TEMA 5: VECTORES 1. VECTOR FIJO

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1 TEMA 5: 1. VECTOR FIJO Hy gnitudes que no quedn ien definids edinte un núeo el, necesitos deás conoce su diección y su sentido. Ests gnitudes se lln gnitudes vectoiles y ls epesentos edinte. P detein un vecto necesitos dos puntos A y B. Estos dos puntos deteinn un segento que se design po AB o BA indistintente. Si en ese segento deteinos un sentido de ecoido (de A hci B o de B hci A), se estlece un oigen o punto de ptid y un exteo o punto de llegd. Lleos vecto fijo AB un segento oientdo que teng su oigen en el punto A y su exteo en el punto B. AB indic un desplziento de A hci B. BA indic un desplziento de B hci A. segento AB o BA vecto fijo BA vecto fijo AB Todo vecto fijo v tene los siguientes eleentos: Módulo del vecto: es l longitud del segento AB. Diección: es l diección de l ect que ps po esos dos puntos o culquie plel ell (d un edid de l inclinción del vecto). Sentido: de A hst B o de B hst A. Osev que el sentido del vecto AB es opuesto l del vecto BA. Mis diección y sentido Igul diección y sentidos contios 1/9 IBR IES LA NÍA

2 . VECTOR LIBRE Osev los vectoes epesentdos en l figu: Todos ellos tienen l is diección, el iso ódulo y el iso sentido. Dieos que son vectoes equipolentes. Si estudios los vectoes sin ipotnos su punto oigen (punto de plicción), todos los efectos nos seá igul tj con culquie de los vectoes nteioes. El conjunto fodo po un vecto y todos sus equipolentes se ll vecto lie. Ejecicios: 1º) Indic el oigen y el exteo de cd uno de los vectoes epesentdos en l siguiente figu y gúplos en conjuntos de vectoes equipolentes. º) Osev el octógono de l figu y not los vectoes fijos epesentdos. Indic cuántos vectoes lies hy epesentdos en l figu. 3º) Repesent los vectoes AB, CD, OP, RS, MN y QT y copue que son equipolentes: ) A(5,), B(8,4) ) C(-6,-1), D(-3,1) c) O(0,0), P(3,) d) R(-1,-3), S(,-1) e) M(3,0), N(6,) f) Q(-1,3), T(,5) Todos equivlen un iso oviiento, cuál? Qué vecto seí el ejo epesentnte de todos? Cd vecto lie V puede est epesentdo po culquie de sus vectoes fijos y que todos ellos epesentn un único oviiento. Dicho oviiento se puede expes con un p odendo de núeos eles ( v 1, v ), donde v 1 es el desplziento hoizontl y v es el desplziento veticl. Este p odendo ( v 1, v) ecie el noe de coodends o coponentes del vecto lie. /9 IBR IES LA NÍA

3 En genel, si teneos un vecto fijo, deteindo po P x p, y ) y Q x q, y ), ls coponentes del ( p ( q vecto lie que epesentn se otienen estndo ls coodends del exteo enos ls coodends del oigen: V = PQ = x x, y y ) ( q p q p El vecto fijo que tiene el oigen en O(0,0), oigen de coodends, y exteo en el punto de coodends v, ) es el ás sencillo de epesent y se dice que es el epesentnte cnónico ( 1 v del vecto lie V = v, ) ( 1 v Ejecicios: 4º) Copue que los vectoes OA, BC, DE, FG, PQ son equipolentes: A(,3), B(3,), C(5,5), D(-3,-1), E(-1,), F(3,-5), G(5,-), P(-1,-4), Q(1,-1). Cules seín ls coponentes del vecto lie que epesentn? Si H(-,3) cuál seí el exteo I del vecto fijo HI p que se equipolente los deás? 5º) Clcul el vecto PQ en los siguientes csos: ) P(1,0), Q(3,-) ) P(,3), Q(,1) c) P(-3,-1), Q(1,4) d) P(0,0), Q(-,-) 6º) Copue nlític y gáficente si los vectoes AB y CD son equipolentes, siendo A(3,1), B(7,), C(-5,) y D(-1,3) 7º) El vecto AB tiene coodends (3,-4) y el oigen A es (3,-1). Cuáles son ls coodends del exteo B? 8º) Copue si los puntos A(-3,-3), B(1,6), C(5,7) y D(,-) son vétices consecutivos de un plelogo. 9º) Si v =(5,3) y su exteo es el punto (1,1), clcul el oigen. 10º) Ddos los puntos A(1,), B(3,5) y C(-1,3), clcul ls coodends de:. Un punto D p que ABCD se un plelogo.. Un punto E p que ABEC se un plelogo. c. Un punto F p que ACBF se un plelogo. 3. OPERACIONES CON 3.1 SUMA Ddos dos vectoes lies de coponentes V = ( v 1, v ) y W = ( w 1, w ) definios su su coo el vecto lie de coponentes: V + W = v + w, v + ). ( 1 1 w Gáficente equivle epesent los dos vectoes con el iso oigen. El vecto su se otiene coo l digonl del plelogo que tiene po ldos los vectoes V y W. 3/9 IBR IES LA NÍA

4 Tién se pueden su gáficente hciendo que el oigen de W coincid con el exteo de V ; l su se otiene l uni el oigen de V con el exteo de W. P est dos vectoes se su l pieo el opuesto del segundo. 3. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL Ddo un núeo el k y un vecto V = ( v 1, v ) se define el poducto del núeo el po el vecto coo: k V = ( k v1, k v ) El vecto k V tiene ls siguientes ccteístics: L diección es l is que l de V. El sentido es el iso que el V si k es positivo, y contio l de V si k es negtivo. El ódulo es el ódulo de V ultiplicdo po el vlo soluto de k. 3.3 COMBINACIÓN LINEAL DE Si coinos ls dos opeciones que cos de defini podeos escii expesiones coo l siguiente: α V + β W, donde α y β son núeos eles. Un expesión de este tipo ecie el noe de coinción linel de los vectoes V y W. Ejeplo: Ddos los vectoes U = (3,4) y V = ( 1,7), el vecto que se otiene l efectu U + 3V es un coinción linel de U v y V. Sus coponentes son: U + 3V =(6,8)+(-3,1)=(3,9) Un cso especil son los vectoes i = (1,0), j = (0,1), y que culquie vecto se podá expes fácilente coo coinción linel de ellos dos. Po ejeplo, el vecto v = (4,3) se puede expes coo: v = (4,3) = 4 (1,0) + 3(0,1) = 4i + 3 j. 4/9 IBR IES LA NÍA

5 Así, es tn fecuente expes un vecto coo V = v 1, v ) ( o coo V = v i 1 + v j Ejecicios: 11º) Si U = (,4) y V = ( 4, 1), clcul ls coponentes de U + V y de U V. Repesent los vectoes en un siste de coodends y copue gáficente los esultdos. 1º) A(,1), B(1,3), C(4,-1), D(x,y). Clcul el vétice D siendo que el vecto lie que se otiene l su AB + CD tiene su exteo en el punto P(3,10). 13º) Ddos los vectoes u = i + 3 j y v = 4i j otén los 4 vétices del plelogo que tiene coo ldos consecutivos u y v. 1 ( 3u1+ u = (1,3), w = u1 u = (3,1), t = 3u1 + 3u = ( 6, 14º) Ddos los vectoes u = 1,1) y u = ( 1,0) clcul gáficente ls siguientes coinciones lineles: v = 3) 15º) Repesent en l cudícul ls siguientes coinciones lineles de V y W : v + w, v + w, v + w, v + w, v w v w 3 5/9 IBR IES LA NÍA

6 4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Consideeos el segento de exteos A ( x, y ) y B ( x, y ) ; queeos veigu ls coodends del punto edio de dicho segento. Consideeos los vectoes AB y AP, se cuple que AP = AB Si llos P = x, y ) : ( x x, y y ) = ( x x, y y ) x y x y = x = y ( ( x x,y y ) = ( x x, y y ) x y x y = x = y + x x + y y x = = y + x + y P x + x y + ( A, B) =, y Ejecicios: 3 16º) Clcul el punto edio del segento de exteos A(-3,5) y B, 1. 17º) Ddo el segento de exteos A(-3,-5) y B(5,) hll un punto P de este segento, de ne que l distnci de P A se tes veces yo que l distnci de P B. 18º) El exteo de un diáeto de un cicunfeenci de cento (-4,1) es (,6). Hll ls coodends del oto exteo. 19º) Divide el segento de exteos A(-3,-3), B(3,6) en tes ptes igules. 0º) Clcul ls coodends del exteo C del segento que une este punto con A(,-3) siendo que B(-4,1) está situdo un distnci de A que es igul ls tes quints ptes del totl del segento.[(-8,11/3)] 1º) Los exteos de un segento son A(0,-) y B(6,4). Hll ls coodends de los puntos que lo dividen en 5 ptes igules. [(6/5,-4/5), (1/5,/5), (18/5,8/5), (4/5,14/5)] 5. PRODUCTO ESCALAR DE DOS Hst ho seos su vectoes, ultipliclos po núeos eles y, con ls dos opeciones, hce coinciones lineles de ellos. Vos intoduci un nuev opeción: el poducto escl de vectoes. Si V y W son dos vectoes se ll poducto escl de V y W l esultdo de: V W = V W cosα, siendo α el ángulo fodo po V y W. Not que el esultdo es un nº el, no un vecto, po eso se ll poducto escl (nº el). 6/9 IBR IES LA NÍA

7 Ejecicios: º) Si U =, V = 3 y seos que fon un ángulo de 30º, clcul:. U V. U V d. U U 1 e. U U V c. U ( V ) 3º) En un tiángulo equiláteo ABC de ldo 4c, llos U = AB, V = BC, los siguientes poductos escles: U V, V W, W U, U U, V W. 4º) De qué depende el signo del poducto escl de dos vectoes? W = AC. Clcul Expesión nlític del poducto escl: Vos ve ot expesión p el poducto escl de dos vectoes que nos peit us sus coponentes. Si V = ( v 1, v ) y W = ( w 1, w ) tién se podán expes coo V = v1 i + v j y W = w1 i + w j V W = ( v i + v j) ( w i + w j = v w i i + v w i j + v w j i + v w j j = 1 1 ) v1 w1 1 1.cos 0º + v1 w 1 1 cos90º + v w1 1 1 cos90º + v w 1 1 cos0 = v1 w1 + v w = º Que es un fo uy sencill de clcul el poducto escl de dos vectoes cundo conoceos sus coponentes. Ejecicios: 5º) Clcul los siguientes poductos escles, V = ( 5,), W = (7,1) y U = (4,10) :. V W. U V c. ( V + 3W ) U = [114] d. U U 6º) Si V = ( 5, 3) y W = ( 1, ), cuánto dee vle p que el poducto escl de V y W se igul 0? [-5] 6. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR 6.1 Módulo de un vecto Si V es un vecto culquie V V = V V cos0º = V V = + V V = + v + 1 v Not que coincide gáficente con el teoe de Pitágos: 7/9 IBR IES LA NÍA

8 Vecto unitio: Lleos vecto unitio quel que teng ódulo 1. Los vectoes i = (1,0 ), j = (0,1) son unitios. Ddo un vecto culquie V, se define el vecto unitio socido V coo quel que tiene l is diección y sentido que V y deás es unitio: Si V = v 1, v ) ( U V = v v 1,, es inedito copo que U V =1. V V Ejecicios: 7º) Clcul el poducto escl y los ódulos de : ) V =(3,4) y U =(-4,3) U = (3,5) ) V =(-1,6) y 8º) Clcul el vecto unitio socido cd uno de los nteioes. 6. Ángulo de dos vectoes Recodndo l expesión del poducto escl de dos vectoes: V W otene el cosα: V W cosα = V W v1 w1 + v w = V W = V W cosα, podeos Siepe se consideá el ángulo 0 α 180º. Si el coseno es positivo nos quedeos con el ángulo del pie cudnte y si es negtivo del segundo. Otogonlidd: Dieos que V y W son otogonles, y lo epesenteos coo V W, cundo foen un ángulo de 90º. Si V 0 y W 0 : V W α = ng( V, W ) = 90 º cos α = 0 V W = 0 Los vectoes i = (1,0 ), j = (0,1) son otogonles. Ejecicios: 9º) Copue que los vectoes U = ( 3,4) y V = (8,6) son otogonles. Clcul sus vectoes unitios socidos y copue que siguen siendo otogonles. 30º) Clcul el poducto escl, los ódulos y el ángulo fodo po los siguientes pes de vectoes:. U =(1,3) y V =(3,-1) [90º]. U =(-,6) y V =(3,5) V =, y W =, 1 [0º] c. ( ) ( ) 8/9 IBR IES LA NÍA

9 31º) Ddos los vectoes U = ( 3, 4) y V = (5,6), clcul:. El ángulo que fon U y V.. Un vecto en l diección de U, con el sentido opuesto y unitio. c. Un vecto en l diección y el sentido de U y que id 3 uniddes. 3º) Hll el ángulo que fon los vectoes AP y AQ : A(,0) P(-,1) Q(6,8) [10,53º] 33º) Justific que el cudiláteo ABCD, A(-,0), B(3,), C(5,-3), D(0,-5) es un cuddo.[l= 9 ] 34º) Busc un vecto otogonl U =(3,-4) ) Del iso ódulo. ) Con ódulo 10. c) Unitio. 35º) Ddo el vecto v =(1,-7), encuent dos vectoes con l is diección que v y que sen unitios. 36º) Ddos los vectoes OA = i + j, OB = 5 i + 5 j, OC = i + 6 j, OD = i+ j, deuest que el cudiláteo ABCD no es un ectángulo y clcul su peíeto.[ ( ) u ] 37º) Hll el vlo de x siendo que v =(6,x) y v =10.[x= ± 8 ] 38º) Clcul el ángulo que fon los siguientes vectoes con l diección del eje OX: ) (-, 3 ) ) (1,1) 39º) Seos que u =3, t =/3 y que ng( u, t )=ng( v, w), siendo v =(1,0) y w=(1,1). Clcul u. t. [ ] 40º) Siendo que u = y que t =3. u,clcul u. t [1] 41º) Si v =(3,-1) w=(,). Clcul el vlo de "" p que el vecto v se otogonl l vecto v + w. [-8/3] 4º) Ddos u =(3,5) v =(,-1). Clcul p que v teng l is diección que u + v. 43º) Qué tipo de tiángulo es A(-,), B(4,), C(1,8)? Clcul su áe. [ 9 6u ] 44º) Detein el vlo de x p que los vectoes v =(3,x) y w=(,-1) : ) Sen otogonles[6] ) Tengn l is diección[-3/] c) Foen un ángulo de π/4 dines.[-9 y 1] 45º) El tiángulo ABC es ectángulo en A, siendo sus vétices A(3,5), B(1,3) y C(,10). Hll. [-] 46º) Clcul un vecto otogonl u =(3,4) y cuyo poducto escl po v =(,-3) vlg 1. 47º) El tiángulo ABC, A(,1), B(4,3), es ectángulo en A, y deás es isósceles. Clcul ls coodends del vétice C. 48º) v =(-,- 3 ), clcul un vecto que foe con v un ángulo de 60º y cuyo ódulo se l itd que el de v. 9/9 IBR IES LA NÍA