Velocidad en el movimiento relativo

Transcripción

1 INTRDUCCIÓN AL MIMIENT RELATI elocidd en el movimiento eltivo Fig.1 o Se un punto donde se sitú un S.R. con unos ejes (x,y,z) que vn pemnece fijos (en l páctic no es posible disceni medinte un expeimento, ente S.R. que están fijos o quellos que se mueven con movimiento ectilíneo y unifome) y oto S.R. con ejes (x',y',z') en ', que se mueven especto de los ejes en con velocidd fig.1. L posición de un móvil P, especto de los ejes en, viene definid po el vecto de posición, mients que especto de los ejes móviles en ' viene detemind po. P elcion el movimiento de P descito po obsevdoes situdos en y ' se obsev en l fig.2 que se cumple l elción vectoil. uuuu = + Deivndo especto del tiempo y considendo que éste tnscue po igul p los obsevdoes situdos en cd S.R. d d uuuu d = + o bien, v = + v [1] o v es l velocidd medid po el obsevdo en eposo, fecuentemente se llm velocidd bsolut. uuuu P es l velocidd de los ejes situdos en ', se conoce como velocidd de ste. v es l velocidd del móvil P, medid po el obsevdo en. se design como velocidd eltiv. = + v bsolut ste v eltiv Fig.2 De l nteio ecución se deduce, que l velocidd bsolut es igul l de ste más l eltiv. Ejemplo 1: Un psillo mecánico de un eopueto, se mueve especto de unos ejes situdos en el suelo un velocidd de 1,5m/s. Si un joven coe po el mismo un velocidd de 3m/s y en el mismo sentido, cuánto vlen l velocidd de ste, l eltiv y l bsolut?. 1

2 L velocidd de ste es l del psillo mecánico, es deci l de los ejes en ', fig.3. o v = 1,5 i m / s L velocidd eltiv es l que llev el joven especto de los ejes móviles en. v 3i = m / s Fig.3 L velocidd bsolut. v = + v = 1,5 i + 3i = 4,5 i m / s Compuébese que cundo el joven co po el psillo en sentido contio, l velocidd bsolut es de 1,5 i m / s. Ejemplo 2: Dos utomovilists A y B se desplzn po un cete con ls siguientes velociddes v A = 120 km/h y v B = 100 km/h. Detemínese l velocidd eltiv: ) cundo vijn en el mismo sentido y b) cundo lo hcen en sentidos contios. ) Cundo vijn en el mismo sentido v A v B Ls velociddes v A y v B son espectos de los ejes en (x,j,z) fijos en tie, sin embgo lo que se pide es un velocidd eltiv. P clcul l velocidd de B especto de A, debemos conside en A los ejes móviles (x, y, z ) y conside l velocidd de éste v A como si fue l velocidd de ste. Si llmmos con v B, A l velocidd eltiv de B especto de A, esult de plic l ecución [2]. v eltiv= v bsolut ste v = v v = 100 i 120 i = 20 i km / h B,A B A P el conducto B, l velocidd eltiv es v, A B y po ls misms zones. v = v v = 120 i 100 i = 20 i km / h A,B A B 2

3 b) Cundo vijn en sentidos contios, es ho v B = 100 i km / h v A v B L velocidd de B especto de A, vle. v eltiv= v bsolut ste v = v v = 100 i 120 i = 220 i km / h B,A B A v = v v = 120 i 100 i = 220 i km / h L velocidd de A especto de B, vle: A,B A B ( ) Ejemplo 3: Cundo no sopl viento, ls gots de lluvi cen veticlmente sobe el suelo lcnzndo un velocidd constnte v o. Un utomovilist cicul hoizontlmente con velocidd constnte. Detemínese: ) L ecución de l tyectoi de ls gots de lluvi p el obsevdo en el utomóvil. b) L velocidd de un got de lluvi p el conducto, sbiendo que se h fomdo en un punto de coodends (x o, y o ) especto de unos ejes fijos en tie. ) Considemos que el tiempo que vn medi mbos obsevdoes es el mismo t = t y que en el instnte inicil es t o =t o = 0 y que los ejes (x o, y o ) ligdos l utomóvil y los ejes fijos en el suelo, coinciden en el mismo punto, fig.4. En un instnte posteio t, l situción viene indicd en l fig.5. en l que el utomóvil se h desplzdo uuuu especto de los ejes fijos el vecto = t uuuu Fig.5 Fig.4 (x, y) Ente los vectoes de posición de l got de lluvi especto de los sistems de ejes en y en, se cumple l elción vectoil. uuuu = = t i El vecto de posición de l got especto de los ejes fijos en. = x i + y v t j ( ) o o o El vecto de posición de l got especto de los ejes móviles en. = x i + y j ; peo i= i y j= j 3

4 x i y j s x t i y v t j Sustituyendo en l pime: + = ( ) + ( ) 0 o o Igulndo ls componentes esult: x = xo t ; y = yo v o t l ecución de l tyectoi de ls gots de lluvi p el obsevdo en el utomóvil, se obtiene eliminndo el tiempo ente ls dos ecuciones nteioes. v x v v o o o o y = yo + x = C + x Que es l ecución de un líne ect de pendiente v o. El ángulo que fom l tyectoi de v o ls gots de lluvi con l hoizontl es α = c tg y p el conducto llueve sesgdo. b) L velocidd especto del utomovilist que está en movimiento es un velocidd eltiv v v= + v = i v j o o Considendo que ls gots de lluvi cen un velocidd de 23 km/h y que el utomóvil llev un velocidd de 90 km/h. El ángulo con el que ce l lluvi p el conducto es de 14,3º y l velocidd de l lluvi v = 25 i 6,4 j m / s. El módulo de est velocidd es 25,8 m/s = 93 km/h. Aceleción en el movimiento eltivo mos conside el cso de que los ejes en se mueven con celeción especto de los ejes fijos en y p veigu l elción ente los vectoes celeción, se vn deiv los vectoes velocidd [1] especto del tiempo: o dv d d v = + ; = + [3] uuuu P es l celeción bsolut, es deci l que llev el móvil P, especto de los ejes fijos en, fig.6. es l celeción de ste, debid l movimiento con celeción de los ejes móviles en ' especto de. es l celeción del móvil P, especto de los ejes móviles en ' es l celeción eltiv. Fig.6 bsolut = + ste eltiv Se puede fim que l celeción bsolut es igul l celeción de ste más l eltiv. 4

5 = Cte Un cso de especil inteés se pesent cundo los ejes móviles en ', tienen un movimiento ectilíneo y unifome con = Cte. fig.7. Entonces: uuuu P d = = 0 Aho, l celeción del punto P es l mism, medid desde el S. R. fijo en, que desde el S. R. móvil en '. Se cumple que: Fig.7 = Los sistems de efeenci que cumplen est condición se llmn ineciles. Ecución cinemátic de velociddes Suponiendo que los ejes en movimiento tienen especto de los ejes fijos, un movimiento de tslción con velocidd y oto de otción lededo del eje con velocidd ngul ω, fig.8, entonces l velocidd de un móvil en P, cuyo vecto de posición especto de los ejes en es se deteminá po l ecución cinemátic de velociddes 1. ω P Con nteioidd, en l ecución [2] se h expesdo l velocidd bsolut, como sum de l de ste más l eltiv. Anlizemos ho cd uno de estos dos sumndos. L velocidd de ste es debid l movimiento de los ejes móviles en y en el cso popuesto se compone de dos vectoes; uno debido l tslción y oto l otción. Como en l fig.8 el móvil en P viene detemindo especto de ' po el vecto de posición esult. v ste = + ω Fig.8 L velocidd eltiv del móvil en P, es l que tiene especto de los ejes móviles situdos en y se design como v. En consecuenci, l velocidd bsolut v del móvil en P especto de los ejes fijos en, se clcul po l ecución cinemátic de velociddes: 1 Nos limitemos explic conceptos sin ent en demostciones que pueden encontse en culquie texto de Mecánic. 5

6 v = + ω + v [4] En el cso pticul de que los ejes móviles solo gin y no hy tslción entonces = 0 ecución se educe : v = ω + v y l Ejemplo 4: Un tío vivo de dio 3,5 m, gi 4.p.m. Po l peifei se desplz un joven con un velocidd v especto de l pltfom. Detemínese el vlo v p que el joven pemnezc en l mism posición fente un obsevdo situdo en el suelo en, fig.9. Los ejes móviles en no se tsldn de modo que = 0. Si se plic l ecución cinemátic de velociddes teniendo en cuent que ho, l velocidd bsolut v, que es l que mide el obsevdo en eposo en el suelo, es nul esult. v ω ω n τ 0 = ω +v de donde v = -ω En l fig.8 se epesentn los vectoes ω y demás de los vectoes unitios, tngente τ y noml n que son pependicules ente sí. Apece tmbién el vecto ω que es tngente l peifei del disco y el vecto v de l mism diección y sentido contio. pendo con los os del ejecicio: 2π d ω = 4 j ; = 3,5( n )m 60 s Fig.9 2π v = ω = 4 j ( 3,5 n) = 1,47τ m / s 60 Ejemplo 5: Suponiendo que el joven coe l mism velocidd peo en sentido contio l del cso nteio. Cuál es su velocidd l ps fente l obsevdo situdo en el suelo en?. Aho l velocidd especto de los ejes situdos en l pltfom, velocidd eltiv es: v = [ ω ] = ω Como l velocidd de ste debido l otción de los ejes vle ω, esult: v = ω + v = ω + ω = 2ω Sustituyendo vloes: v = 2ω = 2 1,47τ = 2,94τ m / s 6

7 ECUACIN CINEMATICA DE ACELERACINES 1. Consideemos unos ejes en que gin con un velocidd ngul ω vible con el tiempo, fig.10. Si el móvil se encuent en eposo especto de los ejes en movimiento es v = 0 y entonces l celeción de ste que expeiment debido l otción de los ejes móviles se compone de dos téminos: ω ω = ω ( ω ) c t dω = conocido como celeción centípet. llmd celeción tngencil. c t Si demás los ejes en se desplzn especto de unos ejes ineciles fijos en, con celeción de tslción entonces l celeción de ste debido l movimiento de los ejes, es l sum vectoil de ls tes celeciones. dω ste = + ω ( ω ) + Fig.10 En el cso de que l velocidd ngul ω = const nte no hy celeción tngencil y l ecución nteio se educe los dos pimeos sumndos. 2. Si el móvil no pemnece en eposo con elción los ejes en movimiento en, es deci tiene un velocidd v especto de ellos, entonces pece un celeción complementi conocid como de Coiolis y definid po el poducto vectoil. ω ω = 2ω v CR En l fig.11 se dibuj sol l celeción de Coiolis p fcilit su compensión, sin embgo sobe el móvil en otción, siempe ctú cundo menos l celeción centípet compñndo l de Coiolis. v Fig.11 2ω v 3. Cundo el móvil se desplz con celeción con elción los ejes móviles en pece tmbién l celeción eltiv. 4. Aceleción bsolut. Considendo que l celeción bsolut es l medid desde unos ejes ineciles en eposo, se puede expes como l sum vectoil de l celeción de ste, más l de Coiolis, más l eltiv. Se obtiene entonces l ecución cinemátic de celeciones. dω = + ω ( ω ) + + 2ω v + [5] 7

8 Ejemplo 6: Detemin l celeción bsolut de un stélite que gi en el Ecudo teeste, un ltu ' especto del cento de l Tie y con un velocidd constnte especto de ést v, en el mismo sentido de l otción teeste, fig.12. Se tomán unos ejes unidos l Tie y con oigen en su cento, seán los ejes móviles puesto que hn de gi con ell con velocidd ngul constnte ω. Los ejes que pemiten detemin el movimiento bsoluto están fue de l Tie, p que no estén fectdos po su otción. El poblem equiee vis poximciones p pode se boddo, sí que no se tendán en cuent el efecto de ste, poducido po el movimiento de tslción de l Tie en su tyectoi elíptic lededo del Sol, ni el de éste lededo del cento de nuest Glxi. En consecuenci tenemos que tom: = 0 dω Además l se l velocidd de otción de l Tie constnte ω T = Cte; = 0 Sustituyendo ests dos condiciones en l ecución cinemátic de celeciones [5] esult. v CR c Fig.12 ω T = ω ( ω )+ 2ω v + T L celeción centípet = ω ( ω ) y l de Coiolis l fig.11. CR c = 2ω v se dibujn en P detemin l celeción eltiv se debe ecod que estmos considendo el movimiento del stélite con elción l Tie y con velocidd constnte v. Si n es un vecto unitio en l diección dil y cuyo sentido es hci el cento de l Tie, entonces l celeción eltiv tiene que se de l fom: 2 v = n Como todos los vectoes multiplic vectoilmente son pependicules ente sí, esult muy fácil detemin sus módulos. bsevndo l figu y teniendo en cuent el vecto unitio n ntes definido, se puede expes l celeción bsolut: v 2 v ω n 2 ω v n n ω 2 ω v = + + = + + n 2 En el cso pticul de un óbit geoestcioni, v = 0 y l celeción bsolut = ω n. 8