x y Si el vector está en tres dimensiones: x y z cos cos cos 1 Conociendo dos ángulos, el tercero queda determinado.

Transcripción

1 Sum de ectoes Si tienen el mismo punto de plicción se tzn plels cd ecto po el extemo del oto. Si están uno continución de oto, se une el oigen del pimeo con el extemo del último. S c S - L est es un cso pticul de l sum: ( ) Si los ectoes son plelos, l sum tiene l mism diección y sentido, el punto de plicción está en l ect que une los puntos de plicción, de fom que l multiplic el módulo de cd ecto po su distnci l punto de plicción de l sum se otiene un constnte: y AO BO (fuez po zo igul l ot po el suyo) Módulo de un ecto. Componentes de un ecto Z Z x Y El módulo de un ecto es su longitud, se clcul utilizndo el teoem de Pitágos y se epesent po o. x y Ls componentes de un ecto son sus poyecciones soe los ejes de coodends. Son ectoes, en l diección de los ejes de coodends, que sumdos dn el ecto: x y cos sen cos Si el ecto está en tes dimensiones: A O + B Y x x y cos cos ; cos ; cos y z cos z cos A los cosenos de los ángulos que fom el ecto con los ejes de X coodends se les llm cosenos diectoes y su sum es l unidd. x y z x y z cos cos cos Vectoes unitios Conociendo dos ángulos, el teceo qued detemindo. Un ecto unitio es un ecto de módulo. Hy tntos ectoes unitios como diecciones posiles. Los ectoes unitios en l diección de los ejes de coodends se denominn i, j y k. P otene el ecto unitio en l diección de un ecto se diide el ecto ente su módulo: xi yj zk u i j k Los cosenos diectoes son ls componentes del ecto unitio. co Jie Col 4-5

2 Poducto de un escl po un ecto Cundo se multiplic un númeo n po un ecto se otiene oto ecto n eces más gnde, en l mism diección y con el mismo sentido si el signo del escl es positio. Poducto escl - Se define como un númeo (escl) que es igul l poducto de los módulos po el coseno del ángulo que fomn. cos El poducto escl es conmuttio Si tenemos los ectoes en función de sus componentes: y se nul cundo los ectoes son pependicules. ( i j k) ( i j k) i i i j i k x x x y x z j i j j j k y x y y y z k i k j k k z x z y z z x x y y z z Los poductos de ectoes igules son i i j j k k cos Los de ectoes difeentes se nuln poque el ángulo que fomn es 9º L plicción fundmentl es el cálculo del ángulo que fomn dos ectoes: cos xx yy zz cos x x y y z z Poducto ectoil x Se define como un ecto que tiene el mismo punto de plicción, módulo igul sen, diección pependicul l plno de los ectoes y sentido el del tonillo l ps del pimeo l segundo. El poducto ectoil no es conmuttio, Si tenemos los ectoes en función de sus componentes y multiplicmos: ( i j k) ( i j k) ii ij ik x x x y x z ji jj jk y x y y y z ki kj kk z x z y z z El poducto de dos ectoes igules se nul ii jj kk sen El poducto de dos ectoes difeentes es un ecto unitio ddo po l egl del tonillo k k k ij k ji k ki j ik j jk i kj i i j i j i j Sustituyendo el lo de los poductos, tenemos: ( yz z y)i ( zx x z)j ( xy y x)k co Jie Col 4-5

3 En l páctic se esuele utilizndo un deteminnte: i j k i j k i j k ( )i ( )j ( )k y z z x y x z y z y z x x z x y y x i j k Téminos positios: i j k Téminos negtios: Un de ls plicciones que tiene el poducto ectoil es el cálculo de áes definids po dos ectoes: h S h sen Momento de un ecto Se define el momento de un ecto, plicdo en el punto P, con especto l punto O como el poducto ectoil M M OP Si tenemos que clcul el momento de ios ectoes plicdos O P en el mismo punto, pimeo se sumn y después se clcul el momento del ecto esultnte. (Teoem de Vignon) Poducto mixto de tes ectoes Se define como el poducto escl de un ecto po el x c ectoil de los otos dos, ( c). Su lo soluto epesent el olumen del plelepípedo definido po los tes ectoes. El olumen de l figu es V S h 9 c El áe de l se es el módulo c y l ltu h sen(9 ) cos Si el poducto mixto es ceo los ectoes son coplnios. El poducto mixto tmién se puede clcul utilizndo un deteminnte: ( c) c c c De culquie plelepípedo se pueden sc seis tetedos, po lo que el olumen de un tetedo es l sext pte del poducto mixto. Vmos e cómo se pueden sc seis tetedos de un plelepípedo: co Jie Col 4-5

4 Hy que tom los puntos (étices) de cuto en cuto, dos eces cd uno, sin que estén en el mismo plno. Deid de un ecto Si tenemos un ecto en el que ls componentes dependen de un pámeto t, l deid es un ecto, es oto ecto que se otiene deindo cd un de ls componentes: d df(t) dg(t) dh(t) f(t) i g(t) j h(t)k i j k dt dt dt dt Cinemátic Pte de l ísic que estudi los moimientos sin peocupse de ls cuss que los poducen. Supongmos un cuepo que descie l tyectoi que se epesent en l figu. En ell definimos: = - s Vecto de posición es el que une el oigen de coodends con l posición del cuepo que se muee en cd instnte. L tyectoi descit po el móil es l sucesión de los puntos po los que ps. Vecto desplzmiento con l finl. es el ecto que une l posición inicil Vecto elocidd es l ición del ecto de posición con especto l tiempo. L elocidd puede se: Velocidd medi t Velocidd instntáne d lim t t dt A medid que t se hce más pequeño,, se pece más l tyectoi s, y cundo t el ecto elocidd es tngente l tyectoi. L celeción se define como l ición de elocidd con especto l tiempo: d lim t t dt co Jie Col 4-5

5 Componentes de l celeción: Aceleción tngencil: T N Supongmos dos puntos muy póximos, l celeción podemos expesl como sum de dos ectoes, uno plelo l elocidd y oto pependicul. T N lim lim lim T N t t t t t t T celeción tngencil, en l diección del ecto N celeción noml, en l diección pependicul Vmos e cuánto le cd un de ells: Aceleción noml: s ( )cos d lim lim u lim u u t t t dt T T T T T t t t N ( )sen sen sen sen N lim lim un lim un lim un t t t t t t t t s s lim un lim un t t t t El témino sen, es el poducto de dos infinitésimos. P ángulos muy pequeños sen y como con lo que el lo de l celeción noml es: s s N u N Culquie tyectoi puede descomponese en un sucesión de cos de cicunfeenci de distintos dios. El dio de cutu es el lo de ese dio en un momento detemindo. Los moimientos se pueden clsific en función de l tyectoi como ectilíneos o cuilíneos y en función de l elocidd como unifomes (si =cte) o iles. De cusos nteioes tenemos que ecod que: t t e e t t t t e Tods ests expesiones son fáciles de deduci. L celeción es: d dt d dt Si ho integmos desde t= (= ) hst t (=), tenemos t t dt d t t Si hcemos lo mismo con l elocidd, de dt de dt Integndo, con el lo de l elocidd, t e t e dt de ( t)dt de e e t t t e t e En el cso del moimiento cicul, ls ecuciones son ls misms sin más que cmi cd let po su equilente. co Jie Col 4-5

6 Composición de moimientos: El ío. N B A Si un cuepo está sometido dos moimientos simultáneos, l posición, l elocidd y l celeción son igules l sum ectoil de los dos moimientos. Si los moimientos se poducen en ejes difeentes se pueden conside independientes. L únic mgnitud en común en el tiempo. Se tt de un composición de dos moimientos unifomes. T R C En eticl, el tiempo p tes el ío es AB AB Nt t En hoizontl y en ese tiempo ecoe un espcio BC t P lleg justo l punto B, l elocidd totl dee i en l R diección AB y deeá sli fomndo un ángulo sen N R N N B A T R Tio pólico: lnzmiento de poyectiles y L tyectoi es un páol. En hoizontl el moimiento es unifome con elocidd constnte y en eticl pimeo es fendo po l gedd hst lleg l punto más lto y luego celedo desde ceo. x Hoizontl: cte cos x t cos t () x x x Veticl: y y y g t y t g t sen t g t () Si despejmos t en () y sustituimos en (), tenemos l ecución de l tyectoi (páol): g x y x tg cos Si el poyectil se lnz desde un ltu h l ecución de l tyectoi se coniete en: En el punto más lto: x MAX g x y x tg h cos sen sen sen sen y sen gt t y MAX sen g g g g g El tiempo que está el poyectil en el ie es Y el espcio ecoido en hoizontl es: sen t t g sen sencos sen xmax x t cos g g g P lleg lo más lejos posile, sen, po lo que, con l mism elocidd inicil, el ángulo de lnzmiento dee se de 45º. y MAX co Jie Col 4-5

7 Dinámic Pte de l físic que estudi ls cuss que poducen los moimientos, o se ls fuezs. Un fuez es culquie cos cpz de modific el estdo de eposo o de moimiento de un cuepo o de defomlo. L dinámic se s en ls leyes de Newton: Newton : Pincipio de Ineci Si soe un cuepo no ctú ningun fuez, o si l sum de ls que ctún es ceo, el cuepo pemnece en estdo de eposo o de moimiento ectilíneo unifome. Newton : Ecución fundmentl de l dinámic Cundo plicmos un fuez soe un cuepo, este se muee con un celeción que es popocionl l fuez plicd. Newton 3: Pincipio de Acción y Rección m Si un cuepo A eliz un fuez soe oto B, este eliz ot soe A igul y de sentido contio. Ls fuezs de cción y ección son igules, n en l mism diección y en sentidos contios, peo no se nuln poque están plicds en cuepos difeentes. El momento linel o cntidd de moimiento se define como el poducto de l ms de un cuepo po l elocidd que lle p m Pincipio de conseción del momento linel: d d dp m m (m ) dt dt dt dp dt Si p cte p p Si soe un cuepo no ctún fuezs, o l esultnte es nul, el momento linel se mntiene constnte. Aplicción de l conseción del momento linel: choques. Choque inelástico. Los ojetos que colisionn pemnecen unidos después del choque. Ndie hce fuezs soe el sistem po lo que el momento linel se mntiene constnte. m m m +m ANTES DESPUES p p m m (m m ) O m m m m L enegí no se conse, pte de ell se gst en defom los cuepos pemnentemente. E E Cundo el choque se poduce en dos dimensiones, el pocedimiento es el mismo peo hy que ecod que el momento linel es un ecto y p que dos ectoes sen igules p p, tienen que selo sus componentes: p p x x y py py ANTES DESPUES 3 Un explosión es lo mismo que un choque inelástico, peo l eés, is ptículs que estn en eposo l pincipio, se mueen l finl en distints diecciones. p p m cos m cos m cos X X 3 3 p p m sen m sen m sen Y demás m m m m 3 Y Y 3 3 co Jie Col 4-5

8 Choque elástico. Intoducción Los ojetos que colisionn lo hcen sin defomciones pemnentes. En este cso se mntiene constnte el momento linel (po se choque) y l enegí (po se elástico y no tene defomción) p p m m m m m m E E m m m m Si ls dos ptículs que chocn tienen l mism ms, ls elociddes se intecmin, y Si un de ls mss es mucho más gnde que l ot y está en eposo, l ms pequeñ eot m m, El choque el es un situción intemedi ente el elástico y el inelástico. Se define el coeficiente de estitución como: m m ANTES DESPUES k k= Choque inelástico <k< Choque el k= Choque elástico Impulso mecánico L elocidd que dquiee un cuepo cundo se le plic un fuez depende del lo de l fuez y del tiempo que esté plicd. Vmos defini el impulso mecánico el poducto de un fuez po el tiempo que está ctundo, o lo que es lo mismo, l ición del momento linel. d d(m) m m dt dt t dt d(m) I dt d(m) t I (t t ) m m uezs especiles: uez de ozmiento N R P L fuez de ozmiento es un fuez de contcto. Es un fuez que se opone l moimiento y se dee l ugosidd de ls supeficies. Hy dos coeficientes, el estático ( E ) p comenz desliz y el dinámico ( ) D p posegui con moimiento unifome, E D. Solo usemos uno. Cundo el cuepo comienz desliz N R En ese momento extemos de son e mg sen mg cos tg MOVTO y los loes Tensiones T T Son fuezs que pecen cundo hy cueds y epesentn lo que hce el esto del polem soe un cuepo. No se tienen en cuent p clcul l celeción del sistem. P clcul su lo se plic m cd cuepo po sepdo. co Jie Col 4-5

9 uez centípet/centífug C Cundo un cuepo descie un tyectoi cu hy un celeción noml, diigid hci el cento de cutu; es l celeción centípet y soe l ms ctú un fuez diigid hci el cento. CP CP m R Si ponemos el sistem de efeenci en el cuepo que se muee hy un fuez que ti del cuepo hci el exteio; l fuez centífug. C m R Ls dos fuezs epesentn lo mismo. L fuez centífug solo tiene sentido si colocmos el sistem de efeenci en el cuepo que se muee. Tjo e Si l plic un fuez soe un cuepo se poduce un desplzmiento se eliz un tjo. Se define como el poducto escl del ecto fuez po el ecto desplzmiento, W e e cos El tjo es máximo cundo los ectoes y e n en el mismo sentido y se nul cundo y e son pependicules. Se mide en julios (J). Si l fuez que eliz el tjo es ile, W uez conseti: el tjo que eliz l desplz un cuepo desde el punto A hst el punto B, no depende del cmino ecoido, solos del punto inicil y finl. uez no conseti: el tjo depende del ecoido, p. ej: l fuez de ozmiento IN INI de Enegí es l cpcidd que tiene un cuepo p poduci tjo. Enegí potencil es l que tiene un cuepo deido l posición que ocup EP mgh Enegí cinétic es l que tiene un cuepo deido l elocidd con l que se muee E C m L sum de ls dos es l enegí mecánic y se mntiene constnte (pincipio de conseción) Potenci Mide l eficienci de un máquin: tjo que puede eliz en l unidd de tiempo Es un mgnitud ectoil y se mide en wtios (W) o en CV ( CV=735w) W e P t t W P t co Jie Col 4-5

10 Dinámic de l otción Momento de un fuez con especto un punto: M O P Es l mgnitud equilente l fuez en otción. El momento de un fuez, plicd en el punto P, con especto l punto O se define como el poducto ectoil M OP Es un ecto pependicul l plno fomdo po los ectoes OP y y el sentido iene ddo po l egl del tonillo l ps del pimeo que se nom l segundo. Se mide en N m (nunc en J) n m m m n Si en lug de un punto tenemos un sólido indefomle, sólido ígido, que está gindo lededo de un eje, cd punto del sólido descie un cicunfeenci. El momento totl seá l sum de todos los momentos: M m m m m i i i i i i i Si compmos está expesión con l equilente en tslción que el equilente l ms en otción es el momento de ineci m emos I m i Si el sólido está fomdo po un númeo enome de ptículs (sistem continuo), l ms de cd un es dm y el momento de ineci es entonces l sum de todos I dm L ecución fundmentl de l dinámic de l otción es M I Cálculo de momentos de ineci Momento de ineci de un ill: Diidimos l ill en elementos difeenciles de espeso dx y ms dm e integmos. es l densidd linel de l ill; dm= dx dx x 3 L L L 3 L x IEXTREMO x dm x dx 3 L ML L L ML L/ 3 L/ x ICENTRO x dm x dx L/ L/ L difeenci ente los dos momentos de ineci es: L EXTREMO CENTRO EXTREMO CENTRO I I ML ML ML M MD I I MD 3 4 Teoem de Steine: El momento de ineci de un cuepo con especto un eje culquie es igul l momento de ineci con especto un eje plelo que pse po el cento, más el poducto de l ms po l distnci ente ejes l cuddo. co Jie Col 4-5

11 Momento de ineci de un cilindo mcizo: Los elementos difeenciles son cilindos huecos de dio x, espeso dx y ms dm xhdx R 4 R R 3 x R R R 4 I x dm x x hdx h x dx h h hr MR Los momentos de ineci más fecuentes son: Cilindo mcizo Disco Esfe I I I MR Cilindo hueco MR Ao MR Rectángulo 5 I MR I MR I M( ) Momento ngul o cinético O L P El momento ngul de un ptícul de ms m que se muee especto l punto O se define como el momento del momento linel L m. Si deimos es expesión con especto l tiempo tenemos el pincipio de conseción: dl d m d m m d m M dt dt dt dt Esto nos dice que si soe un cuepo l sum de los momentos de ls fuezs exteioes es ceo entonces el momento ngul pemnece constnte. dl M L cte L L I I dt Supongmos un ptindo que está gindo con los zos extendidos, ndie hce fuezs o momentos soe él po lo que el momento ngul se mntiene constnte, cundo cec los zos l eje de gio, su momento de ineci se educe y po lo tnto l elocidd ngul ument. Enegí de otción: m L enegí cinétic de un sistem de ptículs en otción es l sum de l enegí de cd un C i i i i i i E m m m I Ls fómuls en tslción y en otción son ls misms, tn solo hy que cmi cd mgnitud en tslción po su coespondiente en otción: TRASLACION ROTACION e,,,, e e t t o o t d dp m m M I dt dt t t o o t m I m p m L m I W e W M ROT E m E I C C d dl M I dt dt co Jie Col 4-5