hy un cmpo eléctrico uniforme 00 j V/m. Un protón penetr en es región con un velocidd v ( 000 i 000 j) m/s. (J0) ) Diuj l tryectori que seguirá el protón. ) Hll el tiempo que trnscurre desde que penetr en es región hst que dej de suir. Se trt de un movimiento prólico, sólo que en este cso el ppel de l grvedd lo jueg el cmpo eléctrico. Pr conocer l form de l práol hy que determinr l dirección y el sentido de l celerción que ctú sore el protón. Al expresr en sus componentes, tenemos que, xi yj x 0 y y j es decir, el cmpo tiene l dirección del eje OY y sentido opuesto (verticl y hci jo). Por otro ldo, semos que, F 19 y qy q y y y y 7 Fy my m 1, 6710 kg, ( / ) q m 1, 9 10 m s 10 que indic que l celerción tiene l mism orientción que el cmpo (esto es sí porque l crg del protón es positiv). n consecuenci, l form de l práol es l mism que l de un movimiento prólico provocdo por l cción de l grvedd. n l figur se h diujdo l tryectori, ls línes de fuerz del cmpo, el vector celerción y el vector velocidd en dos instntes diferentes. l vector es constnte porque lo es el cmpo eléctrico. Por convenienci se h hecho coincidir el origen del sistem de coordends con l posición del protón cundo su velocidd v v es l dd en el enuncido. Si, demás, comenzmos contr el tiempo en ese instnte, tenemos que l velocidd que nos d el enuncido es l inicil. Al expresrl en sus componentes, v0 v0xi v0yj v0x 000 y v0y 000 m s v0 000i 000 j l movimiento del protón es l cominción de un MRU en el eje OX y otro MRUV en el eje OY. Aplicndo ls ecuciones de los movimientos, je OX (MRU) x x0 vxt je OY (MRUV) 0 0y ; y 0y ; y 0y y y v t ½t v v t v v y L componente de l velocidd en el eje OY hce que el protón su ( l vez que se mueve en el eje OX); mientrs que el cmpo eléctrico cre un celerción en sentido opuesto que lo fren, hst que, después de lcnzr un ltur máxim, desciende. Y que cundo se lcnz l máxim ltur v y = 0, tenemos que, v0y 000m/ s 7 0 v0y tm tm 1,710 s 10 1, 910 m/ s donde t m represent el tiempo que le llev l protón dejr de suir. L ltur máxim (h m ) se puede otener de l ecución del MRUV hciendo t = t m y teniendo en cuent que y 0 = 0 (pues en t = 0 el protón está en el origen de coordends), hm X m, (, ) (, ), 10 v0ytm ½t ½ m -18-

19 n un región del espcio existe un cmpo eléctrico uniforme verticl, de mner que l diferenci de potencil entre dos puntos situdos uno encim del otro y distntes cm es de 100 V. (J06) ) Qué fuerz se ejerce sore un electrón situdo en él? ) Si el electrón se ndon en reposo en el punto de menor potencil, con qué velocidd llegrá l otro punto? c) Representr gráficmente el vector cmpo eléctrico, l fuerz ejercid sore el electrón, el punto de menor potencil y el de myor potencil. Dtos: q e = 1, ; m e = 9, kg Y F omo el cmpo es verticl, fijmos un sistem de coordends tl que l dirección del cmpo coincid con l del eje OY. De este modo ls ecuciones vectoriles (definids en el eje OY) ls podemos expresr en su form esclr (el signo indic el sentido). Al igul que en otros prolems, no tendremos en cuent el peso del electrón (es solutmente desprecile frente l fuerz eléctric). l enuncido no dice cuál es el sentido del cmpo; sí que lo fijmos nosotros como nos petezc (por ejemplo, hci rri, como se ve en l figur). Pr otener l fuerz que ctú sore el electrón necesitmos hllr en primer lugr l intensidd del cmpo eléctrico. Puesto que el cmpo es constnte, podemos plicr que, V V 100V V 000 ó d 10 m m Recuerd que el cmpo punt en el sentido de los potenciles decrecientes; por lo tnto, de cuerdo con l figur, V V > 0. Por ello prece V V en l fórmul nterior y no l revés. L fuerz que ctú sore el electrón es, 19 F q 1, ,00 10 e e l punto de menor potencil es el superior (). Se ndon l electrón en el punto en reposo y l fuerz eléctric lo llev hst. L opción más simple pr determinr l velocidd con que lleg ese punto es plicr l conservción de l energí mecánic, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m c p c p pero c () 0 (pues l crg se coloc en reposo), y despejndo v, c () -16 ½mv y V q p ; sí, e e e q V ½mv q V ½ mv q ( V V ) 19 qe( V V ) ( 1, 610 ) ( 100) 6 v,910 m 1 m 9, 1110 s ot: omo V V V V, que es lo que prece en l fórmul. -19-

20 F e T v Se colocn en posición verticl dos plcs metálics prlels, seprds 10 cm y se ls crg.10 V. ntre ls plcs se dispone un péndulo eléctrico constituido por un esferit metálic de mm de diámetro y 7,8 g/cm de densidd que se h crgdo 000 V, suspendid de un hilo de ms desprecile. Determin l posición de equilirio del péndulo. T T h P Oserv que el potencil de l esfer es positivo (000 V), lo que signific que está crgd positivmente. ntonces, como F q, l fuerz eléctric que el condensdor ejerce e sore ell tiene el mismo sentido que ; es decir es horizontl y dirigid hci l izquierd, como se ve en l figur. Dicho de otr form, l esfer es tríd por l plc negtiv del condensdor y repelid por l positiv, lo que hce que el hilo del péndulo se desplce hci l izquierd. De cuerdo con el esquem de fuerzs de l figur, el péndulo lcnzrá l posición de equilirio cundo l resultnte de ls fuerzs que ctún sore él se cero; es decir, Th Fe T sin Fe T P Fe 0 Tv P T cos mg donde T h y T v son, respectivmente, ls mgnitudes de ls componentes horizontl y verticl de l tensión del hilo. Dividiendo miemro miemro ls dos últims ecuciones, Fe q tn mg mg donde q es l crg de l esfer del péndulo, que tenemos que hllr pr otener. L esfer conductor se comport como un prtícul de l mism crg situd en su centro. Así pues, el potencil en un punto de su superficie, situdo un distnci R del centro, es, q V R V k q 9 10 R k L ms de l esfer l podemos hllr prtir de su densidd, m m g 7,8 (0, ) 0,61,61 10 d m dr cm g kg V ( ) R cm l cmpo eléctrico se otiene con l ecución, Ahor y podemos hllr el ángulo, V V 10 V V 10 d 0,1m m 9 q ( 9) tn 0,07 α =1,99º mg,6110 9,81 p = kq 1 q /r 1 donde r 1 es l distnci de seprción entre ells -0-

21 n un región del espcio existe un cmpo eléctrico ddo por, 1 10 i /. Un protón penetr en dich región con un velocidd v 1 10 i m/s. lculr: (J08) ) Su posición 1 s después de her penetrdo en l región. ) Su velocidd en ese instnte de tiempo. Dtos: q p = 1, ; m p = 1, kg l dto 10 i signific que el cmpo tiene l dirección del eje OX, sentido opuesto y que su F p 0 O v X mgnitud es de 10 /. l dto v0 10 i m s signific que el protón se mueve en el sentido positivo del eje OX con un velocidd inicil de mgnitud 10 m/s (ver figur). omo el cmpo es constnte y F q, l fuerz tmién es constnte; lo mismo que l celerción. Además, como se ve en l figur, l velocidd inicil y l celerción tienen l mism dirección y sentidos opuestos. De nuestros conocimientos de Mecánic semos que un prtícul con celerción constnte y un velocidd inicil de l mism dirección y sentido opuesto llev un movimiento rectilíneo uniformemente decelerdo. Y que conocemos ls ecuciones del movimiento rectilíneo uniformemente vrido, l form más fácil de resolver el prolem no es por energís (que tmién se podrí hcer), sino hllndo l celerción del protón y plicndo ls ecuciones del movimiento. l prolem no nos dice dónde está el protón inicilmente, sí que lo colocmos en el punto más sencillo, que es el origen de coordends. De este modo l posición del protón coincide con el desplzmiento del mismo. Puesto que ls mgnitudes, F y tienen l dirección del eje OX, podemos expresr ls ecuciones F q y F m en su form esclr, donde 10 porque el sentido del cmpo es opuesto l del eje OX. ntonces, , F qp q 1, p m qp mp F mp mp 1,6710 s ot que l celerción es negtiv mientrs que l velocidd inicil es positiv. Signific que inicilmente el movimiento es decelerdo. Pr hllr l posición en el instnte t = 1 s = 10 6 s plicmos l ecución del movimiento, Δx x x0 v0t ½t ½ 9, ,10,079,110 m,1cm Otenemos l velocidd plicndo su correspondiente ecución, 10 6 v v0 t 10 9,810 10,19 10 m -1-

22 Un dipolo eléctrico está formdo por dos crgs eléctrics de vlor 1 n de signos contrrios y seprds 6 cm. (S08) ) Diuj ls línes de fuerz del cmpo eléctrico de l distriución. ) lcul el vlor del cmpo eléctrico en un punto situdo cm de l crg positiv y en otro situdo cm de l negtiv. c) lcul el vlor del potencil eléctrico en esos puntos. d) Si se ndon un electrón en reposo en el punto de menor potencil, clcul l velocidd que lcnzrá cundo pse por el punto de myor potencil. Dtos: q e = 1, ; m e = 9, kg Aprtdo ) L figur muestr un dipolo eléctrico con sus línes de fuerz y sus superficies equipotenciles. L crg de l izquierd es l positiv y l de l derech l negtiv. Recuerd que ls línes de fuerz son tngentes en cd punto l fuerz que el dipolo ejerce en ese punto sore l unid de crg positiv y que están orientds en el sentido de l fuerz. Ls superficies equipotenciles son, en cd punto, perpendiculres l líne de fuerz que ps por ese punto. q Aprtdo ) mpezmos por el cmpo de q. L dirección y el sentido de y son los indicdos en l figur porque, l ser q positiv, l fuerz que ejerce en los puntos y sore l unidd de crg positiv es de repulsión. Ls mgnitudes de los cmpos son, Recuerd que 1 n = q , 10 r k 10 9 q ,6 10 r k 10 F e q Vemos hor el cmpo de q. L dirección y el sentido de y son los indicdos en l figur porque, l ser q negtiv, l fuerz que ejerce en los puntos y sore l unidd de crg positiv es de trcción. Ls mgnitudes de los cmpos son, cm cm cm k 10 9 q ,6 10 r k 10 9 q , 10 r L intensidd del cmpo credo por ls dos crgs en el punto es l sum vectoril de y. --

23 omo tienen l mism dirección y el mismo sentido (ver figur), el cmpo resultnte tiene l mism orientción que ellos y su mgnitud es,,10 0,610,81 10 Análogmente l intensidd del cmpo credo en el punto es l sum vectoril de y, tienen l mism dirección y el mismo sentido (ver figur). Así el cmpo resultnte, de igul dirección y sentido, tiene de mgnitud, Aprtdo c) 0,610,10,81 10 Los potenciles del cmpo credo por q en los puntos y son, 9 q 9 10 V k V r 10 Los potenciles del cmpo credo por q en los puntos y son, 9 q 9 10 V k 910 V r 10 y y 9 q 9 10 V k 910 V r 10 9 q 9 10 V k V r 10 omo es un mgnitud esclr, los potenciles del cmpo credo por ls dos crgs en los puntos y son l sum lgeric de los potenciles individules; es decir, Aprtdo c) V V V 0 V y V V V 0 V s muy importnte drse cuent de que no se puede otener l velocidd clculndo l celerción del electrón y plicndo después ls ecuciones del movimiento rectilíneo uniformemente celerdo. Puesto que el cmpo eléctrico tiene en todo momento l dirección de l líne que une ls dos crgs, el movimiento es rectilíneo. Sin emrgo, no es uniformemente celerdo porque el cmpo eléctrico no es constnte y, por lo tnto, l fuerz y l celerción tmpoco, como se requiere en un movimiento uniformemente celerdo. Al electrón lo colocmos en el punto de menor potencil, que es el. omo F q y q e es negtiv, l fuerz tiene sentido opuesto l cmpo (ver figur), lo que signific que el electrón se moverá hci el punto. Pr otener l velocidd plicmos l conservción de l energí mecánic. n efecto, como l únic fuerz que ctú sore el electrón es l eléctric y ést es conservtiv, l energí mecánic h de permnecer constnte durnte el movimiento. ntonces, cte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m c p c p donde c( ) 0 porque se h colocdo l electrón en reposo en el punto. Por otro ldo semos que qv; por lo tnto, p e ½ e ½ e q V mv q V mv q V V 1, qe V V 6 m v 1, m 9,1110 s e que --

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