f : [a, b] R, acotada
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- Eduardo Redondo Espejo
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1 6. Integrción 6.1 Integrl definid Problem del áre. Ejemplos: 1 3 f(x 0, x [, b] f : [, b] R, cotd Figur 1 P n = { = x 0 < x 1 <... x n = b prtición de [, b]. Subintervlo i-ésimo: x i = x i x i 1 su longitud, x = mx i,..n M i = sup f(x, m i = inf [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] M i x i áre del rectángulo superior i-ésimo, m i x i áre del rectángulo inferior i-ésimo, 1
2 S n = M i x i, s n = m i x i son ls áres limitds por l rect x =, l rect x = b, el eje x y l quebrd superior o inferior, respectivmente. = lim S n = lim s n = A es el áre limitd por l rect x =, l rect x = b, el eje x y l gráfic de f. S n y s n se llmn sums de Riemnn superior e inferior pr l función f y l prtición P n, respectivmente. Definición-1. Se f : [, b] R, cotd. f se llm integrble en [, b] lim S n = integrl definid de Riemnn de f en [, b] y se design f(xdx = lim S n = lim s n. El vlor de este límite se denomin lim s n, f(xdx, es decir, donde y b son los límites inferior y superior de integrción, respectivmente. Sentido geométrico 1 f(x 0 en [, b] = l rect x =, l rect x = b y el eje x. f(x 0 en [, b] f(xdx es el áre por debjo de l gráfic de f limitd por S n = Subintervlo i-ésimo: M i x i, s n = Figur x i = x i x i 1 su longitud, M i = sup f(x, m i = inf f(x, [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] M i x i = ( 1 (áre del rectángulo superior, m i x i = ( 1 (áre del rectángulo inferior, m i x i son ( 1 (áre limitd por l rect x =, l rect x = b, el eje x y l quebrd superior o inferior, respectivmente. Entonces f(xdx es el ( 1 (áre por encim de l gráfic de f limitd por l rect x =, l rect x = b y el eje x.
3 3 f cmbi de signo en [, b] = es l combinción de los csos 1 y. Por ejemplo, Funciones integrbles. Figur 3 1. f C([, b] = f es integrble en [, b]. 3. f cotd en [, b] número finito de puntos de discontinuidd de f en [, b] f cotd en [, b] = f es integrble en[, b] f monóton en [, b] = f es integrble en[, b] Propieddes b f(xdx = 0 f(xdx = f(xdx = c f(xdx f(xdx + (f(x ± g(xdx = kf(xdx = k 6. f 0 = 7. f g = f(xdx f(xdx 0 f(xdx c f(xdx, c [, b] f(xdx ± g(xdx g(xdx Ejemplos de l colección de ejercicios. 3
4 6. Integrl indefinid Definición-. Se f, g funciones definids { en un intervlo I (bierto o cerrdo, finito o no. g es derivble en I g se denomin primitiv de f en I g (x = f(x, x I Not: 1 si g es un primitiv de f en I = g + C tmbién lo es, donde C = const es un constnte rbitrri; si g 1, g son primitivs de f en I = g 1 (x g (x = C, x I, C = const. Definición-3. Se f : I R. El conjunto de tods ls primitivs de f en I se denomin integrl indefenid de f y se design f(xdx. Definición-4. Se f : [, b] R un función integrble. L función F (x = x f(tdt, x [, b] se denomin función integrl de f en [, b]. Not: Si f(x 0, x [, b] = F (x es el áre siguiente Figur 4 Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl ( Si f es integrble en [, b] = F C [, b]. Además, si f C(x 0, x 0 [, b] = F es derivble en x 0 y F (x 0 = f(x 0. ( Not. Si f C [, b] 1. F es un primitiv de f en [, b]. = F es derivble pr x [, b] y F (x = f(x. Entonces:. ( f(tdt = f(x, x [, b]. x En relidd, 4
5 3. u derivble en [α, β] Im(u [, b] En relidd, = ( u(x f(tdt = f(u(x u (x, x [α, β]. 4. v derivble en [α, β] Im(v [, b] = ( v(x f(tdt = f(v(x v (x, x [α, β]. En relidd, ( u(x 5. En generl, f(tdt = f(u(x u (x f(v(x v (x, x [α, β]. En relidd, v(x Regl de( Brrow f C [, b] g un primitiv de f en [,b] = f(xdx = g(b g( Demostrción: Ejemplos de l colección de ejercicios. 5
6 6.3 Integrción proximd Regl de los trpecios. f : [, b] R, integrble. f(x 0, x [, b] Figur 5 n número de subintervlos de [,b], h = b longitud de cd uno de subintervlos, n x i = + hi. Subintervlo i-ésimo: f(x i 1, f(x i vlor de l función en el extremo inferior y superior, xi f(xdx T i = f(x i 1 + f(x i h áre del trpecio i-ésimo. x i 1 xi Entonces I = f(xdx = f(xdx T i = T, donde x i 1 f(x i 1 + f(x i T = T i = h = ( f(x0 + f(x 1 = h + f(x 1 + f(x f(x n + f(x n 1 + f(x n 1 + f(x n = ( ( n 1 f(x 0 + f(x n n 1 f( + f(b = h + f(x i = h + f(x i, es decir, el vlor de l integrl definid de f en [, b] se proxim con l fórmul llmd regl de los trpecios ( b n 1 f( + f(b I = f(xdx T = h + f(x i. Proposición. Si f C ([, b] = c (, b : Cot superior del error. ε bs = I T = (b 3 1n f (c f(xdx T = (b 3 1n mx [,b] f (x. 6 (b 3 1n f (c.
7 Método de Simpson. f : [, b] R, integrble. Figur 6 n número PAR de subintervlos de [,b], h = b longitud de cd uno de subintervlos, n x i = + hi. Prej i-ésim de subintervlos: p i (x = α i x + β i x + γ i prbol i-ésim que ps por los puntos A i (x i, f(x i, B i (x i 1, f(x i 1, C i (x i, f(x i y proxim f en [x i, x i ], xi x i f(xdx xi x i p i (xdx = S i el vlor proximdo de l integrl en [x i, x i ]. El vlor de l integrl definid de f en [, b] se proxim de l form siguiente f(xdx = n/ xi f(xdx x i n/ xi n/ p i (xdx = S i = S x i Despues de clculr: los coeficientes α i, β i, γ i de ls prbols p i, i = 1... n/, xi xi ls integrles S i = p i (xdx = (α i x x + β i x + γ i dx = (α 3 i x i x i 3 + β x i + γ x i ix x i n/ y l sum S = S i se lleg l siguiente resultdo S = h ( f(b + f( + (f(x + f(x f(x n + 4(f(x 1 + f(x f(x n 1. 3 El vlor de l integrl definid de f en [, b] se proxim con l fórmul llmd fórmul de Simpson, es decir, I = f(xdx S = h ( f(b + f( + (f(x f(x n + 4(f(x f(x n 1. 3 Proposición. Si f C ([, 4 b] = c (, b : Cot superior del error. ε bs = I S = (b 5 180n 4 f (4 (c f(xdx S = (b 5 180n 4 mx [,b] f (4 (x. (b 5 180n 4 f (4 (c. 7
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