ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

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1 Jie Brvo Feres ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO Teore: A tod ret L del plno rtesino está soid l enos un euión de l for: x + + 0, en donde, son núeros reles; 0 ó 0, (x, ) represent un punto genério de L Sen Q(x, ) R(x, ), dos puntos distintos del plno rtesino. Toos P(x, ) un punto genério de l ret L. Coo P, Q R son olineles entones: x son vriles, oo veos en l figur: Y L P R Q O x x x X luego teneos neesriente: x 0 Desrrollndo el deterinnte por l regl de Lple, teneos: x x x x x + x x 0 ( ) x + (x x ) + (x x ) C hiendo: ; x x x x, de donde todo punto P de L dee verifir l euión: x + + 0; lld Euión Generl de L. Conseuenis: En l euión generl de l ret L: x teneos que:. 0 0 L // X (ret L // l eje X).. 0 x x 0 x x L // Y (ret L // l eje Y) 3. 0 x + 0 (0, 0) stisfe l euión, pues: (0, 0) L. Esto es undo l euión no tiene térino independiente l ret ps por el origen.

2 Jie Brvo Feres INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS Todo punto de interseión de dos rets tiene que stisfer ls euiones de s rets. Por tnto, oteneos el punto oún P(x o, o ) de ls dos rets onurrentes resolviendo el siste fordo por sus euiones: L : x L : x P L L Ejeplo: Otener l interseión de ls rets: L : x + 0 L : x + 0 Resolviendo el siste se otiene: x 3 ; 4 3 Luego l interseión de ls rets L L es el punto: P (x o, o ) ( 3, 4 3) POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS: Dds dos rets L L us euiones son: (Ψ) : L : x + L : x + ell pueden oupr tres posiiones reltivs en el plno rtesino. Ests posiiones son definids en se l núero de puntos ounes de ls rets. Esto es: L L Son onurrentes L L Son prlels distints L L Son oinidentes tienen un únio punto oún. no tienen ningún punto oún. tienen infinitos puntos ounes. Not: Con el síolo L L P, indireos que L L son onurrentes o sentes; on L L φ indireos que L L son prlels distints; on L L indireos que L L son oinidentes (o prlels oinidentes). Noteos que L // L signifi L L φ ó L L. Todo punto oún L L es soluión del siste (Ψ). Resolviendo el siste (Ψ) por el étodo de diión se tiene: x + x + ultiplindo por l er Euión ( ) l d euión, teneos:

3 Jie Brvo Feres x + x ( )x ( ) () hor, ultiplindo por (- ) l er euión por l segund euión se tiene: x x + ( )x ( ) () Hiendo: D D D Luego el siste (Ψ) qued reduido : D x D (3) (Ψ) :. D D (4) De u disusión son posiles tres sos: er so: D 0 (Ψ) tiene un úni soluión L L son onurrentes. do so: D 0 D (o D ) 0 3er so: D 0 D 0 D 0 (Ψ) no tiene soluión L L son prlels (Ψ) tiene infinits soluiones L L son oinidentes. Cundo 0, 0 0, teneos: D 0 ; D 0

4 Jie Brvo Feres D 0 Podeos siplifir de l ner siguiente: L x L P ; rets sentes o onurrentes. (Sólo un punto oún) L L φ ; rets prlels diferentes. (Ningún punto oún) L L ; rets oinidentes (prlels). (Infinitos puntos ounes) FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.. For Generl. Anteriorente vios que dd un ret L, podeos deterinr por lo enos un euión del tipo: x l que se le denoin Euión Generl de l ret L, l ul es stisfeh por todos los puntos P(x, ) perteneientes dih ret L.. For reduid (pendiente-ordend) Dd l euión generl de l ret L: x + + 0, si 0, se tiene: x ( { ) x + ( { ). x +. q Est últi euión que expres en funión de x se denoin Euión reduid de l ret L. q se le on el nore de ordend en el origen o oefiiente de posiión. Ejeplo: Se un ret L que ps por A(0, 3) B(, 0), ul es su euión reduid?. Soluión x Seos que: x E. Generl 3x E. Reduid

5 Jie Brvo Feres 3. Euión siétri. Considereos un ret L que interept los ejes rtesinos en los puntos Q(0, q) P(p, 0), distintos. Y L Q(0, q) x O P(p, 0) X L euión de est ret es: 0 q 0 qx + p pq 0 qx + p pq. p 0 De donde: x + p q ést se le onoe oo: Euión siétri de l ret ó Asis - ordend en el origen. 4. Interseión on los ejes. Considereos un ret L de euión generl: x + + 0, on 0, 0 0; los puntos P Q, son puntos de interseión de l ret L on los ejes, los ules denotos por: P(p, 0) Q(0, q); hor hllos los vlores de p q en funión de los oefiientes:,. P L p p Q L 0 + q + 0 q De donde es posile otener l euión siétri prtir de l euión generl del odo siguiente: x x x + Ejeplo + x Otener l euión siétri de l ret L: 7x Soluión x + p q x + 3 x 5. For prétri de l ret. x Ls euiones generl, reduid siétri relionn diretente entre si ls oordends (x, ) de un punto genério de l ret. Es posile, entre tnto, fijr l

6 Jie Brvo Feres le ser uplid por los puntos de l ret dndo ls oordends de x e de d punto de l ret en funión de un terer vrile t, lld práetro. Por ejeplo, si los puntos de un ret L, stisfen l le : x 3t + 4; - 3t oo es el gráfio de L, ul es su euión generl?. Un odo de soluionr ests uestiones es onstruir un tl de vlores dndo vlores t, lulndo, pr d vlor de t, ls oordends de x e de un punto de l ret: t x Punto /3 6 0 (6, 0) 7 (7, ) 0 4 (4, ) /3 3 3 (3, 3) /3 4 (, 4) 4/3 0 6 (0, 6) gráfiente teneos: Y (0, 6) (, 4 ) (3, 3) (4, ) O (6, 0) X olodos dos de esos puntos en el plno es posile diseñr l ret L. L euión generl de l ret L puede ser otenid tondo dos puntos plir ls ondiiones de lineiento. Por ejeplo usndo los puntos (4, ) (3, 3) teneos: x x x otro odo de otener l euión generl es despejr l vrile t en d un de ls euiones dds e igulr ls expresiones otenids, es deir: x 4 x 3t + 4 t 3 3t t 3 x 4 3 3

7 Jie Brvo Feres entones: x 4 ; de donde: x Ls euiones que dn ls oordends (x, ) de un punto ulquier de l ret L en funión de un terer vrile t : x f (t) ; f (t) son llds euiones prétris de l ret L. Así ls euiones: x t son euiones prétris. TEOREMA ANGULAR Fijeos en un ret L dos puntos distintos A B. Y Si A B ; L es prlel l eje X. En este so doptreos oo sentido positivo de l ret L l A B sentido positivo del eje X O X Si A B, entones: A > B ó B > A ; en este so, doptreos oo sentido positivo de l ret L, quel en que se prte del punto de enor ordend (A ó B) se lleg l punto de or ordend (B ó A respetivente). A Y L Y B L B A O X O X ANGULO DE INCLINACIÓN Es el ángulo que un ret L for on el eje X, (Ë LRX), en este so definido: Si L // X, el Ë LRO es nulo. Si L X, el Ë LRX es 90.(Ë reto). R Y L Y L O X O R X θ 0 θ 90

8 Jie Brvo Feres Si L X son sentes no perpendiulres, el Ë LRX es el (gudo u otuso) fordo por ls seirrets RX, donde R es l interseión de l ret L on el eje X. Y L Y L θ θ R O X O R X Ë LRX es gudo ( 0 < θ < 90 ) Ë LRX es otuso (90 < θ < 80 ) Not: el ángulo de inlinión, l que llos θ es tl que: 0 θ < 80. PENDIENTE DE UNA RECTA Es l tngente del ángulo de inlinión de l ret no perpendiulr l eje de ls siss. Lld tién oefiiente ngulr o delive de un ret; es deir: son evidentes ls siguientes: tg θ PROPIEDADES: r. Si el Ë LRX es gudo, entones l pendiente es positiv. d. Si el Ë LRX es otuso, entones: l pendiente es negtiv. 3r. Si el Ë LRX es nulo, entones: l pendiente es nul (ero). 4t. Si el Ë LRX es reto, entones: l pendiente no se define. 5t. Dr l pendiente de un ret equivle dr l direión de l ret; sí iso undo deios que un ret L tiene un pendiente ; L ret L for on el eje OX un ángulo de 45, por tnto, L es ulquier hz de prlels de l figur (); nálogente si l pendiente de L es, entones el ËLOX es otuso ËLOX 35. Luego L puede ser ulquier ret de otro hz de prlels; oo l figur (): Y L Y L θ θ O X O X fig. () fig. ()

9 Jie Brvo Feres Cálulo de l pendiente Sólo es posile lulr el oefiiente ngulr de un ret undo de ell se onoe:. Dos puntos distintos, ó. L euión generl, ó 3. L direión (por ejeplo, si se se que un ret es prlel un ret dd). Desrrollos d punto:. Sen los puntos A(x, ) B(x, ) de l figur, Y B(x, ) A(x, ) θ O θ x - x - X De donde (por l definiión de tngente en trigonoetrí): tg θ x x ulesquier que sen los udrntes en que están situdos A B. Vos lulr l pendiente de un ret u euión generl está dd por: x + + C 0. Reordeos que, ddos A(x, x ) B(, ) perteneientes un ret, l euión generl est dd por: Esto es: x x x ( ) x + (x x ) + (x x ) ; oo vios, x x, por tnto result: ; 0 Así por ejeplo: L pendiente de l ret L: 3 x 3 + 0, es: Noteos que el térino independiente no tiene influeni en el álulo de l pendiente ; sí por ejeplo ls rets: 3x 3 ; 3x tienen l is pendiente.

10 Jie Brvo Feres 3. En l págin 4, vios que l euión reduid de un ret es: x +, por tnto, siepre que un ret tiene euión reduid (esto es 0), estos expresndo en funión de x, donde el oefiiente de x es l pendiente. Euión de un ret que ps por un punto ddo. Se P(x o, o ) un punto onoido. Si quereos otener l euión de de un ret que entre otrs propieddes, tiene l propiedd psr Y S L Q(x,) P(x o, o ) por P, pueden ourrir dos sos: O X. L ret L no es perpendiulr l eje X, por tnto existe el oefiiente ngulr de L, que es: o ; donde (x, ) represent un punto genério Q, perteneiente x xo l ret L. En l euión nterior despejndo se tiene: o (x x o ) () A est euión se le suele llr: Euión Punto-pendiente.. L ret S es perpendiulr l eje de siss, por tnto su euión es: x x o () CONDICIÓN DE PARALELISMO. Dos rets L L son prlels entre sí si solente si sus pendientes son igules. Oservión: L // L Seos que dos rets L: x + + 0; L : x son prlels (distints o no) si solente si se tiene: D 0. En los sos que ls rets no son vertiles, proreos que l ondiión de prleliso: D 0 son equivlentes. Reordndo que: 0 0, teneos: D 0 0 En el so en que L // L // OY, solo vle l ondiión D 0, pues no existen los oefiientes ngulres

11 Jie Brvo Feres Ejeplos:. Ls rets, L: 3x L : x , son prlels pues: 3 6 ; 4 tién: D Ls rets, L: 500x 0 L : 7x 3 0 son prlels, pues: D no ostnte no est definid ls pendientes de ls rets dds. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. Dos rets L L, no vertiles, son perpendiulres entre sí, si solente si, el produto de sus oefiientes ngulres (pendientes) es igul ; sí teneos: L L Oserviones:. Ls rets L: x 3 ; L :, son perpendiulres, puesto que L // Y; L // X. Noteos que en este últio so no vle l relión:, ddo que L es vertil.. Existe l ondiión de perpendiulridd que vle tién pr el so que un de ls rets se vertil, Dos rets L: x L : x + + 0, son perpendiulres si solente si: + 0 Así: L L + 0 por ejeplo, ls rets, L: x 3, L :, son perpendiulres, pues: + (0) + (0) 0 ANGULO ENTRE DOS RECTAS Dds ls rets L : x L : x + + 0; vos lulr los ángulos que ells deterinn.

12 Jie Brvo Feres Si L // L ó L L el prole es inedito. (dejos de ldo, este so). Cundo dos rets son onurrentes no perpendiulres, ells deterinn utro ángulos dos dos opuestos por el vértie. Así teneos: L θ θ L θ θ Clulreos el ángulo gudo θ, fordo por ls rets L L, respetivente: er. Cso: L ret L es vertil. L L L Y L Q Y Q θ θ α α O X O X π π θ α θ α π π tg θ tg ( α) tg θ tg ( α ) tg θ otg α tg θ otg α tg θ Unifindo ests dos posiiliddes teneos: tg θ tgθ Esto nos indi que: Dds ls rets: L L si un de ells no tiene oefiiente ngulr l tngente del ángulo L QL es el ódulo o vlor soluto de l invers de l pendiente de l otr. do so: Ningun ret es vertil. Y L L Y L L Q Q θ θ α α α α O X O X

13 Jie Brvo Feres θ α α θ α α tg θ tg(α α ) tg θ tg(α α ) tg tg tg tg tg ; α α + α α θ tg tg tg tg tg α α + α α θ ; tg + θ g + θ t por tnto en ulquier situión, se tiene: tg + θ Ejeplos:. Clulr el ángulo fordo por ls rets, L : 3x + 5 0; L : x Soluión θ ) ( ) ( tg ; de donde: θ π Clulr el ángulo fordo por ls rets us euiones son, L : x L : 6x Soluión L L π θ Clulr el ángulo gudo fordo por ls rets L : 4x + 0 ; L : 3x 4 0. Soluión Coo: θ / 4 tg r tg θ prox. 4. Clulr el ángulo fordo por ls rets, L : 5x + 0 L 0x Soluión L // L θ 0

14 Jie Brvo Feres Oservión: El ángulo gudo fordo por ls rets L : x L : x + + 0, es tl que: tgθ + ; ( + ) 0 Está fórul es válid sólo pr lulr el ángulo gudo entre rets que no son perpendiulres. FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE UNA RECTA. Se L un ret no horizontl que no ps por el origen de oordends se Q el pie de l perpendiulr trzd desde el origen de oordends l ret L, tl oo se uestr en l figur Y p Q(x o, o ) (p os ω, p sen ω ) ω O R X Si p represent l longitud del segento OQ, ω es el ángulo positivo fordo por el seieje positivo del eje X el segento orientdo OQ (0 ω < 360 ), entones ls oordends del punto Q son: x o p os ω o p sen ω Coo l ret L es perpendiulr l segento OQ, entones l pendiente de L es: os ω L tg ω sen ω Coo: o (x - x o ) es l euión punto pendiente de l ret L, hor ell expresd en térinos de p ω, se tiene: os ω p sen ω ( x p os ω) sen ω efetundo operiones usndo l identidd: sen ω + os ω, l euión se redue : L : x os ω + sen ω - p 0, p > 0 Est es l lld l for norl de l euión de l ret L.

15 Jie Brvo Feres REDUCCION DE LA FORMA GENERAL A LA FORMA NORMAL. L for generl de l euión de un ret es: x () l for norl: x os ω + sen ω p 0, p > 0 () oo ls euiones () () representn l is ret, sus oefiientes deen ser proporionles, sí: os ω k (3) sen ω k (4) p k (5) Si elevos l udrdo os ieros de (3) (4), sundo, oteneos: os ω + sen ω k ( + ) pero oo: os ω + sen ω, est últi relión nos d: k ± + ; + 0 (6) si se sustitue este vlor de k en d un de ls euiones (3), (4) (5), oteneos ls reliones usds entre los oefiientes, sí: os ω ± + ; sen ω ± + ; p ± + l ret definid por l for generl tiene por euión en l for norl: ± + x + ± + + ± + De donde deduios que: L for generl de l euión de un ret: puede reduirse l for norl: dividiendo d térino de () por: 0 x + + 0, () x os ω + sen ω p 0, () r ± +, en donde el signo que preede l rdil r se esoge oo sigue: ) Si 0, r es de signo ontrrio. ) Si 0 0, r tienen el iso signo. ) Si 0, r tienen el iso signo. Ejeplo: L euión de un ret es, L: 5x 7 0, reduir su euión l for norl hllr los vlores de p ω. Soluión Pr l euión dd se tiene: 5, 7.

16 Jie Brvo Feres Por lo tnto: ± + ± 5 + ( 7) ± 74 Coo es negtivo dos l rdil el signo positivo. Dividiendo l euión dd por: 74, oteneos su for norl: 5 74 x en donde: os ω 5 ; 74 sen 5 ω p oo os ω > 0 sen ω < 0; ω está en el urto udrnte, tl oo se uestr en l figur: Y ω O p X L APLICACIONES DE LA FORMA NORMAL. ) Cálulo de l distni de un ret un punto ddo.. Distni No dirigid L distni d de un punto P (x, ) un ret u euión est dd por L: x + + 0; se otiene edinte: d x (7). Distni Dirigid L distni dirigid d de un punto P (x, ) un ret u euión es, L: x + + 0, se otiene on: d x + + ± + (8) donde el signo rdil se elige de uerdo (siendo r ± + ) : ) Si 0, r es de signo ontrrio. ) Si 0 0, r tienen el iso signo. ) Si 0, r tienen el iso signo.

17 Jie Brvo Feres Adeás: Si l ret no ps por el origen d es positiv o negtiv según que el punto P el origen estén en ldos opuestos o del iso ldo de l ret. Si l ret dd ps por el origen d es positiv o negtiv según que el punto P esté rri o jo de l ret. Así teneos: Y Y P d < 0 P d > 0 O X P d < 0 d > 0 O P X Oservión: Si el punto P (x, ) pertenee l ret L: x + + 0, entones l distni: d d(p, L) 0. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS. L distni entre dos rets prlels, es l longitud del segento perpendiulr s rets. Est longitud es igul l distni de un punto ritrrio P de un de ls rets l otr. L distni entre ls rets prlels: L : x ^ L : x está dd por: d + ( 9 ) Y L L O X

18 Jie Brvo Feres Ejeplos:. Hllr l distni de l ret: 3x l punto (3, ). Interpretr el signo de l distni oo segento dirigido. Soluión Considereos l gráfi siguiente: usndo l expresión: se tiene: x + + d ± + 3(3) 4( ) + 6 d Por tnto l distni usd es 6/5. El signo negtivo nos indi que el punto el origen están del iso ldo de l ret. 3x-4+0 Y O (3, ) X. Hllr l distni del punto P(, 5) l ret L de euión: 3x Soluión x + + 3( ) 4( 5) 9 35 Usndo l expresión: d ( 4) 3. Hllr l distni entre ls rets: L : x ; L : 4x Soluión Con el propósito de plir l fórul (9), ultiplios l prier euión por, teneos: L : 4x ; por lo tnto: 0; 7, que sustituendo en (9) se tiene: d(l,l ) Deterine ls euiones de ls rets que forn 45 on el eje X están un distni de uniddes del punto P(3, 4). Soluión Coo el ángulo que forn ls rets vlen 45, se tiene que: Y L L +. por tnto podeos tor. Entones l euión de P L es: x + 0 O X

19 Jie Brvo Feres Coo d(p, L ). Entones: (3) + ( )4 + ( ) + + De donde: - ±. Así ó 3 Por lo tnto: L : x ó L : x Clulr l ltur del vértie A de un triángulo de vérties A(3, 0), B(0, 0) C(6, 8). Soluión L euión de l ret BC est dd por: L BC : 4x 3 0 x 0 0 d(a, L BC ) 4( 3) 3(0) Por tnto l ltur ide /5. ) BISECTRIZ DE UN ANGULO Ls isetries de los ángulos supleentrios fordos por ls rets L : x L : x + + 0; que se intersen en un punto tiene por euiones: x x En l gráfi se tiene: B B son isetries. P equidist de ls rets B B, es deir: d d Pr l isetriz B, se tiene: P(x, ) d d d P(x,) d d d B Pr l isetriz B, se tiene: B d d Ejeplos: O X. Hllr ls euiones de ls isetries de los ángulos fordos por ls rets: L : 7x L : x Soluión De uerdo ls euiones de ls isetries se tiene: x + + x x ( ) x + + ( ) de donde: 7x x +

20 Jie Brvo Feres Resolviendo se tiene: 7x + 7 5x ó 7x + 7 5x siplifindo: x ó x Hllr l euión de l isetriz del enor ángulo fordo entre ls rets, L : 9x + 8; L : 6x 7 3. Soluión Considereos l gráfi siguiente: Siendo P (x, ) un punto ulquier sore l isetriz L sen d d ls distnis dirigids los ldos L L respetivente. En el gráfio se tiene: d d. Es deir: Y L L d P (x, ) d 9x + 8 6x de donde L : 3x 0 0 ; euión pedid. O X FAMILIA DE RECTAS. L totlidd de ls rets que stisfen un úni ondiión geoétri se ll fili o hz de rets. Pr un ejor oprensión sore l fili de rets, estudireos los sos siguientes:. Fili de rets prlels un ret dd. Un hz de prlels está deterindo undo onoeos un de sus rets (o su direión). ) Considereos el hz de rets prlels deterindo por l ret L de euión: L: x + + k 0 ; (k R ) Donde k es un onstnte ritrri, lldo práetro de l fili.

21 Jie Brvo Feres Así vrindo el vlor de k, ls rets se ueven desriiendo un hz de prlels l ret L; gráfiente: Y O k k k 0 k k X ) Si es un núero rel fijo, l euión: x k represent un hz o fili de rets de pendiente. En este so el práetro k (onstnte ritrri) represent l ordend en el origen. Ejeplo: L euión del hz de rets prlels l ret L: 3x es l ret L : 3x k 0 on k ú, perteneen este hz por ejeplo ls rets; L : 3x ; L 3 : 3x Fili de rets perpendiulres un ret dd. Considereos L : x + + k 0; l ret dd, entones l fili de rets perpendiulres l ret L, se expres por l euión: L : x + + k 0 donde k es el práetro. Gráfiente se tiene: Y L: x k k k3 k4 O L L L 3 L 4 X

22 Jie Brvo Feres 3. Fili de rets que psn por l interseión de dos rets. Supongos que ls euiones de dos rets que se ortn son: L : x L : x se P (x, ) su punto de interseión. Por lo tnto l euión: x k( x + + ) 0 represent tods ls rets que psn por el punto P (x, ); (en donde el práetro k puede tor todos los vlores reles), on l úni exepión de l ret L. L iportni de est euión está en que nos perite otener l euión de un ret que ps por l interseión de dos rets dds sin tener que usr ls oordends del punto de interseión. Not: El punto de interseión P, de ls rets L L ; es lldo vértie de l fili. Ejeplo: L ret L, ps por el punto R(, 3) por l interseión de ls rets: L : x L : 3x Hllr l euión de l ret L. Soluión L fili de rets que psn por el punto de interseión de ls rets L L es; L : x k(3x + 4 5) 0; oo R(, 3) pertenee L, entones: + 5(3) + + k(3() + 4(3) 5) k(6 + 5) 0 k 5 reeplzndo se tiene: x (3x ) 0 de donde: L : 4x Querido Aluno: Pr ser feliz no iport lo que el undo te ofrez, sino lo que tu puedes ofreer, porque todo lo que se d regres, nte los ojos del Señor solo vlen ls uens ors. Al finl no te llevrs lo que hs gurddo, solo irá ontigo lo que hs heho fvor de los deás; es deir lo que hs ddo. Nun te quejes, l vid no es fáil, ino sin piedr no es ino. No te opres on ndie, ídete ontigo iso; es l úni ner segur de vnzr.. Extrto de Mi Ulti Leión

23 Jie Brvo Feres PROBLEMAS PROPUESTOS No pierds tu tiepo dndo expliiones porque tus igos no l neesitn tus eneigos no te reerán Anónio 6. Los extreos de un segento son los puntos R(, 5) S(4, 7). Clulr su pendiente. ) ) ) d) 3 e) N.A. 6. Los extreos de un segento son los puntos P(4, 6) Q(8, ). Deterinr su ángulo de inlinión. ) 0 ) 36 d) d) 46 0 e) Deterinr l euión de l ret que ps por el punto Q(4, 5) tiene un inlinión de 64. ).05x 3. ).5x ).96x.84 d) x Deterinr l euión de l ret u pendiente es 0.75 tiene por oefiiente de posiión. ) 3 4 x ) 3 4 x + ) 3 4 x d) 3 4 x Cuál es l pendiente el oefiiente de posiión de l ret 3x + 5 5?. ) 0.6 ; 3 ) 0.6 ; 3 ) 3 ; 3 d) 0.6 ; 5 e) 0.6 ; Deterinr l euión de l ret que ps por el origen tiene un pendiente de 3/4. ) 4/3 x ).3x ) 3x d) 0.75x e) 4x 67. Deterinr l euión generl de l ret que ps por el punto P(6, 3) tiene un pendiente de.5. ) 5x ) 5x + 4 ) x d) x e) 5x Deterinr l euión de l ret que ps por los puntos P(4, ) Q(, 7). ) 4x ) 4x 3 3 ) 3x d) 3x e) 4x Cuál es l euión de l ret que ps por el punto P(5, 7) es prlel l ret que deterinn los puntos A(4, ) B(6, )?. ) 0.x + 8 ) 0.x 8 ) x 6 d) x 8

24 Jie Brvo Feres 70. Deterinr l euión de l ret que ps por el punto P(5, 7) es perpendiulr l ret que ps por los puntos R(, ) Q(6, ). ) 5x 8 ) 5x + 8 ) 3x 8 d) 3x 8 e) x Los extreos de un segento son los puntos P(6, 3) Q(, 7). En qué punto ort este segento l eje de ls X?. ) (4, 0) ) (4., 0) ) (4.8, 0) d) (6, 0) e) (, 0) 7. Un segento est deterindo por los puntos P(3, 5) Q(9, 3). Deterinr l su de ls oponentes de los puntos de interseión de este segento on los ejes rtesinos. ) 0 ) 3.5 ) 7.5 d) 9 e) Los extreos de un segento son los puntos A(8, ) B(, 3). Cuánto ide el segento deterindo por los ejes?. ) 0 ) 7 ) 6 d) 8 e) Los extreos de un segento son los puntos A(8, ) B(, 3). Clulr l rzón en que los ejes oordendos dividen este segento. ) : : 3 ) : : 3 ) : 3: d) : : e) 3: : 75. Deterinr l interseión de l ret que ps por los puntos P(, 7) Q(0, 4) on l ret que deterinn los puntos A(7, ) B(0, ). ) (, ) ) (, ) ) (6, 6) d) (, ) e) (7, ) 76. Hllr l euión de l ret u sis ordend en el origen son 5 3, respetivente. ) 3x 5 5 ) ) 3x d) 5x e) 3 5x Hllr l euión de l ret que ps por el punto (, 3) es perpendiulr l ret x ) x + 0 ) 3x ) x 3 d) 3x e) /3x 3/ 78. Hllr l euión de l editriz del segento deterindo por los puntos (7, 4) (, ). ) 4x ) 4x ) 3x d) 4x 3 5 e) 3x Hllr el vlor del práetro k de for que:. 3kx k 0 pse por el punto (, 4).

25 Jie Brvo Feres. 4x k 7 0, teng pendiente 3 3. kx 3k 6, teng de sis en el origen 5. ) 9, 4 3, 3 ) 9, 4 3, 3 ) 9, 4 3, 3 d) 9, 4 3, 3 e) 9, 4 3, Hllr ls euiones de ls rets de pendiente 3/4 que foren on los ejes un triángulo de áre de 4 uniddes de superfiie. ) 3x ; 3x ) 3x ; 3x ) 3x ; 3x d) 3x ; 3x e) 3x ; 3x Hlls ls euiones de ls rets que psn por el punto (4, ) distn uniddes del origen. ) 4x ; 3 + x + 0 ) 4x ; 0 ) 4x ; + 0 d) 4x ; + 0 e) 4x ; x 0 8. Hllr un de ls euiones de ls prlels l ret: x que disten de ell 4 uniddes. ) x ) x ) x d) x Hllr el or vlor de k pr que l distni d de l ret L : 8x k 0, l punto (, 3) se igul 5 uniddes. ) 46 ) 4 ) 36 d) 7 e) Hllr l euión de l ret que ps por el punto (, 3) u sis en el origen es el dole que l ordend en el origen. ) x ) x ) x 8 0 d) x e) x Hllr el vlor del práetro k, en l euión x k 0 de for que l ret fore on los ejes de oordends un triángulo de 7 uniddes de superfiie. ) ± ) ± 8 ) ± 0 d) ± 36 e) ± Hllr el vlor del práetro k pr que l ret de euión x + 3k 3 0 pse por el punto (, 4). ) 7 ) 7 ) 7 d) 7 e) /7

26 Jie Brvo Feres 87. Hllr el vlor de k pr que l ret de euión: 3x k 8 0 fore un ángulo de 45 on l ret: x ) 7; 9 7 ) 7; 9 7 ) 4 ; 9 7 d) 4; 9 7 e) 4; Hllr un punto de l ret L : 3x , que equidist de los puntos (5, 6) (3, ). ) (, ) ) (4, 4) ) (, ) d) (4, 4) e) (, 4) 89. Hllr ls euiones de ls rets que psn por el punto (, 6) uo produto de oordends en el origen es. ) 9x x + 0 ) 4x x + 0 ) 9x x d) 3x x + 0 e) 4x x Hllr l euión de l ret de sis en el origen 3/7 que es perpendiulr l ret 3x ) x ) 8x + 0 ) 8x 0 d) 8x e) 4x Hllr l euión de l perpendiulr l ret: x en su punto de interseión on l ret: 3x ) x ) 3x ) 7x 6 0 d) 7x e) x Hllr l distni del punto de interseión de ls rets: 3x x , l punto P(, ). ) 3 ) 5 ) d) 8 e) 93. Dd l ret L : 7x , otener l euión de l fili de rets prlels L. ) 7x k 0 ; k ú. ) 7x ) 7x k 0; k ù. d) 7x + 3 k 0 k ó ú.. e) 7x + 3 k 0 k ú. 94. Deterine l ret de l fili: k (x + 3) + k (x + ) 0 que es prlel l ret L : 7x ) 7x 3 0 ) 7x ) 7x d) 7x e) 3x Que figur onstituen los puntos del plno XY us oordends stisfen l euión sen(x ) 0. ) Un udrdo ) Un prlelogro ) Un trpeio d) Un punto e) Un fili de rets prlels

27 Jie Brvo Feres 96. Los puntos del plno rtesino XY us oordends stisfen l euión: tg x tg, onstituen un: ) Fili de rets que se ortn en un punto. ) Fili de rets perpendiulres ) Fili de rets prlels l eje de ls siss. d) Fili de rets prlels l eje de ls ordends. e) Fili de rets prlels. 97. Deterinr l pendiente de l euión del hz de rets que psn por el punto (3, 7). ) ú ) 0 ) 3/7 d) 7/3 e) 3/ Hllr ls rets que perteneen l fili de rets: x k(x 5 6) 0 son perpendiulres ls rets ses de l fili. ) 3x + 0 ; 5x ) 3x 0 ; 5x ) 3x + 0 ; 5x d) x 3 0 ; 5x 6 0 e) x 3 0 ; 5x Dd l euión de l fili de rets: x k(x + 4) 0, deterinr el vlor de, pr que l ret: x pertenez est fili. ) 3 ) 6 ) d) e) Hllr el entro del hz de rets ddo por l euión: α(x + 3 ) + β(x 4) 0 ) (, ) ) (, ) ) (, ) d) (, ) e) (, ) 0. Dd l euión de un hz de rets: α(3x + 9) + β(x ) 0; deterinr el vlor de pr que l ret: 4x 3 + C 0, pertenez este hz. ) 9 ) ) d) 9 e) 7 0. Dd l euión de un hz de rets: α(5x + 3 7) + β(3x ) 0 deterinr pr que vlores de l ret: x no pertenee este hz. ) ) ) 3 d) 5 e) Hllr l proeión del punto P(6, 4) sore l ret: 4x 5 3. ) (, ) ) (, ) ) (, ) d) (3, ) e) (3, ) 04. Hllr l euión d l ret, si el punto P(, 3) es l se de l perpendiulr jd del origen de oordends est ret. ) x ) x ) x d) x + 0 e) 3x + 3 0

28 Jie Brvo Feres 05. Hllr l proeión del punto P(8, ) sore l ret que ps por los puntos A(, 3) B(5, ). ) (, 5) ) (5, ) ) (5, ) d) (5, ) e) (, 5) 06. Hllr un punto M siétrio l punto N(8, 9), reltivo l ret que ps por los puntos A(3, 4) B(, ) ) (0, 5) ) (0, 5) ) (0, 5) d) (8, 3) e) (3, 5) 07. Hllr en el eje de siss, un punto P de ner que l su de sus distnis los puntos M(, ) N(3, 4) se íni. ) ( 5 3, 0) ) ( 5 3, 0) ) (, 0) d) (0, 5 3 ) e) ( 5 3, 5 3 ) 08. Hllr en el eje de ordends, un punto P de ner que l difereni de sus distnis los puntos M(3, ) N(, 5) se áxi. ) (0, 5) ) (0,) ) (0, ) d) (0, 0) e) (, ) 09. Hllr en l ret x 5 0, un punto P de ner que l su de sus distnis los puntos A(7, ); B(5, 5) se íni. ) (, ) ) (, 3) ) (3, ) d) (, ) e) (4, 3) 0. Hllr en l ret 3x 0 un punto P de ner que l difereni de sus distnis los puntos A(4, ) B(0, 4) se áxi. ) (, ) ) (4, ) ) (3, 8) d) (0, ) e) (, 5). Un opñí tiene un funión de osto de: 500x un funión de ingresos de: 675x. Cuánts uniddes dee frir pr que no h perdids ni gnnis?. ) ) No se puede ser ) s de 3 d) enos de 0 e) 3. Ls euiones de L : Ax + B 5 L : Bx A, (A B no son siultáneente igules ero) orresponden : ) Rets Prlels diferentes ) Rets Prlels oinidentes ) Rets leds d) Rets perpendiulres e) Dos rets sentes ulesquier 3. El lquiler de un uto uest 0 soles por dí 7 entvos el kilóetro. Supóngse que se lquil el uto por un sólo dí; esríse un fórul pr los rgos de lquiler en térinos de l distni reorrid. ) 0 + 7x ) x ) x d) 7 + 0x e) 0(4) x 4. En investigión de erdo, un urv de dend relion l dend (x uniddes) de un produto on el preio ( dólres) por unidd que el erdo está dispuesto pgr. Un urv de ofert reflej el núero de uniddes que un

29 Jie Brvo Feres frinte está dispuesto surtir un preio ddo. Ls urvs de dend tienen pendientes negtivs, ientrs que ls urvs de ofert tienen pendientes positivs. Pr ierto produto, se enuentr que l urv de dend está dd por 80 3x, ientrs que l urv de ofert está dd por 0 + x. Hállese el punto de equilirio de erdo pr el produto. ) 0 uniddes $ 54 /u. ) uniddes $ 44 /u. ) 8 uniddes $ 44 /u. d) 44 uniddes $ /u. 5. Cuál de los puntos ddos, A(3, 5), B(4, ) C(9, 0) dist enos de l ret L : 5x + 6?. ) C ) A ) B d) A B e) No se puede ser. 6. Deterinr l euión de l ret que pss por el punto de interseión de ls rets: L : 3x 5 0 L : 6x ; for un ángulo de 35 on el eje de ls X. ) + x 0 ) x + ) x 3 d) x 7. En que punto onurren ls rets: L : 3x L : 5x L 3 : x ) (5, ) ) (8, 5) ) (3, 4) d) (5, 8) e) (, 5) 8. Dos rets l ortrse forn un ángulo uo vértie es el punto P(, 8). Si l euión de un de ls isetries es L : x + 6 0, Cuál es l isetriz del otro ángulo que forn ls rets? ) x + 0 ) x 0 ) x + 0 d) x + 6 e) x 9. Deterinr l euión de l isetriz del ángulo gudo que forn l ortrse ls rets L : x L : x ) x + ) x ) x d) e) x + 0. Deterinr un de ls euiones de ls isetriz del ángulo que forn ls rets que psn por los puntos A(7, ); B(0, ) C(, 7) ; D(0, 4) respetivente. ) x + ) x ) x d) x e) x. Hllr el punto de interseión del inentro del triángulo fordo por ls rets L : 4x ; L : 7x ; L 3 : 3x ) (0, 0) ) (8, 0) ) (3, ) d) (0, 0) e) (, 3). Hllr l euión de l ret, si el punto P(, 3) es l se de l perpendiulr jd del origen de oordends est ret. ) x ) x 3 3 ) 3x + 3 d) 3x 3 e) x + 3 3

30 Jie Brvo Feres 3. Los ldos de un triángulo se dn por sus euiones 4x 7 0 ; x ; x Hllr el punto de interseión de sus lturs. ) (3, 4) ) (3, 4) ) (4, 3) d) (4, 3) e) (3, 4) 4. Ddos los vérties de un triángulo A(, ); B(, ) C(3, 5), hllr l euión de l perpendiulr jd desde el vértie A l edin trzd desde el vértie B. ) 4x + 3 ) 4x + 3 ) 4x 3 d) 4x 3 e) x Se dn ls euiones de dos l-dos de un retángulo: 5x + 7 0; 5x , l euión de un de ls digonles: 3x Hllr l euión de l otr digonl. ) 7x ) 7x ) 7x d) 7x e) 3x Ddos dos vérties de un triángulo A(0, ) B(6, 4); us lturs se ortn en el punto N(5, ) deterinr ls oordends del terer vértie C. ) (6, 6) ) (6, 6) ) (3, 3) d) (4, 3) e) (3, 6) 7. L euión de l ret que ps por el punto M(x, ) es prlel l ret Ax + B + C 0 puede esriirse de l for: ) B(x x ) + A( ) 0 ) A(x x ) + B( ) 0 ) A(x x ) B( ) 0 d) B(x x ) B( ) 0 e) A( ) + B(x x ) 0 8. Deterine l euión de l ret L que ontiene l punto P(5, 4) es prlel l ret L us euiones prétris son: x 3t ; - 5t. ) 5x ) 5x + 3 ) 5x d) x e) 5x Deterinr l euión de l ret L que ps por el punto de interseión de ls rets L L es prlel l ret L 3, siendo que: L : x + x t ; L 3 : x t ) 3x ) x ) 3x d) x e) 3x 7 0 ; L : 30. Los puntos M, N, P Q son los vérties de un prlelogro situdo en el prier udrnte. Siendo M(3, 5); N(, ) P(5, ) deterine el vértie Q del prlelogro. ) (4, 7) ) (3, 4) ) (7, 4) d) (, 3) e) N.A.

31 Jie Brvo Feres 3. Dos ldos de un prlelogro ABCD están ontenidos en ls rets L : x + 3 0; L : x + 0. Si se se que el vértie A(3, 4) deterinr los vérties B, C D. ) B(, ) ; C(, ) ; D(4, 6) ) B(, ) ; C(, ) ; D(4, 6) ) B(, ) ; C(, ) ; D(4, 6) d) B(, ) ; C(, ) ; D(4, 6) e) B(, ) ; C(, ) ; D(4, 6) 3. Otener un ret perpendiulr L : 4x + 3 0, que defin on los ejes oordendos un triángulo de 6u de áre. ) L : 3x 4 ± 0 ) L : 3x + 4 ± 0 ) L : 4x 3 ± 0 d) L : 3x e) N. A. 33. Cuál es l tngente del ángulo fordo por ls rets L : 3x L : x ) 6 ) 4 ) d) 8 e) N.A. 34. Ddos los puntos A(4, ); B(, ) C(5+ 3, 3 ); uánto ide el enor de los ángulos internos del triángulo ABC?. ) π ) 3π 4 ) π 6 d) π 4 e) N.A. 35. Deterinr l ret L, siétri de l ret L : x + 0 en relión l ret L : x ) L : x ) L : x ) L : x d) L : 3x e) x Clulr el áre del triángulo ABC uos vérties son A( +, + ) ; B(, ) C( +, ) ) 5 3 ) 5 3 ) 5 d) 5 e) N.A. 37. Clulr el áre del triángulo ABC, deterindo por ls rets, L : x, L : x 4 ; L : x + 0 ) 5 ) 5 ) 9 d) 9 e) N. A. 38. Un segento AB se po sore el eje de oordends de odo que A está sore el eje X B está sore el eje Y. Si el punto P(3, ) pertenee l segento AB se uple que PA + PB 0, hllr l euión de l ret L que ontiene AB. ) L : x ) L : x ) L : x d) L : x e) N. A 39. Un vértie de un udrdo PQRS es el punto P(, 3) un de sus digonles está sore l ret: L : 3x Hllr el áre del udrdo ) 8 ) 6 ) d) 4 e) N. A.

32 Jie Brvo Feres 40. Clulr el áre del udrilátero onvexo ABCD siendo que A(0, 0); B(4, ) ; C(6, 8) ; D(0, 4). ) ) 9 ) 8 d) 4 e) N. A. 4. Condorito se enuentr en el punto A(7, ) dee llegr l punto B(5, 5) psndo por l orill del río pr sr gu. Si l orill del río se enuentr sore l ret L: x 5 0. Hllr el punto P en l orill del río de ner que Condorito reorr l enor distni. ) P(, ) ) P(, ) ) P(3, ) d) P(, ) e) N.A. 4 Hllr ls oordends del punto P; en l gráfi siguiente. Y Q (0,3) R(7,) O P X ) (0, 0) ) (, 0) ) 5, 0) d) 7, 0) e) existen dos soluiones 43. L se de un triángulo isóseles ABC son los puntos A(,5) C(3, ) siendo que el vértie B pertenee l eje X, hllr el áre del triángulo isóseles ABC. ) 0u ) u ) u d) 3u e) 4u 44. En l figur hllr el áre del triángulo AOB. Si: AB Y C(8, 6) O B X BC 3 A ) 6.4u ) 3.u ) 6 u d) 3 u e) u 45. En l figur deterinr: + (, 6) (, ) (4,) (, ) ) 9 ) 9 ) 4 d) 8 e) 0

33 Jie Brvo Feres 46. Los puntos P(5, 4); Q(5, ) R(3, ) son los vérties de un triángulo. Deterinr el áre de l superfiie tringulr que se for l unir los puntos edios de los ldos RP; PQ QR. ) 4u ) 5u ) 6u d) 8u e) 0u 47. En l figur siguiente lulr el áre del triángulo ABO Y ) u ) u ) 0.5u O B d) 3u e).5u A(,0) O (, 0) 48. Hllr el vlor de k de tl ner que l ret 3x + k, fore on l ret 5 4 (x + ) ; el eje positivo Y un triángulo de áre igul 5 4. ) ) 5 ) d) 3 e) Clulr el áre del triángulo AMN, si ABCD es un prlelogro. A M B(, 3) D(4, ) C(5,7) N ) ) ) 3 d) 4 e) Los vérties de un triángulo ABC, son A (, ); B(4, 7) C(6, 3). Clulr el áre de l región tringulr AQC, siendo Q el irunentro de diho triángulo. ) 40 3 ) 0 3 ) 0 3 d) 0 e) 5. Mestro: Aer que no teníos nd, trjáos igul, e dijiste: soos fili. Ho que tengo enos trjo ás no e dies que seos fili. Mestro, entones: Mñn que no tendré nd, tu disfrutrás de i trjo, e dirás: nun fuios fili?. Mestro por qué entones,...? 7/04/96 Nelink