Problema 4.5 Electromagnetismo (Profesor: Benito Gimeno)

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María Ángeles Sevilla Pinto
hace 5 años
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1 ferhue()luni.uv.es Proble 4.5 Electrognetiso (Profesor: Benito Gieno) Con cutro láins conductors uy lrgs se for un pris de sección rectngulr de ldos y b. Deterinr el potencil dentro del pris cundo dos crs opuests se conectn tierr y ls otrs dos potenciles ±V. Φ = ( x, y) = L solución del potencil en l región /2 < x < /2, -b/2 < y < b/2 es: π 4V ( 1) π ( 2 + 1) sinh ( 2 + 1) b 2 π cos Hreos un representción nuéric pr el cso en que: V = 1V = 1 b =,5 π ( 2 + 1) x sinh ( 2 + 1) y 1. Relizr un estudio de convergenci de l función en punto x,y pr deterinr cuántos térinos debeos escoger pr que el error reltivo se enor del 1%. Escogeos x = /3, y = -b/2 (por lo que V deberí cercrse 1V). Gráfic 1 Al progrr en C++, se h tenido en cuent l oscilción cuuld entre distintos puntos (y que oscil cd n puntos), y no se h puesto coo condición de convergenci l diferenci entre un iterción y l nterior, sino que l oscilción totl de un pico respecto l vlor centrl (dividido pr obtener desviciones reltivs) fuese enor del 1%

ferhue()luni.uv.es 1-4-9 Se h elegido un punto conflictivo, pues estos en un borde, donde el potencil es ás picdo y necesit ás iterciones pr converger.

2 ferhue()luni.uv.es Se h elegido un punto conflictivo, pues estos en un borde, donde el potencil es ás picdo y necesit ás iterciones pr converger. Si eligiéseos un punto ás cercno l centro del rectángulo, se necesitrín enos iterciones (copruebo que uns 35). Coo de este estudio quereos obtener el líite del sutorio pr luego clculr x,y en culquier punto, escogeos quel punto donde el N áxio se yor pr que se plicble en culquier punto del rectángulo, de hí el escoger un punto especil. Con este vlor áxio MAX = 13 relizreos el resto de sutorios en los ejercicios siguientes. 2. Representr en 3D el potencil frente x e y escogiendo un núero suficiente de puntos (lldo). Escogeos 4x2 puntos (densidd unifore). Cbe señlr que en tods los cálculos y representciones posteriores se excluyen ls cutro esquins del rectángulo por trtrse de puntos que no están bien definidos. Si lo representos con Mtlb con un superficie que conteng los 8 puntos clculdos: Φ (V) Gráfic 2 Se coprueb, por tnto, que se cuplen ls condiciones de contorno, puesto que en los bordes x = /2 el potencil vle V, en y = ±b/2 es igul ±1V

3 ferhue()luni.uv.es Coprobr que l coponente tngencil del cpo eléctrico en los bordes se nul. El cpo eléctrico se obtiene derivndo l expresión del potencil (grdiente). Siplificndo obteneos: 4V 1 = Φ = E ( x, y) = π * sin ( ) ( 2 + 1) π π π ( 2 + 1) x sinh ( 2 + 1) y ; cos ( 2 + 1) x cosh ( 2 + 1) y ; π sinh b 2 Que si lo representos gráficente con Mtlb: Gráfic 3 Representción del cpo vectoril E en el rectángulo. Si clculos E x en y=±b/2 se obtiene trs siplificr: ( ) ± b 4V 1 π Ex(x, )= ± sin ( 2 + 1) x 2 = Si clculos E y en x=±/2 se obtiene trs siplificr: 4V ( 1) π π E y( ±, y)= cos± 2+ 1cosh y = 2 = π b 2 sinh ( 2 + 1) 2 ( ) ( ) En efecto, clculos que el cpo E y se cncel en el borde, pero no sucede sí prier vist con E x. De hecho, si hceos un estudio de convergenci de dich serie en un punto x que no nule el seno, podeos ver que l serie oscil infinitente y cotdente. Hceos el cálculo y representción pr x=,425 e y = -b/

ferhue()luni.uv.es 1-4-9 Gráfic 4 Se elige un vlor de x pr el que no se nul el seno utoáticente pr ver l flt de convergenci.

4 ferhue()luni.uv.es Gráfic 4 Se elige un vlor de x pr el que no se nul el seno utoáticente pr ver l flt de convergenci. Por tnto, l representr el cpo en y = -b/2 y x vrible, hbrá ocsiones en el que se cero y otrs en ls que l su se oscilnte. No obstnte, podeos coprobr que el vlor edio es cero, que es lo que cbe esperr l trtrse de un etl. En resuen, podeos ver que el cpo E x oscil precibleente en los bordes si poneos si utilizos un N áxio (y no hceos l edi cundo l serie es oscilnte). Si representos el cpo E x en todo el rectángulo, se obtiene l siguiente gráfic: E x (N/C) Gráfic 5-4 -

5 ferhue()luni.uv.es Ls vriciones en torno l cero en el borde y = ±b/2 son significtivs, yor incluso que el cpo E x en otros puntos del rectángulo y coprble E y en ese iso punto, lo que se debe l no convergenci de l serie. En el interior del rectángulo, E x es pequeño, desprecible frente E y coo se preci en l Gráfic 3. En el cso de E y en x=±/2 no hy ningún proble nuérico, porque teáticente es cero cd térino del sutorio ( diferenci de E x ), puesto que el coseno se nul. L Gráfic 3 podrí hcernos pensr que ests vriciones de E x respecto l en el borde son desprecibles frente E y en ese punto y que en los lterles l coponente tngencil se nul, pero si plios l igen en el borde, se observ que bos vlores sí son coprbles en el borde superior (donde E x oscil): Gráfic 6 Si representos los vectores en tod l región, no se preci clrente porque doinn ls divergencis de los bordes frente l cpo en el centro, lo que se debe que los vlores en ls esquins sí son significtivos, incluso yores, respecto l resto de l región

6 ferhue()luni.uv.es Representr l densidd superficil de crg en los bordes con 5 puntos por lterl. Suponiendo que ls coponentes tngenciles los bordes son cero, l densidd superficil es sipleente: σ = E n ε es decir, en x = ± /2, l densidd superficil lo lrgo de y vendrá dd por -±E x, ientrs que en y = ± b/2, ést vendrá dd por -±E y, donde se h tenido en cuent que el vector norl l superficie que sle de l región tiene signo contrrio en cd lterl opuesto. Representndo los vlores se obtiene l siguiente distribución de densidd superficil de crg. 5 σ/ε (N/C) -5,3,2,1 -,1 -,2 -,3 Gráfic 7 -,6 -,4-,2,6,2,4 Coo veos, l densidd superficil de crg es oscilnte en x (si se representsen ás puntos, se verí ás suve) debido que no se h cogido un núero suficiente de térinos (el núero áxio de iterción pr l convergenci estblecido según el potencil no es suficiente pr el cpo). Pr 2 iterciones, se suviz l gráfic: 5 σ/ε (N/C) -5,3,2,1 -,1 -,2 -,3 -,6 -,4-,2,6,2,4-6 -

7 ferhue()luni.uv.es Coo coentrio generl, cbe señlr que pr relizr el estudio del cpo eléctrico y l densidd superficil de crg se h utilizdo un núero de iterciones ddo por el estudio relizdo pr el potencil, cundo cbrí l posibilidd de que se necesitse un núero yor pr obtener un iso error reltivo. Ests desviciones podrín ser ás significtivs en los bordes y en ls esquins, que son puntos ás conflictivos, coo se h observdo l representr l densidd superficil. No obstnte, el núero de iterciones no es l rzón de ls desviciones grndes en los bordes en el cpo E x, sino que se trt de un desvición purente teátic y no de un error nuérico. Recordeos que l convergenci de un serie necesit (condición necesri, no suficiente) que el térino del sutorio cundo n tiende infinito se nule, lo cul no sucede y que prece un indeterinción en el líite -1 elevdo infinito ultiplicdo por seno de infinito, con lo que el líite no es cero. Es decir, l serie no converge. Esto se debe que l derivr el potencil, que sí converge l tener un (2+1) en el denoindor, este térino se cncel. El térino de E x en infinito sólo es cero si el rguento del seno se cncel pr todo, es decir, si: li li 4V 4V ( 1) ( 1) π sin π sin ( 2 + 1) x en generl = ( 2 + 1) x si V ó si ( 2 + 1) x = pπ π Pr ciertos x fijos, el cpo es porque todo térino es cero, si x=p/(2+1) siendo p y núeros enteros, coo se h coprobdo en l Gráfic 5, donde V to el vlor cd ciertos vlores de x. Por últio, resltr que se trt de un proble idel en el que se hn desprecido los efectos de ls esquins, donde el potencil psb de V 1V en cd lterl de un punto l siguiente. Esto podrí ser l explicción últi de por qué el cpo eléctrico h tenido un coportiento nólo l derivr el sutorio del potencil (dndo un serie infinitente oscilnte y cotd) en los lterles. Otr opción de que el cpo converj es no llegr grndes y hcer tender infinito, con lo que si nos restringios x cercno cero, este coportiento desprece y los efectos de los bordes son desprecibles, con lo que se cuplirí l condición de que l coponente tngencil l superficie de un etl del cpo se nul. Aunque de los resultdos generles nteriores nuéricos trs derivr l expresión del potencil no podeos concluir que ést se nul en todo cso, podeos prtir directente de l expresión del potencil. En lugr de usr un coprobción nuéric, podeos epler el rguento teórico de que el potencil debe cuplir l condición de contorno de que vle 1V en todo el borde pr todo x del lterl, y que coo dicho vlor no vrí lo lrgo de x, l derivd es cero y l coponente tngencil se nul

8 ferhue()luni.uv.es Coo curiosidd, el potencil en los bordes superior e inferior se obtiene edinte un serie infinit que present el fenóeno de Gibbs. Se h representdo pr el borde +1V, con 2 puntos (x) y 5 térinos cd sutorio V (V) ,4 -,2,2,4 Detlle en un enor tro de x y yor densidd de puntos: 11 V (V) 1,5 1 9,5,35,4,45,5-8 -

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