IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

Transcripción

1 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer emen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, eplicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos (es decir, qué conjunto es suconjunto de cuál), y l intersección de Q con I. ) Hllr ls frcciones genertrices de: ), ), ) ) Representr en l rect rel: ) Qué número es el indicdo en el gráfico? 4) Clculr el resultdo simplificdo de: ) ) Clculr: [, ) (, ] ) Escriir en form de intervlo: A {R / 4 < } y B {R / > } ) Escriir en notción científic: ) 4,9 0 ) 0, c) ) Simplificr: ) Simplificr: 9) Simplificr: ( 7) (, puntos) (, puntos)

2 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer emen 4º ESO SOLUCIONES ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, eplicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos (es decir, qué conjunto es suconjunto de cuál), y l intersección de Q con I. Números nturles: N {0,,,,..., 0,,...} Números enteros: Z {...,,,, 0,,,,..., 0,,...} Números rcionles: Q {/, siendo, Z} (números que se pueden epresr como frcción) Números irrcionles: I {números que no se pueden epresr como frcción} Números reles: R Q I N Z Q R; I R; demás: Q I ) Hllr ls frcciones genertrices de: ),999..., , , Por tnto: 990 ), Este número tiene infinits cifrs decimles no periódics Es irrcionl No se puede epresr como frcción. 47 ) ) Representr en l rect rel: Si dividimos 47 entre nos result un dividendo entero igul con de resto. 47 Esto signific que. Así que vnmos uniddes en sentido negtivo sore l rect rel y seguimos / más, esto es, dividimos el troo entre 4 y en prtes igules (cutro mrcs intermedis) y tommos l segund contndo de derech iquierd (porque vnmos en sentido negtivo, o se, decreciendo. ) Qué número es el indicdo en el gráfico? El trmo entre 7 y (que es un unidd) está dividido en prtes igules (medinte 7 0 mrcs intermedis). Nuestro número es l ª de ests mrcs contndo en sentido negtivo (decreciente, hci l iquierd), por lo que se trt de / más l iquierd que. Luego es: 4) Clculr el resultdo simplificdo de: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

3 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer emen 4º ESO Es muy recomendle simplificr lo ntes posile. Y esto consiste en dividir un fctor (no sumndo ni prte de sumndo, sino un número que esté multiplicndo) del numerdor y otro del denomindor entre un mismo número, sustituyendo cd uno de ellos por el resultdo de dich división (esto es l propiedd fundmentl de ls frcciones). Recordr que no es posile relir 9, puesto que no es un sumndo, sino prte del primer sumndo: ) ) Clculr: [, ) (, ] A l vist del gráfico, como l intersección de dos conjuntos (y los intervlos lo son), es un nuevo conjunto que contiene los elementos que están en los conjuntos iniciles l ve, tenemos que: [, ) (, ] [, ]. ) Escriir en form de intervlo: A {R / 4 < } y B {R / > } Según ls definiciones de intervlo: A {R / 4 < } ( 4, ] (no entr 4 pero sí ) B {R / > } (, +) (no entr ni ni +, que no es un número) ) Escriir en notción científic: ) 4,9 0 ) 0, c) 49 0 Convertimos el número que está en notción hitul notción científic y multiplicmos, después, ls potencis de 0, en sus csos: 4,9 0 4, ,9 0 0, , , , ) Simplificr: 9 40 ( 7) 4 0 Cundo un signo está elevdo un eponente impr, el resultdo finl de l operción es negtivo. Así, plicndo propieddes de potencis: ( 7) ( 7) ) Simplificr: (, puntos) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

4 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer emen 4º ESO L epresión finl dee estr con el denomindor rcionlido, los rdicles simplificdos, los eponentes positivos y, preferilemente, sin préntesis ni eponentes frccionrios. Así: ) Simplificr: (, puntos) Usndo ls propieddes de potencis y rdicles, sí como igulddes notles, tenemos: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Emen glol 4º ESO NOMBRE: ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, dejndo el resultdo sin eponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlido: 4 ( ) ) (0,7 puntos) 9 0 ( ) ) 4 4 (0, puntos) c) (0,7 puntos) ) Hllr m pr que el resto de l división de P() m 4 + entre + se. ) ) Fctorir los siguientes polinomios: P() ; Q() ) Resolver l ecución: 0 4) Relir: ) Epresr en función de ln. ) Aplicndo l definición de ritmo, clculr. 4 c) Tomr ritmos (en se 0) y simplificr l epresión resultnte, en: 0 A y d) Quitr ritmos en: A y + ) Clculr l sum de los múltiplos de 9 comprendidos entre 000 y Pr ello, clculr previmente cuál es el primer múltiplo de 9 myor que 000 y cuál es el último múltiplo de 9 menor que 0000.

6 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Emen glol 4º ESO SOLUCIONES ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, dejndo el resultdo sin eponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlido: 4 ( ) ) (0,7 puntos) 9 0 ( ) 4 ( ) 9 ( ) ( ) 7 0 ( ) 4 ) c) ( ) 9. 4 ( ( ) ( ) ( ) ) 7 (0, puntos) 4 7 (0,7 puntos) (7 ) ) Hllr m pr que el resto de l división de P() m 4 + entre + se. Según el Teorem del Resto, el resto de l división de P() entre + es P( ). Por tnto: P( ) m( ) ( ) 4 + ( ) m 4 m 7 m 7 m 4 m 4/ m 7/ ) ) Fctorir los siguientes polinomios: P() ; Q() + +. Fctorimos, en primer lugr, P(): IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

7 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Emen glol 4º ESO Pr ello, hemos clculdo sus ríces por Ruffini, prondo divisores enteros, positivos y negtivos, del término independiente 9. Recordr que hy que poner un 0 como coeficiente de. Pero llegdos este punto, no encontrmos cómo seguir. Así que intentmos fctorir el polinomio igulándolo cero y resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: (mos miemros por /): que no tiene solución, puesto que no eiste l rí de un número negtivo. Por tnto: P() ( )( )( + + ) A continución, procedemos con Q() De donde: Q() + + ( )( + )( + ) ) Resolver l ecución: ( )( )( ) 0 0 ( )( )( ) ( )( ) 0, si,, ( )( ) porque dichos vlores de nuln el denomindor de l ecución originl. Y un frcción se nul cundo y solmente cundo lo hce el numerdor pero no el denomindor. Así: ( )( ) 0 0, sin solución Luego l únic solución es, que es válid porque no nul el denomindor de l ecución originl. 4) Relir: ) Epresr en función de ln. Aplicndo l fórmul de cmio de se de ritmos: e e ln ln, result: ) Aplicndo l definición de ritmo, clculr. 4 Llmmos (/ 4). El resultdo del ritmo es el eponente, según l definición de ritmos, lo que signific que: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

8 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Emen glol 4º ESO 4 c) Tomr ritmos (en se 0) y simplificr l epresión resultnte, en: 0 A y 0 A y 0 A y 0 y y + + y d) Quitr ritmos en: A y + A + 0 y + ( 0 + y) + 0y 0y 0y A 0y ) Clculr l sum de los múltiplos de 9 comprendidos entre 000 y Pr ello, clculr previmente cuál es el primer múltiplo de 9 myor que 000 y cuál es el último múltiplo de 9 menor que En primer lugr, clculremos cuáles son el primer y el último número de l serie. Dividimos: 000/9,9. Luego el primer múltiplo de 9 myor de 000 es Dividimos: 0000/9 9,49. Por lo que el último múltiplo de 9 menor que 0000 es: A continución, tenemos en cuent que estmos trjndo con un progresión ritmétic, puesto que, entre l secuenci de múltiplos de 9, cd número es el nterior más 9. De este modo, podemos clculr de cuántos números const l serie: n ( n ) d (n ) n n Como sólo hemos cmido el segundo miemro de l iguldd, evitmos tener que copirl complet repetidmente, escriiendo signos "" cd pso: nos limitmos escriir que el segundo miemro es igul l epresión siguiente, de form que el primer miemro sigue siendo l cecer de l cden de igulddes. Despejmos: n 907 9n n 907/9 Por tnto, l sum de los términos vle: s 9. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

9 IES Fernndo de Herrer 0 de enero de 07 Primer trimestre - Recuperción 4º ESO NOMBRE: ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, de mner que el resultdo quede sin eponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlido: ( ) ( ) ) (0,7 puntos) ( 4) ) (0, puntos) c) (0,7 puntos) ) ) Fctorir los siguientes polinomios: ( punto) P() ; Q() ) Resolver l ecución: 0 ( punto) ) Hllr el vlor de pr que l división del polinomio P() 4 + entre + teng como resto. ( puntos) 4) Relir: ( puntos) ) Epresr ln en función de. ) Aplicndo l definición de ritmo, clculr. c) Tomr ritmos (en se 0) y simplificr l epresión resultnte, en: A 0 y d) Quitr ritmos en: A y + ) Cuántos términos se hn tomdo en un progresión geométric, siendo que el primer término es 7, el último, 44 y su sum, 9? ( puntos)

10 IES Fernndo de Herrer 0 de enero de 04 Primer trimestre - Recuperción 4º ESO SOLUCIONES ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, de mner que el resultdo quede sin eponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlido: ( ) ( ) ) (0,7 puntos) ( 4) Si el eponente es impr, positivo o negtivo, el resultdo de un potenci de se negtiv es, tmién, negtivo. Pero si el eponente es pr, el resultdo de l potenci será positivo. Por otr prte, un eponente negtivo se convierte en positivo cmindo l potenci complet de un ldo otro de l frcción siempre que dich potenci se fctor (esté multiplicndo). Así: ( ) ( ) ( 4) 4 ( ) 4 ( ) 4 4 Pr poder unificr ls potencis, intentmos hcer coincidir ls ses: ( ) ( ) ( ) ) c) (0, puntos) Pr introducir un fctor en un rdicl, se multiplic el eponente del fctor por el índice del rdicl. Y l rí de un rí (sin nd entre ells) es otr rí con el índice resultnte de multiplicr los índices originles. Y pr rcionlir el denomindor, multiplicmos por un rí del mismo índice con los mismos fctores elevdos eponentes tles que, l sumrlos con los de prtid, resulten potencis con eponentes múltiplos del índice: pr multiplicr dos rdicles, necesitmos que tengn el mismo índice. Pr ello, multiplicmos índice y eponentes por un mismo número: (0,7 puntos) Pr rcionlir un denomindor que conteng ríces cudrds en un sum o rest, multiplicmos y dividimos por el conjugdo del denomindor: ( ( ) ) 4 4 ( ) 4 ( ( ) ) ( ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de 4

11 IES Fernndo de Herrer 0 de enero de 04 Primer trimestre - Recuperción 4º ESO ) ) Fctorir los siguientes polinomios: ( punto) P() ; Q() + Fctorimos P() por Ruffini: Llegdos este punto, no encontrmos cómo seguir. Así que intentmos fctorir el polinomio igulándolo cero y resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: (Multiplicndo mos miemros por /): que no tiene solución, puesto que no eiste l rí de un número negtivo. Por tnto, como no conocemos ls 4 ríces posiles del polinomio de grdo 4, no es plicle el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios, por lo que l fctorición es l que hemos otenido por Ruffini: P() ( )( + )( + + ) Fctorimos Q(). Como es de grdo, en lugr de pror por Ruffini, lo igulmos cero y verigumos sus ríces: Como conocemos ls ríces del polinomio, que es de grdo, plicmos el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: Q() + ( )( /) c) Resolver l ecución: 0 ( punto) Los dos polinomios los tenemos descompuestos, por lo que podemos simplificr l ecución: ( )( )( ) 0 0 ( )( / ) ( )( ) 0, si, / ( )( / ) ( )( ) 0, si, / ( )( / ) Como el denomindor no se puede nulr nunc, no hrí que especificr que tiene que ser /, porque y se ve que hce 0 el denomindor; pero hemos de señlr que tiene que ser, porque se h perdido en l simplificción. Un frcción se hce 0 si y solmente si lo hce el numerdor, pero no el denomindor. De modo que l solución de est ecución son los vlores que nulen IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de 4

12 IES Fernndo de Herrer 0 de enero de 04 Primer trimestre - Recuperción 4º ESO el numerdor, pero, de ellos, hy que descrtr los que tmién nulen el denomindor. En este cso, l her hecho l simplificción, y hn sido descrtdos los que nuln tmién el denomindor, pero recordmos l teorí generl. Así, l solución l otendremos de: ( + )( ) 0 0, no tiene solución Lo que se h resuelto teniendo en cuent que un producto vle 0 si, y sólo si, lguno de los fctores se nul. Por tnto, l solución finl es. ) Hllr el vlor de pr que l división del polinomio P() 4 + entre + teng como resto. ( puntos) Por el Teorem del Resto, el resto de dividir P() entre ( ) es igul P( ). Por tnto, dee ocurrir: P( ) ( ) 4 ( ) ( ) + ( ) ) Relir: ) Epresr ln en función de. Aplicndo l fórmul de cmio de se de ritmos: ln e ( puntos), result: ) Aplicndo l definición de ritmo, clculr. Llmmos (/ ). El resultdo del ritmo es el eponente, según l definición de ritmos, lo que signific que: ( ) c) Tomr ritmos (en se 0) y simplificr l epresión resultnte, en: A 0 A y 0 y A 0 y y 0 + y ( 0 + ) + y + ( + y) + y 0 y IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de 4

13 IES Fernndo de Herrer 0 de enero de 04 Primer trimestre - Recuperción 4º ESO d) Quitr ritmos en: A y + A y + + y + ( y + ) 0 y ( y + 0 ) A 0 y 0 y ) Cuántos términos se hn tomdo en un progresión geométric, siendo que el primer término es 7, el último, 44 y su sum, 9? ( puntos) Semos que 7, n 44, s n 9. L fórmul de l sum de n términos de un p. geométric es: nr sn r Sustituyendo nuestros dtos: 44r 7 9 9r 9 44r 7 9r 44r 9 7 r 44r r n Nos piden n. Como l fórmul del término generl es: r, se tiene: n 44 7 n 44 7 n n 7 n 4 n n IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 4 de 4