Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cuatrimestre 2017

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1 Universidd de Buenos Aires - Fcultd de Ciencis Excts y Nturles - Depto. de Mtemátic Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cutrimestre 17 Práctic N 8: Integrción Numéric - Métodos Multipso Ejercicio 1 Interpolndo ls funciones de bse de Lgrnge, hllr un fórmul de cudrtur por interpolción de l form h f(x) dx A f() + A 1 f(h). Pr f un función C probr que el error cometido no excede el vlor f h 3. Ejercicio Usr el método de coeficientes indetermindos pr dr un fórmul de cudrtur por interpolción: 3h f(x) dx A f() + A 1 f(h) + A f(3h). Ejercicio 3 Construir l fórmul biert de Newton-Cotes pr clculr f(x) dx con nodos /,, 1/, y l fórmul cerrd de Newton-Cotes con nodos en los puntos, /3, 1/3, 1. Ejercicio 4 Considerr l función definid en [ h, h] (h > ): {, si h x f(x) = x, si < x h. Hllr el error de l regl de trpecios plicd f(x). El orden es igul l obtenido pr un función suficientemente suve? Ejercicio 5 L fórmul de cudrtur ( + b ) (b ) f(x) dx f es conocid como Regl de los Rectángulos. Pr f C 1 [, b] cotr el error que se comete l utilizrl. Ejercicio 6 ) Hllr un fórmul de cudrtur del tipo: f(x) dx Af( ) + Bf() + Cf(). 1

2 b) Pr f C 3 [, ] probr que el error cometido no excede el vlor 7 1 f (3). Ejercicio 7 Escribir progrms que recibn un función f y los límites del intervlo [, b], y utilicen ls regls de trpecios y de Simpson pr proximr f. Ejercicio 8 Escribir progrms que recibn un función f, los límites del intervlo [, b] y un prámetro n, y utilicen ls regls de trpecios y de Simpson compuests pr proximr f, prtiendo [, b] en n intervlos. Ejercicio 9 Se dese implementr un regl de cudrtur dptiv, es decir, un cudrtur compuest que utilice más subintervlos en l zon en que l proximción obtenid se peor. Pr ello, notmos S(, b) l regl de Simpson en el intervlo [, b]. Si notmos c = +b, se tiene que: S(, b) S(, c) S(c, b) /15 E(, c, b), donde E(, c, b) es el error cometido l plicr l regl compuest: S(, c) + S(c, b). Implementr un progrm que recib como input un función f, un intervlo [, b] y un tolernci ε y clcule ls cudrturs: q = S(, b), q 1 = S(, c) y q = S(c, b). Si q q 1 q < 15ε, se devuelve el vlor q 1 + q. En cso contrrio, se plic el mismo criterio pr integrr f en los intervlos [, c] y [c, b], con un tolernci ε/. Probr el progrm clculndo xe x dx = 1(1 e ). Comprr los resultdos (y los tiempos de ejecución) con los obtenidos por l regl de Simpson compuest. Ejercicio 1 Se sbe que x dx = π 4. ) Pr n = 1,..., 1, utilizr ls regls de trpecios y Simpson compuests pr proximr numéricmente l integrl y dr un vlor cercno π. b) Grficr ls sucesiones obtenids junto con el vlor de π que rroj Octve y el vlor que se obtiene l plicr el progrm del ejercicio nterior. Ejercicio 11 ) Clculr exctmente l integrl I = π [1 cos(3x)] dx. b) Aproximr el vlor de I usndo el progrm del Ejercicio 7 con los métodos de los trpecios, Simpson, trpecios compuest y Simpson compuest pr n =, 4, 8 y 16. c) Clculr el vlor de I que produce el progrm del ejercicio 9. Ejercicio 1 Se quiere clculr e x dx utilizndo l regl de trpecios compuest, prtiendo el intervlo [, 1] en n subintervlos. Hllr n de modo que el error se menor que 1 3. Ejercicio 13 Determinr el grdo de precisión de ls fórmuls pr f(x) dx: ) 4 3 f(.5) 3 f() f(.5).

3 b) 1 4 f() f( 1 3 ) f(1 3 ) f(1). Ejercicio 14 Hllr regls de cudrtur de grdo de precisión máximo pr proximr 3 f(x) dx, de ls siguientes forms: 3 ) A[f(x ) + f(x 1 )] (repitiendo el coeficiente). b) Af(x ) + Bf(x + 4). y determinr cuáles son dichos grdos. Ejercicio 15 Se w : R R un función estrictmente positiv. Se tiene un fórmul de cudrtur en el intervlo [, b] de l form: f(x)w(x)dx A i f(x i ). (1) i=1 Aplicndo un cmbio de vribles, obtener, prtir de (1), un cudrtur pr el intervlo [c, d], de l form d f(x)w(x) B i f(y i ). c Clculr los coeficientes B i en función de los A i y los nodos y i en función de los x i. Tiene l cudrtur en [c, d] el mismo grdo de precisión que l cudrtur en [, b]? Ejercicio 16 Clculr f(x)x dx medinte un regl decudrtur de l form i=1 f(x)x dx A f(x ) + A 1 f(x 1 ) que se exct pr polinomios de grdo menor o igul que 3. Ejercicio 17 ) Hllr un regl de cudrtur del siguiente tipo f(x) x dx A f(x ) + A 1 f(x 1 ). que teng grdo de precisión máximo. Cuál es dicho grdo? b) Hllr un regl de cudrtur del siguiente tipo 4 x f(x) dx A f(x ) + A 1 f(x 1 ). que teng grdo de precisión máximo. Cuál es dicho grdo? Sugerenci: Usr el ejercicio 15. Ejercicio 18 Se w un función de peso. Se consider l regl de cudrtur de 1 punto: f(x)w(x) dx A f(s). 3

4 ) Probr que, culquier se w, l fórmul tiene grdo de precisión máximo si s = xw(x) dx. w(x) dx b) Probr que si w(x) 1, est regl coincide con l regl de los rectángulos. c) Considerr el intervlo [, 1] y w(x) = (x 1). Acotr el error que produce el uso de est regl pr funciones C 1. Ejercicio 19 Hllr los pesos y los nodos de ls fórmuls de Guss-Legendre de dos y tres puntos. (Los polinomios de Legendre mónicos de grdo dos y tres son x 1 3 y x3 3 5 x). Ejercicio Probr que un fórmul de cudrtur f(x)w(x) dx Q n (f) = A j f(x j ) j= no puede tener grdo de precisión myor que n + 1, independientemente de l elección de los coeficientes (A j ) y de los nodos (x j ). Sugerenci: Hllr un polinomio p R n+ [X] pr el cul Q n (p) Ejercicio 1 Considerr l ecución y (t) = f(t, y(t)). ) Deducir l fórmul de Milne: proximndo l integrl tn y n = y n + h( 1 3 f n f n f n ), t n f(t, y(t))dt = tn con l fórmul de Simpson. Usr el Ejercicio 15. t n y (t)dt = y(t n ) y(t n ), p(x)w(x) dx. b) Proceder en form nálog l ítem nterior y dr un método multipso de l form y n+1 y n = h [ Af n + Bf n + Cf n ]. c) Anlizr l convergenci (estbilidd y consistenci) de los métodos de los ítems nteriores y clculr su orden. Ejercicio Anlizr l convergenci de los siguientes métodos y clculr su orden. ) Adms-Bshforth. y n+3 y n+ = h 1 (3f n+ 16f n+1 + 5f n ). 4

5 b) Adms-Moulton. y n+3 y n+ = h 1 (5f n+3 + 8f n+ f n+1 ). Ejercicio 3 Considerr el método de psos y n+ + y n+1 + y n = h(β f n+ + β 1 f n+1 + β f n+1 ). Determinr, β, β 1, β de modo que el método resultnte teng orden 4. Ejercicio 4 Decidir si existe lgún vlor de R pr el cul el siguiente método multipso se convergente: y n+3 3y n+ + (3 )y n+1 + ( 1)y n = h[5f n+ + ( 5)f n ]. 5