Lección 4. Desarrollo multipolar del potencial escalar. Las fuentes puntuales del campo electrostático.

Transcripción

1 Lección 4. Desrrollo ultiolr del otencil esclr. Ls fuentes untules del co electrostático Clculr el oento diolr de un esfer de rdio uniforeente crgd con densidd ρ, () resecto su centro y (b) resecto un unto situdo en l suerficie Un distribución suerficil de crg sobre el lno (x, y) de for rbitrri, tiene un oento diolr resultnte = 25k C. Discutir y rzonr sobre l vlidez de est firción en los dos csos siguientes: () L crg totl es nul; (b) l crg totl no es nul Dos equeños hilos no conductores de grosor desrecible y longitud 1 c se crgn con crgs 1 µc y +1 µc. Se onen los hilos forndo un líne de 2 c. Hllr el co eléctrico grndes distncis de los hilos. Si se onen los dos hilos en rlelo, serdos un distnci d = 10 µ, odríos definir un densidd linel de diolos. Hllr dich densidd linel (desrecir los osibles efectos de borde) y el co eléctrico grndes distncis Sen tres crgs untules, de vlor q 1 = 2q, q 2 = q 3 = q situds en los vértices de un triángulo equilátero de ldo, confore indic l figur. Deterinr los oentos onoolr, diolr y cudruolr de est distribución de crg. y 2q x 125. Dos diolos, 1 y 2 están sobre un lno. Uno de ellos se ntiene fijo ientrs que el otro ude girr sobre sí iso sobre el lno. Encontrr l relción entre los ángulos que forn bos diolos con el vector que los une r que el siste esté en equilibrio Clculr el oento diolr eléctrico de un brr de longitud 2l en l que l rier itd de longitud l está crgd con un densidd linel unifore λ y l segund itd lo está con densidd unifore λ: () resecto l centro de l brr, (b) resecto un extreo y (c) resecto de un unto que dist 2l del centro de l brr en l dirección erendiculr l is Un olécul de gu (H 2 O) ude interretrse coo un crg 2q en el origen de un siste de coordends y dos crgs +q distncis d 1 = d 2 = d = El ángulo fordo or d 1 y d 2 es de 120. Si el oento diolr (en ódulo) de un olécul de gu es de C, encontrr el vlor de l crg efectiv q (q > 0). 17

2 Clculr l fuerz que un olécul de gu ejerce sobre otr olécul de gu con oentos diolres rlelos y en el iso sentido; l distnci entre bs oléculs es = Teneos un brr de sección desrecible y longitud L. Un itd de l brr está crgd con crg +q y l otr itd con q, siendo unifore l distribución de crg en cd itd. () Clculr los dos rieros oentos ultiolres del otencil electrostático, tondo en origen del siste de referenci en el centro de l brr. (b) Clculr el otencil electrostático que cre dich brr grndes distncis (cords con L) usndo los dos térinos del desrrollo ultiolr clculdo en el rtdo nterior. (c) Reetir el rier rtdo tondo coo origen del siste de referenci un extreo de l brr Clculr l fuerz de intercción entre dos diolos de oento diolr situdos un distnci uno del otro, tl coo indic l figur Sobre un nillo de rdio situdo en el lno z = 0 y centrdo en el origen se sitú un distribución linel de diolos con densidd τ or unidd de longitud y sentido rlelo l eje z. () Obtener el co eléctrico sobre el eje z. (b) Obtener el co eléctrico grndes distncis r culquier unto del escio En qué csos el oento diolr eléctrico de un distribución de crg electrostátic es indeendiente del unto P resecto l cul se clcul? Deuéstrlo Teneos un rectángulo de esesor desrecible y de ldos y b (b = /2). Cd itd de dicho rectángulo tiene un crg +q y q, distribuids uniforeente. () Clculr los dos rieros oentos ultiolres del otencil electrostático, tondo el origen del siste de referenci en el centro del rectángulo. (b) Clculr el otencil electrostático que cre dicho rectángulo grndes distncis (cords con y b) usndo los dos térinos del desrrollo ultiolr clculdos en el rtdo nterior. (c) Reetir el rier rtdo tondo coo origen del siste de referenci l esquin inferior izquierd del rectángulo Un diolo de oento diolr está situdo un distnci L de un crg untul q, siendo rlelo l dirección que une el diolo con l crg (ver figur). Clculr el trbjo necesrio r roxir el diolo l crg hst un distnci L/2. L q 134. Encontrr el oento cudruolr de un brr de longitud L con un densidd de crg ρ = η(z 2 L 2 /12), con z edid rtir del centro de l brr. 18

3 135. El odelo clásico de un átoo de He tiene dos electrones orbitndo lrededor de su núcleo. Suoniendo que los electrones tienen órbits circulres colnres de rdio y girn con un frecuenci ngulr ω. Encontrr el oento diolr y cudruolr en función del tieo en cd uno de los siguientes csos: () los electrones rotn dietrlente ouestos coo en l rte izquierd de l figur y (b) los electrones girn en sentidos ouestos coo el esque ostrdo en l rte derech de l figur. 2e 2e 136. Encontrr el otencil corresondiente un distribución suerficil de diolos. Tor D = n coo l densidd suerficil de diolos, siendo n el núero de diolos or unidd de áre y el oento diolr edio Situr 8 crgs sobre los vértices de un cubo de ldo 2 de ner que el oento cudruolr se nulo. Utilizndo el desrrollo ultiolr, escribir un exresión r el oento octuolr. Tor el origen de coordends en el centro del cubo or silicidd Encontrr el oento cudruolr de un cudrdo de ldo con crgs +q y q uniforeente distribuids sobre los ldos del cudrdo, coo uestr l figur. +q +q 139. Deostrr que el otencil electrostático generdo or un cudruolo con sietrí cilíndric en el origen es V = Q zz 16πε 0 r 3 (3cos2 θ 1) A rtir de l fuerz sobre un eleento de corriente en resenci de un co gnético (df = idl B, deostrr que l fuerz sobre un equeño diolo en un co gnético B es F = ( B). 19

4 Lección 5. Desrrollo ultiolr del otencil vector. Ls fuentes untules del co gnetostático Se un distribución suerficil de corriente K en un esfer de rdio. Clculr el co gnético grndes distncis de l esfer Se un distribución de corriente suerficil K u φ en un esfer de rdio. Clculr el co gnético grndes distncis de l esfer Un circuito filifore lno de for rectngulr está recorrido or un corriente estcionri de vlor I. Ls diensiones del circuito son y b ( > b). El centro geoétrico del circuito se encuentr en el origen de un siste de referenci; el ldo es rlelo l eje x y el ldo b es rlelo l eje y. Se ide: () El oento diolr gnético del circuito. (b) L exresión del otencil vector gnético grndes distncis. (c) L exresión del co gnético grndes distncis. Not: Considerr válid l roxición diolr en los rtdos (b) y (c) Un diolo gnético está situdo en el vcío, en el origen de coordends, y su oento gnético es = 0 u z, con 0 = 10 2 A 2. Clculr el vlor del otencil vector gnético y del co gnético en el unto (0, 2, 2) Un diolo gnético de oento y dirección rbitrri está situdo en un lente gnétic cuys coonentes de co son B x = α(x 2 y 2 ), B y = 2αxy, B z = 0, siendo z el eje de l lente y α un constnte. Cuáles son ls coonentes de l fuerz sobre el diolo? 146. Se tienen dos diolos gnéticos 1 y 2 serdos un distnci (ver figur). () Por considerciones físics deterinr el sentido de l fuerz en ls dos configurciones de l figur. (b) Clculr l fuerz gnétic que ejerce uno sobre el otro en bos csos Se tiene un disco crgdo con un densidd suerficil de crg unifore σ. El disco gir con velocidd ngulr unifore ω resecto su eje de sietrí de revolución. Deterinr su oento diolr gnético. Rzonr l resuest Se un esir rectngulr de ldos y 2. Dóblese 90 de odo que todos los ldos sen de longitud (ver figur). Un corriente I circul or tl esir lbed. Cuál es el oento gnético,, de dich esir? 20

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