CAPÍTULO 24: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS (I)
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- José Manuel Mendoza Roldán
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1 ÍTUL 24: RESLUIÓ DE TRIÁGULS ESFÉRIS (I) Dnte Gueeo-hnduví iu, 2015 FULTD DE IGEIERÍ Áe Detmentl de Ingenieí Industil y de Sistems
2 ÍTUL 24: RESLUIÓ DE TRIÁGULS ESFÉRIS (I) Est o está jo un lieni etive ommons tiuión- oomeil-sindeivds 2.5 eú Reositoio instituionl IRHU Univesidd de iu 2
3 UIVERSIDD DE IUR ítulo 24: Resoluión de Tiángulos Esféios (I). Teoems fundmentles de los tiángulos onvexos 1. Teoem de los senos 2. Teoem de los osenos de los ldos 3. Teoem de los osenos de los ángulos 4. Fomuls uxilies GEETRÍ FUDETL Y TRIGETRÍ LSES Elodo o D. Ing. Dnte Gueeo Univesidd de iu. 16 diositivs
4 ÍTUL XXIV:RESLUIÓ DE TRIÁGULS ESFÉRIS. TERES FUDETLES DE LS TRIÁGULS VEXS 1. Teoem de los senos 2. Teoem de los osenos de los ldos 3. Teoem de los osenos de los ángulos 4. Fomuls uxilies 1. TERE DE LS SES TERE XXIV-1 Los senos de los ángulos son ooionles los senos de los ldos ouestos: sen sen sen sen sen sen D.Ing. Dnte Gueeo 1
5 1. TERE DE LS SES TERE XXIV-1 Desde tzmos l eendiul l lno. Desde tzmos l eendiul. L et es eendiul en vitud del teoem de ls 3 eendiules. sen sen sen. sen Si eitiémos el zonmiento nteio usndo l (en vez de l que hemos usdo), el el de sí, y el de : sen. sen 1. TERE DE LS SES TERE XXIV-1 Igulndo ls dos exesiones de ; y dividiendo o : sen. sen sen. sen sen sen sen sen y ddo que y juegn eles intemiles, tmién: sen sen sen sen Es dei: sen sen sen sen sen sen D.Ing. Dnte Gueeo 2
6 2. TERE de los SES de los LDS os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os TERE XXIV-2 2. TERE de los SES de los LDS Demostión : Se un tiángulo onvexo y su tiedo soido: TERE XXIV-2. os sen. os ( Sum vetoil) L oyeión de est sum seá l sum de oyeiones de los sumndos. D.Ing. Dnte Gueeo 3
7 2. TERE de los SES de los LDS TERE XXIV-2 oy oy oyetmos soe : oy. os sen. os oy.os os oy Q.os os os oy Q. sen sen.os. sen Q Q oy Q oy 0 2. TERE de los SES de los LDS TERE XXIV-2 oy oy oy os os.os sen.os. sen dividiendo ente otenemos lo que queímos demost. os os.os sen.os. sen oy o otión de lets otenemos ls igulddes estntes. os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os D.Ing. Dnte Gueeo 4
8 3. TERE de los SES de los ÁGULS os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os TERE XXIV-3 3. TERE de los SES de los ÁGULS TERE XXIV-3 Demostión : lindo el Teoem XXIV-2 l tiángulo ol os os.os sen. sen. os = = = = = = os( 180 ) os(180 )os(180 ) sen(180 ) sen(180 )os(180 ) os os.os sen. sen. os que, mindo el signo, se onviete en l ime iguldd demost os os.os sen. sen. os D.Ing. Dnte Gueeo 5
9 3. TERE de los SES de los ÁGULS TERE XXIV-3 os os.os sen. sen. os Relizndo ls ots sustituiones otenemos: os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os 4. FRULS UXILIRES Los tes teoems nteioes: Teoem de los senos Teoem de los osenos de los ldos, y Teoem de los osenos de los ángulos, son ls únis fómuls indeendientes en tiángulos esféios, y o onsiguiente, stn esolve todos los olems solules. omodidd de oeión, se hn deivdo de ellos muhs fómuls, que llmemos uxilies. Sin etende got el tem, exonemos lguns, dividiéndols en guos. D.Ing. Dnte Gueeo 6
10 4. FRULS UXILIRES GRU Usndo los teoems de los osenos de los ldos y de los ángulos: os os.os sen. sen.(os.os sen. sen.os ) os (1 sen. sen. sen. sen.os ) os.os sen. sen os.os y desejndo os tenemos: os.os sen. sen.os.os os 1 sen. sen. sen. sen os.os sen. sen.os.os os 1 sen. sen. sen. sen os.os sen. sen.os.os os 1 sen. sen. sen. sen 4. FRULS UXILIRES GRU ot. sen os.os sen. ot ot. sen os.os sen. ot ot. sen os.os sen. ot ot. sen os.os sen. ot ot. sen os.os sen. ot ot. sen os.os sen. ot D.Ing. Dnte Gueeo 7
11 4. FRULS UXILIRES GRU ot. sen os.os sen. ot Demostión: Usndo el teoem de los senos y osenos de los ldos: os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os os os.os sen. sen.os sen os os (os.os sen. sen.os ) sen sen os sen os os.os os 2 sen sen sen. sen.os.os sen. sensen ot 2 1 os sen. sen os.os sen.ot sen sen sen sen 4. FRULS UXILIRES GRU os 2 1 os sen. sen os.os sen.ot dividimosmosmiemosente sen. sen 2 1 os sen. sen os.os sen.ot os sen sen sen. sen ot. sen os.os sen.ot ot. sen os.os sen. ot Ls demás fómuls ueden deduise de ést o otión de lets. D.Ing. Dnte Gueeo 8
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Dados dos triángulos rectángulos PQR y P QR, se dice que son semejantes si tienen un mismo ángulo α en el vértice Q RQ R'Q RQ R'Q PQ P'Q
1..Coneptos sore trigonometrí. 1.1. Definiión. 1.. Rzones de ángulos omplementrios. 1.3. Otr definiión de rzón trigonométri. 1.4. Rzones de ángulos otusos. 1.5. ngulos suplementrios 1.6. Ángulos que difieren
Cuestionario Respuestas
Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de
a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.
Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l
Distancia de un punto del espacio a un punto en el plano de un triángulo
Distni de un unto del esio un unto en el lno de un triángulo onstnti Rusu RESUEN En este rtíulo dmos fórmuls r l distni de un unto del esio S l unto del interior del triángulo Tmién lulmos es distni en
Sistema diédrico Ortogonal: Introducción
El item diédio e un método gáfio que e eng de eeent oe un lno figu o ueo de do o te dimenione. Se tt de un onjunto de egl o iniio lido do lno eendiule oe lo que e oyetn lo ojeto (unto, et, u o ueo). Ete
Representar las dos proyecciones y la tercera proyección de los puntos dados a continuación:
Reeent l o oyeione y l tee oyeión e lo unto o ontinuión: to. lej. ot A + 0 B + = + C + < + D 0 + E - > + F - = + G - > + H - 0 I - > - J - = - K - < - L 0 - M + < - N + = - + > - Lo igno =,> y < e efieen
Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas
pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo
TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal
. ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los
OPERACIONES CON FUNCIONES OPERACIONES CON FUNCIONES
IES Jun Gcí Vldemo Deptmento de Mtemátics º Bchilleto de CCSS. SUMA Y RESTA DE FUNCIONES Dds g unciones eles de vile el se deine l unción sum g como: g g con Dom g Dom Dom g Es deci, l unción g hce coesponde
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
PRODUCTOS NOTABLES. BINOMIO CUADRADO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cudrdo de l sum de dos cntiddes puede representrse geométricmente cundo los vlores son positivos.
Así, si la medida del arco AB es r, entonces:
INSTITUTO EDUAIONAL ARAGUA MARAAY VMOL GUIA DE MATEMATIA, s. TRIGONOMETRÍA Nº Medid de Ángulos: (Siste Rdián y Sexgesil) B O α A Not: En est guí cundo se define l edid del ángulo centl α se lá indistintente
1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10
- Resolver los siguientes determinntes usndo propieddes ) ) / ) d) e) f) / / g) / / / / / / / / / / / / / h) / / / / / / / / / / / / / / / i) / / / / j) / / 8 / k) h k w k w h w h k h k w - Hllr los vlores
Belén Martínez Pérez. Profesora de Enseñanza Secundaria. I.E.S. Pilar Lorengar,Zaragoza.
NUEVS GEOMETRÍS elén Mtínez Péez. Pofeso de Enseñnz Seundi. I.E.S. Pil Loeng,Zgoz. 1.- usndo l geometí. Entones el pinipito señló on gvedd: - No impot, es tn pequeñ mi s! Y gegó, quizás, on un poo de melnolí:
APUNTE: TRIGONOMETRIA
APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo
APUNTES DE CRISTALOGRAFÍA: RETÍCULO RECÍPROCO Màrius Vendrell RETÍCULO RECÍPROCO
RETÍCULO RECÍPROCO A pti el etíulo efinio nteiomente, en el que omo nuo oespone un motivo o llmemos etíulo ieto, es posible efini oto etíulo (que llmemos eípoo) en el ul los tes vetoes funmentles son:
10 problemas Sangaku con triángulos
0 poblems Sgku co tiágulos Ricd Peió i Estuch Eeo 009 Itoducció Los Sgku so us tbls de mde co eucidos de poblems de geometí euclíde cedos e Jpó e el peíodo Edo 603-867 E este peíodo Jpó estb isldo de occidete
TRIGONOMETRÍA II = = ; procediendo igual que antes, pero con h : longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos).
TEMA: 1. TEOREMA DE LOS SENOS despejndo h de ms igulddes: En generl tendremos que resolver triángulos no retángulos, y, en ellos, no es posile plir ls definiiones de ls rzones trigonométris de sus ángulos.
Unidad 5-. Trigonometría II 1
Unidd - Trigonometrí II ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS Sbiendo que sen - / y tg b /7, y que 70 < < 0 y 80 < b < 70, clcul: sen ( b bb cos ( b cc tg ( b Hllmos el resto de rzones trigonométrics
ESPACIO EUCLÍDEO ESPACIO EUCLÍDEO
ESPACIO EUCLÍDEO.- PRODUCTO ESCALAR....- MODULO Y ÁNGULO....- PRODUCTO VECTORIAL...4 4.- PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES...5 5.- ANGULO DE RECTA Y PLANO...6 6.- ÁNGULO DE DOS PLANOS....7 SI α : AX BY CZ
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul
INTRODUCCIÒN Solución de triángulos rectángulos
INTRODUIÒN omo se vio en l unidd 1, l trigonometrí, se encrg de enseñr l relción entre los ldos y los ángulos de un tringulo. Es de sum importnci y que nos yud encontrr ls respuests en l físic, pr medir
HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola
Mtemátic 014 HIPÉRBOLA Definición: Se llm hipérol l conjunto de puntos del plno que cumplen con l condición de que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. pf p f ' = constnte
22. Trigonometría, parte II
22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Extensión del dominio Se P un punto sore l irunfereni x 2 + 2 =. Est irunfereni tiene rdio entro el origen O(0, 0). Denotmos por
ÁREAS. 3. Área de una región triangular en función de: 1. Del inradio. 1. Fórmula básica. 2. Fórmula trigonométrica DEFINICIÓN
ÁS FINIIÓN Áe es e númeo que expes mei e un egión. egión egión uniti 3. Áe e un egión tingu en funión e: 1. e inio omo: p = p. 1u : uni e áe. e ex io Áe e un egión tingu 1. Fómu ási > 9 (p ) (p ) (p )
I.E.S. Ciudad de Arjona Departamento de Matemáticas. 1º BAC
I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC UNIDAD : TRIGONOMETRÍA. MEDIDAS DE ÁNGULOS. GRADOS: Un grdo sexgesiml es el ángulo orrespondiente un de ls 60 prtes en que se divide el ángulo entrl
se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.
Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto
Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51
Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y
ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1
ELIPSE. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l sum de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. L elipse