Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

Transcripción

1 ndlucitech Integrción Integrción Dpto. Mtemátic Aplicd Universidd de Málg

2 ndlucitech Integrción Resumen 1 Integrción 2 Áres Volúmenes Longitudes y superficies

3 ndlucitech Integrción Motivción Cálculo de áres plns limitds por l gráfic de un función cotd positiv y el eje OX en un cierto intervlo [, b].

4 Integrción Aproximción l áre Si se divide el intervlo [, b] en subintervlos, se obtienen unos rectángulos inscritos dentro de l región y unos rectángulos circunscritos que se extienden fuer de l región. El áre de l región es un número rel comprendido entre l sum de ls áres de los rectángulos inscritos y l sum de ls áres de los rectángulos circunscritos. ndlucitech

5 Integrción Prtición de un intervlo Ddo un intervlo [, b], se llm prtición de [, b] un colección finit de puntos del intervlo P = { = x 0, x 1,..., x n = b} tles que = x 0 < x 1 < < x n = b. Es usul denotr por x k l longitud del k-ésimo subintervlo determindo por l prtición, esto es, x k = x k x k 1 Se f : [, b] R un función cotd. Entonces, pr cd prtición P = { = x 0, x 1,..., x n = b} y pr cd k = 1, 2,..., n, existen, por estr f cotd en cd [x k 1, x k ], los elementos f = inf{f (x) : x [x k 1, x k ]} y k f k = sup{f (x) : x [x k 1, x k ]} ndlucitech

6 ndlucitech Integrción Sums inferiores Se llm sum inferior de f correspondiente l prtición P y se design por L(P, f ) l número rel L(P, f ) = n f k k x k=1

7 ndlucitech Integrción Sums superiores Se llm sum superior de f correspondiente l prtición P y se design por U(P, f ) l número rel U(P, f ) = n f k x k k=1

8 Integrción Integrl inferior y superior El conjunto {L(f, P) : P es prtición de [, b]} está cotdo superiormente por culquier sum superior. El conjunto {U(f, P) : P es prtición de [, b]} está cotdo inferiormente por culquier sum inferior. L integrl inferior de f en [, b] f es l myor de ls sums inferiores L integrl superior de f en [, b]; f es l menor de ls sums inferiores. ndlucitech

9 ndlucitech Integrción Función integrble Se dice que un función f cotd sobre [, b] es integrble en el sentido de Riemnn en [, b] si l integrl inferior y l integrl superior de f en [, b] coinciden. En tl cso, este número común se le denomin integrl de f en [, b] y se represent por f. f = f = f

10 ndlucitech Integrción Integrl como ĺımite de sums de Riemnn Dd un función continu f : [, b] R, se consider un prtición P = { = x 0 < x 1 < < x n = b} y un elección de puntos en ell E = {x 1, x 2,..., x n} donde cd x k [x k 1, x k ]. Se llm sum de Riemnn de f socid l prtición P y l elección de puntos E S(f, P, E) = n f (xk ) x k k=1

11 Integrción Integrl como ĺımite de sums de Riemnn Un sum de Riemnn supone un proximción l áre limitd por l gráfic de f y el eje OX, pues cd sumndo represent el áre de un rectángulo de bse x k y ltur f (x k ). Pr un prtición P de [, b] en n subintervlos, l norm P de l prtición es el máximo de ls longitudes de los subintervlos x 1,..., x n. Al considerr prticiones cuys norms sen cd vez más pequeñs, intuitivmente, ls correspondientes sums de Riemnn se cercn l áre A = lim S(f, P, E) = P 0 f (x) dx ndlucitech

12 ndlucitech Integrción Funciones integrbles Tod función continu en un intervlo cerrdo y cotdo es integrble Tod función con un número finito de discontinuiddes en un intervlo cerrdo y cotdo es tmbién integrble Tod función monóton (creciente o decreciente) en un intervlo cerrdo y cotdo es integrble.

13 ndlucitech Integrción 1) Si f y g son integrbles en [, b], entonces f + g es integrble en [, b] y (f + g) = f + g. 2) Si f es integrble en [, b], pr culquier α R, se tiene que αf es integrble en [, b] y αf = α f.

14 ndlucitech Integrción 3) Si f es integrble en [, b] y f (x) 0 pr todo x [, b], entonces f 0. 4) Si f es integrble en [, b] y f (x) g(x) pr todo x [, b], entonces f g.

15 ndlucitech Integrción 5) Sen < c < b R. Un función f es integrble en [, b] si y sólo si f es integrble en [, c] y f es integrble en [c, b]. En tl cso, c f = f + f. c 6) Pr tod función f integrble, f = 0 pr todo R 7) f = f pr culesquier, b R b

16 ndlucitech Integrción Integrl indefinid Dd f un función integrble en [, b], se sbe que f es integrble en [, x] pr todo x [, b], por tnto existe x f. Se define l integrl indefinid de f en [, b] como l función F : [, b] R dd por F (x) = x f

17 ndlucitech Integrción Teorem fundmentl del Cálculo Teorem (Primer teorem fundmentl del Cálculo) Se f un función integrble en [, b] y se F (x) = x f. Si f es continu en x [, b], entonces F es derivble en x y demás F (x) = f (x)

18 ndlucitech Integrción Primitiv de un función Se dice que g es un primitiv de f en [, b] si g es continu en [, b], derivble en (, b) y g (x) = f (x) pr todo x (, b). Tod función continu en [, b] tiene un primitiv que es F (x) = x f, según el Teorem Fundmentl del Cálculo. Si g es un primitiv de f en [, b], entonces otr función h es primitiv de f si y sólo si h = g + K siendo K un número rel. Se design por f (x)dx = g(x) + K

19 ndlucitech Integrción Regl de Brrow Teorem Si f es un función continu en [, b] y g es un primitiv de f en [, b] entonces f (x)dx = g(b) g().

20 Integrción Integrles inmedits Pr α 1, x α dx = xα+1 α+1 + K; 1 x dx = ln x + K; e x dx = e x + K; Pr > 0, 1, x dx = x ln + K; senx dx = cos x + K; cos x dx = senx + K; 1 1+x 2 dx = rctn x + K; 1 1 x 2 dx = rcsenx + K; 1 1 x dx = rccos x + K; 2 (1 + tn 2 x)dx = 1 dx = tnx + K; cos 2 x ndlucitech

21 ndlucitech Integrción Método de sustitución Se φ un función derivble y con derivd continu y f continu. Si F es un primitiv de f, entonces F φ es un primitiv de (f φ) φ. Como consecuenci, f (φ(x))φ (x)dx = φ(b) φ() f (u)du = F (φ(b)) F (φ()) Dicho de otro modo, si se denot por t = φ(x), se tiene que f (φ(x))φ (x)dx = f (t)dt

22 ndlucitech Integrción Método integrción por prtes Dds f, g derivbles y con derivd continu, se tiene que f g = fg fg. Tomndo l notción diferencil, es decir, du = u (x)dx, l fórmul de integrción por prtes se puede escribir udv = uv vdu

23 Integrción Integrción de funciones rcionles de cocientes de polinomios, es decir p(x) q(x) donde p(x), q(x) son polinomios con coeficientes reles. Usndo l división de polinomios, se puede reducir el problem l cso en que el grdo de p(x) es menor que el grdo de q(x). 1) 1 (x ) dx = log x + K 2) 1 1 (x ) dx = + K, pr n > 1. n (1 n)(x ) 1 n 3) I n = 1 2n 3 (x 2 n dx = +1) 2n 2 I x n K, utilizndo 2(n 1)(x 2 +1) n 1 el método de sustitución y l integrción por prtes. 4) dx = 1 ((x r) 2 +s 2 ) n (t 2 n dx con el cmbio de vrible +1) t = x r s. ndlucitech

24 Integrción Integrción de funciones rcionles Se p(x) q(x) donde el polinomio q(x) sólo posee ríces reles r 1, r 2,..., r n de multipliciddes α 1, α 2,..., α n respectivmente. Descomponer l función rcionl en frcciones simples: p(x) q(x) = A 11 x r 1 + A 12 (x r 1 ) A 1α 1 (x r 1 ) α A n1 + + A nα n x r n (x r n ) αn Utilizr 1) y 2) y l ditividd de l integrl respecto de l sum. ndlucitech

25 Integrción Integrción de funciones rcionles Se p(x) q(x) donde el polinomio q(x) posee ríces complejs conjugds z 1, z 1,..., z m, z m con multipliciddes β 1,..., β m. Como cd término del tipo (x z i )(x z i ) = x 2 2Re(z i )x + z i 2 = (x b i ) 2 + c i Entonces, p(x) q(x) = B 11x + C 11 (x b 1 ) 2 + B 12x + C 12 + c 1 ((x b 1 ) B 1β 1 x + C 1β1 + c 1 ) 2 ((x b 1 ) 2 + c 1 ) β B mβ m x + C mβm ((x b m ) 2 + c m ) βm. ndlucitech

26 Integrción Integrción de funciones rcionles Pr resolver Ax+B ((x r) 2 +s 2 ) n dx, se procede del siguiente modo: Pr n = 1: Ax + B (x r) 2 + s 2 dx = Ax (x r) 2 + s 2 dx+ B (x r) 2 + s 2 dx = = A 2 ln((x r)2 + s 2 ) + Ar + B rctn x r s s Pr n > 1, Ax + B A(x r) + Ar + B ((x r) 2 + s 2 ) n dx = ((x r) 2 + s 2 ) n dx = A dx = 2(n 1)((x r) 2 + s 2 + (Ar + B) ) n 1 ((x r) 2 + s 2 ) n ndlucitech

27 ndlucitech Integrción Integrción de funciones trigonométrics Integrles del tipo R(senx cos x)dx con R un función rcionl, se reducen un integrl rcionl con el cmbio tn x 2 = t. Con dicho cmbio, se relizn ls siguiente sustituciones: senx = 2t 1+t 2 cosx = 1 t2 1+t 2 dx = 2dt 1+t 2

28 ndlucitech Integrción Integrción de funciones trigonométrics Otros cmbios de vrible que tmbién reducen l integrl un integrl rcionl: Si R es un función impr en sen x se resuelve con el cmbio cos x = t. Si R es un función impr en cos x, se resuelve con el cmbio sen x = t. Si R es un función pr en sen x y en cos x, se resuelve con el cmbio tn x = t.

29 ndlucitech Integrción Generlizciones de l integrl Se hn considerdo funciones cotds definids en intervlos cerrdos y cotdos. No obstnte, se presentn situciones en ls que no se verificn lguns de ests condiciones: Que el dominio de integrción se un semirrect. Que el dominio de integrción se un intervlo cotdo,pero que en culquier entorno de uno de los extremos del intervlo l función no esté cotd. En culquier otro cso que no esté incluido en los dos nteriores, subdividiendo convenientemente el intervlo de integrción se lleg lguno de los dos tipos nteriores.

30 ndlucitech Integrción de primer especie Se f : [, + ) R donde R y f integrble en [, t] pr todo t R. Se llm integrl impropi de f en [, + ) + cundo exist y se finito. f (x)dx = t lim f (x)dx t + Si el ĺımite nterior no existe o es + o, se dice que l integrl impropi es divergente o que no converge.

31 ndlucitech Integrción de primer especie Se f : (, b] R, b R y f integrble en [t, b] pr todo t R. Se llm integrl impropi de f en (, b] cundo exist y se finito. f (x)dx = lim f (x)dx t t Si el ĺımite nterior no existe o es + o, se dice que l integrl impropi es divergente o que no converge.

32 ndlucitech Integrción de primer especie Se f : R R integrble en [A, B] pr todo A, B R, siendo A < B. Se dice que existe + f, cundo, pr todo c R existen c f (x)dx y + c f (x)dx. En tl cso, + f (x)dx = c f (x)dx + + c f (x)dx

33 ndlucitech Integrción de segund especie Se f : [, b) R integrble en [, t], pr todo t R tl que < t < b. Se define l integrl impropi de f en [, b) como cundo exist y se finito. t f (x)dx = lim f (x)dx t b

34 ndlucitech Integrción de segund especie Se f : (, b] R integrble en [t, b], pr todo t R tl que < t < b. Se define l integrl impropi de f en (, b] por cundo exist y se finito. f (x)dx = lim f (x)dx t + t

35 ndlucitech Integrción de segund especie Se f : (, b) R integrble en [A, B] pr todo A, B R tl que < A < B < b. Se dice que existe l integrl impropi de f en (, b) cundo pr todo c R existn ls integrles impropis en (, c] y [c, b). En tl cso se define f (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx c

36 ndlucitech Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Resumen 1 Integrción 2 Áres Volúmenes Longitudes y superficies

37 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Áre bjo un curv Áre: ĺımite de sum de Riemnn. El incremento de áre debido l rectángulo representtivo en x es: A = f (x) x El áre totl es proximdmente l sum de los rectángulos: x=b x=b A A = f (x) x x= x= Al llevr l sum l ĺımite, prece l integrl: A = lim x 0 x= x=b f (x) x = f (x) dx ndlucitech

38 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Áre entre dos curvs Áre del rectángulo negro: A 1 = (g(x) f (x)) x Áre del rectángulo verde: A 2 = (f (x) g(x)) x Hllr el corte x = c y sumr por seprdo ls dos regiones: x=c x=b A (g(x) f (x)) x + (f (x) g(x)) x x= x=c Al llevr l sum l ĺımite, prece l integrl: A = c (g(x) f (x)) dx + c (f (x) g(x)) dx ndlucitech

39 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Áre entre tres curvs Tener en cuent ls dos regiones: A = 1 0 x 2 dx (2 x) dx Tmbién se pueden tomr rectángulos horizontles: A = ((2 y) y) y Al llevr l sum l ĺımite, prece l integrl sobre y: A = 1 0 ((2 y) y) dy ndlucitech

40 ndlucitech Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Volúmenes elementles Volumen con: Sección de áre A constnte. Altur h. Csos prticulres: V = (A) h Cilindro: V = ( π r 2) h Ortoedro: V = (l d) h

41 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Secciones conocids En cd x hy un áre conocid A(x). El áre A(x) d lugr un volumen elementl de ltur infinitesiml: V A(x) x Volumen totl proximdo: sum. x=b V A(x) x x= Límite de l sum: integrl. V = A(x) dx ndlucitech

42 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Método de discos Volúmenes de revolución Se cren l girr un región en torno un eje: ls secciones son círculos. Pr un rectángulo representtivo en x, el incremento de volumen es un fino disco: V π r 2 x r = f (x) El volumen totl es el ĺımite de l sum de los volúmenes: V = ( ) 2 π f (x) dx ndlucitech

43 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Método de rndels Si el eje de giro no limit l región, se form un cvidd. Pr un rectángulo representtivo en x, el volumen es un coron circulr: V ( π R 2 π r 2) x R = f (x) r = g(x) El volumen totl es el ĺımite de l sum de los volúmenes: ( ( ) 2 ( ) ) 2 V = π f (x) g(x) dx ndlucitech

44 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Volúmenes de revolución en torno l eje y V π r 2 y r = x = f 1 (y) ( ) 2 V = π f 1 (y) dy V π ( R 2 r 2) y R = x = f 1 (y) r = x = g 1 (y) ( ( ) 2 ( ) ) 2 V = π f 1 (y) g 1 (y) dy ndlucitech

45 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Eje de giro distinto de los ejes coordindos EJE: y = c V π r 2 x V = EJE: x = c r = f (x) c π (f (x) c) 2 dx V π ( R 2 r 2) y R = x = f 1 (y) r = c ( ( ) 2 ( ) ) 2 V = π f 1 (y) c dy ndlucitech

46 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Método de cps Al girr el rectángulo representtivo en torno un eje prlelo, gener un tubo hueco. Al rectificr l pred del tubo, se tiene un ortoedro de volumen: V 2 π r h x r = x h = f (x) El volumen totl es el ĺımite de l sum de los volúmenes: V = 2 π x f (x) dx ndlucitech

47 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Volúmenes de revolución 1 Esboz gráficmente l región y el eje. 2 Determin vrible de integrción y rectángulo crcterístico: Rectángulo verticl, vrible x, región con techo y suelo bien definidos. Rectángulo horizontl, vrible y, si l región tiene predes lterles bien definids. A veces son posibles ls dos. 3 Determin el método: Discos si el eje y el rectángulo son perpendiculres. Cps si el eje y el rectángulo son prlelos. A veces son posibles los dos. 4 Etiquet en el gráfico ls longitudes de interés: Rdios en el método de discos. Rdio y ltur en el método de cps. 5 Plnte l integrl y resuelve. ndlucitech

48 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Longitud de un curv Pr un segmento recto representtivo en x, el incremento de longitud es: s ( x) 2 + ( y) 2 ( ) y 2 = 1 + x x El ĺımite de l frcción y x es l derivd: s = 1 + (f (x)) 2 dx ndlucitech

49 Integrción Áres Volúmenes Longitudes y superficies Superficie de revolución Al girr el rectángulo, gener un tronco de cono. Al rectificr l pred del tronco, se tiene un rectángulo de áre: A l s l = 2 π r s = 1 + r = f (x) ( ) y 2 x x El ĺımite de l sum es l integrl: A = 2 π f (x) 1 + (f (x)) 2 dx ndlucitech