FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
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- Sergio Medina Miranda
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1 Consejeí de Educción, Cultu y Depotes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simienz C/ Fncisco Gcí Pvón, 16 Tomelloso 1700 (C. Rel) Teléfono Fx: Págin 1 FIGURAS EN EL PLANO POLÍGONOS FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1.- Polígono de ldos: Tiángulo. B Los ángulos inteioes de culquie tiángulo sumn siempe 180º. El áe de culquie tiángulo se puede clcul tvés de S=, siendo un de sus ses y l ltu coespondiente. A c C El peímeto se otiene sumndo sus ldos P=++c. En función de los ldos se clsificn en: ) Tiángulo equiláteo: Tiene los tes ldos igules. El áe se puede tmién clcul como S = El peímeto como P = ) Tiángulo isósceles: Tiene dos ldos igules. c) Tiángulo escleno: Tiene los tes ldos distintos. En función de sus ángulos se clsificn en: ) Tiángulo cutángulo: Tiene los tes ángulos gudos. ) Tiángulo ectángulo: Tiene un ángulo ecto. (ipotenus) c A c) Tiángulo otusángulo: Tiene un ángulo otuso. Siempe veific que = + c (T. Pitágos) c Su áe se puede clcul tvés de l fómul S = 1
2 Consejeí de Educción, Cultu y Depotes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simienz C/ Fncisco Gcí Pvón, 16 Tomelloso 1700 (C. Rel) Teléfono Fx: Págin.- Polígono de ldos: Cudiláteo. Los ángulos inteioes de culquie cudiláteo sumn siempe 60º. Existen dos gndes tipos: Los plelogmos, que tienen los ldos plelos dos dos y los no plelogmos que no cumplen esto. Dento de los plelogmos ce distingui: ) Cuddo: Tiene ldos igules y cuto ángulos ectos. El áe puede clculse como S = El peímeto puede clculse como P = ) Rectángulo: Tiene ángulos ectos. El áe puede clculse como S = El peímeto puede clculse como P = + c) Romo: Tiene ldos igules y, los ángulos igules de en. Sus digonles son distints D d El áe puede clculse como S = siendo D y d ls digonles (en zul y ojo). Su peímeto puede clculse como P = D + d d) Romoide: Tiene los ldos y los ángulos igules dos dos. El áe puede clculse como S = Ente los no plelogmos existen tmién dos tipos: ) Tpecio: Tiene dos ldos plelos El áe puede clculse como S = B + B Dento de estos, ce difeenci el tpecio isósceles, que tiene los ángulos igules dos dos ) Tpezoide: es un polígono de cuto ldos en genel, con ldos no plelos.
3 Consejeí de Educción, Cultu y Depotes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simienz C/ Fncisco Gcí Pvón, 16 Tomelloso 1700 (C. Rel) Teléfono Fx: Págin.- Polígono de 5 ldos: Pentágono..- Polígono de 6 ldos: Hexágono. 5.- Polígono de 7 ldos: Heptágono. 6.- Polígono de 8 ldos: Octógono. 7.- Polígono de 9 ldos: Eneágono. 8.- Polígono de 10 ldos: Decágono FIGURAS CON LADOS CURVILÍNEOS 1.- Cicunfeenci. El ángulo inteio de culquie cicunfeenci mide 60º. El áe del cículo puede clculse como S = π L longitud (peímeto) de l cicunfeenci mide L = π.- Semicicunfeenci.- Secto cicul d El ángulo inteio mide 180º El áe puede clculse como S = π π d = 8 El peímeto viene ddo po P = d + π siendo = d Si el ángulo del secto mide º, el áe vle S = π El peímeto totl P = π 60º + 60º.- Segmento Cicul Si el ángulo del segmento mide º, l supeficie del segmento es: S = π sen 60º Si l cued mide c entonces l supeficie del segmento es:
4 Consejeí de Educción, Cultu y Depotes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simienz C/ Fncisco Gcí Pvón, 16 Tomelloso 1700 (C. Rel) Teléfono Fx: Págin FIGURAS EN EL ESPACIO POLIEDROS Son figus en el espcio (tes dimensiones) limitdos po polígonos plnos llmdos cs. L intesección de dos cs se llm ist. L intesección de tes o más ists se llm vétice. Existen poliedos de mucos tipos e incluso se pueden ce distints clsificciones. 1.- Pism: Es un sólido poliedo fomdo po dos cs (polígonos) igules y plels, llmds ses y unids ente sí po plelogmos, llmdos cs lteles. El volumen de culquie pism es V = S, siendo S el áe de l se y l ltu. En función del polígono se, los pisms se clsificn en : ) Pism tingul, si sus ses son tiángulos. ) Pism cudngul, si sus ses son cudiláteos. c) Pism pentgonl, si sus ses son pentágonos d)... En el cso conceto de que el polígono de l se se egul, decimos que el pism es egul. Dependiendo de l fom de ls cs lteles, los pisms se dividen en: ) Pism ecto: Ls cs lteles son ectángulos (o cuddos) ) Pism olicuo: Ls cs lteles son omos o omoides. Pism tingul ecto Pism cudngul olicuo Dento de los pisms cudngules, í que distingui ente los plelepípedos, poliedos en los que tods sus cs son plelogmos (po tnto tods sus cs son plels dos dos) y los no plelepípedos, que no cumplen est condición. Ente los plelepípedos, podemos distingui el Otoedo (vulgmente llmdo cj de ceills), fomdo po seis cs ectngules y en el que culquie p de cs opuests son plels e igules. En este cso pticul: V = lgo nco lto
5 Consejeí de Educción, Cultu y Depotes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simienz C/ Fncisco Gcí Pvón, 16 Tomelloso 1700 (C. Rel) Teléfono Fx: Págin 5.- Piámide: Es un poliedo cuy se es un polígono culquie y sus cs lteles son tiángulos que tienen (todos ellos) un vétice común. En función del polígono de l se, ls piámides se clsificn en: ) Piámide tingul, si l se es un tiángulo. ) Piámide cudngul, si l se es un cudiláteo. c) Piámide pentgonl, si l se es un pentágono. d)... Piámide cudngul Dependiendo del tipo de tiángulos que configun ls cs lteles, ls piámides se clsificn en: ) Piámide egul: Tods sus cs lteles son tiángulos isósceles o equiláteos. ) Piámide olicu: Algun cs ltel no es tiángulo isósceles ni equiláteo. Existe un figu que esult de quit un piámide de ot myo, seccionndo ést últim con un cote plelo l se. Est figu ecie el nome de piámide tuncd. P culquie piámide, el Volumen es V = 1 S, siendo S el áe de l se. P clcul l supeficie ltel, es necesio sum l áe de l se ls supeficies de cd uno de los tiángulos lteles. Se llmn poliedos egules quellos poliedos que tienen tods sus cs igules. Sólo existen cinco, que son: 1.- Tetedo: En l clsificción nteio seí un piámide tingul fomd po tiángulos equiláteos. Su áe seá: S =.- Octedo: Fomdo po 8 tiángulos equiláteos. Su áe vle: S = Su volumen es: V =.- Cuo o exedo: Pism ecto cudngul fomdo po 6 cuddos. Su áe totl seá: S = 6 Su volumen viene ddo po: V =.- Dodecedo: Fomdo po 1 pentágonos egules. Su áe totl vle: S = 5 (5 + 5) ( ) Su volumen vle: V = 5.- Icosedo: Fomdo po 0 tiángulos equiláteos. Su áe totl vle: S =5 Su volumen vle: V = 5 5 5
6 Consejeí de Educción, Cultu y Depotes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simienz C/ Fncisco Gcí Pvón, 16 Tomelloso 1700 (C. Rel) Teléfono Fx: Págin 6 REDONDOS Son figus en el espcio (tes dimensiones) en los que l menos un de ls cs no es pln. L clsificción más itul distingue ente: 1.- Cilindo: Cuepo sólido limitdo po dos cículos plelos y un c edond que une ls cicunfeencis. Puede se: ) Cilindo ecto: Si l c edond es pependicul los cículos. Su áe totl mide S = π + π (con tps) Su volumen V = π ) Cilindo olicuo: en oto cso.º.- Cono: Cuepo sólido limitdo po un cículo y po un c edond que se otiene de uni un punto exteio (vétice) l cicunfeenci coespondiente. Puede se. ) Cono ecto: Si l líne imgini que une el cento del cículo l vétice, es pependicul l cículo. Se llm genetiz del cono l ect que une el vétice con l cicunfeenci po el cmino más coto. g S = π g + π (con tp), siendo g l genetiz V = 1 π (g = + ) ) Cono olicuo: en oto cso..- Esfe: Cuepo sólido en el que culquie sección es un cículo. Todos los puntos de l supeficie (supeficie esféic) equidistn de un punto fijo inteio l cuepo, llmdo cento. S = π V = π 6
Siempre verifica que a 2 = b 2 + c 2 (Th. Pitágoras)
Págin 1 FIGURAS EN EL PLANO POLÍGONOS FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1.- Polígono de 3 ldos: Tiángulo. B Los ángulos inteioes de culquie tiángulo sumn siempe 180º. El áe de culquie tiángulo se puede
12 Cuerpos. en el espacio. 1. Elementos básicos en el espacio. Dibuja a mano alzada un punto, una recta, un romboide y un cubo.
12 uepos en el espcio 1. Elementos básicos en el espcio ibuj mno lzd un punto, un ect, un omboide y un cubo. P I E N S A Y A L U L A Rect Punto Romboide ubo né clculist 489,6 : 7,5 = 65,28; R = 0 1 2 Escibe
LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS
REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS Nombe: Cuso: Fec: Se llm lug geomético l conjunto de todos los puntos que cumplen un detemind popiedd geométic. EJEMPLO Cuál es el lug geomético
2πR π =
PÁGIN 11 Pág. 1 oodends geogáfi cs 19 os ciuddes tienen l mism longitud, 15 E, y sus ltitudes son 7 5' N y 5' S. uál es l distnci ente ells? R b 7 5' b 5' Tenemos que ll l longitud del co coespondiente
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GEOMETRÍ DEL PLNO 3º E.S.O. FIGURS SEMEJNTES Dos figus son semejntes cundo sólo difieen en tmño. Los segmentos coespondientes son popocionles. d longitud de un de ells se otiene multiplicndo l longitud
Lámina 01. Ejercicio 3. Con la ayuda del compás, trazar: ( AB + CD) - EF, a partir del punto N, y
E F G I J H M K M L N N Q P R S Ejecicio 1. Medi con un egl estos segmentos y not, encim de cd uno de ellos, el esultdo en milímetos. T Ejecicio 2. on l yud del compás, tz: +, pti del punto M, -, pti del
Grupo: Nombre: Fecha: Lámina nº : 1 Contenido: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Nota:
Tz lines ects plels en posición hoizontl Tz lines ects plels en posición veticl Tz lines ects pependicules ls dds Tz lines ects plels l diección indicd Tz lines ects pependicules ls dds Tz lines ects pependicules
. B. con regla y compás. 1.- Trazar, por el punto A, la recta perpendicular. 2.- Trazar, por el punto A, la recta perpendicular
1- Tz, po el punto, l ect pependicul l ect con egl y compás 2- Tz, po el punto, l ect pependicul l ect 3- Tz, po el punto, l ect plel l ect 4- Tz l meditiz del segmento 5- Tz, un ángulo igul l ángulo ddo
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1. SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE. CUERPOS REDONDOS. 4. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Objetivos: Detemin áes de supeficies. Detemin volúmenes de sólidos. 1 1. SUPERFICIE PRISMÁTICA
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Área de figuras planas
4º ESO Mtemátics Acdémics Unidd 0. Áes y voúmenes Áe de figus pns Tendemos en cuent que, en cd cso, memos A áe o supeficie de cd un de s figus pns. Poígonos Cuddo Rectánguo Romo A = do A = se = tu Romoide
Por dos puntos pasan infinitas circunferencias secantes formando un haz. La recta que une los dos puntos es su eje radical.
TNNI. onceptos, popieddes y noms. Po un punto psn infinits cicunfeencis tngentes. L ect tngente ells po dicho punto es su eje dicl. Po dos puntos psn infinits cicunfeencis secntes fomndo un hz. L ect que
Figuras geométricas. GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.
12 Figus geométics L geometí de los egipcios y de los bbilonios fue, sobe todo, páctic. Sin embgo, l ctitud de los giegos fue muy distint: desligon el estudio de ls figus geométics y de sus popieddes de
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1. ELEMENTOS ÁSICOS DE L GEOMETRÍ. 1.1. EL UNTO. Definición. El punto no tiene ptes ni medid ni fom. No tiene dimensiones. Todos los elementos y figus de l geometí están fomdos po puntos. El punto tiene
Arista Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras. Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
OBJETIVO 1 CLASIICAR POLIEDROS NOMBRE: CURSO: ECHA: POLIEDROS Un poliedo es un cuepo geomético que está limitado po cuato o más polígonos. Aista Los polígonos que limitan al poliedo se llaman caas. Caa
9 Cuerpos geométricos
865 _ 045-056.qxd 7/4/07 1:0 Página 45 Cuepos geométicos INTRODUCCIÓN Los cuepos geométicos están pesentes en múltiples contextos de la vida eal, de aí la impotancia de estudialos. Es inteesante constui
Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área.
POLÍGONOS. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. Los elementos de un polígono son los ldos, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, ls digonles, el perímetro y el áre. LADO REGIÓN EXTERIOR A
2.7 Cilindros, conos, esferas y pirámides
UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 58.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides OBJETIVOS Calcula el áea y el volumen de cilindos, conos, esfeas y piámides egulaes Resolve poblemas de solidos
( ) ( ) ( ) i j ij B (1.1) Y que su volumen se expresa en términos del producto punto de vectores como: ( )
Te de Estdo Sólido 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino. Pob que, b b, b π π π Donde los vectoes b i cumplen l siguiente elción: b πδ i j ij Po constucción geométic, los dos conjuntos de vectoes y b
Tema 2. Magnitudes Geométricas
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RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN SEMANA 6 CIRCUNFERENCIA RPTA.: C. 2r 2k = 2R 5k r 2 = R 5 RPTA.: A
SEMN 6 IRUNFERENI. En un tiángulo ectángulo cuyos ángulos gudos miden 7 y 5. lcule l elción ente ls medids indio y el cicundio. ) /5 ) /5 )/0 D) /5 E) /7 Indio R = icundio Dto: + b + c = 4. R =.. : Teoem
2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
REPSO DE GEOMETRÍ MÉTRIC PLN. Hll el siético del punto (, - ) especto de M(-, ).. Clcul ls coodends de D p que el cudiláteo de vétices: (-, -), B(, -), C(, ) D; se un plelogo.. Ddos los vectoes (, k) (,
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Tem 5B. Geometí nlític del plno L geometí nlític estudi ls elciones ente puntos, ects, ángulos, distncis, de un modo lgebico, medinte fómuls lgebics y ecuciones. P ello es impescindible utiliz un sistem
TEORÍA: Te tienes que saber esto y no lo del libro (esta sería una pregunta de lo que he dicho antes en el apartado 4)
José Guzmán Tem Tigonometí pg. nº sevciones: ) Los ejecicios esueltos te los tienes que pende muy ien, poque los de los eámenes seán pecidos ) Los ejecicios que tu hgs, en cs y en los eámenes, tienen que
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE
Pág. Página 68 Reconoce, nomba y descibe figuas geométicas que apaecen en esta ilustación. Respuesta libe. Po ejemplo: cilindo, otoedo, cono, pisma tiangula Recueda otas figuas geométicas que foman pate
la integral de línea de B alrededor de un trayecto cerrado
LEY DE AMPERE L ley de Guss de los cmpos elécticos implic el flujo de E tvés de un supeficie ced; estlece que este flujo es igul l cociente de l cg totl enced dento de l supeficie ente l constnte ε. En
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Perímetros. Cuadrado: EL PERÍMETRO: a a P = a + a + a + a P = 4a
Perímetros EL PEÍMETO: udrdo: P El perímetro de ls figurs puede medirse usndo uniddes de medid de longitud. Por lo tnto se puede medir en centímetros, decímetros, metros. Ejemplo: El perímetro del triángulo
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- 1 - pítulo I: plelismo y pependiculidd Definición de ects plels Si dos ects coplnes no se cotn diemos que son plels xiom de Euclides Si dos ects coplnes ( y ) son cotds po un tece () fomndo ángulos colteles
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Generalidades y ángulos en la circunferencia. II Medio 2016
Genealidades y ángulos en la cicunfeencia II Medio 2016 pendizajes espeados Identifica los elementos de una cicunfeencia y un cículo. Calcula áeas y peímetos del cículo, del secto cicula y del segmento
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