Métodos de Integración
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- Ramona Soriano López
- hace 7 años
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1 CAPÍTULO Métodos de Integrción. Integrción por prtes El método que presentmos en est sección está bsdo en l regl pr derivr un producto de funciones. Como sbemos, si u f.x/ & v g.x/ son funciones derivbles, entonces por l regl de l erivd de un Producto d Œf.x/g.x/ f.x/g.x/ C g.x/f.x/: Luego, l integrr se obtiene: [f Œf.x/g.x/.x/g.x/ C g.x/f.x/ ] f.x/g.x/ f.x/g.x/ C g.x/f.x/i de donde result: f.x/g.x/ f.x/g.x/ g.x/f.x/: (. A est iguldd se le denomin fórmul de integrción por prtes y es esencil pr clculr fmilis importntes de integrles. Vemos un presentción más compct de est fórmul. do que u f.x/ & v g.x/, entonces du f.x/ & dv g.x/; luego, l iguldd f.x/g.x/ f.x/g.x/ g.x/f.x/. cne.zc.um.mx: / / 7
2 Cálculo integrl es equivlente udv uv v du: (. Est presentción de l fórmul de integrción por prtes es l que generlmente se us en el cálculo de determinds integrles. Cómo plicr est fórmul pr clculr un integrl rbitrri? Z Clculr l integrl indefinid f.x/. Se consider que el integrndof.x/ es, precismente, u dv, pr sí seleccionr u & dv. Es evidente que formrá prte de l diferencil dv. Z Al seleccionr u & dv debemos cuidr que el cálculo de v dv se fctible; el cálculo de du no Z present dificultd. ech l selección de u & dv y hbiendo clculdo du & v dv, se plic l fórmul de integrción por prtes f.x/ uv v du Z y quí debemos cuidr que el cálculo de v du se fctible y no se más complejo que l integrl originl. Ejemplo.. Clculr l integrl xe x. Si seleccionmos entonces: u x & dv e x du du & v xe x u x & dv e x I du & v e x : uv v du xe x dv e x e x ; e x xe x e x C C.x /e x C C: Ejemplo.. Clculr l integrl x sen x. Si seleccionmos entonces, u x & dv sen x du du & v x sen x u x & dv sen x I du & v cos x: uv v du x. cos x/ x cos x C sen x C C: dv sen x cos x; cos x x cos x C cos x
3 . Integrción por prtes Ejemplo.. Clculr l integrl x cos x. Seleccionndo u x & dv cos x : Encontrmos: du du & v x cos x u x & dv cos x I uv dv cos x sen x: ( v du x sen x sen x du & v sen x: x sen x sen x x sen x Ejemplo.. Clculr l integrl x p x C. (. cos x/ C C x sen x C cos x C C: Si seleccionmos u x & dv p x C : px du & v C.x C /.x C / tenemos: x p x C u x & dv p x C I du & v 9.x C / : 9 x.x C / 9 x.x C / Ejemplo.. Clculr l integrl ln x. x (.x C / 9.x C / 9 9 x.x C /.x C / C C: 9 ( 9.x C /, 9.x C / (.x C / ( C C Sin dud lgun u ln x & dv, por lo que : du x du x & v Luego, ln x u ln x & dv I.ln x/x ( x x x ln x x. x ln x x C C x.ln x / C C: du x & v x:
4 Cálculo integrl Ejemplo..6 Clculr l integrl rctn x. Es evidente que u rctn x & dv, por lo que du C x Entonces, rctn x.rctn x/x x C x x rctn x u rctnx & dv I du C x & v x: x rctn x ln. C x / C C x rctn x ln C x C C: du C x & v x. x C x Pr clculr cierts integrles, es necesrio plicr más de un vez el método de integrción por prtes. Vemos lgunos ejemplos. Ejemplo..7 Clculr l integrl x e x. Se sugiere recordr el cálculo de l integrl xe x en el ejemplo... Seleccionndo u x & dv e x, du x & v e x e x. Entonces, x e x u x & dv e x I ( ( x e x e x x x e x C xe x : (* du x & v e x : Pr evlur xe x, se plic nuevmente integrción por prtes. xe x Ou x & d Ov e x I ( ( x e x e x xe x C e x d Ou & Ov e x : xe x C Al considerr este resultdo en (*, obtenemos x e x x e x C xe x ( e x xe x C e x : [ ] x e x C xe x e x C C x e x xe x e x C C e x.x C x C / C C:
5 . Integrción por prtes Ejemplo.. Clculr l integrl x cos x. Recordemos ls integrles de los ejemplos.. y... Seleccionmos u x & dv cos x du x & v cos x sen x. Entonces, x cos x [ x cos x uv ] v du u x & dv cos xi du x & v sen x: ( ( ] [x sen x sen x x x sen x x sen x : (* Pr evlur x sen x, se plic nuevmente integrción por prtes. x sen x Ou x & d Ov sen x I ( x cos x cos x x cos x C cos x d Ou & Ov cosx: x cos x C ( sen x x cos x C sen x: Al considerr este resultdo en (*, obtenemos x cos x x sen x [ x sen x x sen x x cos x C ] sen x C C x sen x C x cos x sen x C C.x /sen x C x cos x C C: Ejemplo..9 Clculr l integrl x p. x Recordemos cómo clculmos l integrl del ejemplo..: Seleccionndo u x & dv p x : du x & v p x. x/. x/ :
6 6 Cálculo integrl Entonces, x p x [ x. x/ uv ] v du u x & dv. x/ I du x & v. x/ : [ x. /. x/ 6x. x/ ]. x/ x x. x/ : (. Se plic nuevmente integrción por prtes pr evlur x. x/. x. x/ x (. x/. x/ Ou x & d Ov. x/ I d Ou & Ov. x/ : x. x/ C. x/ ( ( x. x/ C. x/ x. x/. x/ : Al considerr este resultdo en (., obtenemos: x [ p 6x. x/ x x. x/ ]. x/ C C 6x. x/ C x. x/ C 6. x/ C C. x/ [x C x. x/ C ]. x/ C C p x [ x C x C ] C C: Ejemplo.. Clculr l integrl x ln x. Recordemos cómo clculmos ln x en el ejemplo... Seleccionndo u ln x & dv x : du x./ x du x & v x x : 6
7 . Integrción por prtes 7 Entonces, x ln x.ln x/x.ln x/ x x x x ln x x u ln x & dv x I du x & v x : x ln x ( x C C x ( ln x C C x. ln x / C C: Los ejemplos nteriores nos muestrn cómo plicr el método de integrción por prtes pr clculr integrles pertenecientes importntes fmilis de integrles y nos indicn demás cómo seleccionr u, dv. El trtmiento generl de ests fmilis de integrles se present continución, donde suponemos que n es un número nturl,, son constntes rbitrris & r es un número rcionl r.. x n e x u x n & dv e x I Z du nx n & v e x ex : x n ( ex x n ( e x n ex.nx n / x n e x : Y se sigue plicndo integrción por prtes hst completr n veces, siempre tomndo como u l fctor polinomil.. x n sen x x n ( cos x ( cos x.nx n / u x n & dv senx I Z du nx n & v senx cos x: ( x n cos x C n x n cos x : Y se sigue plicndo integrción por prtes hst completr n veces, siempre tomndo como u l fctor polinomil.. x n cos x x n ( sen x ( sen x.nx n / u x n & dv cos x I Z du nx n & v cos x senx: ( x n sen x n x n sen x : 7
8 Cálculo integrl Y se sigue plicndo integrción por prtes hst completr n veces, siempre tomndo como u l fctor polinomil.. x n.x C b/ r œ [ x n.x C b/ rc ].x C b/ rc nx n r C r C u x n & dv.x C b/ r I du nx n & v.x C b/ rc : r C n.x C b/rc x.r C / n.r C / x n.x C b/ rc : Y se sigue plicndo integrción por prtes hst completr n veces, siempre tomndo como u el fctor polinomil. Observción. En ls fmilis trtds, se plic n veces el método de integrción por prtes y siempre seleccionndo como u el fctor polinomil. Observción. Culquier integrl de l últim fmili un cmbio de vrible: x C b y x.y b/ & dy: x n.xcb/ r puede ser clculd medinte Por lo que, x n.x C b/ r n.y b/n y r ( dy.y b/ n y r dy: nc espués de desrrollr.y b/ n, se efectú el producto.y b/ n y r pr luego obtener un sum de integrles.. x r ln x u lnx & dv x r I du x./ x & v xrc r C :.ln x/ xrc r C x rc r C ( x xrc r C.ln x/ x r r C ( xrc r C.ln x/ x rc C C r C r C xrc x.ln x/ r C rc.r C / C C: En este cso, l integrl se clcul plicndo integrción por prtes un sol vez. Pr terminr con ls grndes fmilis de integrles, continución trtremos dos tipos de integrles que se clculn plicndo primermente veces el método de integrción por prtes y procediendo posteriormente de un mner muy prticulr.
9 . Integrción por prtes 9 6. e x sen x e x ( cos x ( cos x e x u e x & dv sen x I du e x & v cosx: ex cos x C e x cos x : (. Pr evlur e x cos x, se plic de nuevo integrción por prtes mnteniendo l selección u e x. ( e x cos x e x sen x.sen x/ex u e x & dv cosx I du e x & v sen x: ex sen x e x sen x : Utilizmos est iguldd en (. y obtenemos e x sen x ex cos x C e x cos x ex cos x C [ e x ] sen x e x sen x ex ex cos x C sen x e x sen x : Est es un ecución en que l incógnit es I e x sen x. Resolvemos l ecución I ex ex cos x C sen x I e x I C I ex sen x cos x ( C I ex e x sen x cos x ( C I ex Œsen x cos x ( e x I. sen x cos x/ C I ex. sen x C cos x/: Por lo tnto, ex e x sen x. sen x cos x/ C C: C 9
10 Cálculo integrl 7. e x cos x u e x & dv cosx I e x ( sen x.sen x/ex du e x & v sen x: ex sen x e x sen x : Pr evlur e x sen x, se plic de nuevo integrción por prtes con l selección u e x. u e x & dv sen x du e x & v cos x: Entonces, ( C ( C e x cos x ex e x cos x ex e x cos x ex sen x [ e x cos x sen x C ex cos x sen x C ex cos x e x cos x ex. sen x C cos x/ ex e x cos x. sen x C cos x/ C C: C ].cos x/ex e x cos x Comentrios dicionles. En ls integrles de los tipos (., (., (., (., suponiendo que n >, ls igulddes obtenids pueden tomrse como fórmuls de recurrenci y ser plicds n veces pr obtener l integrl resuelt. Existen integrles que no pertenecen ningun de ests fmilis; sin embrgo medinte l plicción de un cmbio de vrible, obtenemos un de ells. Existen integrles que, sin pertenecer ests fmilis, se clculn medinte integrción por prtes y con procedimientos similres los utilizdos. Ejemplo.. Clculr l integrl sec d. A sber Primero considermos que sec sec sec y luego plicmos integrción por prtes seleccionndo sec d sec sec d sec tn sec tn u sec & dv sec d: uv v du u sec & dv sec di du sec tn d & v tn : tn sec tn d tn sec d:
11 . Integrción por prtes Ahor plicmos l identidd tn sec. sec d sec tn.sec /sec d sec tn sec d sec tn sec d C sec d: Por último, despejmos l integrl sec d C sec d: sec d sec tn C sec d sec sec tn C ln.sec C tn / sec d Œsec tn C ln.sec C tn / C C:.sec sec /d Ejemplo.. Clculr l integrl e pt dt. p Primero plicmos un cmbio de vrible; si t x, entonces t x & dt x. Luego, e pt dt e x x x e x : Aplicmos dos veces integrción por prtes, o bien plicmos dos veces l fórmul de recurrenci obtenid en. (pág. 7 pr. Primero con n, ( e x e x x x x e x x e x xe x : Luego con n, [x x e x x e x ( x x C e x : ] x e x x e x [xe x ] e x x e x.xe x e x / Finlmente, resctndo el cmbio de vrible, e pt dt x e x ( x x C [ ( p e x ( p ] C C t t C e pt C C [ p p ] t t C e pt C C: Ejemplo.. Clculr l integrl cos.ln x/. Primero plicmos un cmbio de vrible: si ln x y, entonces x e y & e y dy. Así, cos.ln x/ cos.y/ e y dy e y cos y dy: Ahor plicmos l fórmul obtenid en 7. (pág. pr &. e y cos y dy ey C. sen y C cos y/ C C ey.sen y C cos y/ C C:
12 Cálculo integrl Por lo tnto, cos.ln x/ e y cos y dy ey.sen y C cos y/ C C eln x Œsen.ln x/ C cos.ln x/ C C xœsen.ln x/ C cos.ln x/ C C x Œsen.ln x/ C cos.ln x/ C C: Z Ejemplo.. Clculr l integrl x.x /. Aplicmos repetidmente l formul obtenid en. (pág.. Obtenemos: x.x / x.x / C C C x.x / C x.x / x.x / x.x / x.x / C C C x.x / C x.x / x.x / 7 C 9 x.x / 7 C C 7 C x.x / 7 C x.x / 9 7 x.x / 7 C 7 x.x / x.x / 7 x.x / x.x / x.x / x.x / 9 7 x.x / 7 C 7 x.x / 9 7 x.x / 7 C 7 x.x / 9 7 x.x / 7 C 7 x.x / 9 7 x.x / 7 C 7 x.x / x.x / C C C.x / C x.x / 6 x.x / C C 6 7.x / 6 6.x / C C x.x / C 79 6.x / C C: 7 Como se mencionó en págins nteriores, otr mner de clculr est integrl es plicndo un cmbio de vrible. A sber: x y x y C & dy: Luego, x.x /.y C / y (y dy C y C y C y C 6 y dy ( y C y C y 7 C y C 6y dy ( ( ( ( 6 y 6 C y C y C y 7 C 6 y C C 7 6.x / 6 C.x / C 6.x / C 96 7.x / 7 C.x / C C
13 . Integrción por prtes.x / [ 6.x / C.x / C.x / C 7 ].x / C C C: Cerrmos est sección con lgunos ejemplos de plicción de l integrción por prtes pr integrles definids. En este cso se deben evlur los productos intermedios de l integrción en los extremos del intervlo como sigue: b u.x/v.x/ u.x/v.x/ Z x Ejemplo.. Evlur l integrl. C x /. b b v.x/u.x/ : (. Pr poder plicr integrción por prtes expresmos el numerdor x del integrndo como el producto x x x. Usmos: x. C x / x x. C x / u x x & dv. C x / I du x & v x./. C x /. C x / : Por lo tnto, x x x. C x /. C x /. C x / ( ( C C x./. C x / ( 6 C. C x / 6 C 6 C ( 6 C 6 : ( C C En ls dos últims integrciones mrcds con./ hemos usdo: x. C x / n z C x dz x I dz z z n dz z nc n n C C C.n /. C x / n ; donde n ; n, respectivmente. Z Ejemplo..6 Evlur l integrl xp x C. Podemos plicr l fórmul. (pág. con r & n pr obtener: x p x C x.x C / x.x C /
14 Cálculo integrl [ ] 6.9/ 9./ x.x C /.x C / Œ6.7/ 9./.9/./.x C / 7 7 [ ( ]././ ( : Ejercicios.. Integrción por prtes. Soluciones en l págin 6 Clculr ls siguientes integrles indefinids y derivndo verificr cd resultdo x sen x. x cos x. xe x. x ln x. x.x C / 99. x cos x. 9x e x. x sen x. x p x C. x ln x sec d. y y dy. y y dy. u p du. u udu p u u du p u. x e x. xe x.. x e x. e x cos x e x sen x. sen.ln x/. sec x..ln t C /dt. ln.t C /dt..ln t C /dt. rcsen x. rccos x. rctn x. rccot x. Aplicndo ls fórmuls recursivs, clculr ls integrles que siguen: Observción. En el siguiente bloque de ejercicios, del. l., hremos uso de ls siguientes fórmuls (de recurrenci, que nteriormente hemos obtenido. Con, b, constntes, n nturl & r rcionl.r /:. b. x n e x x n ( e x x n sen x n x n ( cos x x n e x. C n x n cos x.
15 . Integrción por prtes c. d. e. f. g. ( x n cos x x n sen x x n.x C b/ r n.x C b/r x.r C / x r ln x xrc x.ln x/ r C ex n x n sen x. n.r C / rc.r C / C C. e x sen x. sen cos x/ C C. C ex e x cos x. sen C cos x/ C C. C x n.x C b/ rc x e x. x e x. x e x. x cos x. x sen x. x cos x. x.x C /. x p x. x p x C e x cos x. e x sen x. e x cos x. x ln x. x ln x. px ln x. x e x. x e x x e x. x cos x. x sen x. x cos x. x.x x p x /.. x p x C.
16 6 Cálculo integrl Ejercicios.. Integrción por prtes. Pregunts, págin 6. x cos x C sen x C C.. x sen x C cos x C C...x C /e x C C.. ln x x «C C. «x C.x C / x C C. `x sen x C x cos x C C. x x C «e x C C.. x cos x C x sen x C cos x C C. 9. x.x C / 6 x.x C / C 6.x C / 7 C C. x «. ln x C C.. tn ln jsec j C C. y. y C «C C. ln ln. ln 9 y y.ln 9/ y y C.ln 9/ y C C... u/. u/ p. u C C. 6. u p u. u/ C C. q`u C C. 7. e x `x C x C C C.. e x C C. 9. C e x C C.. e x.sen x cos x/ C C.. ex.sen x cos x/ C C.. x Œsen.ln x/ cos.ln x// C C.. sec x tn x C Œsec x tn x C ln.sec x C tn x/ C C.. t `ln t C C.. t ln `t C t C rctn t C C. 6. t ln t ln t C C C. 7. x rcsen x C p x C C.. x rccos x p rccos x C C. 9. x rctn x ln ` C x C C.
17 . Integrción por prtes 7. x rccot x C ln p C x C C. Aplicndo ls fórmuls recursivs clculr ls siguientes integrles. e x. `x 6x C 6x C C.. e x `x C x C x C x C C C.. e x `x x C x 6x C x C C. x. `x sen x C `x cos x C C. `. 7x C 6x cos x C x `x sen x C C x `x x C sen x C `x x C cos x C C x.x C x /6 6.x C /7 C x.x C /.x C /9 C C. x x.x / C x.x / 7 x.x / 9 C.x / C C. 6.x /.x C / 9.x C / 9 C 7.x C / 7.x C / C.x C /.x C / C C. e x..sen x C cos x/ C C.. e x.sen x C cos x/ C C.. 6 e x.sen x «cos x/ C C.. ln x C C. x x ln x C «C C.. 9 x 7 `7ln x C C. 6..e /. 6e e. 6 e. 9.. /.. :6.. : :
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