Algunos resultados importantes de Geometría Euclidiana en el plano:

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Virginia Quiroga Alvarado
hace 6 años
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1 lgunos resultados importantes de Geometría Eulidiana en el plano: Grados y radianes El despeje de la siguiente euaión permite realizar la onversión de la unidad angular: grados 180º radianes π Triángulo retángulo isóseles: Triángulos: Triángulo retángulo semiequilátero: Teorema de Pitágoras: Derivados de Pitágoras: a + ltura sore la hipotenusa: h min Produto de los atetos: ain, a in Semejanza de triángulos: Postulado.. (tamién llamado...): Si BC EDG BC DGE, entones BC EDG riterio L..L.: Si a CB DGE, entones BC EDG e d a, entones BC EDG e d g riterio L.L.L.: Página 1 de 8

2 Puntos y retas notales: Definiión (ltura en un triángulo): El segmento de reta perpendiular a un lado del triángulo o a su prolongaión por el vértie opuesto a ella reie el nomre de ltura Las tres alturas trazadas de los tres vérties de un triángulo onurren en un únio punto llamado ortoentro Definiión (Mediana en un triángulo): El segmento de reta que pasa por el punto medio del lado opuesto al vértie sore el ual se traza reie el nomre de mediana Las tres medianas trazadas sore los tres lados del triángulo onurren en un únio punto llamado entroide o arientro Definiión (Mediatriz en un triángulo): Reta perpendiular al punto medio de un lado del triángulo Las tres medianas trazadas sore ada uno de los lados del triángulo onurren en un únio punto llamado irunentro Corolario: El irunentro es el entro de la irunferenia que equidista de los tres vérties del triángulo, a ésta irunferenia se le llama irunferenia irunsrita al triángulo Definiión (Bisetriz en un triángulo): El rayo que isea (divide en dos parte iguales) a un ángulo del triángulo reie el nomre de isetriz Las tres isetries de un triángulo onurren en un únio punto llamado inentro del triángulo Corolario: El inentro es el entro de la irunferenia que equidista de los tres lados del triángulo, ésta irunferenia reie el nomre de irunferenia insrita al triángulo La altura, mediana, mediatriz y isetriz sore el lado desigual (ase) de un triángulo isóseles oiniden sore ese lado Corolario: Todas las retas notales trazadas sore un mismo lado en un triángulo equilátero oiniden sore ese lado Página de 8

3 Definiión (Ángulos suplementarios): Dos o más ángulos son orrespondientes si al sumar sus medidas dan omo resultado 180º o π radianes Definiión (Ángulos omplementarios): Dos o más ángulos son omplementarios si al sumar sus medidas dan omo resultado π 90º o radianes Definiión (Ángulos opuestos por el vértie): Dos ángulos son opuestos por el vértie si omparten el mismo vértie y uno está opuesto al otro, además todos los ángulos de éste tipo son ongruentes Si l1 l Ángulos entre paralelas: entones se umple que: Ángulos orrespondientes: mα m ε, mδ m θ mβ m ζ, mγ m η Ángulos alternos internos: mγ m ε, mδ m ζ Ángulos alternos externos: mα m η, mβ m θ Teorema de Thales (semejanza ásia): Si l l l a 1 3 entones se umple que: d Página 3 de 8

4 Polígonos Regulares y Convexos: Notas: n india el número de lados del polígono r representa la medida del radio del írulo r es igual a la longitud del radio del polígono p a representa la medida de la apotema del polígono l es la longitud del lado del polígono 360º m entral, n m 180º i( n ) interno, m internos 180º ( n ) ( n ) # diagonales desde un vértie 3, n i, ( 3) n n # totaldiagonales i La medida del lado de un hexágono regular es igual a su radio Polígonos insritos en una irunferenia: Por T. Pitágoras: r a + l Polígonos irunsritos en una irunferenia: Por T. Pitágoras: l rp r + lgunas fórmulas de áreas Áreas del Triángulo: h i P a + + Herón s ( s a)( s )( s ) l equilátero sinα 3 4 a+ + s Página 4 de 8

5 Áreas de uadriláteros: Trapeio ( B+ ) ih paralelogramo h i P a P.Regular i Sore el írulo y la irunferenia Teoremas sore aros y ángulos: -Ángulo entral: mα m B -Ángulo exterior: mb mcd m α -Ángulo insrito: mb mb + mcd m α -Ángulo interior m α -Ángulo irunsrito: mcb mcd m α -Ángulo semi-insrito: m TB mb Página 5 de 8

Teoremas sore radios y uerdas: - Un radio es perpendiular a una uerda si y solo si isea a la uerda - Una reta que posee un punto sore la irunferenia (punto de tangenia) es

uerdas de una irunferenia son paralelas entones son ongruentes Regiones irulares: Notas: r y R representan las longitudes de radios de irunferenias y nº india la media de un

180º Estereometría (Geometría Eulidiana en 3 ) a. Poliedros: Notas: : área de la ase, h : altura de la pirámide V prisma ih lateral retángulo # aras Cuo: 1.

6 Teoremas sore radios y uerdas: - Un radio es perpendiular a una uerda si y solo si isea a la uerda - Una reta que posee un punto sore la irunferenia (punto de tangenia) es tangente a ella si y solo si el radio es perpendiular a ese punto - Cuerdas equidistantes del entro son ongruentes - Cuerdas ongruentes sutienden aros ongruentes - Si dos uerdas de una irunferenia son paralelas entones son ongruentes Regiones irulares: Notas: r y R representan las longitudes de radios de irunferenias y nº india la media de un ángulo en grados Área del írulo: π r (O, r) Setor irular: π rnº Set (O, r) 360º Segmento irular: π rnº Set(O, r) 360º Cirunferenia: C π r Ο (O, r) Longitud de aro: π rnº l B 180º Estereometría (Geometría Eulidiana en 3 ) a. Poliedros: Notas: : área de la ase, h : altura de la pirámide V prisma ih lateral retángulo # aras Cuo: 1. Prismas retos: i asal Área de la ase d : Diagonal del uadrado de la ase Por triángulos espeiales se tiene que: d a D : Diagonal del uo Por teorema de Pitágoras se tiene que: D a 3 Página 6 de 8

Paralelepípedo: d : Diagonal de la ase Por teorema de Pitágoras se tiene que: d a + l D : Diagonal del uo Por teorema de Pitágoras se tiene que: D a + l + h Prismas retos de ase regular: Pa asal i V

7 Paralelepípedo: d : Diagonal de la ase Por teorema de Pitágoras se tiene que: d a + l D : Diagonal del uo Por teorema de Pitágoras se tiene que: D a + l + h Prismas retos de ase regular: Pa asal i V i h prisma asal i # lateral retángulo aras. Pirámides retas de ase regular: 1 V ih pirámide 3 # lateral triángulo aras i asal Área de la ase Pirámides retas de ase regular: Simología: a : rista de la pirámide a : potema de la ase de la pirámide a : potema de la pirámide, i.e. altura del p triángulo isóseles que forma la ara lateral h : ltura de la pirámide p r : Radio de la ase de la pirámide l : Longitud del lado de la ase Note que: p p + a h a Página 7 de 8

8 Note que: p a h + r. Cuerpos redondos: Cilindro irular reto: Prisma reto de ase irular, engendrada al girar un retángulo sore uno de sus lados. Vprisma asal h g π r h lateral π rh π r Total π rh + π r Cono irular reto: Pirámide reta de ase irular, engendrada al girar un triángulo retángulo sore uno de sus atetos. V 1 3 π r pirámide π r h asal g h + r lateral Total π rg π rg + π r Esfera: Engendrado al girar sore un diámetro a media irunferenia V esfera π r Total 4π r Página 8 de 8

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