TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Transcripción

1 TRIÁNGULO RECTÁNGULO 1 Rzones trigonométris En mtemátis, el término rzón es sinónimo división o oiente entre dos ntiddes Por lo tnto l referirse ls rzones trigonométris nos estmos refiriendo ls reliones entre los ldos de un triángulo Más espeífimente, trtándose de un triángulo retángulo, tendremos ls siguientes definiiones pliles ulquier de los ángulos o (Ver l figur de refereni) Z C En todo triángulo retángulo se umple que: 1 El SENO (Sen) de ulquier ángulo gudo es l rzón entre el ldo opuesto y l hipotenus 2 El COSENO (Cos) de ulquier ángulo gudo es l rzón entre el ldo dyente y l hipotenus 3 L TNGENTE (Tg) de ulquier ángulo gudo es l rzón entre el ldo opuesto y el ldo dyente 4 L COTNGENTE (Ctg) de ulquier ángulo gudo es l rzón entre el ldo dyente y el ldo opuesto 5 L SECNTE (Se) de ulquier ángulo gudo es l rzón entre l hipotenus y el ángulo dyente 6 L COSECNTE (Cs) de ulquier ángulo gudo es l rzón entre l hipotenus y el ldo opuesto 2 Funiones trigonométris ************************************ Ls seis rzones definids nteriormente se llmn Funiones Trigonométris del ángulo en uestión Si nos smos en l figur de rri, ls funiones trigonométris quedrín representds de l siguiente mner Con respeto l ángulo Sen = Cos = Tg = Ctg = Se = Cs = Con respeto l ángulo Sen = Cos = Tg = Ctg = Se = Cs =

2 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 EJERCICIOS RESUELTOS 1- Resolver el triángulo retángulo C, si <= 35º10'y =745 soluión: = º 10 C Sen 35º 10 = / 745 = = 4290 Cos 35º 10 = / 745 = = 6090 < = 89º 60 35º 10 = 54º Resolver el triángulo retángulo C en el ul =2536 y = 58º30' soluión: = º 30 C Tn 58º 30 = / = 2536 / = 1554 C 2 = (2536) 2 + ( 1554) 2 = = = 2974 < = 89º60 58º 30 = 31º30 3- Resolver el triángulo retángulo C en el ul =44 y =25 =44 C =25 Tn = / Tn = 44/ 25 = 176 < = 60º 24 < = 89º 60 60º 24 = 29º 36 Sen 60º 24 = 44 / = 44 / 8694 = 5061 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 2

3 4- Resolver el triángulo retángulo RST, donde s= 1525 y t= 325 S r t = 325 T R s = 1525 Cos R = s / t Cos R = 1525/ 325 = 4692 < R = 62º 1 < S = 89º60 62º 1 = 27º 59 ; r= 325 Cos 27º59 =325883= Resolver el triángulo retángulo RST si < R=38'20 y r= 2538 S r= 2538 t 38º20 T R s Tn 38º 20 = r / s 7907 = 2538 / s s = 2538 / 7907 = 3210 Sen 38º 20 = 2538 / t t = 2538 / 6202 t = 4092 <S = 89º 60 38º 20 = 51º 40 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 6- Resolver el triángulo retángulo NNO si < M=30º40'y o=364 N m o= º 40 Sen 30º40 = m/ 364 m = = 1857 Cos 30º40 = n/ 364 n = = 3131 < N = 89º 60-30º 40 = 59º 20 O n M 7- Resolver el triángulo retángulo NNO si m=277 y o=364 N m= 277 o= 364 O n M Sen M = m / o Sen M = 277 / 364 = 7610 < M = 49º 33 < N = 89º60 49º 33 = 40º 27 n 2 =(364) 2 (277) 2 = = n = 2362 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 3

4 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 8- Si Cs =5/4 lulr sen y Tn =4 =5 C Cs = 5 /4 = 5 y = 4 2 = = 9 = 3 Sen = 4/5 = 08 y Tn = 4/3 = Si Cos =0375 lulr sen y ot Cos = 0375 < = 68 º Sen 68º = y Cot = Tn Tn 22º = 4040 C Cot = lulr Cos y Cs 3 C Cot = 3 / 3 = 3, = 3 2 = = 12 = Cos = 3 /34641 = 5000 y Cs = 1 / Sen = 1/ (3/34641)= Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 4

5 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 pliión de l soluión de triángulos retángulos en l soluión de prolems Ls ténis pr l resoluión de triángulos retángulos pueden plirse pr resolver diverss situiones otidins de mediión En los siguientes ejemplos podrás preir lguns de ests pliiones 11- Un esler de 9 mts está poyd ontr l pred; qué ltur lnz si form on el suelo, supuesto horizontl, un ángulo de 72º h 9 72º Sen 72º = h / 9 h = = 856 mts mts de l se de un torre el ángulo de elevión su úspide es de 37º20'; lulr l ltur de l torre, si l ltur del prto on que se midió el ángulo es de 15 mts h 37º Tn 37º 20 = h/ 875 h = 87, = 6674 ltur de l torre = = 6824 Mts mts de l se de un nten el ángulo de elevión su prte más lt es de 34º20'; lulr l ltur de est nten, si l ltur del prto on que se midió el ángulo es de 15 mts 34º 20 Tn 34º 20 = / 75 = = 5123 Mts ltur + 15 = = 5273 mts 75 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 5

6 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS Clulr el ángulo de elevión del sol en el momento en que un árol de 325 mts de ltur proyet un somr de 75 mts 325 Tn = 325 / 75 = = Tn < = 23º Desde lo lto de un fro de 150 mts de ltur se oserv un emrión un ángulo de depresión de 23º30'; lulr l distni del fro l emrión 23º d 23º 30 Tn 23º 30 = 150 / d d = 150 / 4348 = Mts 16- Se insrie un deágono regulr en un irunfereni de 5 m de rdio, lúlese l longitud del ldo de diho polígono 18º Ángulo entrl = 360 / 10 = 36º Sen 18º = / 5 = = 1545 Ldo del polígono = = 309 Cm Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 6

7 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS Cuál es el rdio de un irunfereni insrit en un pentágono regulr de 2 m de ldo? r 36 ngulo entrl = 360 / 5 = 72º ngulo gudo del triángulo retángulo es 36º 1 Tn 36º = 1 / r r = 1 / 7265 = 138 Cm 18- Clulr el perímetro y el áre de un otágono regulr insrito en un irunfereni uyo diámetro es de 5 m 25 22º h ngulo entrl = 360º / 8 = 45º El ángulo gudo del triángulo retángulo es 22º 30 Sen 22º 30 = / 25 = = 9567 El ldo es = y l ltur es h = 25 Cos 22º 30 = = 231 Perímetro es 8 ldo = = 1531 re del otágono= re del triángulo retángulo 16 re del otágono= ( )/2 16 = 1768 m 2 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 7

8 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 19 Un uque está nvegndo hi el sur on veloidd de 36 Km/hr ls 12 hors un fro F se ve hi el Este y ls 12:30 hrs se le ve en l direión norte noreste Hllr l distni del uque l fro en el momento de l primer oservión N O 12 h 30 F E d d S d = 36 km/h 5 h = 18 km 22º30 Tn 22º 30 = / Tn 22º30 = = 746 km 20- Un uque está nvegndo hi el sur on veloidd de 36 Km/hr ls 12 hors un fro F se ve hi el Este y ls 12:30 hrs se le ve en l direión norte noreste Hllr l distni del uque l fro en el momento de l primer oservión 28º 47º 30 d Tn 47º = h / d h = d Tn 47º h = d ( 1 ) Tn 28º = h / ( d +30) h = 5317 d ( 2 ) Como h = h 10724d = 5317 d d = 1595 Entones d = 2950 mts h Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 8

9 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS L esttu CD está olod sore un olumn C de 40 mts de lto; un distni de 25 mts del pie de l olumn, l esttu se ve jo un ángulo de 5º, uál es l ltur de l esttu? D C 5º 40 Tn C = 40 / 25 = 16 < = 58º ngulo D = 58º + 5º = 63º 25 Tn 63º = / 25 = = 4907 mts ltur de l esttu es = 907 mts 22- Clulr ls funiones trigonométris de un ángulo si ls oordends de un punto de su líne terminl son: y - (8,0) p(8,0) Sen = Ord / Dist = 0/8 =0 Cot = s / Ord= 8/0 = Cos = s / Dist = 8/8 =1 Se = Dist / s= 8/8 =1 Tn = Ord / s = 0/8 =0 Cs = Dist / Ord= 8/0= Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 9

10 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 - (3,4) y P(3,4) Dist= = 5 T de Pitágors Sen = Ord / Dist =4/5=8 Cot = s / Ord=3/4=75 Cos = s / Dist =3/5=6 Se = Dist / s=5/3=1667 Tn = Ord / s = 4/3=1333 Cs = Dist / Ord=5/4 =125 - ( 3,7) P(-3,7) y Dist= = 58 = Sen = Ord / Dist = 7/762=9186 Cot = s / Ord= -3/7 = Cos = s / Dist = -3/762 = Se = Dist / s= 762/-3= -254 Tn = Ord / s = 7/-3= Cs = Dist / Ord = 762/7=1088 d- (0,8/5) y P(0,8/5) Dist = 8/5 Sen = Ord / Dist = (8/5) / (8/5) = 1 Cot = s / Ord = 0 / 8/5 = 0 Cos = s / Dist = 0/ 8/5 = 0 Se = Dist / s= (8/5)/ 0 = Tn = Ord / s = 8/5 / 0 = Cs = Dist / Ord = (8/5)/(8/5)= 1 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 10

11 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 e- ( 1, 5) P (-1,-5) Dist = = 26 = 510 Sen = Ord / Dist = -5/51 =-98 Cot = s / Ord= -1/-5 = 1/5=200 Cos = s / Dist = -1/51=1961 Se = Dist / s= 510/-1 = -510 Tn = Ord / s = -5/-1 =5 Cs = Dist / Ord =510/-5 =-1020 f- (2, 6) y (2,-6) Dist = = 632 Sen = Ord / Dist = -6/ 632 = Cot = s / Ord= 2/-6 = -333 Cos = s / Dist = 2/632 = 3165 Se = Dist / s=632/2=316 Tn = Ord / s = -6/2 = -3 Cs = Dist / Ord= 632/-6= g- (0, 2/3) (0,-2/3) Sen = Ord / Dist =- 2/3 / 2/3 = -1 Cot = s / Ord=0/- 2/3 = 0 Cos = s / Dist = 0 / 2/3 = 0 Se = Dist / s= 2/3 / 0 = Tn = Ord / s = -2/3 / 0 =- Cs = Dist / Ord = 2/3 / -2/3 = -1 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 11

12 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 h- (1,4/3) (1,4/3) Dist = = 9 25 / 9 = 5/3 Sen = Ord / Dist = 4/3 / 5/3 = 4/5 = 8 Cot = s / Ord= 1 / 4/3 = 3 / 4 = 75 Cos = s / Dist = 1/ 5/3 = 3/ 5 = 6 Se = Dist / s=5/3 /1 = 167 Tn = Ord / s = 4/3 / 1 = 75 Cs = Dist / Ord =5/3 / 4/3 = 5/4 = 125 i- (1/2, 2/3) (1/2,-2/3) Dist= = = 5/ Sen = Ord / Dist = -2/3 /5/6 =-4/5 = 8 Cot = s / Ord=-3/4 = -75 Cos = s / Dist = 1/2 /5/6 = 3/6=6 Se = Dist / s=5/3 =167 Tn = Ord / s = -2/3 / 1/2 =-4/3=-1333 Cs = Dist / Ord= -5/4 = -125 j- ( 1, 2 ) (-1, 2 ) Dist= 1+ 2 = 1732 Sen = Ord / Dist = 2 /1732= 8165 Cot = s / Ord= -1/ 2 =-707 Cos = s / Dist = -1/ 1732=-5774 Se = Dist / s=- 3 /1 = Tn = Ord / s = 2 / -1= Cs = Dist / Ord = 3 / 2 = 1225 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 12

13 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 EJERCICIOS PROPUESTOS sándote en l disposiión de los elementos de un triángulo de uerdo on l figur de l izquierd, lul lo que se te pide Dd 5 Se = lul: tods ls funiones trigonométris 4 restntes del ángulo Z Sen = Ctg = Cos = Cs = C Tg = Clul ls funiones trigonométris restntes si se tienen que Cos = 2 7 Sen = Se = Tg = Cs = C Ctg = Clul ls funiones del ángulo si se tiene que Tg = 5 Sen = Se = Cos = Cs = Ctg = C Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 13

14 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 Los siguientes ejeriios tiene por finlidd que prtiques l pliión de ls regls de álulo de elementos en el triángulo retángulo No olvides que pr el mejor provehmiento de est práti, tienes que dominr ls definiiones de ls funiones trigonométris Ls letrs utilizds en d ejeriio, orresponden l posiión propuest en l figur de l dereh C I Resuelve d uno de los siguientes triángulos retángulos 1- Ddo = 15º, = 7 2- Ddo = 67º, = 5 3- Ddo = 50º, = Ddo = 35, = Ddo = 273, = Ddo = 38º, = Ddo = 75º, = Ddo = 586, = Ddo = 9º, = Ddo = 3414, = 2, Ddo = 84º 16, = Ddo = 46º 23, = Ddo = 5293, = 902,7 14- Ddo = 23º 9, = Ddo = 72º 52, = Ddo = 18º 38, = Ddo = , = Ddo = 31º 45, = Ddo = 61757, = Ddo = 82º 6 18, = Ddo = 55º 43 29, = Ddo = 31º 47 7, = Ddo = 99464, = Ddo = 43º 21 36, = Ddo = 79º 14 31, = Ddo = 67º 39 53, = Ddo = , = Ddo = 26º 12 24, = Ddo = 14º 55 42, = Ddo = , = RESPUESTS 1- = = = = = = = 34º 22 7 = = 33º 8 56 = = = = = = 39º = = = = 49º = = = = = = 35º = = = = = = = = 19º = = = = 32º = = = = = = = = 39º = = = = = = = = 76º = = = = = = 60º = Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 14

15 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 II Resuelve d uno de los siguientes prolems 1 Pr determinr l ltur de un torre trnsmisor que se enuentr sore un errito, un topógrfo se sitú 300 metros de l torre sore el suelo niveldo Si el topógrfo mide que el ángulo de elevión l úspide de l torre es de 40º, y si l elevión del montíulo de tierr es de dos metros on respeto l suelo niveldo qué tn lt es l torre? 85º 21 2 L torre Eiffel, símolo de l iudd de Prís fue termind el 31 de mrzo de 1889; er l torre más lt hst que iniió l er de ls torres de televisión Enuentr l ltur de l torre Eiffel, (sin ontr l nten de televisión que está en su úspide) usndo l informión proporiond en l figur de l izquierd 80 pies 3 Sore l zote de un iglesi se enuentr un ruz monumentl omo se muestr en l figur Se hen dos oserviones desde el nivel de l lle y 30 pies desde el entro del edifiio El ángulo de elevión hst l se de l ruz es de 45º y el ángulo medido hst el etremo de l ruz es de 472º uánto mide l ruz? Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 15

16 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 4 Un fro de 117 pies de ltur se enuentr sore un olin de 245 pies Clul uál es l máim distni del horizonte visile desde este fro Consider l Tierr omo un írulo NOT: El rdio de l Tierr es de 3960 mills pro 5 Un esler de doe metros de longitud puede olorse de tl mner que lne un ventn de diez metros de ltur de un ldo de l lle y, hiendo girr l esler sin mover su se, puede lnzr un ventn que está seis metros de ltur en el otro ldo de l lle Hll el nho de l lle 6 Clul uánto mide el rdio del írulo insrito y el del írulo irunsrito en el pentágono regulr uyos ldos miden 25 m Cd uno Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 16

17 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 7 Pr un nuev rreter dee evrse un túnel jo un montñ que tiene 260 pies de ltur un distni de 200 pies de l se de l montñ, el ángulo de elevión es de 36º un distni de 150 pies y del otro ldo de l montñ, el ángulo de elevión es de 47º Clul l longitud del túnel 8- El pie de un esler de ino metros de lrgo dist 19 metros de un pred vertil en l ul se poy; hll el ángulo formdo por ms = 22º 21' 1" 9- Cuál es l ltur del sol sore el horizonte en el momento en que l longitud de l somr de un vrill vertil se el dole de l longitud de l vrill? = 26º 33' 54" 10- L esler de un rro de omeros puede etenderse hst un longitud máim de 24m Cundo se levnt un ángulo de 65º Si l se de l esler está dos metros sore el suelo, qué ltur sore éste puede lnzr l esler? h = Desde el etremo de un torre de 42m de ltur, el ángulo de depresión l etremo de otr es de 21º 50 Si entre ms torres hy un distni de 72 m, lul l ltur de l segund torre h = m 12- Desde l úspide de un fro de 52m de ltur se oserv que los ángulos de depresión dos otes linedos on él son de 16º 10 y 35º respetivmente Enuentr l distni entre los otes d = m 13- un distni de 105 pies de l se de un torre, se oserv que el ángulo de elevión su úspide es de 38º 25 Hll su ltur h = Cuál es el ángulo de elevión del sol undo un torre de pies de lto, proyet un somr de pies de lrgo? = 31º 47' 24" 15- Si el diámetro de L Tierr es de 7,912 mills, uál es el punto de su superfiie más lejnmente visile desde l im de un montñ de 125 mills de lto? D = mill 16- Hll el ángulo de elevión de l lder de un montñ que en un distni horizontl de un otvo de mill lnz un elevión de 238 pies (Un mill terrestre tiene 5,280 pies, y un mrin: 6,08020 pies) = 19º 49' 47" 17- Clul el perímetro de un heágono regulr insrito en un irunfereni de rdio 18 ms P = 108 m Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 17

18 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS Clul el áre de un heágono regulr insrito en un irunfereni de rdio 12 ms = Hll l longitud de l digonl de un pentágono regulr uyos ldos miden D = L longitud del ldo de un otágono regulr es 12 m Hll los rdios de los írulos insrito y irunsrito él Cirunsrito: Insrito: Si l digonl de un pentágono regulr es 32835, uál es el rdio de írulo irunsrito él? R = Hll l longitud del ldo de un heágono regulr irunsrito en un írulo uyo diámetro es 18 m L = El diámetro de un írulo es 32,689; hll l medid del ángulo entrl, siendo l uerd del ro que rz sus ldos 10,273 = 36º 37' 58" 24- Si un uerd uy longitud es de sutiende un ro de 145º 37, uál es el rdio del írulo? R = Si el rdio de un írulo es , uál es l longitud de l uerd de un ro que tiene por medid 35º 13? C = Clul el áre de un terreno en form de triángulo isóseles uy ltur es de 24 ms y los ángulos en l se miden 32º 20 = L digonl myor de un prlelogrmo mide 75 ms, uno de sus ldos mide 48 ms ms línes formn un ángulo de 24º 45 Clul el áre del prlelogrmo = m Cuánto mide l digonl de un udrdo de ino metros de ldo? D = m 29- Si el ldo de un heágono regulr mide 16, lul uánto mide su potem = Un emrión nveg hi el Este on un veloidd de 78 mills por hor Se oserv un fro etmente l Norte ls 10:37 M y 33º l Noroeste ls 12:43 PM Hll l distni del fro d uno de los dos puntos de oservión D 1 = 2522mills D 2 = mills 31- Un emrión nveg hi el Este veloidd onstnte ls 7:00 M se oserv un fro mills l norte ls 7:30 M el fro está 18º l Noroeste Hll l veloidd de nvegión y el rumo l que estrá el fro ls diez de l mñn V = 671 mill/h N 62º O Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 18

19 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS 3 32-L tuerí pr un surtidor ps jo un s retngulr, de l esquin Noreste hst un punto situdo utro metros l sur de l esquin Noroeste Ls predes que tienen direión Este Oeste, tienen 15 metros de lrgo Se dese ser l longitud de tuerí enterrd jo l s y el ángulo que form on l pred Oeste L = 1552 m α = 75º L torre del gurdosques tiene un ltur de 90 metros Desde hí se pert de dos inendios; el primero se loliz en direión Oeste, on un ángulo de depresión de 346º y el otro, hi el Este on un ángulo de depresión de 583º Qué distni linel hy entre los dos inendios? D = m 34- Un oservdor dvierte que desde iert posiión, el ángulo de elevión l etremo de un edifiio es de 25º 10 ; min 50 metros hi él y entones el ángulo es de 52º Qué distni le flt pr llegr l pie del edifiio y uál es l ltur del mismo? D = 29 m h= m 35- Un plnt uáti de tllo vertil está dos metros de l orill y soresle 80 ms del gu Cundo el viento l inlin, su etremo to justmente l orill; suponiendo que el tllo permnee reto, lul l ltur de l plnt h = 290 m 36- Un st nder de doe metros de longitud está en lo lto de un torre Desde un punto erno ést los ángulos de elevión l pie y l tope del st son de 21º y 39º, respetivmente Clul l distni de l torre y l ltur de ést = 2817m h = 10815m 37- Un estdio de fútol se plne on un ángulo sendente en ls grds de 18º 20 on respeto de l horizontl Si d 076 metros, medidos horizontlmente, puede her un fil de sientos, qué ltur dee tener el estdio si se quieren olor 24 fils de sientos? h = 6044 metros 38- Un ply tiene un ángulo de elevión uniforme de 13º 10 L difereni de mres entre l mre lt y l j es de 190 metros, qué distni se etiende el gu sore l ply entre ls dos mres? d = m 39- Clul ls funiones trigonométris del ángulo uyo ldo terminl ps por el punto P(-3,4) 40- Clul ls funiones trigonométris restntes, si el oseno de un ángulo es 4/5 41- Clul tods ls funiones trigonométris de un ángulo uyo ldo terminl está en el terer udrnte, y ls oordends de un punto de su líne terminl son P( -4, -8) 42- Un punto de l líne terminl,está en el segundo udrnte 13 uniddes del origen; si su ordend es 5, lul tods ls funiones trigonométris de ese ángulo Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 19

20 EJERCICIOS DE MTEMÁTICS Hll los vlores de ls demás funiones trigonométris en d uno de los ejemplos siguientes: ) Se = 5/4 ) Ctg = -12/5 ) Sen = 15/17 d) Cos = -21/29 e) Cs = 3 f) Tg = 9/40 g) Se = -7/2 h) Sen = -1/5 i) Tg = -7 Elordo por: IQI Jun Trejo Peñ 20