Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 puntes de. Cbñó Mtemátics II SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 8. Epresión mtricil de un sistem.clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. 8. Teorem de RouchéFrobenius. 8. El método de eliminción de Guss. 8. Epresión mtricil de un sistem. Clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. Ddo el sistem de m ecuciones lineles con n incógnits:. n n b. n n b. m m. mn n bm Se l mtri de los coeficientes B l mtri mplid con los términos independientes. m m n n mn B m m n n mn b b bm Por lo tnto: XB Discutir un sistem es estudir tods ls soluciones que pueden presentrse en él, dependiendo del número de ecuciones, del número de incógnits de ls relciones eistentes entre uns otrs. Según ls soluciones se tienen los siguientes sistems: Los sistems que tienen solución se llmn comptibles. Si l solución es únic, el sistem es comptible determindo. Si tiene más de un solución, el sistem es comptible indetermindo. Se puede firmr en este cso que tiene infinits soluciones. Los sistems que no tienen ningun solución se llmn incomptibles. Ejemplo Epres el siguiente sistem en form mtricil resuélvelo utilindo l mtri invers: Epresmos el sistem en form mtricil: Sistems de ecuciones

2 puntes de. Cbñó Mtem C X C X ; ; átics II Sistems de ecuciones : eiste si pr ver Clculmos Eiste Clcul l invers de : ( ) ( ) ( ) 7 7 t dj dj ( ) ( ) 7 t dj Despejmos X: C X C X C X 7 X Por tnto, l solución del sistem es:,, 8. El teorem de RouchéFrobenius. L condición necesri suficiente pr que un sistem de ecuciones lineles teng solución es que el rngo de l mtri de los coeficientes el rngo de l mtri mplid sen igules. Si el rngo de mbs mtrices es igul l número de incógnits, l solución es únic. Si el rngo es menor que el número de incógnits, h infinits soluciones. Esquemáticmente: rg()rg(b) > S.C. rg() rg(b) < n > S.C.I rg() rg(b) n > S.C.D. rg() rg(b) > S.I. * Resolución de sistems de ecuciones lineles. Estudido un sistem de ecuciones lineles por medio del teorem de RouchéFrobenius, si result comptible podemos hllr su solución. Si el sistem tiene igul número de ecuciones que de incógnits, l mtri de los coeficientes será cudrd el sistem será comptible determindo cundo det. Se dice, en est cso, que es un sistem de Crmer.

3 puntes de. Cbñó Mtemátics II El vlor de cd incógnit viene ddo por un frcción cuo denomindor es el determinnte de los coeficientes cuo numerdor es el determinnte de l mtri que result de sustituir en l mtri de los coeficientes l column de los coeficientes de l incógnit por los términos independientes. En el cso generl de m ecuciones con n incógnits, si rg()rg(b)h, podemos suponer que un menor principl está constituido por ls h primers fils ls h primers columns, que un cmbio en el orden de ls ecuciones en el orden de sus incógnits no modific l nturle del sistem ni sus soluciones. Ls h primers ecuciones, cuos coeficientes se corresponden con ls fils del menor, se llmn ecuciones principles ls incógnits cuos coeficientes se corresponden con ls columns del menor, se llmn incógnits principles. Respecto de ls incógnits principles este sistem es de Crmer. Ests incógnits se obtienen en función de ls nh restntes, que pueden tomr vlores rbitrrios. Ejemplo Discute el siguiente sistem, resuélvelo cundo se posible, en función del prámetro : ( ) Estudimos el rngo de l mtri de los coeficientes: pr culquier vlor de. ( ) Como, entonces rn Estudimos el rngo de l mtri mplid: ( ) pr culquier vlor de. ' ( ) Por tnto, rn ('). Como rn () rn (') < n o incógnits, el sistem es comptible indetermindo pr culquier vlor de. Podemos prescindir de l ecución, pues es combinción linel de ls dos primers. Lo resolveremos psndo l o l miembro: Hcemos λ Ls soluciones del sistem serín: λ; λ; λ, con λ R. * Sistems homogéneos. Sistems de ecuciones

4 puntes de. Cbñó Mtemátics II Se llm sí los sistems de ecuciones lineles en los que son nulos los términos independientes de cd un de ls ecuciones. Este sistem siempre dmite l solución trivil. El teorem de RouchéFrobenius plicdo un sistem linel homogéneo dice: Si el rngo de l mtri de los coeficientes es igul l número de incógnits, el sistem sólo dmite l solución trivil, si el rngo de es menor que el número de incógnits, el sistem tiene infinits soluciones. Si l mtri de los coeficientes es cudrd, el sistem tendrá sólo l solución trivil si sólo si det tendrá infinits soluciones si sólo si det. Ejemplo Discute el siguiente sistem homogéneo según los diferentes vlores del prámetro λ. Resuélvelo en los csos en los que resulte ser comptible indetermindo: λ ( λ ) ( λ ) Por trtrse de un sistem homogéneo, siempre tiene l solución trivil (,, ). Vemos si tiene, en lgún cso, más soluciones. Estudimos el rngo de l mtri de los coeficientes: λ λ λ Pr λ λ Pr λ, qued: λ 7λ El sistem λ λ solo tiene l solución trivil (,, ). Como, rn ( ) rn ( ' ). El sistem serí comptible indetermindo.pr resolverlo, psmos l o miembro: Hcemos µ Ls soluciones serín: µ; µ; µ, con µ R / / Pr λ, qued : / Sistems de ecuciones

5 puntes de. Cbñó Mtemátics II ( ) ( ). ', 9 8 Como rn rn El sistem serí comptible indetermindo. Pr resolverlo, psmos l o miembro: µ R µ µ µ con, ; ; serín: soluciones Ls 8. Método de eliminción de Guss Si en un sistem de ecuciones se sustitue un ecución por el resultdo de sumrl miembro miembro (previmente multiplicd por un número distinto de cero) con otr u otrs ecuciones multiplicds por números culesquier, result un sistem equivlente l ddo. En el resultdo nterior se fund el método de Guss o reducción, pr resolver un sistem de ecuciones lineles. Si l plicr el método de Guss result lgun ecución bsurd, de primer miembro nulo el segundo miembro distinto de cero, el sistem es incomptible. Si l plicr Guss no result ningun ecución bsurd, el sistem es comptible. Después de eliminr ls ecuciones que son combinción linel de otrs nos quedrá un sistem de h ecuciones con n incógnits que es equivlente l ddo. hn el sistem es comptible determindo. h<n el sistem es comptible indetermindo Ejemplo: Resolver los sistems ) b) 9 8 c) d) e) 9 t t t Los sistems homogéneos siempre tienen l solución. n llmd solución trivil. Pueden o no tener otrs soluciones distints de l trivil. los sistems homogéneos se les puede plicr el método de Guss. Después de eliminr ls ecuciones que son combinción linel de otrs nos quedrá un sistem de h ecuciones con n incógnits, equivlente l ddo. hn el sistem es comptible determindo. (Solución trivil) h<n el sistem es comptible indetermindo. (Infinits soluciones) Sistems de ecuciones

6 puntes de. Cbñó Mtemátics II Ejemplo: Resolver 9 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. PROBLEMS. º Resolver el sistem de Crmer: 9 º Discutir resolver según los vlores de m el sistem: m º Discutir resolver el siguiente sistem, que depende del prámetro k k º Discutir resolver los sistems siguientes: ) b) c) d) º Discutir el siguiente sistem según los vlores del prámetro k resolverlo cundo se comptible. 9 k º Discutir resolver el sistem siguiente según los vlores del prámetro Sistems de ecuciones

7 7º Discutir resolver: 8º Discutir el sistem: m m (m ) m m m t m m t m mt m mt m puntes de. Cbñó Mtemátics II 9º Discutir resolver según los vlores del prámetro el siguiente sistem º Estudir el siguiente sistem º Estudir el sistem º Estudir según los vlores de m 8 m ) 7 b) ( ) º Discutir resolver m m m 7 Sistems de ecuciones

8 º Estudir el sistem º Estudir el sistem t ( ) ( ) puntes de. Cbñó Mtemátics II º Estudir el sistem 7º Discutir el sistem según los vlores de los prámetros b b b b b α 8º Eliminr los prámetros α α β β 9º Eliminr los prámetros α β α β α β t α β PROBLEMS RESUELTOS. m ºDdo el sistem de ecuciones: m ) Hcer un estudio de él según los diferentes vlores del prámetro m. b) Resolver el sistem en los csos en que es posible. Sol: ) m, m8 S.C. b) m8 8 8 Sistems de ecuciones

9 m puntes de. Cbñó Mtemátics II ºDeterminr, si eisten, los vlores del prámetro pr que el sistem se comptible pero indetermindo. Sol: ºEncontrr tods ls soluciones del siguiente sistem según los vlores del prámetro α : α λ λ( α ) Sol: (,, λ ) ºEstudir el sistem en función de los prámetros,b,c. b. c ºHllr t pr que el siguiente sistem teng solución distint de l trivil: t ( t) (t) Sol: t 88t 9t ºEstudir resolver el sistem: m m m m Sol: m 7ºDiscutir resolver el sistem: (λ,λ, λ ) m S.I.m (k k k ) (k ) k m ( m m, m m, m ) Como será l discusión si los términos independientes fuesen nulos?. λ Sol: ) K S.I. K (,, λ ) K S.I. λ K k k (,, ) k(k ) k b)k 9 (,,) K ( λ,, λ ) Sistems de ecuciones

10 K,(λ, λ,λ ),K,( λ,,) puntes de. Cbñó Mtemátics II 8º) Discutir pr los distintos vlores del prámetro m el siguiente sistem de ecuciones lineles: m m m m b) Resolver el sistem pr m. c) Interpretr geométricmente el prtdo ). Sol: )m SCD, m SI, m S.C.I. b) 9ºDiscutir resolver el sistem según los vlores del prámetro m ºDdo el sistem de ecuciones: m m (m ) m Sol: m S.C.D. m S.I. m ) Estudirlo según los vlores del prámetro. b) Resolverlo en los csos que se comptible. c) Qué se puede decir, según los vlores de, sobre l posición reltiv de los plnos cus ecuciones son ls tres que formn el sistem?. Sol: S.C. S.I. ºDiscutir resolver en su cso, según los vlores de los prámetros el siguiente sistem de ecuciones lineles: µ λ Sol: µ λ SCI 9α µ α SI 8 α λ SCD ºEliminr los prámetros en el siguiente sistem: Sistems de ecuciones

11 λ µ λ µ λ µ Sol: 97 puntes de. Cbñó Mtemátics II ºSe consider el sistem: m m Discutir el sistem, según los vlores de m. Resolverlo pr m. Sol: Si m,,m solo tiene l solución trivil 7 Si m ó m /7 S.C.I. Si m l solución generl (7λ,8λ,λ ). º Discute, según los vlores de los prámetros, los siguientes sistems: ) b) c) Sol: ) S.C.I.; S.I.; S.C.D.; b) S.C.I.; S.I.; c) S.C.D.; S.I. ºEstudi resuelve: ) b) c) Sol: ) S.I.; b) S.C.I.; λ; ; λ; c) S.C.D.,, ºEstudi resuelve: Sistems de ecuciones

12 puntes de. Cbñó Mtemátics II ) b) c) Sol: ) S.C.D.,, ; b) S.C.I.; λ; λ; λ; c) S.C.I. λ,, λ Sistems de ecuciones

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