Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll

Transcripción

1 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur geométri en generl y su pliión l soluión numéri de los prolems que puedn presentrse. Pr lulr l longitud de ls rrs de este uerpo de triun, l longitud de ls rrs del udro de l iilet, l longitud de ls rrs que onformn el tren de terrizje del vión o l ltur que lnzrá l esler según el ángulo de pertur neesitmos onoer los ángulos y los ldos de los triángulos que se formn. 1

2 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIÁNGULO: Definimos un triángulo omo un figur geométri formd por un poligonl errd, delimitd por tres ldos. Elementos de un triángulo: - Ldos:,, - Ángulos:,, - Vérties:,, β Propiedd: L sum de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º, Es deir que + + = 180º lsifiión de los triángulos: lsifiión por sus ldos: equilátero isóseles esleno Equilátero: tiene todos sus ldos igules Isóseles: tiene dos ldos igules y uno desigul Esleno: tiene todos sus ldos desigules

3 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll lsifiión por sus ángulos: - oliuángulos utángulos otusángulos - retángulos oliuángulo utángulo otusángulo retángulo Línes y puntos notles de un triángulo: isetries de un triángulo: o o utángulo retángulo o otusángulo

4 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Ls isetries de un triángulo se ortn en un punto interior que equidist de sus ldos. El punto O se denomin inentro. Meditries de un triángulo: M o M1 M M o M1 M M o M1 M utángulo retángulo otusángulo Ls meditries de un triángulo se ortn en un punto que equidist de sus vérties. El punto O se denomin irunentro. lturs de un triángulo: o utángulo o retángulo o otusángulo Ls rets que ontienen ls lturs de un triángulo se ortn en un punto. El punto O se denomin entro ortogonl u ortoentro. 4

5 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Medins de un triángulo: o o o utángulo retángulo otusángulo Ls medins de un triángulo se ortn en un punto interior uy distni d vértie es igul / de l medin orrespondiente. El punto O se denomin rientro (entro de grvedd). RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS TEOREM DE PITÁGORS: el udrdo de l ipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. = + de donde:

6 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll FUNIONES TRIGONOMÉTRIS Si onsidermos un ángulo orientdo (puede ser positivo o negtivo) respeto de un sistem de ejes de oordends retngulres, de mner que el vértie oinid on el origen y su ldo iniil on el semieje positivo de ls x, se die que es un ángulo del primer udrnte si su ldo terminl e en dio udrnte. Definiiones semejntes se plin otros udrntes. Utilizremos tres funiones trigonométris de, definids en se l sis, l ordend y l distni ρ (rdio vetor) y en se los ldos de un triángulo retángulo omo sigue: yy y ρ = r = 1 O P x M (sis) y (ordend) x x ipotenus O ρ P M teto dyente teto opuesto x ordend * seno = sen rdio. vetor y teto. opuesto ipotenus * oseno = x teto dyente os sis. rdio. vetor ipotenus * tngente = tg = ordend sis y x teto. opuesto teto. dyente demás oservemos que: tg = sen os Ests tres funiones nos servirán pr resolver los distintos triángulos retángulos que se puedn presentr. 6

7 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Ejeriios: Enontrr el vlor de ls tres funiones trigonométris del ángulo, de un triángulo retángulo, siendo que: ) teto opuesto = 5 ipotenus = 1 1 x 5 = x + y x = y x = y y 5 sen = 0, x 1 os = 0, y 5 tg = 0, x 1 ) Enontrr los vlores de ls tres funiones trigonométris de 45º 45º y 45º 90º x undo tengo = 45º, omo  = 90º dee ser el otro ángulo: Ĉ = 45º, por lo tnto deen ser x = y. Supongmos x = y = 1 Será = x y 1 1 y 1 sen = 0, x 1 os = 0, y 1 tg = 1 x 1 7

8 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll ) Enontrr los vlores de ls tres funiones trigonométris de 0º Supongmos un triángulo equilátero on ldos = 1, = 1, = 1 0º x 60º y 1 Será: y = 0, 5 = x + y x = y x = y 1 0,5 1 0,5 0,75 0, 866 t. op y 0,5 sen 0º = 0, 5 ipotenus 1 t. dy. x 0,866 os 0º = 0, 866 ipotenus 1 t. op y 0,5 tg 0º = 0, 577 t. dy x 0,866 d) uál es l longitud de l somr proyetd por un edifiio de 150 mts. de ltur undo el Sol se elev 0º sore el orizonte? 0º somr 150 m sen 0º = sen 0º 150m 48,57m 0,40 os 0º =. os 0º 48,57m.0, , 1 m 8

9 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll e)un edifiio de 100 m de ltur proyet un somr de 10 m de longitud. Enontrr el ángulo de elevión del sol. =? 10 m 100 m 100 tg = 0, 8 10 r tg 0,8 = 9,80557 º 1º 60 0,80557º 60.0,80557 x = 48,4 1º ,4 60.0,4 x = 0 1 Respuest: el ángulo = 9 º 48 0 Tl de ls funiones trigonométris de 0º, 0º, 45º, 60º y 90º 0 º 0º 45 º 60º 90º Seno 0 / / 1 oseno 1 / / 0 tngente 0 / 1 1/ 1/ RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS TEOREM FUNDMENTL DE L TRIGONOMETRÍ: = + 1 = os + sen 9

10 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll FUNIONES TRIGONOMÉTRIS DE ÁNGULOS OMPLEMENTRIOS 90º Los ángulos gudos y Ĉ de un triángulo retángulo son omplementrios, es deir: + = 90º Se tiene que: sen = os os = = sen tg = sen os sí, ulquier funión de un ángulo gudo, es igul l orrespondiente ofunión de un ángulo omplementrio. Est propiedd permite onfeionr l tls de ls funiones trigonométris dole entrd. Ejeriios: lulr ls siguientes funiones y determinr qué otr funión orresponden: ) sen 17 º 16 sen 17 º 16 = 0,96819 omplementrio: = 7 º 44 os = 0,96819 ) os 68 º 1 os 68º 1 = 0,716 omplementrio: = 1º 48 sen = 0, tg 400º = 1, tg 400º 0,89099 tg = tg 50º = 1,

11 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS ulquier triángulo retángulo puede resolverse, es deir, onoer todos sus elementos en se dos de ellos, de los ules uno por lo menos será un ldo. Ls reliones que unen los elementos onoidos on ls inógnits serán: ls funiones trigonométris de ángulos gudos el teorem de Pitágors dto 90º dto d sí por ejemplo, si onoemos del triángulo, los ldos y, ls inógnits serán, y, y undo se requier, l superfiie del triángulo. Entones será: = tg = = r tg tg = = r. tg Superfiie =. Ejeriios: Resolver los siguientes triángulos retángulos: ) Dtos: = 765,40 m = 68 º 46 es omplementrio de = 90º - 68 º 46 = 1º 14 sen = =. sen = 768,40 m. 0,911 = 716, m = + = (768,40m) (716,m) 78, 0m. Superfiie = = 716,m 78,0m = 99.66,40 m ) Dtos: = 96,59 m = 76,0 m sen = 76,0m = 0, ,59m = r.sen 0,7899 = 5,179610º 11

12 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll 1º 60 0,179610º 60 0, x = 10,7766 1º ,7766 0,7766 x = 46 1 Respuest: el ángulo = 5 º = 90º - 5 º = 7º tg = = 76,0m = 59, m tg 1,88 ) Un esler de mno está poyd ontr l pred de un edifiio, de modo que del pie de l esler l edifiio y 1 uniddes. qué ltur del suelo se enuentr el extremo superior de l esler y uál es l longitud de l mism, si form un ángulo de 70º on el suelo? l =? 70º 1 u =? tg 70º = 1u = 1 u. tg 70º = 1 u., =,97 u l = ( 1u ) (,97u) 5,08 u d) Un omre reorre 500 m lo lrgo de un mino que tiene un inlinión de 0º respeto de l orizontl. Qué ltur lnz respeto l punto de prtid? uál es l pendiente del mino? l = 500m 0º sen 0º = l = l. sen 0º = 500 m. 0,40 = 171,01 m 1

13 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll pend = tg 0º = 0, 69 e) L distni entre dos edifiios de tejdo plno es de 60 mts. Desde l zote del edifiio más jo, uy ltur es de 40 mts., se oserv l zote del otro on un ángulo de elevión de 40º. uál es l ltur del edifiio más lto? 40º 60 m 40 m = 40 m + tg40º = 60m = 60 m. tg 40º = = 60 m. 0,89099 = = 50,4 m = 40 m + = 40 m + 50,4 m = 90,4 m f) Un teo tiene l form de un pirámide retngulr, siendo l se vees más lrg que n. Siendo que l ltur es de mts. y que el ángulo diedro que tiene por rist el ldo menor del retángulo vle 6º, lulr l superfiie del teo. = I = m d = u = 1 u J K = 6º m m m tg 6º = = 6 m tg 6º 0, =. =. 6 m = 1 m = 1m = 4 m d = ( ) (6 ) m m 6, 708 1

14 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Superfiie de l r IJK (triángulo) : SIJK = I 4m 6,708m = 1,41 m d IJ MJ 4m d MJ m L Ñ J M K IJ ( m) (6,708m) 7 m I 7 m IÑ ÑJ ( 7m) ÑJ LJ 1m = 6 m L Ñ 1 m J IÑ ,60 m SUPILJ = LJ IÑ 1m.,60m = 1,60 m SUPTEHO =. SUPILJ +. SUPIJK = x 1,60m + x 1,41 m = 70,0 m 14

15 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll FUNIONES GONIOMÉTRIS Ls funiones vists ern pr ángulos gudos de un triángulo retángulo. or se generliz pr ulquier ángulo. Si l líne generdor del ángulo, que iniilmente está en OX l emos girr en sentido (+) rriendo un ángulo, y por un punto ulquier de OX, por ejemplo T, trzmos un írulo on entro en O, podremos formr dos triángulos: uno será el ORT. El punto R se enuentr trzndo l perpendiulr OX que ps por T. El otro triángulo, se otiene medinte el punto P (interseión del írulo on X ) y l proyeión de OP sore OX, que es OQ. Los triángulos OPQ y ORT son proporionles, por lo tnto tmién lo serán sus ldos. signemos l rdio el vlor de 1 unidd. Será entones: PQ PQ sen sen PQ = sen. r = sen. 1 tg = TR r OQ os os = OQ r O y ρ=1 Q P T E R x OQ = os. r = os. 1 x onoiendo un de ls funiones trigonométris, podemos deduir ls demás. Por ejemplo, ddo el sen 1 1 sen tg = sen t. opuesto teto. dyente sen 1 sen 1 = sen + os os = Hipotenus 1 sen teto opuesto 15

16 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll Otro ejemplo, ddo tg ρ = x tg = 1 tg ρ x tg sen = y tg 1 tg x = 1 por ser el rdio os = x 1 1 tg RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS NO RETÁNGULOS 1 D En el triángulo, no neesrimente retángulo, trzmos l perpendiulr uno de sus ldos que pse por el vértie opuesto, oteniendo su ltur, y de pso, dividimos l triángulo en dos triángulos retángulos D y D. Entones se umple que: = + donde = 1 reemplzndo: = ( 1) = = (todví no onoemos 1) pero: = + 1 = 1 reemplzndo qued: = nelndo qued: pero 1 =. os entones: = +..os 1 = +.1 que es válid pr ulquier triángulo. 16

17 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TEOREM DEL OSENO = +..os En todo triángulo, el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos ldos menos el duplo del produto de ellos por el oseno del ángulo omprendido Not: es l generlizión del Teorem de Pitágors l triángulo no retángulo. En el so de ser un triángulo retángulo, el oseno de 90º es ero. = +..os 90º 90º = +..0 = + TEOREM DEL SENO En todo triángulo, los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos (1) () 1 D sen = sen = =. sen =. sen igulndo (1) on (): generlizndo: sen =. sen =. sen sen sen sen sen 17

18 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll ÁRE DE UN TRIÁNGULO El áre de un triángulo ulquier, es igul l mitd del produto de dos de sus ldos, multiplido por el seno del ángulo omprendido 1 D S = Äre = sen se ltur Pero sen = =. sen Reemplzndo: Áre = sen FORMUL DE HERÓN S = p( p )( p )( p ) siendo, y los ldos del triángulo p es el semi perímetro p = Teorem: El áre de un triángulo ulquier es igul l ríz udrd del produto del semi-perímetro, por d uno de los números que se otiene l restr éste d uno de los ldos del triángulo 18

19 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll EJERIIOS: 1) lulr los ángulos interiores del triángulo. 7 90º os = 0, 8571 = r.os 0, = 7,984º 1º 60 0,984º 60 0,984 x =,9070 1º , ,9070 x = 54 1 = 7º 54 + = 90º = 90º - = 90º - 7º 54 = 16º 6 6 ) lulr el áre de l figur d 45º 90º = d = ( ) ( ) 4 4 Sup = 1 ) En el triángulo de l figur, lulr y siendo que os = 4 = os = 4 4 = = + 4 = ( ) 16 Otro mino: = 16,

20 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll = r.os 4 = 41,4096º tg 41,4096º = 0, tg = , = 4 x 0, =,5 4) lulr el áre de l figur º º º tg 60º = Áre = 5 se 10 = 5 x tg 60º = 5 x 1,7051 = 8, º 5 108,66 Áre = 4, 5) lulr el perímetro de l figur = 1 Según el teorem del seno es: 60º 45º sen45º sen60º = 180º - 60º - 45º = 75º 1 1 0,866 = 14, 70 0,7071 0,866 0,7071 sen75º 1 0,9659 = 16, 9 sen45º sen75º sen45º 0,7071 perímetro = + + = ,9 + 14,70 = 4,09 6) lulr 0

21 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll m 90º y = 1 0º 60º 0º 90º os 0º = y 1 = 1 x os 0º = 0,866 7) lulr l longitud del segmento O 5 0º O os 0º = O 5 = rdio = 5 O = 5 x os 0º = 4, O = 5 O = 5 4, = 0,67 8) lulr l longitud del segmento O e = m 0º 0º 0,8 m 90º M O d os 0º = 0,8 M 0,8 M 0, 9m os 0º d = M 0,8 0,9 0,8 0, 45 m e = m 0,45 m = 1,55 m sen 0º = OM OM e sen0º 1,55 sen0º 0, 775 m e O = OM + M = 0, ,9 = 1,69 mts. 1

22 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll 9) En el triángulo de l figur lulr, siendo que el áre es Otro mino: 90º = tg = 0, 5775 = r.tg 0,5775 = 0º = 180º - 0º - 90º = 60º sen 0º = sen90º =, 46 sen90º sen60º sen60º = x sen 0º = 1,5 Áre = = 1, 5,46 10) lulr el áre y los ángulos interiores del triángulo de l figur Semi perímetro = p = 8 Por fórmul de Herón: S = p ( p )( p )( p ) 8(8 )(8 7)(8 6) = ,95 Por el teorem del oseno: * 6 = + 7 x x 7 x os = os os = 0, = r.os 0,56809 = 58º 4 4

23 Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll * = x 6 x 7 x os os = 0, = r.os 0,90476 = 5º 1 1 * = 180º - - = 180º - 58º 4 4-5º 1 1 = 96º 47 11) lulr el ángulo de l figur, siendo que l rist del uo mide 40 mi 1) es l digonl de un udrdo de 40 mm de rist d1 4 = ,57mm ) es l ipotenus de un triángulo de 40 mm de ltur (rist) y d1 = = 56,57 mm = 40 56,57 69, 8 mm Por teorem del oseno: 40 = +... os ,57 69,8 os = 56,57 69,8 698,75 os = 0, ,4 = r os 0,8169 = 5º 16 47