Electromagnetismo I. Semestre: Prof. Alejandro Reyes Coronado. Ayud. Adrián Alejandro Bartolo González Solución: Tarea 5

Transcripción

1 Electromgnetismo I Semestre: Prof. Alejndro Reyes Corondo Ayud. José Ángel Cstellnos Reyes Ayud. Adrián Alejndro Brtolo González : Tre 5 1. Prolem: (20pts) Clcul l cpcitnci por unidd de longitud de dos cilindros metálicos coxiles, de rdios y.!" " +" " Ddo que l cpcitnci se define como el cociente entre l crg y l diferenci de potencil, su cáculo se centr en clculr l diferenci de potencil, pr lo que necesitmos clculr primero el cmpo eléctrico entre los dos cilindros. Si el cilindro interno tiene crg totl Q, usndo Ley de Guss se otiene que pr un superficie cilíndric de rdio s y lrgo L entre los dos cilindros 1 E d = E2πsL = Q enc ε 0, entonces E( r ) = L diferenci de potencil entre los cilindros está dd por φ() φ() = E d l = Q 2πε 0 L Q 1 ŝ. (1) 2πε 0 L s 1 s ds = Q ( ) 2πε 0 L ln. Si fijmos que el potencil en es myor que el de entonces, φ = φ()φ() = Q ( ) 2πε 0 L ln. (2) Por lo tnto, l cpcitnci está dd por y por unidd de longitud se tiene C = Q φ = 2πε 0L ln ( ), C L = 2πε 0 ln ( ). (3) 2. Prolem: (20pts) Clcul l cpcitnci de dos cscrones esféricos concéntricos, de rdios >. Pongmos l crg positiv Q en l esfér interior y l negtiv Q en l exterior. Nuevmente, usndo Ley de Gus, el cmpo eléctrico entre ls esférs está ddo por E( r ) = 1 Q ˆr, (4) 4πε 0 r2 1 Notr que en este cso se dejó en términos de l crg y no l densidd de crg, puesto que uscmos l cpcitnci por unidd de longitud. 1

2 y l diferenci de potencil está dd por por lo que l cpcitnci es φ = E d l = Q 4πε 0 1 ), (5) C = Q φ = 4πε 0 ( ). (6) 3.- Prolem: (20pts) Consider que ls plcs formndo un cpcitor de plcs prlels se cercn entre ells un distnci infinitesiml δ, como resultdo de su trcción mutu. () Us l siguiente eucción pr expresr l cntidd de trjo hecho por l fuerz electrostátic, en términos del cmpo E y el áre de ls plcs A (desprecindo efectos de orill o de orde): P = ɛ 0 2 E2. (7) () Us l siguiente ecución pr expresr l energí perdid por los cmpos en este proceso: Energí por unidd de volumen = ɛ 0 2 E2. (8) Not: Pr resolver este prolem tendrás que revisr l sección del Griffiths. () Supongmos que ls plcs están seprds un distnci d. Usndo l fórmul pr l presión, y recordndo que W = (fuerz) (distnci) = (presión) (áre) (distnci) = ε 0 2 E2 (A d) (9) () Por otro ldo, W = (energí por unidd de volumen) (disminución de volumen) = ε 0 2 E2 (A d). (10) Los resultdos nteriores tienen sentido deido l conservción de energí. 4.- Prolem: (10pts) Ls computdors emplen memoris RAM (Rndom Access Memory) pr lmcenr informción de form inri: emplendo ceros y unos. Un form de conseguirlo es considerr que un uno se oteng crgndo un diminuto cpcitor, de modo que el cero corresponderá un cpcitor sin crg. Un circuito integrdo contiene millones de estos cpcitores, cd uno copldo un trnsistor que ctú como un switch, pr formr un celd de memori. Un cpcitor típico en un celd de memori tiene un cpcitnci de F rdios. Si l diferenci de potencil en el cpcitor pr otener un uno es 0.5 volts, clcul el número de electrones que hy que mover pr crgr cd cpcitor. Semos que l crg Q que lmcen un cpcitor, con cpcitnci es C, l plicrle un diferenci de potencil φ es Q = C φ. En este cso y de modo que C = F, φ = 0.5 V, Q = ( F ) (0.5 V ) = C. 2

3 Si denotmos por n el número de electrones que hy que mover pr crgr el cpcitor hst est crg Q, tendremos que Q = ne n = Q e, en donde e es l crg del electrón. En todo rigor, nos estmos fijndo en l plc que se h crgdo positivmente, por lo que tommos l crg e de los electrones con signo positivo pr comprr con l crg positiv. Siendo que e C, tenemos que n = Q e C , 632, C de mner que pr crgr cd cpcitor se necesitn mover proximdmente 93, 632 electrones. 5.- Prolem: (30pts) Consider un cj metálic dentro de l cul hy dos plcs metálics prlels, 1 y 2, cd un de áre A y el potencil de l cj se fij en cero. Considerndo ls diferentes distncis seprndo ls plcs entre sí y ls distncis entre l prte de rri y jo de l cj, etiquetds como r, s y t (ver figur en l que se muestr l sección trnsversl del rreglo), suficientemente pequeñs de modo que se un uen proximción el desprecir efectos de orill. Bjo est proximción, clcul los coeficientes de cpcitnci C 11, C 22 y C 12 y C 21, y muestr que C 12 = C 21. Not: Pr resolver este prolem tendrás que estudir l sección 3.6 del Purcell. r 1 s 2 t De l menciond sección de Purcell semos que, si indicmos con suíndice 1 ls cntiddes (crgs y potenciles) de l plc 1 y con 2 ls de l 2, entonces Q 1 = C 11 φ 1 + C 12 φ 2, (11) Q 2 = C 21 φ 1 + C 22 φ 2. (12) Al desprecir los efectos de orill, el cmpo eléctrico es perpendiculr ls plcs en tods ls regiones dentro de l cj. Llmemos ẑ est dirección: E ( r ) = E ( r ) ê z. (13) En primer lugr, conectemos l segund plc tierr: φ 2 = 0. (14) Dividmos nuestro sistem en tres regiones: Llmemos α l región que se encuentr sore l plc 1 y jo l pred superior (P S) de l cj, β l región entre ls plcs y γ l que se encuentr jo l plc 2 y sore l pred inferior (P I) de l cj. En l proximción de plcs infinits, l cul equivle desprecir los efectos de orill, tenemos que l mgnitud del cmpo eléctrico en cd un de ls regiones es constnte, entonces E α ( r ) = E α ê z, (15) E β ( r ) = E β ê z, (16) E γ ( r ) = E γ ê z, (17) 3

4 en donde E α, E β y E γ son constntes y se h indicdo como suíndice l región en l que se escrie el cmpo. Ddo que r φ( r ) E ( r ) dl, (18) ref y como tnto l cj como ls plcs metálics son equipotenciles, podemos considerr como tryectoris pr l integrción línes rects perpendiculres ls plcs, en donde dl = dl ê z, clculmos: de modo que φ 1 = φ 1 φ cj = φ 1 0 = φ 1 = Del mismo modo clculmos por tnto φ 1 = φ 1 φ 2 = φ 1 0 = φ 1 = y como se conectó l plc 2 l cj terrizd luego φ 2 φ cj = 0 = E α ê z dlê z = E α dl = E α r, E α = φ 1 r. (19) E β ê z dlê z = E β dl = E β s, E β = φ 1 s, (20) E γ ê z dlê z = E γ dl = E γ t, E γ = 0, (21) Ahor empleremos l ley de Guss en su form integrl en cd un de ls plcs: E ( r ) d = [Q enc] S. (22) ε 0 S Si como superficies gussins S considermos cjs de píldors con tps de áre, es decir, cilindros con eje perpendiculr cd plc, que sólo intersecten un de ls plcs dejndo un tp de un ldo de l plc y l otr tp en el otro (ver l figur de jo) entonces, los cmpos son prlelos l diferencil de áre en ls tps, mientrs que en l cuiert lterl el diferencil de áre es perpendiculr los cmpos (ver figur). En l plc 1: S E ( r ) d = E α + E β = [Q enc] S ε 0, (23) Si tommos l superficie gussin S como un cilindro que ocupe tod l plc, es decir, un cilindro cuy cr teng l form de l plc y cuys tps tengn áre A igul l de ls plcs, entonces Q enc = Q 1 y l ecución (23) nos dice que Q 1 = ε 0 A (E α + E β ), (24) l cul por (19) y (20) podemos escriir como Q 1 = ε 0 A r + 1 ) φ 1, (25) s 4

5 y comprndo con l ec. (11) leemos de inmedito que C 11 = ε 0 A r + 1 ). (26) s En l plc 2: Notemos primero que l her terrizdo l plc 2, l crg en est plc es negtiv ( está un potencil menor!). Emplendo l ley de Guss de mner nálog que el cso nterior, se otiene Q 2 = ε 0 A (E β + E γ ), (27) de modo que l sustituir (20) y (21) en (27) y comprr con l ec. (11), encontrmos que Si hor conectmos l primer plc tierr: entonces: y si hcemos un procedimiento entermente nálogo tendremos que φ 2 = φ 2 φ cj = φ 2 0 = φ 2 = C 21 = ε 0 A s. (28) φ 1 = 0, (29) Q 1 < 0, (30) Q 2 > 0, (31) E γ ê z dlê z = E γ dl = E γ t, entonces Tmién E γ = φ 2 t. (32) por tnto y que finlmente φ 2 = φ 2 φ 1 = φ 2 0 = φ 2 = φ 1 φ cj = 0 = E β ê z dlê z = E β dl = E β s, E β = φ 2 s, (33) E α ê z dlê z = E α dl = E α t, E α = 0. (34) Aplicndo l ley de Guss de mner idéntic que en el cso nterior, y considerndo l condición (30) llmndo Q 1 l crg de l plc 1 (oligndo que l cntidd Q 1 se positiv) entonces: y Q 1 = ε 0 A (E α + E β ), (35) Q 2 = ε 0 A (E β + E γ ), (36) ls cules, l sustituir ls ecs. (32), (33) y (34), y comprr el resultdo con l ec. (12), otenemos C 22 = ε 0 A s + 1 ), (37) t 5

6 En prticulr, l comprr l ec. (38) con l ec. (28) vemos que efectivmente C 12 = ε 0 A s. (38) C 12 = C 21. (39) NOTA 1: Notrás que en est ocsión no hy prolem Torito, sí que los cinco prolems son oligtorios (sumndo un totl de máximo 100 puntos). NOTA 2: Estrás tentdo por el dilo plicr de ipso fcto lgun fórmul de tu elección, pero te sugiero que ntes de ponerte hcer álger, te tomes 5 o 10 minutos pr pensr sore cómo irá el cmpo eléctrico, sore ls simetrís del prolem, y sólo después de que te imgines l solución y visulizes un form de resolverlo, te pongs clculr. Al llegr un resultdo, tómte tu tiempo pr segurrte que está ien (puedes yudrte de csos límite). NOTA 3: Suerte! 6