Tecnólogo Mecánico-Cartografía

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1 PRÁCTICO MATEMÁTICA II Tecnólogo Mecánico - Tecnólogo en Crtogrfí. Mtemátic II En los cursos re-universitrios rendimos derivr funciones. Dd un función f (derivble) se estudiron cierts técnics que nos ermitín llr su derivd f Aor queremos determinr un función rtir de su derivd. Es decir qué función tiene or derivd l función dd f? En otrs lbrs nos roonemos resolver el roblem inverso de l derivción, dd un función f queremos encontrr un función F (que llmremos rimitiv de f) tl que si derivmos F obtenemos f F = f Este roceso inverso se denomind integrción (o ntiderivción) Pr oder integrr con cierto éito es bsolutmente necesrio dominr ls técnics de l derivción. Si el lector no ls recuerd o no deriv muy bien, deberá resr sus mteriles re-universitrios sobre derivción y entrenrse. Ejercicio. Veri cr que l función F es un rimitiv de l función f: 8 F : F () = 3 < F : F () = sin 3 cos () (b) f : f() = 6 6 : f : f() = 3 cos 3 + sin 8 8 >< < F : F () = ln Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí (c) >: F : F () = + 5 ( 6) f : f() = + 3 ( 6) (d) : f : f() = Bettin Neir - Pee Diz

2 Crcterizción de rimitivs (A) Si F es un rimitiv de f entonces F + K (con K constnte) tmbién es un rimitiv de f (B) Recirocmente si F y F son rimitivs de f entonces eiste un constnte K tl que F = F + K : Mtemátic II Lo nterior nos dice que si F es un rimitiv de f en I, entonces culquier rimitiv de f en I es de l form F + K; siendo K un constnte. Se le llm integrl inde nid de f un rimitiv F (culquier) de l función f más un constnte K y usremos l siguiente notción Tenemos l siguiente relción fundmentl f()d = f() Por l relción nterior odemos ensr l integrción (inde nid) como l oerción invers de l derivción. Por lo tnto mucs de ls regls de integrción se obtienen emlendo l invers l regl de derivción. Por ejemlo odemos invertir l tbl de derivds obteniendo l TABLA ELEMENTAL que se encuentr l nl de este ráctico (A) (B) (f() + g()) d = f()d + g()d f()d = f()d PROPIEDAD BÁSICA (Linelidd de l integrl) Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí Ejercicio. Usndo l Tbl de rimitivs elementles y ls roieddes básics de l integrl, llr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids) d. (sin 3 + cos 4) d 3. (e + ) d 5 4. d 5. 3 d d + 7. d 8.: 4 4 cos sin d sugerenci: =cos +sin Bettin Neir - Pee Diz

3 3 Integrción or sustitución (o cmbio de vrible) L fórmul de integrción or sustitución (o cmbio de vrible) estblece que f(g())g ()d = F (g()) + K donde F es un rimitiv de f Mtemátic II En l ráctic el método de sustitución funcion de l siguiente mner: Suongmos que queremos clculr un integrl de l form seguimos los siguientes sos: Pso : Hcemos l sustitución obteniendo f(g())g ()d () u = g()! du = g ()d (observr que nlizdo este so, en l nuev integrl solmente debe recer l vrible u, no uede estr l vribe ) Pso : Luego llmos un rimitiv F de f, resultndo que f(u)du = F (u) + K Pso 3: Finlmente, descemos el cmbio, volvemos sustituir u = g(), y se obtiene que que es el resultdo buscdo. f(g())g ()d = F (g()) + K Ejercicio 3. Clculr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids) utilizndo el método de integrción or cmbio de vribles. q 3. (3 + ) 5 d. cos ( + 4) d d 4. 3 ( )d sugerenci: 4+5=( ) ln 3 sin 5. d ln d 7. d 8. + cos d d. cos 3 d. d. e +4+3 ( + )d e (e + ) 5 e e 3 d 4. d 5. d 6. + e4 + e e + d sugerenci: u=e Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí Bettin Neir - Pee Diz () Ejercicio 4. Clculr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids) utilizndo el método de integrción or cmbio de vribles.. ( + ) d. d 3. 3 d 4. + ( + 6) + d 5. 3 d 6. 5 e 3 d 7. d 8. d + + 4

4 4 Mtemátic II Ejercicio 5. Usndo cmbio de vrible, llr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids). sin. d. cos 3 d 3. tn d cos 5 sin 4. d 5. cos sin + sin d 6. cos cos d Ejercicio 6. sugerenci: sin = sin cos. Probr, usndo cmbio de vribles, que. Deducir ls siguientes rimitivs (integrles inde nids). () ln d (b) q (ln ) rcsin d sugerenci: cos = d = + K sin Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí (c) r + d v u Sugerenci:: + + t = L fórmul de integrción or rtes nos dice que Integrción or rtes uv = uv u v (3) En l ráctic el método de integrción or rtes se lic de l siguiente mner: Suongmos que queremos clculr l integrl f()g()d (4) Se le llm y se lic l fórmul (3). y nuestro roblem es clculr l últim integrl u = f() v = g() derivo! u = f () integro! v = G() f() g() d = f() G() {z } {z } {z } {z } u v u v que deberá se más sencill que l integrl dd en (4) f ()G()d f () G() d {z } {z } u v Bettin Neir - Pee Diz Ejercicio 7. Usndo integrción or rtes, llr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids).. cos d. e d 3. 3 ln d 4. d + ln 5. d 6. e d 7. + cos d e d 3 Ejercicio 8. Clculr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids) usndo integrción or rtes. ln ( ) d. ln + d 3. e cos d 4. sin d 5. ln d 6. d 7. cos (ln ) d 8. e cos d

5 5 Ejercicio 9. Clculr ls siguientes rimitivs (integrles inde nids). 5 cos 3 d. e d 3. 3 e d 4. R 5. cos sin d 6. ln d 7. 7 ln d d ln + + d Mtemátic II Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí Bettin Neir - Pee Diz

6 6 Mtemátic II TABLA de integrles básics Fórmuls de derivción Fórmuls de integrción es un constnte () () (3) (4) = () ( ) + = ( + ) ( ) ln j j = () (3) e = e (4) Funciones trigonométrics (5) (6) (7) (8) cos() = sin() (5) sin() = cos() (6) tn() = cot() = cos () sin () (7) (8) d = + K ( ) d = ( )+ + d = ln j j + K + K 6= e d = e + K 6= sin()d = cos() + K 6= cos()d = sin() + K 6= tn() cos d = + K 6= () sin () d = cot() + K 6= Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí Funciones ierbólics (9) cos() = sin() (9) sin()d = cos() + K 6= Bettin Neir - Pee Diz () sin() = cos() () cos()d = sin() + K 6= () tn() = cos () () cos () d = tn() + K 6=

7 7 () cot() = sin () () sin () d = cot() + K 6= Funciones trigonométrics inverss Mtemátic II (3) (4) (5) i rcsen = (3) i rc cos = i rctn = + i rccot = + i rcsec = i rccsc = Funciones ierbólocs inverss (6) (7) (4) (5) i rcsin = (6) + i rccos = (7) Tecnólogo Mecánico-Crtogrfí d = rcsen + K = rc cos + K + d = rctn + K = rctn + K d = rcsec + K = rccsc + K + d = rcsin + K = ln K d = rccos + K = ln + + K > > > > > Bettin Neir - Pee Diz