4 Trigonometría UNIDAD

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1 UNIDAD 4 Trigonometrí ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. Ángulos Sistem sexgesiml Rdines Rzones trigonométris de un ángulo gudo Definiión Identiddes trigonométris Rzones trigonométris de un ángulo ulquier L irunfereni goniométri Relión entre ángulos de distintos udrntes Triángulos Teorem de los senos Teorem del oseno Resoluión de triángulos Reliones trigonométris Seno y oseno de un sum Euiones trigonométris En ursos nteriores y se hn estudido lgunos oneptos de trigonometrí. En este unidd vmos repsr estos oneptos, y mplir on lgunos nuevos. En prtiulr, estudiremos nuevs herrmients que nos permitirán resolver problems reliondos on triángulos ulesquier, y no sólo on triángulos retángulos. Tmbién veremos lguns reliones trigonométris nuevs on ls que podremos resolver lguns euiones trigonométris, es deir, euiones en ls que preen involurds ls rzones trigonométris. 76

2 1. Ángulos L trigonometrí trt sobre ls reliones entre los ángulos ylos ldos de los triángulos. El onepto fundmentl sobre el que se trbj es el de ángulo. Dos semirrets on un origen omún dibujds en un plno, dividen éste en dos regiones. Cd un de ests regiones es un ángulo (figur 4.1). ángulo ángulo Figur 4.1: Ángulos En un ángulo no import l longitud de ls semirrets que lo omponen, sino l bertur entre ells. Pr medir est bertur, se utilizn diferentes sistems de medid, los más importntes son: el sistem sexgesiml y los rdines. Además de l medid, que estudiremos ontinuión, onsiderremos que los ángulos tienen un orientión de uerdo on el siguiente onvenio, indido demás en l figur 4.2: Si el ángulo está medido en el sentido ontrrio l giro de ls gujs del reloj, diremos que es un ángulo positivo. Si el ángulo está medido en el sentido de giro de ls gujs del reloj, diremos que es un ángulo negtivo. negtivo positivo Figur 4.2: Ángulos orientdos 1.1. Sistem sexgesiml Un ángulo reto es el menor de los ángulos formdos por dos rets perpendiulres, omo se señl en l figur 4.3. Si dividimos el ángulo reto en 90 ángulos igules, d uno de estos ángulos es un grdo (sexgesiml), y lo indimos de l form siguiente: 1 reto = 90 0 Si dividimos un grdo en 60 prtes igules, d un de ests prtes es un minuto (sexgesiml.) Los minutos los indimos on un om en l prte superior dereh 77

3 UNIDAD 4 Figur 4.3: Ángulo reto del número, 1 0 = 60 Por último, si un minuto se divide en 60 prtes igules, d un de ells es un segundo (sexgesiml.) Los segundos los indimos on un om doble, 1 = 60 Así, los ángulos medidos en el sistem sexgesiml se expresn de l form , que signifi que el ángulo mide 34 grdos, 52 minutos y 32 segundos. Hbitulmente situremos los ángulos en unos ejes oordendos, omo en l figur 4.4. Si empezmos medir los ángulos desde l prte de l dereh del eje horizontl (ángulo de 0 0,) en sentido positivo, los ángulos de 90 0, 180 0, y son los que se hn indido en l figur. 180 o 270 o 90 o 0 o 360 o 180 o Segundo udrnte Terer udrnte 270 o 90 o Primer udrnte 0 o 360 o Curto udrnte Figur 4.4: Ángulos en los ejes Figur 4.5: Cudrntes Los ejes oordendos dividen l plno en utro regiones, que se denominn udrntes, ordendos según l figur 4.5. ACTIVIDADES 1. Indir en qué udrnte se enuentr d uno de los ángulos siguientes: ) 30 0 b) ) 35 0 d) e) (Indiión: en el prtdo e), en primer lugr hy que reduir el ángulo uno menor que 360 0, esto se onsigue dividiendo entre 360 y quedándose on el resto de l división.) 78

4 1.2. Rdines Además del grdo sexgesiml, en trigonometrí se us on freueni otr medid de ángulos, el rdián. Dibujemos un irunfereni de rdio R, omo en l figur 4.6. El ángulo entrl AOB mide 1 rdián, si l longitud del ro de l irunfereni que v desde el punto A l punto B es igul l rdio de l irunfereni R. Podemos lulr l ntidd de rdines que hy en un vuelt omplet de l irunfereni, sin más que dividir su longitud entre l longitud del rdio. L longitud del rdio de l irunfereni es R B 1 rd R L = 2πR O R A Entones, un vuelt omplet tiene 1 vuelt = longitud de l irunfereni rdio = 2πR R = 2π rd Figur 4.6: Rdián De quí se dedue que el ángulo de tiene 2π rd, y tmbién que el ángulo de es de π rd. Ls equivlenis entre los ángulos que delimitn los udrntes en grdos y rdines, vienen dds en l siguiente tbl: grdos π 3π rdines 0 π 2π 2 2 Conviene reordr ests equivlenis. Pr onvertir ulquier otro ángulo, bien de grdos rdines, bien de rdines grdos, se puede utilizr l siguiente proporión rdines π = grdos 180 Por ejemplo, queremos onvertir el ángulo de = rdines. Utilizmos l proporión nterior, π = de donde, = 280π 180 = 14π 9 rd Not: Pr referirse los ángulos, se utilizn on muh freueni ls primers letrs del lfbeto griego:, lf"; β, bet"; γ, gmm"; et. rd grdos. Utili- Supongmos hor que queremos onvertir el ángulo β = 3π 4 3π 4 zndo l mism proporión, π = β 180, obtenemos, 3π 4 β = 180 π = =

5 UNIDAD 4 ACTIVIDADES 2. Convertir los siguientes ángulos en grdos sexgesimles rdines: ) 45 0 b) ) 30 0 d) 60 0 e) Convertir los siguientes ángulos en rdines grdos sexgesimles: ) 1 rd b) π 5 rd ) 5π 360 rd d) 10π rd e) 3 π rd Reuerd Un ángulo es d un de ls regiones en ls que dividen l plno dos semirrets on un origen omún. Un ángulo está medido en sentido positivo, si lo está en el sentido ontrrio l del giro de ls gujs del reloj. Y en sentido negtivo, si es en el sentido de giro de ls gujs del reloj. El sistem sexgesiml es un sistem de medid de ángulos en el que l unidd es el grdo sexgesiml. Un grdo es el resultdo de prtir un ángulo reto en 90 prtes igules, de quí, 1 reto = = 60 (minutos) 1 = 60 (segundos) Un rdián es l medid de un ángulo entrl en un irunfereni, de tl form que el ro que br el ángulo teng l mism longitud que el rdio de l irunfereni. Pr onvertir grdos rdines, o rdines grdos, se utiliz l proporión rdines π = grdos Rzonestrigonométrisdeun ángulo gudo Un ángulo gudo es un ángulo entre 0 0 y 90 0, es deir, un ángulo del primer udrnte. Pr definir ls rzones trigonométris de un ángulo gudo, utilizremos un triángulo retángulo Definiión Considermos un triángulo retángulo omo el de l figur 4.7. En el que onsidermos el ángulo gudo. L longitud de l hipotenus es, l longitud del teto opuesto l ángulo es b y l longitud del teto dyente l ángulo es. 80

6 Se llmn rzones trigonométris del ángulo ls rzones (proporiones) entre los ldos del triángulo, y son seno (sen), oseno (os), tngente (tg), osente (ose), sente (se) y otngente (otg), que se definen omo se indi ontinuión: b Figur 4.7: Triángulo retángulo sen = teto opuesto hipotenus = b ose = hipotenus teto opuesto = b os = teto dyente hipotenus = se = hipotenus teto dyente = tg = teto opuesto teto dyente = b otg = teto dyente teto opuesto = b (Ls más importntes son el seno, oseno y tngente). Por ejemplo, en el triángulo de l figur 4.8, ls rzones trigonométris del ángulo son ls siguientes: 5 m 3 m 4 m Figur 4.8: Triángulo de ldos 3, 4 y 5 m sen = teto opuesto hipotenus = 3 5 ose = hipotenus teto opuesto = 5 3 os = teto dyente hipotenus = 4 5 se = hipotenus teto dyente = 5 4 tg = teto opuesto teto dyente = 3 4 otg = teto dyente teto opuesto =

7 UNIDAD 4 En l figur 4.9 tenemos dos triángulos retángulos que omprten el ángulo. Estos dos triángulos son semejntes, es deir, de sus tres ángulos son igules y, por tnto, omo sbemos, sus ldos son proporionles, es deir, b = b = b = b ' Figur 4.9: Triángulos semejntes ' b b' A primer vist, d l impresión de que el vlor de ls rzones trigonométris depende del tmño del triángulo. Sin embrgo, no es sí, omo podemos preir en l figur 4.9. Por tnto, ls rzones trigonométris se pueden lulr utilizndo ls medids del triángulo grnde o del triángulo pequeño, es deir, lo únio que import es el ángulo Debido que ls rzones trigonométris son independientes del triángulo on respeto del ul se lulen, sus vlores están tbuldos, y se pueden lulr medinte un luldor ientífi. Pr her álulos medinte l luldor, en primer lugr hy que segurrse de que l luldor esté puest en grdos o en rdines, dependiendo de ómo quermos her los álulos. En l pntll preerá l indiión DEG, si está en grdos sexgesimles; o RAD, si está puest en rdines. (El mbio de uno otro sistem dependerá del tipo de luldor, unque lo más hbitul es que se hg utilizndo l tel MODE y lgún número, según un leyend que suele preer justo debjo de l pntll.) Ls tels que sirven pr lulr seno, oseno y tngente; son sin, os y tn, respetivmente. Por ejemplo, pr lulr el vlor de sen(35 0 ), on l luldor en el modo DEG, pulsmos 35 sin y el resultdo que se obtiene (dependiendo del número de deimles que dmit l luldor) es sen(35 0 ) = Conoido el vlor de un rzón trigonométri, tmbién es posible lulr medinte l luldor, el vlor del ángulo. Por ejemplo, si os = 0 24, pr lulr el vlor del ángulo, utilizmos l funión de l luldor os 1. Est es l funión invers del oseno y será estudid on más detlle más delnte, en l unidd orrespondiente funiones. Pr utilizrl, pulsmos 0 24 INV os 1 os el resultdo que obtenemos, se puede onvertir grdos, minutos, segundos, medinte l seueni INV 0, y se obtiene proximdmente =

8 ACTIVIDADES 4. En el triángulo retángulo de l figur siguiente, = Clulr el vlor de y. 3 m 5. En el triángulo retángulo de l figur siguiente, β = Clulr el vlor de b y. 10 m β b 2.2. Identiddes trigonométris Ls rzones trigonométris están relionds entre sí medinte lguns fórmuls que vmos estudir ontinuión. Volvemos onsiderr el triángulo retángulo sobre el que hemos definido ls rzones trigonométris, que representmos de nuevo en l figur Figur 4.10: Triángulo retángulo b Si dividimos sen entre os, y simplifimos sen os = tngente es igul l seno entre el oseno, tg = sen os b = b Result evidente omprobr tmbién ls siguientes reliones: = tg, es deir, l ose = 1 sen se = 1 os otg = 1 tg Vmos obtener hor otr relión importnte, utilizndo el teorem de Pitágors. El teorem de Pitágors firm que, en un triángulo retángulo, l sum de los udrdos de los tetos es igul l udrdo de l hipotenus. En nuestro triángulo, esto se trdue en l siguiente expresión: b = 2 2 b = 2 Si dividimos est expresión entre 2, obtenemos ( b ) 2 ( ) 2 + = 1 83

9 UNIDAD 4 Ahor bien, omo sen = b y os =, l expresión nterior se puede esribir omo sen 2 + os 2 = 1 Est identidd reibe el nombre de relión fundmentl de l trigonometrí, y relion el vlor del seno y el oseno de un mismo ángulo. Vemos un ejemplo de utilizión de l relión fundmentl. Por ejemplo, sbiendo que sen(30 0 ) = 1, vmos lulr su oseno y su tngente. 2 En primer lugr, sustituimos en l relión fundmentl, despejmos os 2 (30 0 ), Entones, ( ) os 2 (30 0 ) = 1 2 os 2 (30 0 ) = = 3 4 os(30 0 ) = = 2 (En prinipio, l sr l ríz udrd, deberímos onsiderr l posibilidd de que os(30 0 ) fuese positivo o negtivo, pero tl omo hemos definido ls rzones trigonométris, omo friones entre medids de ldos de un triángulo, debemos tomr el signo positivo. No obstnte, pr ángulos no gudos esto puede no ser sí, omo veremos después.) Pr lulr hor el vlor de l tngente, plimos l fórmul tg = sen os, tg(30 0 ) = sen(300 ) os(30 0 ) = = 1 3 = 3 3 A prtir de l relión fundmentl, se pueden obtener fáilmente otrs reliones entre ls rzones trigonométris. Si dividimos todos los términos de l relión fundmentl entre os 2, Simplifindo, obtenemos sen 2 os 2 + os2 os 2 = 1 os 2 tg = 1 os 2 Si dividimos l relión fundmentl entre sen 2 y simplifimos, obtenemos l siguiente fórmul de menos utilidd que ls nteriores: 1 + otg 2 = 1 sen 2 84

10 ACTIVIDADES 6. Sbiendo que os(60 0 ) = 1 2, lulr el seno y l tngente del ángulo de Sbiendo que tg(45 0 ) = 1, lulr el seno y el oseno del ángulo de (Indiión: utilizr l relión tg = 1 os 2 pr lulr el vlor del oseno). Reuerd Rzones trigonométris de un ángulo gudo: b sen = teto opuesto hipotenus = b ose = hipotenus teto opuesto = b os = teto dyente hipotenus = se = hipotenus teto dyente = tg = teto opuesto teto dyente = b Reliones entre ls rzones trigonométris: tg = sen os otg = teto dyente teto opuesto = b ose = 1 sen se = 1 os otg = 1 tg Relión fundmentl de l trigonometrí: sen 2 + os 2 = 1 Reliones que se obtienen prtir de l relión fundmentl: tg = 1 os otg 2 = 1 sen 2 85

11 UNIDAD 4 3. Rzonestrigonométrisdeun ángulo ulquier 3.1. L irunfereni goniométri Ahor vmos extender l definiión de ls rzones trigonométris que y onoemos pr un ángulo gudo un ángulo ulquier. Pr ello, situmos el triángulo retángulo que usábmos ntes dentro de un irunfereni entrd en el origen de oordends, omo el l figur Ddo que ls rzones trigonométris no dependín de lo grnde o lo pequeño que fuese el triángulo, tmpoo dependerán de lo grnde o pequeñ que se nuestr irunfereni. Por est rzón, elegimos un rdio on el que result muy ómodo her operiones, rdio = 1. Lo que hor es el rdio, ntes er l hipotenus, de mner que d vez que hy que dividir entre ést, no hbrá nd que her, y que el resultdo será el de dividir por 1. A est irunfereni, l irunfereni de rdio 1 entrd en el origen, que nos servirá pr medir ls rzones trigonométris, se le llm irunfereni goniométri. Y P(x,y) 1 x y X Figur 4.11: Cirunfereni goniométri Ahor el ángulo es un ángulo entrl de l irunfereni. L hipotenus del triángulo retángulo de l figur, que hor es un rdio de l irunfereni, ort ést en el punto P (x, y). Entones, ls rzones trigonométris del ángulo se definen omo sen = y os = x tg = y x (Cosente, sente y otngente se pueden lulr utilizndo sus reliones on ls nteriores.) Est ide nos permite dr sentido ls rzones trigonométris de un ángulo de un udrnte ulquier. Por ejemplo, si el ángulo se enuentr en el segundo udrnte, su seno y oseno son los de l figur Es deir, su seno es l ordend y del punto P y el oseno, l bsis x. Como el punto P está en el segundo udrnte, el seno será positivo y el oseno será negtivo. Con dibujos nálogos, se puede omprobr que el signo de ls rzones trigonométris es el indido en l siguiente tbl (se reomiend no memorizr l tbl, 86

12 Y P(x,y) y=sen x=os X Figur 4.12: Ángulo del segundo udrnte undo se preiso verigur un signo se puede her el dibujo orrespondiente): Signo de ls rzones trigonométris: seno oseno tngente 1 er udrnte o udrnte + 3 er udrnte + 4 o udrnte + ACTIVIDADES 8. Sbiendo que os = 1 y que se enuentr en el terer udrnte, lulr el 2 resto de ls rzones trigonométris. 9. Sbiendo que sen = 1 3 y que 3π 2 trigonométris. < < 2π, lulr el resto de ls rzones A prtir de l representión de ls rzones trigonométris en l irunfereni goniométri se puede deduir un propiedd importnte del seno y del oseno, sber, que sus vlores siempre están omprendidos entre 1 y 1. Esto es debido que tnto ls ordends y ls bsiss del punto P (x, y) que v reorriendo l irunfereni siempre osiln entre estos dos vlores, por ser 1 el rdio de l irunfereni. Por tnto, se verifi, pr ulquier ángulo, 1 sen 1 1 os 1 Los vlores de ls distints rzones trigonométris en los ángulos de 0, 90, 180, 270 y 360 grdos se indin en l tbl siguiente, que tmbién se puede deduir prtir de l irunfereni goniométri: 87

13 UNIDAD sen os tg 0 / 0 / 0 (Reordemos que no se puede dividir entre 0, est es l rzón por l que l tngente de 90 0 y270 0 noexiste, /) Reliónentreángulosdedistintos udrntes Ls rzones trigonométris de ulquier ángulo siempre se pueden relionr on ls rzones trigonométris de un ángulo del primer udrnte. Por ejemplo, el ángulo de se enuentr en el segundo udrnte (figur 4.13). Hst le fltn 45 0, que se puede representr en el primer udrnte. Y 135 o 45 o 45 o X Figur 4.13: Ángulos suplementrios En l figur se puede observr que el vlor del seno de los dos ángulos oinide y el vlor del oseno es igul, unque de signo distinto. Por tnto, sen(135 0 ) = sen(45 0 ) os(135 0 ) = os(45 0 ) tg(135 0 ) = tg(45 0 ) (Dos ángulos, que omo y 45 0, sumen 180 0, se llmn ángulos suplementrios). Si estmos en el terer undrnte, por ejemplo, el ángulo de (figur 4.14), prolongndo el rdio, hst el primer udrnte; obtenemos el ángulo de 20 0, que es preismente l difereni entre y Entones, prtir de l figur, se puede deduir que tnto seno, omo oseno, tienen los mismos vlores unque signos distintos. Por tnto, sen(200 0 ) = sen(20 0 ) os(200 0 ) = os(20 0 ) tg(200 0 ) = tg(20 0 ) Si el ángulo está en el urto udrnte, por ejemplo el ángulo de 300 0, omo en l figur 4.15, prolongndo el seno del ángulo de hst el primer udrnte, tenemos el ángulo de

14 Y o o X 200 o Figur 4.14: Ángulo del terer y del primer udrnte Y 60 o 60 o X 300 o Figur 4.15: Ángulo del urto y del primer udrnte En l figur preimos que el seno de los dos ángulos es igul pero de signo ontrrio, y el oseno es extmente el mismo. Entones, sen(300 0 ) = sen(60 0 ) os(300 0 ) = os(60 0 ) tg(300 0 ) = tg(60 0 ) Por último, tmbién entre dos ángulos del primer udrnte se puede enontrr un relión, que y h preido ntes. Se trt de dos ángulos que sumen 90 0, que se llmn ángulos omplementrios. Por ejemplo, en l figur 4.16 hemos dibujdo los ángulos de 30 0 y de 60 0, que son omplementrios. Y 60 o o 30 X Figur 4.16: Ángulos omplementrios En l figur se observ que los vlores del seno y del oseno del ángulo de 30 0 oiniden on los vlores del oseno y del seno, respetivmente, del ángulo de

15 UNIDAD 4 Entones, sen(30 0 ) = os(60 0 ) os(30 0 ) = sen(60 0 ) tg(30 0 ) = otg(60 0 ) Tmpoo es preiso memorizr ests reliones, d vez que se neesiten se pueden representr y deduir fáilmente. Si el ángulo es superior 360 0, en primer lugr, hbrá que dividir entre y quedrse on el resto, después se puede relionr on un ángulo del primer udrnte, utilizndo lguno de los gráfios nteriores. ACTIVIDADES 10. Suponiendo que es un ángulo del primer udrnte, esribir en funión de lgun rzón trigonométri del ángulo ls rzones que se indin ontinuión: ) sen(π ) b) os( + π) ) tg( ) d) sen(2π ) Reuerd Ls rzones trigonométris de un ángulo ulquier se pueden definir utilizndo l irunfereni goniométri, entrd en el origen, de rdio 1, de l form siguiente: Y P(x,y) 1 x y X sen = y os = x tg = y x A prtir de est definiión se pueden deduir los diferentes signos de ls rzones trigonométris de un ángulo, dependiendo del udrnte en el que se enuentre. Tmbién, se dedue que 1 sen 1 1 os 1 Ls rzones trigonométris de un ángulo ulquier siempre se pueden reduir ls rzones trigonométris de un ángulo del primer udrnte. 4. Triángulos Estudiremos en este prtdo dos fórmuls que permiten resolver un triángulo ulquier. Es deir, onoidos iertos elementos del triángulo (ldos o ángulos), 90

16 lulr los restntes. Ests fórmuls son el teorem de los senos y el teorem del oseno. Ls fórmuls estrán referids los ldos y los ángulos de un triángulo no retángulo ulquier, nombrdos según el siguiente onvenio: los ángulos on ls letrs myúsuls A, B y C; los ángulos on ls letrs minúsuls, b y ; de mner que un ángulo y un ldo opuestos tengn l mism letr, omo en l figur C b A B Figur 4.17: Un triángulo no retángulo 4.1. Teorem de los senos Si observmos el triángulo de l figur 4.17, podemos observr un heho que slt l vist. El ángulo más pequeño, el A está enfrente del ldo más pequeño, el ; y el ángulo más grnde, el C, está enfrente del ldo más lrgo, el. Pree que hubier lgun relión diret entre l medid del ángulo y l medid del ldo. Pudier pensrse que los ángulos y los ldos del triángulo fuern estuviern en proporión diret. Sin embrgo, l relidd es que sí hy un relión, unque trvés de los vlores de los senos de los ángulos. De heho se tiene el siguiente resultdo, que se denomin teorem de los senos: En un triángulo ulquier de ángulos A, B y C, on ldos opuestos, b y, se verifi sen A = b sen B = sen C C b h A H B Figur 4.18: Teorem de los senos Pr demostrr el teorem, onsidermos el triángulo de l figur Se trt del triángulo de l figur nterior, l que hemos ñdido su ltur sobre el ldo. L ltur divide l triángulo en dos triángulos retángulos: BHC y AHC. En el triángulo BHC, se tiene que sen B = h h = sen B 91

17 UNIDAD 4 En el triángulo AHC, se tiene que sen A = h b h = b sen A Igulndo ls dos expresiones de l ltur h obtenids ntes, sen B = b sen A de donde se dedue sen A = b sen B L otr iguldd de l proporión se puede deduir de modo nálogo, onsiderndo l ltur del triángulo sobre otro de los ldos. Tmbién es posible demostrr el teorem pr el so en el que lguno de los ángulos se myor de A pesr de que result un interesnte ejeriio el intentr omprender l demostrión del teorem, pr nosotros, lo importnte hor es prender utilizrlo. Por ejemplo, ddo el triángulo de l figur 4.19, vmos lulr l longitud de los ldos y. C b=4 m A 55 o 30 o Figur 4.19: Clulr y Vmos utilizr el teorem de los senos, en prtiulr, empezremos por utilizr l prte sen A = b sen B Sustituimos en l expresión nterior los dtos del problem y despejmos el vlor de, sen 55 0 = b 4 sen 550 = sen 300 sen 30 0 = 6 55 m Pr lulr el vlor de podemos utilizr sen A = sen C ; o bien b sen B = B sen C Lo hemos on l primer expresión, pr lo ul neesitmos sber uánto mide el ángulo C, pero esto es senillo, y que sbemos que l sum de los ángulos interiores de un triángulo ulquier siempre es Por tnto, C = = 95 0 sen 55 0 = sen 95 0 = 6 55 sen 95 0 sen 55 0 = 7 97 m ACTIVIDADES 11. Clulr el vlor del ángulo B y del ldo de un triángulo en el que = 9 m, b = 6 m y A =

18 4.2. Teorem del oseno En un triángulo retángulo en el que l hipotenus es y los tetos son b y, se verifi el teorem de Pitágors 2 = b Sin embrgo, si el triángulo no es retángulo esto no tiene por qué umplirse. Pero se verifi un generlizión del teorem de Pitágors que se denomin teorem del oseno: En un triángulo ulquier de ángulos A, B y C, on ldos opuestos, b y, se verifi 2 = b b os A Ddo que l signión de letrs los ldos del triángulo es ompletmente rbitrri, tmbién se verifin ls dos fórmuls siguientes, que son equivlentes l nterior: b 2 = os B 2 = 2 + b 2 2 b os C El teorem del oseno tmbién se puede demostrr utilizndo rgumentos geométrios, entre ellos, el teorem de Pitágors. Sin embrgo, en este so vmos ir diretmente ver ómo se puede plir l fórmul. Por ejemplo, prtir de los dtos del triángulo de l figur 4.20, queremos lulr l longitud del ldo. C b=6 m A o 60 =10 m Figur 4.20: Clulr Utilizmos el teorem del oseno, on l fórmul que hemos visto en primer lugr, l que empiez por 2, por rzones evidentes. Sustituimos entones en l fórmul 2 = b b os A B 2 = os 60 0 = 76 Entones, = 76 = 8 72 m Es importnte destr que este ejemplo no se podrí hber heho utilizndo el teorem de los senos, y que pr ello hubier sido preiso que tuviésemos l menos el vlor de un ángulo y el de su ldo opuesto. 93

19 UNIDAD Resoluión de triángulos Resolver un triángulo onsiste en lulr el vlor de todos sus elementos: ángulos y ldos. Pr ello bmos de estudir dos herrmients: teorem de los senos y teorem del oseno. Cuándo hy que utilizr uno u otro? El teorem de los senos se puede utilizr siempre que entre los dtos se enuentren l menos un ángulo y el ldo opuesto, demás de lgún otro elemento del triángulo. El teorem del oseno se puede utilizr undo los dtos que tenemos son un ángulo y los dos ldos que lo formn. Tmbién se puede utilizr undo disponemos de ls medids de los tres ldos, unque no tengmos ningún ángulo. Vmos ver lgún ejemplo más: Tres iuddes A, B y C se enuentrn unids medinte tres rreters rets. Ls dos rreters que prten de A hi ls otrs dos iuddes formn un ángulo de L distni entre A y B es de 50 kilómetros y l distni de A C es de 30 kilómetros. Queremos lulr l distni de l iudd B l iudd C. En primer lugr representmos gráfimente los dtos del problem. C b=30 km o 120 A =50 km Figur 4.21: Tres iuddes B En l figur 4.21 vemos que l inógnit del problem es el ldo. Entones, utilizmos el teorem del oseno. Sustituimos en l expresión 2 = b b os A 2 = os = 4900 Entones, = 4900 = 70 km Si hor quisiérmos lulr el vlor de lguno de los otros dos ángulos, podrímos utilizr el teorem de los senos, porque y tenemos el vlor del ángulo A y del ldo. Otro ejemplo: Los tres ldos de un triángulo miden = 3 m, b = 6 m y = 4 m. Clulr el vlor de sus ángulos. Tmbién en este so tenemos que empezr utilizndo el teorem del oseno en ulquier de sus forms. Por ejemplo, 2 = b b os A 94

20 C b=6 m =3 m A =4 m B Figur 4.22: Clulr los ángulos Sustituimos los dtos del problem (figur 4.22) y despejmos os A, 3 2 = os A 9 = os A psndo os A l miembro izquierdo, 48 os A = 43 de donde, os A = = Utilizndo l luldor, obtenemos que ACTIVIDADES A = Clulr el vlor de los dos ángulos que fltn en el ejemplo nterior. Es deir, sbiendo que = 3 m, b = 6 m y = 4 m, y A = , lulr B y C. Reuerd Teorem de los senos: Teorem del oseno: sen A = b sen B = sen C 2 = b b os A b 2 = os B 2 = 2 + b 2 2 b os C El teorem de los senos se puede utilizr pr resolver un triángulo en el que se onozn dos ángulos y lgún ldo, o bien, dos ldos y el ángulo opuesto de uno de ellos. El teorem del oseno se puede utilizr pr resolver un triángulo en el que se onoz el vlor de un ángulo y el de los dos ldos que lo formn, o bien, los tres ldos del triángulo. 95

21 UNIDAD 4 5. Reliones trigonométris Vmosestudirenesteúltimoprtdolgunsrelionestrigonométris,demás de l relión fundmentl, y estudid ntes. Tmbién veremos ómo se pueden resolver lguns euiones en ls que preen rzones trigonométris Seno yoseno de un sum Vmosdeduirunfórmulprelsenodeunsumdedosángulos,sen(+β), en funión del seno y oseno de los ángulos y β. L deduión no es fáil, sobre todo en un primer letur, pero puede resultr un buen ejeriio, unque difíil, intentr omprenderl. A pesr de todo, pr el desrrollo posterior, no es impresindible su omprensión. P Q senβ 1 R O β os β +β S T Figur 4.23: Seno de un sum Vmos utilizr l figur En est figur hemos dibujdo un triángulo retángulo, el OP R en el que l hipotenus mide 1. De est form, el teto opuesto y el dyente del ángulo β son, respetivmente, sen β y os β. Si onsidermos el triángulo retángulo OP S, tenemos que sen( + β) = P S Pero Según el triángulo ORT, Según el triángulo P QR, P S = T Q = T R + RQ sen = T R os β os = RQ sen β T R = sen os β RQ = os sen β Entones, sen( + β) = T R + RQ = sen os β + os sen β 96

22 Con lo que, si el letor h tenido l pieni de llegr hst este punto, hbrá omprobdo que hemos obtenido l fórmul del seno de un sum: sen( + β) = sen os β + os sen β Con rgumentos similres, se puede omprobr que el oseno de un sum: os( + β) = os os β sen sen β A prtir de ests dos fórmuls, se pueden obtener multitud de reliones trigonométris, medinte mnipuliones lgebris, lguns de ls ules vmos proponer ontinuión omo tividdes. ACTIVIDADES 13. Utilizndo l fórmul del seno de un sum, lulr el seno de un difereni, es deir, sen( β). 14. Utilizndo l fórmul del oseno de un sum, lulr el oseno de un difereni, es deir, os( β). 15. Utilizndo ls fórmuls del seno y del oseno de un sum, lulr l tngente de un sum, es deir, tg( + β). sen( + β) (Indiión: utilizr el heho de que tg( + β) = y dividir el numerdor y el os( + β) denomindor de l expresión que se obtiene por el produto os os β). Otrs dos fórmuls importntes son el seno y el oseno del ángulo doble: El seno del ángulo doble se puede obtener prtir de l fórmul del seno de un sum, sin más que plir est fórmul sen( + ), e ir mbindo β por. sen( + ) = sen os + os sen = 2 sen os Por tnto, sen(2) = 2 sen os ACTIVIDADES 16. Comprobr que l fórmul del oseno del ángulo doble es os(2) = os 2 sen 2 97

23 UNIDAD Euiones trigonométris Un euión trigonométri es un euión en l que preen rzones trigonométris. Vemos lgunos ejemplos: Queremos resolver l euión sen x = 1 Se trt de enontrr todos los ángulos uyo seno es 1. Sbemos que el ángulo de 90 0 verifi est ondiión. Y tmbién lo hrán los ángulos que se obtengn d vez que este ángulo le sumemos 360 0, es deir, d vez que demos un vuelt omplet l irunfereni. Entones, tods ls soluiones son de l form donde k es un número entero de vuelts. ACTIVIDADES x = k 17. Resolver l euión trigonométri os x = 1. Ls euiones trigonométris pueden ser lgo más omplids. Por ejemplo, pueden involurr más de un rzón trigonométri. En este so lo que hy que her es intentr reduirl un úni rzón, pr poder llegr lgun euión omo ls nteriores. Por ejemplo, queremos resolver l euión 3 2 sen 2 x 3 os x = 0 sbiendo que x es un ángulo tl que 0 0 x Utilizmos l relión fundmentl de l trigonometrí pr trnsformr sen 2 x. Como sen 2 x + os 2 x = 1, sen 2 x = 1 os 2 x. Entones, sustituyendo en l euión, 3 2(1 os 2 x) 3 os x = 0 Hemos operiones y llegmos l euión 2 os 2 x 3 os x + 1 = 0 que no es más que un euión de segundo grdo en os x. Resolvemos est euión y obtenemos os x = 1 os x = 1 2 que son dos euiones senills, omo ls que hemos empezdo estudindo. 98

24 Sus soluiones son (omprobrlo) x = 60 0 x = 0 0 debido que nos indibn que ls soluiones sólo podín estr omprendids entre 0 0 y 90 0, inluidos estos ángulos. ACTIVIDADES 18. Resolver l euión trigonométri sen 2 x sen x = 0 Reuerd El seno y el oseno de un sum: El seno y el oseno del ángulo doble: sen( + β) = sen os β + os sen β os( + β) = os os β sen sen β sen(2) = 2 sen os os(2) = os 2 sen 2 Un euión trigonométri es un euión en l que l inógnit pree involurd on rzones trigonométris. Se resuelven intentndo reduirls de mner que sólo prez un rzón trigonométri: seno o oseno igul lgún vlor. 99

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