UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA. CÁTEDRA: Física de los Semiconductores

Transcripción

1 UNIVRSIDAD NACIONAL D MAR DL PLATA FACULTAD D INGNIRÍA - DPARTAMNTO D FÍSICA CÁTDRA: Físic de los Seiconductores SRI : Función Densidd de stdos - Bnds de nergí 1.- Pr los vlores peritidos de l energí y del vector de ond k en un pozo de potencil unidiensionl de profundidd infinit y ncho L: ) Qué longitud del espcio k ocup cd estdo? 1 dn b) ncontrr l densidd de estdos g ( ) ( L ) d c) Repetir los enuncidos () y (b) pr ls cjs de potencil bidiensionl y tridiensionl, con ldos de longitudes "", "b", y "", "b", "c" respectivente..- Clculr el núero de estdos disponibles en un piez de cobre de 1c 3 pr energís entre 0 y 6eV por enci del fondo del pozo de potencil. Son suficientes estos estdos pr poder coodr todos los electrones de vlenci de un cristl de cobre de 1c 3? Dtos de l tbl periódic: Vlenci=1, es decir el cobre tiene un solo electrón de vlenci por átoo. Núero de Avogdro=6.0 x10 3 Ms=63.55 gr/ol Densidd=8.96 g/c 3 Voluen tóico=7.1 c 3 /ol 3.- Pr un trozo de cobre en for de un delgdo lbre de 1 x 4. x 4., obtener el núero de estdos con energí 0 < < 10eV. 4.- Deostrr el teore de Bloch. ste teore estblece que si ikx ( x) e u ( x) es l función de ond de un electrón en un red periódic con k k espciiento, entonces l x u debe ser un función periódic con período igul l espciiento de l red, es decir u k (x)=u k (x+). 5- ncontrr l relción de dispersión de un odelo de Kronig-Penney infinito consistente en un tren de delts de Dirc de peso P, espcids un distnci L entre sí. 6.- Grficr el segundo iebro (función de α L) de l relción de dispersión del odelo de Kronig-Penney del proble nterior, pr tres vlores de R: R=0, R=,

2 R=10. stir gráficente los nchos (en α L) de l bnd peritid y prohibid en cd cso y discutir los resultdos. 7.- Pr l función hlld en proble nterior con R=10, evlur los vlores de energí en los bordes superior e inferior de l prier bnd prohibid, en k = /. l período espcil de l red es de 1Å. Hllr el ncho de l segund bnd peritid, y coprrlo con el ncho de l prier bnd peritid. Sugerenci: usr el étodo de proxición de Tylor cundo hicier flt. 8.- Deostrr que en el odelo de Kronig-Penney, l d ( k) / dk se nul en los bordes de un bnd peritid. Cuáles son los vlores del vector de ond cristlino en cd discontinuidd de l energí? 9.- Pr el odelo de Kronig-Penney de longitud finit: ) Hllr los vlores peritidos del vector de ond k, dentro de cd bnd. Cóo encontrrí los vlores peritidos de l energí? b) Hllr l función densidd de estdos g(), en for exct. c) Hllr l función densidd de estdos g(), en for proxid, en el borde inferior de l prier bnd peritid. sto se hce suponiendo MIN +ħ k /*, donde * es un constnte con uniddes de s. d) Qué nuevo fenóeno surge l generlizr este odelo tres diensiones? Ctes. Fundentles: Ms del electrón e = 9.11 x Kg. Ms del Protón p = 1.67 x 10-7 Kg. Velocidd de l luz c =.99 x 10 8 /s Cte de Plnck h = 6.6 x J.s Crg del electrón e = 1.60 x C Cte de Boltznn k = 1.38 x 10-3 J/K

3 RSPUSTAS D LA SRI 1/ 1) ) Δk=π/L, b) g( ), h 4 c) Cj de potencil bidiensionl: Δkx Δky =π /(b) g( ), h Cj de potencil tridiensionl: Δkx Δky Δkz =π 3 /(bc) 4 g( ) ) xisten N= estdos entre =0 y =6eV. Hy electrones de vlenci en 1c 3 de cobre 1/ 3 / h 3 3) Si lo resolvier del iso odo que en el ejercicio nterior obtendrí N= electrones. Sin ebrgo, coeterí un precible error, y que en este cso hy un bj densidd de estdos en dos de los tres ejes del espcio k. Pr resolver en odo ás excto, priero encuentre qué vlores de k en dichos dos ejes cuplen con <10eV. A prtir de este resultdo, encuentre el odo de hllr el núero de estdos, sbiendo que en el tercer eje del espcio k l densidd de estdos es lt. ncontrrá que N= electrones cuplen con <10eV. ste es el resultdo excto. 4) n bibliogrfí puede encontrrse l deostrción teáticente ortodox del teore de Bloch. Sin ebrgo, pr nosotros bstrí un solución plicd específicente ls funciones de ond. Sugerenci: l probbilidd de hllr l prtícul en puntos congruentes de pozos vecinos es l is. s decir: x x x x 3 / 3 s decir que el cociente de ls funciones de ond entre dos puntos congruentes contiguos deberí ser, por sietrí, independiente de los pozos elegidos, e igul un núero coplejo de ódulo igul 1, que escribireos 1 e ik, siendo k un práetro justble. x ik 1e x Ahor, suponiendo que se cuple l fórul de Bloch, deuestre que l vrible u(x) es periódic con período "". De est for l deostrción qued coplet.

4 5) l resultdo es: k L L PL R R L L Sugerenci: plntee l solución de Schrödinger independiente del tiepo en el intervlo 0 + < x < L -, con l únic diferenci que hor se función de α=() 1/ /ħ. Luego, usndo el teore de Bloch, hlle u(x) en dich zon. Por edio de l periodicidd de u(x), sbeos que u(0 - )=u(l - ). Usndo l condición de contorno en x=0 pr Φ(x) debe llegr : i k L i k e A e L 1 B 0 1 Ahor, sbiendo que u(0 - )=u(l - ) y u'(0 - )=u'(l - ), se puede plnter l condición de contorno pr l derivd, de l cul surge: i i e P A i i e k L i k i P B L 0 6) Pr R=0, no hy bnds prohibids. Pr R=, bnd prohibid en el intervlo (0<α L<1.7), bnd peritid en el intervlo (1.7<α L<π), bnd prohibid en el intervlo (π <α L<4.1), bnd peritid en el intervlo (4.1<α L<π), etc. Pr R=10, bnd prohibid en el intervlo (0<α L<.6), bnd peritid en el intervlo (.6<α L<π), bnd prohibid en el intervlo (π <α L<4.8), bnd peritid en el intervlo (4.8<α L<π), etc. Todos vlores proxidos. Se observ cóo ls bnds prohibids se hcen ás pequeñs y ls peritids ás grndes edid que increentos (α L). Y cóo ls bnds prohibids se hcen ás grndes y ls peritids ás pequeñs edid que increentos R. 7) Utilizndo un proxición de Tylor de segundo grdo en (α )=3π/, d (α )=5.75 en el borde superior de l prier bnd prohibid. l resultdo es entonces 38eV<<106eV pr l prier bnd prohibid. Pr l segund bnd peritid, 106eV<<150eV. Utilizndo un proxición de Tylor de segundo grdo en (α )=π, d (α )=.635 en el borde inferior de l prier bnd peritid. ntonces, pr dich bnd, 6eV<<38eV. 8) Sugerenci: derive en for iplícit l relción de dispersión. Los vlores de k en ls discontinuiddes de l función (k) es k=n π /, con "n" entero.

5 9) ) Debe relizr un deducción y llegr k=n π / L, donde L es l longitud totl del teril. b) L densidd de estdos qued de l siguiente ner: c) L función g() del inciso nterior puede siplificrse en ls inediciones de los bordes de ls bnds peritids. n este cso: Observe que est ecución posee for siilr l resultdo del inciso (1), si bien otro odelo totlente distinto fue usdo pr deducirl. d) l nuevo fenóeno que surge hce posible l conducción eléctric en los etles bivlentes. R R g ) ( 1 MIN MIN h g 1/ * 1/ * ) (