I.E.S. Ciudad de Arjona Departamento de Matemáticas. 1º BAC

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1 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC UNIDAD : TRIGONOMETRÍA. MEDIDAS DE ÁNGULOS. GRADOS: Un grdo sexgesiml es el ángulo orrespondiente un de ls 60 prtes en que se divide el ángulo entrl de l irunfereni.(º) RADIÁN: Un rdián es l medid del ángulo entrl de l irunfereni uo ro oinide, en longitud, on el rdio. (rd) Como l longitud de l irunfereni es πr el ángulo de l irunfereni omplet es π rd, que orresponderí on 60º. Grdos 60º 80º 90º 60º º 0º 0º Rdines π π π/ π/ π/ π/6 0. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. SENO COSECANTE teto opuesto sen hipotenus COSENO ose sen SECANTE teto opuesto teto ontiguo hipotenus teto ontiguo os hipotenus TANGENTE se os COTANGENTE teto opuesto teto ontiguo Ejemplo: En el siguiente triángulo lulmos ls rzones trigonométris del ángulo : sen os os e se o ot g. USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA. Pr trjr en grdos l luldor dee estr en MODE :DEG.; pr los rdines en MODE :RAD. Si queremos lulr lgun de ls rzones trigonométris de un ángulo utilizmos ls tels sin pr seno, os pr oseno tn pr tngente. Ejemplo: sen 70º pulsmos el ángulo después sin 7 0 sin pree en l pntll Si queremos lulr el ángulo siendo lgun rzón trigonométri utilizmos lo que llmmos rzones trigonométris inverss ro seno, ro oseno ro tngente (deemos tener muho uiddo l situr el ángulo) Ejemplo: os 0. pr lulr el ángulo pulsmos el número después l tel SHIFT (invers) os (on ests dos últims tels relizmos el ro oseno o omo pree en l luldor os 0 SHIFT os pree en l pntll 7.878(º).. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 0º, º Y 60º. Ángulos de 0º 60º: Cogemos un triángulo equilátero de ldo x, trzmos l ltur. Si nos quedmos on el triángulo pequeño nos quedrá un triángulo retángulo on los ángulos de 0º 60º. Aplimos el Teorem de Pitágors pr hllr el teto que nos flt : ( x) x ; x x

2 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC x x x sen 0 º os 0º 0º x x x x x x s en 60º os 60 º 60º x x x Ángulo de º: Cogemos un triángulo retángulo isóseles de ldo x. Clulmos el h x + x h x x x x x sen º os º º x x x vlor de l hipotenus 0º 0º º 60º 90º sen 0 os 0 0 No existe. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA: Es un irunfereni de rdio unidd entrd en el origen. Pr medir ángulo tommos omo refereni de medid de prtid el semieje positivo de siss. El ángulo es positivo si medimos en sentido ontrrio de ls gujs del reloj, es negtivo si se mide en el mismo sentido. Nos fijmos que ulquier ángulo qued definido en l irunfereni goniométri por un punto, que podemos diferenir los utro udrnte trvés de l posiión de ese punto. I ángulos entre 0º 90º; II ángulos entre 90º 80º; III ángulos entre 80º 70º; IV ángulos entre 70º 60º. Rzones trigonométris de un ángulo del primer udrnte: (ángulos entre 0º 90º) Tenemos el punto A(x,) que nos d el ángulo, lulndo ls rzones trigonométris: sen que es positiv (+) x os x que es positiv (+) z z x que es positiv (+) (lo lulmos por semejnz) Rzones trigonométris de un ángulo del segundo udrnte: (ángulos entre 90º 80º) Tenemos el punto A(x,) que nos d el ángulo, lulndo ls rzones trigonométris: sen que es positiv (+) x os x que es negtiv () z z x que es negtiv () (lo lulmos por semejnz)

3 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC Rzones trigonométris de un ángulo del terer udrnte: (ángulos entre 80º 70º) Tenemos el punto A(x,) que nos d el ángulo, lulndo ls rzones trigonométris: sen que es negtiv () x os x que es negtiv () z z x que es positiv (+) (lo lulmos por semejnz) Rzones trigonométris de un ángulo del urto udrnte: (ángulos entre 70º 60º) Tenemos el punto A(x,) que nos d el ángulo, lulndo ls rzones trigonométris: sen que es negtiv () x os x que es positiv (+) z z x que es negtiv () (lo lulmos por semejnz) 6. RELACIONES ENTRE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS. ENTRE SEGUNDO Y PRIMER CUADRANTE (ángulos suplementrios (sumn 80º)) ( 80 ) sen sen os ( 80 ) os ( 80 ) ENTRE TERCER Y PRIMER CUADRANTE (ángulos difieren (rest 80º)) sen os ( 80 + ) sen ( 80 + ) os ( 80 + ) ENTRE CUARTO Y PRIMER CUADRANTE (ángulos que sumn 60º o ángulos negtivos) sen ( ) sen ( 60 ) sen ( ) os ( 60 ) os os ( ) ( 60 )

4 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC 7. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS A. FÓRMULAS FUNDAMENTALES Ests fórmuls ls utilizremos pr undo nos den un rzón trigonométri lulr ls demás rzones. sen () () sen + os () + os os L fórmul () sle de l definiión de seno, oseno tngente su omprión (o trvés de l equivleni de triángulos Teorem de Thles). L fórmul () sle de plir el Teorem de Pitágors los triángulos retángulos (o l ondiión de que el punto esté en l irunfereni). L formul () sle prtir de l () dividiendo por os. B. SUMA DE DOS ÁNGULOS sen ( + ) sen os + os os ( + ) ( + ) os os sen sen + D. ÁNGULO DOBLE sen ( ) sen os os ( ) ( ) os sen sen C. DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen ( ) sen os os sen os ( ) ( ) + E. ÁNGULO MITAD sen ± os ± os os + sen sen os + os os ± + os F. SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS G. SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS A + B A B A + B A B sen A + sen B sen os os A + os B os os A + B A B A + B A B sen A sen B os sen os A os B sen sen Ejemplos: sen + 6 os º os(º 0º) os º os0º + senº sen0º sen ( 0º ) sen( 60º) sen60º os60 ( 7 º ) sen(0º + º) sen0º osº + os0º senº ( ) 96 0º os0º senº sen ± º + º 7ºº 90º 60º sen 7º sen º os sen os sen os sen 0 7º + º 7ºº 90º 60º 6 os 7º + os º os os os os os os 0 sen + sen sen os (Ests fórmuls se utilizn muho en integrles) os + os os os

5 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC 8. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Definiión: Son quells en ls que l inógnit pree on ls rzones trigonométris. Ides fundmentles pr resolverls: Si h rzones trigonométris de distintos ángulos (,, /, ), h que esriirls en funión de un solo ángulo (medinte ls fórmuls). Si preen vris rzones trigonométris es onveniente expresrls en funión de un, medinte ls fórmuls fundmentles. Ejemplos: ) sen x sen x 0 (ponemos en funión de x) sen x os x sen x 0 (Smos ftor omún) 0 + kπ sen x 0 π + kπ sen x( os x ) 0 π 60º + kπ + kπ os x ; os x π 00 + kπ + kπ ) os x sen x 0 (ponemos en funión de x) os x sen x sen x 0 (ponemos 0 + kπ sen x 0 π + kπ 9sen x os x 7 (ponemos en funión de oseno) 9( os x ) os x 7 0 en funión de seno) / sen x sen x sen x / 0 sen x 0 ) 0 9 9os x os x 7 0 9os x os x + 0 Euión de º Grdo 80º 8 º + kπ ± ± º + 8 º + kπ os x º + kπ 8 60º 70 º + kπ d) sen x + sen x 6 0 ± + ± sen x Imposile!! Seno está entre 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Resolver un triángulo es enontrr los elementos que nos fltn (ldos ángulos). Pr resolverlo h que utilizr ls definiiones de seno, oseno tngente, el teorem de Pitágors que l sum de los ángulos es 80. Ejemplo: Resuelve el siguiente triángulo: B ) º 0 os 0º m m Ejemplo: Método de l dole oservión. Pr lulr l ltur de un montñ se he un oservión desde un punto A, desde el uál vemos l im de l mism jo un ángulo de º. Alejándonos 60 m, oservmos l im jo un ángulo de 0º. Cuánto mide l ltur de l montñ.

6 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC h h x h x x h h + 60 h h 0 h h + 60 x + 60 x h 8 96m 0. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. A. TEOREMA DE LOS SENOS En ulquier triángulo se verifi: sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ Demostrión: En el triángulo onsidermos ls lturs de los ldos ˆ h sen A h sen Aˆ ˆ sen A sen Ĉ ˆ h sen Aˆ sen Cˆ sen C h sen Ĉ H tres lturs igulddes. Se utiliz undo semos dos ángulos un ldo (nos d otro ldo), o undo nos d dos ldos un ángulo (nos d otro ángulo!ojo!!, puede tener dos soluiones). Ejemplo: ˆ B º0 ( Sí) senb sena senb sen Aˆ sen Bˆ 8 B º0 ( No) Ojo tenemos que ompror si lgun soluión no es iert: pr ello nos fijmos que mor ángulo le dee orresponder mor ldo, que l sum de los ángulos no se mor que 80º. B. TEOREMA DE LOS COSENOS + osâ + + osbˆ osĉ Demostrión: AH osa HB AH osa h + HB h + + os A osa osa osa + h + AH h + os A Ejemplo: ) Ddo el triángulo ABC., donde Â6º, 0m m. Determin Bˆ, Ĉ el ldo. ˆ ˆ 6 B 70 º senb sena senb sen Aˆ sen Bˆ 0 Bˆ 09 87º 0 Si Bˆ 70 º Cˆ 80 A B 7 87 sen m sen 6 0 Si Bˆ 09 87º Cˆ 80 A B º sen 9 m sen 6 Tiene dos soluiones: A6º B 70 º C7 87º 0m 6m 6 m A6º B 09 87º C º 0m 6m 9 m

7 I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC ) + osaˆ m os60 º C. ÁREA DE UN TRIÁNGULO (normlmente se lul rzonndo) S sen  sen Bˆ sen Ĉ Demostrión: S h Bse por ltur prtido por. Utilizndo l definiión de seno en el triángulo ACH. h sen  h sen  S h sen  (hiendo lo mismo pr los demás ángulos slen ls otrs dos fórmuls). Ejemplo: Si Â00º, m 7m ÁreS sen  7 sen00º 6 m. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Grdos Rdines 0 π 6 π π π π π π 6 π 7π 6 π π π π 6 7π π 6 π Seno 0 0 Coseno 0 Tngente 0 Funión SENO Funión TANGENTE Funión COSENO