Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones.

Transcripción

1 Universidd Diego Portles Fcultd de Ingenierí. Instituto de Ciencis Básics Asigntur: Cálculo I Lortorio N 7, Asíntots de funciones. Introducción. Ls síntots de un función son rects que seprn ls regiones donde su gráfic está definid. L gráfic de un función se cerc tnto como se quier dichs rects sin cortrls. Ests rects pueden ser horizontles, verticles u olicus. I) L rect (con finito) se denomin síntot horizontl de l curv f ( ) f o f. (.) si se cumple lgun de ls relciones: ( ) ( ) se denomin síntot verticl de l curv f ( ) II) L rect l menos un de ls siguientes relciones: f ( ), f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) si se cumple (.) p( ) Ls síntots verticles en ls funciones rcionles f( ) se determinn q ( ) nulndo el denomindor q() 0, siempre cundo se hn relizdo tods ls simplificciones posiles ntes de l evlución. Pr ls otrs funciones este método no es útil. III) Alguns curvs poseen síntots olicus. Si se cumple: f m 0 entonces l rect m se denomin síntot ( ( ) ( )) olicu. (.) Ejemplo resuelto Determine ls síntots de l función f ( ). f ( ) es un función rcionl sin que se pued hcer mor simplificción, por lo que nulndo el denomindor se puede encontrr l síntot verticl. Sin emrgo 0 no tiene solución por tnto l función no tiene síntot verticl. Pr determinr si posee síntot horizontl clculmos el siguiente límite Con ud de l clculdor ClssPd 00 podemos clculr este límite en el menú principl tl como muestr l figur. El resultdo es infinito por tnto l función tmpoco posee síntot horizontl.

2 Pr clculr l síntot olicu vmos seguir el siguiente procedimiento. Primermente, vemos que en l función rcionl f ( ) el grdo del polinomio en el numerdor es mor que grdo del polinomio en el denomindor, por tnto no es un frcción propi. El siguiente pso es convertir est frcción frcción propi. Pr ello escriimos el comndo epnd en l form indicd en l figur. Vemos entonces que: f ( ) Figur Est epresión podemos reescriirl en l form: ( ) f Tomndo el límite cundo en mos ldos de l epresión nterior tenemos que: ( f ( ) ) Figur Clculmos en límite del ldo derecho con ud de l clculdor (unque puede hcerse mu ien sin su ud), esto se muestr en l figur. Vemos que el resultdo es 0 por tnto de cuerdo l definición (.) l síntot olicu es. Pr tener un ide más clr de lo que represent l síntot olicu hlld vmos grficr en un mism pntll ls funciones:. Esto se muestr en l figur Clrmente l gráfic de l función (líne más grues) se cerc tnto como se quier l síntot olicu (líne más delgd ) cundo ±. Figur Figur

3 Ejercicio. Pr cd un de ls siguientes funciones determine ls síntots verticles horizontles. Hg un esozo de l gráfic de l función de ls síntots otenids medinte l clculdor (Recuerde que deerá tener especil cuiddo con ls ventns de grficción. Pr modificrls dee tocr el icono ):. Asíntot(s) verticl(es) - Asíntot(s) horizontl(es). Asíntot(s) verticl(es) 0 Asíntot(s) horizontl(es) c. Asíntot(s) verticl(es) No eisten Asíntot(s) horizontl(es) -

4 Ejercicio.. Muestre que ls rects son ls síntots olicus de l hipérol. Pr ello utilice l definición (.). 0. Emplendo el menú Cónics de l clculdor ClssPd 00 grfique l hipérol determine sus síntots olicus. Compre su resultdo con ls fórmuls dds en el punto nterior pr hllr ls síntots. Asíntots -/, / 0

5 Ejercicio. Clcule tods ls síntots de ls siguientes funciones hg un esozo de l gráfic otenid con el uso de l clculdor.. Asíntot(s) verticl(es) Asíntot(s) horizontl(es), - No eisten Asíntot(s) olicu(s). Asíntot(s) verticl(es) 0 Asíntot(s) horizontl(es) No eiste Asíntot(s) olicu(s) 5

6 c. Asíntot(s) verticl(es) Asíntot(s) horizontl(es) No eiste Asíntot(s) olicu(s) - Ejercicio. Pr ls siguientes funciones rcionles clcule sus síntots sin empler l clculdor.. 5 Asíntot olicu: ( 5) Asíntot verticl: -5/ 5 / Asíntot horizontl : No eiste / 5 / / 5/ 0 6

7 . Asíntot olicu: No tiene, que el grdo del numerdor no es uno más que el del denomindor Asíntot verticl : - Asíntot horizontl: / / / / 5. Hlle ls síntots de ls funciones nteriores con ud de l clculdor compre con los resultdos otenidos por usted. 6. De cuerdo los resultdos de ls pregunts nteriores demás con ud del ejemplo resuelto respond ls siguientes pregunts:. En el cso de ls funciones rcionles eiste lgun relción entre los grdos del numerdor denomindor de l función con l eistenci de síntots olicus?. Sol: si, el grdo del numerdor dee ser uno más que el del denomindor.. Podrí dr un form fácil de clculr ls síntots olicus emplendo un solo comndo de l clculdor, pr el cso de funciones rcionles. Sol: Usndo l sintis : epnd ( f(),). Los términos lgericos de l form m conformn l síntot olicu de l función rcionl f(). c. Podrí decir cuál es l síntot horizontl verticl de un función ilinel con solo mirrl. Recuerde que ls funciones ilineles son quells que tienen l form c d. Sol: Asíntot verticl : c d 0 -c/d Asíntot horizontl: /c d. Ls funciones ilineles poseen síntot olicu?. Sol: No, que el grdo del numerdor es igul l del denomindor no mor que este. 7