Triángulos y generalidades

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1 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro y su semiperímetro. = 9 m = 7 m = 6 m Pr onstruir el triágulo pedido, se estleen los segmentos, y on sus respetivs longitudes. Tomndo el ldo omo se del triángulo se diujn dos irunferenis. L primer de rdio on entro en el punto y l segund de rdio on entro en el punto. Ests dos irunferenis se ortn en el punto del ul se trzn los segmentos = y =. El triángulo tiene los ldos ddos. Por definiión el perímetro es l sum de ls longitudes de los ldos. sí, 2 p = + + = = 22 m de donde p= 11 m (semiperímetro) (3) onstruir un triángulo que teng un ángulo de 50 y los dos ldos que lo formn midn 5 m y 3.5 m. Sore el ldo myor orrespondiente l segmento = = 5 m, se olo el origen del trnsportdor pr mrr el ángulo 50 de 50 omo un punto sore l irunfereni que form el orde del trnsportdor (quí se h elegido ulquier de ls dos irunferenis onéntris trzds en olor mordo). Luego, sore l ret se mide el otro ldo ddo (menor) que orresponde l segmento = = 3.5 m. Uniendo los extremos y se form el terer ldo ompletndo sí el triángulo. = 3.5 m Este trnsportdor primitivo está dividido d 10, ls línes en nrnj señln los ángulos múltiplos de = 5 m

2 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/2 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (5) onstruir un triángulo que teng un ldo que mid 7 m y los dos ángulos dyentes midn 30 y 70. Trzr ls tres lturs y señlr el ortoentro. Sore el ldo ddo orrespondiente l segmento = = 7 m, se olo el origen del trnsportdor primero en pr mrr el ángulo de 30 on el punto y luego en pr mrr el ángulo de 70 on el punto. Después se trzn ls rets y ls ules, l prolongrls se ortn en el punto que orresponderá l terer vértie. Hipótesis: = 7, = 30, = Uniendo los extremos, y formn los ldos fltntes, respetivmente igules y, formndo sí el triángulo requerido que se muestr jo l izquierd. Ls lturs orresponden ls perpendiulres trzds de d vértie, y l ldo opuesto respetivo, y (ver Definiión, pág. 57) y onurren en el punto O que es el ortoentro. Pr trzr un ltur dee usrse l onstruión uxilir siguiente: por un punto exterior (vértie) un segmento ddo jr un perpendiulr del punto l segmento. O ien, empler un esudr linendo el ángulo reto l segmento en uestión. h O h h = 7 m

3 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/3 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (7) onstruir un triángulo equilátero de 5 m de ldo. Trzr ls meditries y señlr el irunentro. Sore l se (ulquier ldo, y que por hipótesis se trt de un triángulo equilátero) se olo el origen del trnsportdor primero en pr mrr el ángulo de on el punto y luego en pr mrr el mismo ángulo () on el punto. Después, se trzn ls rets y ls ules l prolongrls se ortn en el vértie. Hipótesis: = = y = = Not: puede resolverse este prolem usndo l onstruión heh en el Prolem (1) y en tl so solo se neesit el ompás y no el trnsportdor. Ls irunferenis olods en y se diujn d un on un rdio de 5 m. Uniendo los puntos extremos se formn los ldos fltntes = y =, formndo sí el triángulo equilátero requerido que se muestr jo l izquierd. Ls meditries orresponden ls perpendiulres trzds en el punto medio de d ldo, y (ver Definiión, pág. 57) y onurren en el punto K que es el irunentro. El trzo de ests perpendiulres emple l onstruión geométri 2) del rt. 57 (pág. 38). = 5 m = 5 m K M M M = 5 m

4 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/4 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (9) onstruir un triángulo retángulo que teng un teto que mid 8 m y uy hipotenus mid 10m. Diujr ls tres lturs. Sore el teto ddo se olo el origen del trnsportdor en pr mrr el ángulo de 90 on el punto. Se prolong l ret hi rri y del extremo se trz un punto sore, l hipotenus on l longitud dd. 90 Uniendo los puntos y se form el otro teto =, formndo sí el triángulo retángulo requerido que se muestr jo. En este so, ls lturs h y h son igules respetivmente los tetos y y l úni perpendiulr que se trz es l que v del vértie (ángulo reto) l hipotenus (ldo es opuesto). El ortoentro es O =. = h h = 10 m O = 90 = h = 8 m

5 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/5 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (11) onstruir un triángulo retángulo que teng un hipotenus que mid 5 m y un ángulo que mid 45. Diujr ls tres medins. Sore el teto horizontl (sin longitud dd) se olo el origen del trnsportdor en pr mrr el ángulo de 45 on el punto. Se prolong el segmento (hipotenus) hst que mid 5 m y de su extremo se j l perpendiulr (teto vertil) l teto sore el ul se oloó el trnsportdor. 45 = 5 m Uniendo los puntos y se form el teto horizontl =, formndo sí el triángulo retángulo requerido que se muestr rri l dereh. Ls medins son los segmentos que vn de d vértie l punto medio del ldo opuesto (ver definiión, pág. 56) donde el punto medio P (pr el ul, p. ej., P = P ) puede determinrse por l onstruión geométri 1) del rt. 57 (pág. 38). El punto G de onurreni es el rientro. m m G P m m

6 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/6 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (13) Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30 respetivmente. uánto mide el terer ángulo y d uno de los ángulos exteriores? Según el Teorem 18 (pág. 58), l sum de los tres ángulos interiores de un triángulo vle dos ángulos retos, es deir, si, y son los ángulos del triángulo, entones + + = 2 R. Por hipótesis, = 40 y = 30, de donde = 2 R ( + ) = = 110 omo 110 > R, el terer ángulo es otuso y se trt de un triángulo otusángulo. L onstruión del triángulo se muestr ontinuión Los ángulos exteriores son los que se formn por uno de los ldos del triángulo y l prolongión de otro (ver Definiión rt. 84, pág 58). Por ejemplo, el ángulo exterior X se form on el ldo = y l prolongión del ldo =. omo X, Y, Z son ángulos dyentes los respetivos ángulos interiores,, del triángulo, se otiene inmeditmente que: 30 Z Y X X = 2R = = 140 Y = 2R = = 150 Z = 2R = = 70 y se omprue que X + Y + Z = 360 = 4 R.

7 Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/7 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp ) (15) Puede ser otuso el ángulo en l se de un triángulo isóseles? Rzonmos por el método de reduión l surdo. sí, supóngse que el ángulo de l se en un triángulo isóseles es un ángulo otuso, por tnto, es myor un ángulo reto. Por hipótesis, trtándose de un triángulo isóseles, el otro ángulo de l se es igul on, de modo que (ver esquem jo l izquierd) + > R+ R= 2 R de donde + + > 2R+ > 2 R, desiguldd que ontrdie l Teorem 18 que estlee que l sum de los ángulos interiores de ulquier triángulo, en prtiulr de un triángulo isóseles, es igul un ángulo llno. onseuentemente, lo que se supuso omo verddero es flso y el ángulo en l se de un triángulo isóseles no puede ser otuso (ni ni ). No ostnte, el ángul0 opuesto l se si puede ser otuso y que si el ángulo > R (myor un reto), entones + = 2R < R R y = < 2 (17) Puede ser equilátero un triángulo retángulo? Por onstruión geométri, todos los ángulos de un triángulo equilátero son igules y omo sumn dos ángulos retos (Teorem 18) se dedue que d uno vle. omo un triángulo retángulo tiene un ángulo reto igul 90 (ver Definiión, pág. 56), result lro que este ángulo no es igul ningún ángulo de un triángulo equilátero (ver riterio de iguldd de triángulos en pág. 60). Por lo tnto, un triángulo retángulo no puede ser equilátero. triángulo retángulo triángulo equilátero = 90 ; + = 90 = = = 60

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