Tema 1. Teoría de Campos

Transcripción

1 Tem 1. Teoí de Cmpos 1.1 Mgnitudes escles vectoiles. 1. Vectoes unitios descomposición de vectoes. 1.3 Tipos de vectoes. 1.4 Opeciones con vectoes um difeenci nlític de vectoes Poducto de un vecto po un escl Poductos escl Poducto vectoil Poducto mito. 1.5 Momento de un vecto Respecto un punto. Teoem de Vignon Respecto de un eje. 1.6 Deivd de un vecto especto de un escl 1.7 Integl de un vecto lo lgo de un líne. Ciculción. 1.8 Integl de un vecto soe un supeficie. lujo. 1.9 Concepto de cmpo. Cmpos escles vectoiles Gdiente de un cmpo escl Divegenci de un cmpo vectoil. 1.1 Rotcionl de un cmpo vectoil Lplcino de un función escl Teoem de tokes Teoem de Guss. Not: El contenido de estos puntes petende se un esumen de l mtei desolld en el cuso. Po ello, el lumno dee de completlo con ls eplicciones discusiones llevds co en clse con l iliogfí ecomendd. 1.1 Mgnitudes escles vectoiles Mgnitud escl (o escl), es tod mgnitud que está definid medinte un númeo su unidd de medid. Los escles dependen únicmente de l unidd de medid no del sistem de efeenci. on ejemplos de mgnitudes escles: l ms, l cg, l tempetu, l enegí, etc. 1

2 Mgnitud vectoil es quell que está epesentd medinte un vecto, el cul es un segmento oientdo en el espcio. P que un mgnitud vectoil pued est pefectmente definid es necesio d demás de su vlo numéico (módulo) unidd de medid coespondiente, su punto de plicción (coincide con el oigen del vecto), su diección sentido. Depende po tnto del sistem de efeenci, tiene tnts componentes (o coodends) como dimensiones teng el espcio o sistem de efeenci en el que se epesent. L diección es un líne oientd en el espcio que se detemin en función de los ángulos que fom con los ejes del sistem de efeenci. El sentido del vecto viene definido po l posición eltiv del etemo especto del oigen. on ejemplos de mgnitudes vectoiles: l velocidd, l celeción, l fue, el cmpo gvittoio, etc. 1. Vectoes unitios descomposición de vectoes. Un vecto se epesent en un sistem de ejes ctesinos,, como: (,, ) î + ĵ + donde (,, ) son ls componentes escles del vecto (o poecciones del vecto soe los ejes,, ), ( î, ĵ, kˆ ) son los vectoes unitios en ls diecciones de los ejes,, espectivmente se denominn vesoes, ( î, ĵ, kˆ ) son ls componentes vectoiles. kˆ Los vectoes (î, ĵ, kˆ ) fomn un se otonoml en el espcio vectoil R 3.

3 Módulo de un vecto es el vlo soluto de dich mgnitud se coesponde con l longitud del vecto. i AB, el módulo del vecto se epes como: d(a, B) + + Ddo un vecto culquie, se puede otene un vecto unitio de l mism diección sentido dividiendo dicho vecto po su módulo: u Los ángulos diectoes de un vecto son cd uno de los ángulos α, β γ que fom el vecto con los ejes coodendos,,. cosα cosβ cosγ Los cosenos diectoes (cosα, cosβ, cosγ) se otienen en función de ls componentes,, de el módulo del vecto: Los cosenos diectoes veificn que: cosα, cosβ, cosγ cos α + cos β + cos γ Tipos de vectoes. Vecto nulo: Vecto cuo módulo es ceo. Es un vecto especil, pues cece de diección sentido. 0 (0,0,0) Vecto unitio: Vecto cuo módulo es uno. Vecto unitio â de oto ddo es el que tiene l mism diección sentido que peo con módulo igul 1: ˆ Vectoes igules: Aquellos cuos módulo, diección sentido son igules. Vectoes opuestos: Aquellos cuos módulo diección son igules sus sentidos son opuestos. El vecto opuesto de un vecto tiene ls misms componentes cmids de signo l sum de un vecto su opuesto es siempe el vecto nulo. 3

4 ( Vectoes lies: Aquellos que pueden tsldse plelos sí mismos sin que víe su efecto. Vienen definidos po sus componentes cecen de punto de plicción de líne de cción. Vectoes equipolentes: Aquellos que vienen definidos po sus componentes líne de cción peo cecen de punto de plicción. Vectoes fijos: Aquellos que vienen definidos po sus componentes, líne de cción punto de plicción. No se pueden tsld sin que víe su efecto, p.e. el peso de un cuepo. Vectoes igules: Aquellos cus coodends son igules.,, v,, ) 1.4 Opeciones con vectoes um difeenci nlític de vectoes. L sum de vios vectoes es tmién oto vecto cus componentes es l sum de ls componentes de dichos vectoes. i: î + ĵ + L sum de los vectoes es: + ( kˆ î + ĵ + + )i ˆ + ( + )j ˆ + ( + )k ˆ L sum es un le de composición inten dot l conjunto de los vectoes de estuctu de Gupo Conmuttivo. i dos vectoes fomn un ángulo α, cos α kˆ L est de dos vectoes se eli sumándole l vecto el inveso de : ( )î + ( )ĵ + ( i se estn dos vectoes igules su esultdo es el vecto nulo o ceo: 0 )kˆ 4

5 um gáfic de vectoes: Regl del plelogmo Regl del polígono 1.4. Poducto de un vecto po un escl. El poducto de un vecto po un escl n d como esultdo un nuevo vecto A de l mism diección cuo módulo es n veces el vecto oiginl. A n El sentido de A coincide con el sentido de + si n R. Anlíticmente: A s ~ t n n ( î + ĵ + k) A i + A j + A kˆ i el escl n es dimensionl, los vectoes A tienen ls misms dimensiones, en cso contio sus ecuciones de dimensiones son difeentes po tnto sus uniddes. Popieddes: α β R R 3 (α + β) α + β α ( + ) α + α (α β) α (β ) i α1, α Poducto escl. El poducto escl de dos vectoes lies es un escl que es igul l poducto de los módulos de cd uno de los vectoes po el coseno del ángulo θ que fomn: cosθ L epesión nlític del poducto escl de dos vectoes, en función de sus componentes es: 5

6 + + Popieddes del poducto escl: Es conmuttivo:.. Es nulo si lguno de los dos vectoes es el vecto nulo o si los dos vectoes son pependicules. Distiutiv:. ( + c ) + c P culquie escl n: (n ) n ( ) L intepetción geométic del poducto escl es que el vlo soluto de ( ) es igul l módulo de uno de ellos po l poección del oto vecto soe él. L poección de un vecto soe oto vecto se clcul: po cosα De l mism fom: po cosα El ángulo que fomn los dos vectoes se puede detemin pti de l epesión: cos ( α ) Poducto vectoil. El poducto vectoil de dos vectoes se epes de l fom. Es oto vecto pependicul tnto como, cuo módulo es ( senα ), siendo α el ángulo ente ellos, senα 6

7 su sentido está ddo po l egl del tonillo (del sccochos o de l mno deech), entendiendo como el sentido de vnce de un tonillo que gise desde el pime vecto l segundo. El módulo del poducto vectoil de dos vectoes equivle l áe del plelogmo definido po mos. L epesión nlític del poducto vectoil componentes de dicho vecto, po lo que si: î + ĵ + kˆ î + ĵ es lo mismo que hll ls + kˆ entonces, se puede epes como un deteminnte de tece oden: î ĵ kˆ ( )î + ( )ĵ + ( )kˆ Popieddes: s No es conmuttivo α () α α i es pependicul, entonces i es plelo, entonces Poducto mito de tes vectoes. El Poducto mito de tes vectoes es un escl que se epesent de l fom (,, c) se otiene pti de:.(c) (,, c) Gáficmente, el poducto mito de los tes vectoes epesent el volumen del plelepípedo de ists dichos vectoes. c c c 1.5 Momento de un vecto Momento de un vecto especto un punto. Teoem de Vignon. El momento de un vecto AB especto de un punto O es un vecto M 0 que cumple: M O OA 7

8 e tt del poducto vectoil de dos vectoes, po lo que si ls coodends de los puntos son O( o, o, o ) A( A, A, A ), el vecto momento tiene l epesión: M O A ˆi 0 A ˆj 0 A kˆ 0 si ls coodends de O son O(0,0,0). M O ˆi A ˆj A ˆk A Teoem de Vignon. El momento especto un punto de un vecto que es sum de vios vectoes concuentes es igul l sum de los momentos de cd vecto componente especto l mismo punto. M p n n s i i i i i A i 1 i 1 i el punto p petenece l líne de cción de l esultnte de vios vectoes concuentes, el momento del sistem de vectoes especto de dicho punto es ceo Momento de un vecto especto de un eje. El momento de un vecto v AB especto un eje E es l poección soe el eje del momento del vecto especto un punto culquie del eje. M E M0. u M0u cosα siendo u un vecto culquie contenido en el eje. i los vectoes de l fómul nteio se epesn en función de sus componentes ctesins, podemos escii: M M u + M u + M u E Deivd de un vecto especto un escl. i es un función vectoil que depende de un escl t, siendo: 8

9 (t) (t) î + (t) ĵ + (t) kˆ l deivd del vecto especto del tiempo t es, po definición: v d(t) d (t) d (t) î + ĵ dt dt dt + d (t) kˆ dt que l deivd de los vectoes unitios es ceo po se estos constntes (en módulo, diección sentido). Deivd pcil de un vecto especto de un escl upongmos que l función vectoil depende de más de un escl (,, ). L deivd pcil de especto cd escl lo epesentmos po,, espectivmente se detemin pti de: s ˆ i + ˆj + k s î + ĵ + k î + s ĵ + k L difeencil totl de l función vectoil se epesent po d epes l vición totl de vecto especto los escles,, : d d + d + d 1.7 Integl de un vecto especto un escl. Ciculción. L integl de un vecto especto un pámeto t se eli integndo componente componente el vecto: dt dt ˆi dt ˆ j dt kˆ + + e denomin ciculción C del vecto (,, ) lo lgo de un cuv culquie ente los puntos A B : 9

10 C B A (,,). d como d d î + d ĵ + d kˆ, l ciculción del vecto lo lgo de l cuv C ente los puntos A B se puede epes de l fom: B C ( d + d + A d) 1.8 Integl de un vecto soe un supeficie. lujo. El flujo de un vecto tvés de un supeficie viene ddo po: Φ ( ds + ds ds ).ds + donde d, d d son ls poecciones del vecto supeficie en los plnos pependicul (el plno ), pependicul ( el plno ) pependicul ( el plno ) espectivmente. ds ddˆ i + ddˆj + dd ˆk Φ ( dd + dd dd) ds Concepto de cmpo. Cmpos escles vectoiles. Un cmpo, en sentido físico, es un mgnitud definid en un cieto espcio que se puede epes nlíticmente como un función de ls coodends espciles del tiempo. i l mgnitud es escl, tendemos un cmpo escl, si l mgnitud es vectoil, tendemos un cmpo vectoil. Los cmpos pueden se: 10

11 Cmpos estcionios, cundo únicmente dependen de ls coodends espciles no dependen del tiempo. Cmpos no estcionios, cundo dependen del tiempo. Además, los cmpos pueden se unifomes, si no dependen de ls coodends espciles, es deci, si su vlo (módulo, diección sentido) es el mismo en todos los puntos no unifomes. Ls línes que en cd punto son tngentes l vecto cmpo se denominn línes de cmpo cumplen l ecución: d d d 1.10 Gdiente de un cmpo escl. e un cmpo escl estcionio U(,,), queemos se con qué pide ví dicho cmpo cundo nos desplmos en l diección de l ect definid po los puntos A B. El cmpo U, l i de punto A B epeiment un vición U en un desplmiento. L pide medi en dicho tecto es: U/, l pide puntul en A es evidentemente el límite de U/, cundo tiende ceo. Deivd de U en el punto A en l diección AB, du, es el límite de U cundo tiende ceo. En un sistem de coodends ctesins: du d + d + d 11

12 que puede epesse como: du ˆ i + ˆj + ˆk d luego du d ˆ i + ˆj + ˆk u AB siendo u AB un vecto unitio en l diección de l ect AB. El vecto ˆ i + ˆj + kˆ se denomin gdiente de l función escl U(,,). gd U ˆ i + ˆj + kˆ U donde el opedo viene definido po: ˆ i ˆ + j+ kˆ L deivd de U en l diección AB es igul l poección del gdiente de U soe es diección. i α es el ángulo que fomn gd U l ect AB, l diección en l que U ví más ápidmente (mo deivd dieccionl) es pecismente l diección del gdiente su vlo es pecismente el módulo de gd U. du d AB [ gd U] u gd U cosα upeficies equipotenciles son quells cuos puntos tienen un mismo vlo del cmpo U. Popieddes: L mgnitud del gdiente de U es igul l máim vición del incemento de U po unidd de longitud. L diección del gdiente de U en un punto es l diección de máim vición del incemento de U po unidd de longitud. L componente del gdiente de un función U en culquie diección d l du ón del cmio en dich diección. d AB 1

13 1.11 Divegenci de un cmpo vectoil. e un espcio en el que eiste un cmpo vectoil se P un punto dento de un pequeño volumen v limitdo su ve po un supeficie s. En coodends ctesins, el volumen v de un pism ecto de ists,,, (plels los ejes,,, espectivmente) es: v El flujo del cmpo tvés de l supeficie s que delimit el volumen es: Φ d s El flujo po unidd de volumen es: ds v Divegenci de es el límite, cundo v tiende ceo, del flujo po unidd de volumen: div lim v 0 ds L epesión de l divegenci de en coodends ctesins es: v ˆ i + ˆj + ˆk ( ˆi + ˆj + ˆk ) + + L divegenci de un cmpo vectoil elcion dicho cmpo con l función escl oigen del cmpo. Un ejemplo es l elción ente l densidd de cg ρ el cmpo eléctico cedo po ell (le de Guss): div E ρ ε 0 13

14 1.1 Rotcionl. e un espcio en el que está definido un cmpo vectoil, se un punto P lededo del cul suponemos un cuv ced pln C, que limit un supeficie pequeñ que inclue l punto P, l ciculción de lededo de l cuv C dependeá de l oientción de est escogemos l oientción en l que el vlo de dich ciculción es máimo. Rotcionl de en el punto P es el vlo de un vecto pependicul l supeficie, 1 cundo s tiende ceo, cuo módulo es lim d cuo sentido viene s 0 s detemindo po l egl del sccochos o de l mno deech. 1 ot lim un d s 0 s c c m donde u n es un vecto unitio en l diección pependicul l supeficie s. El otcionl de un cmpo vectoil indic l vición en el gio del vecto po unidd de longitud. u epesión en coodends ctesins es: ot i j k - ˆ i + - ˆ j + - kˆ i el otcionl de un cmpo vectoil es nulo, implic l eistenci de un cmpo escl U, potencil de, tl que U. Po ello, l condición necesi suficiente p que un cmpo vectoil se gdiente de un cmpo escl es que su otcionl se 0. 14

15 El otcionl de un cmpo vectoil elcion dicho cmpo con l función vectoil oigen del cmpo. Un ejemplo es l elción ente l densidd de coiente J el cmpo mgnético B cedo po ell (le de Ampee): B µ J Opedo Lplcino. El Lplcino de un función escl U(,,) se define como l divegenci del gdiente de dich función: U(,,) U U U U + U + P un función vectoil, el Lplcino de dich función se define como: gd (div ) - ot (ot ) El opedo Lplcino seá de gn impotnci en cusos supeioes Teoem de tokes. Consideemos un líne ced C que limit un supeficie. El flujo del otcionl de un vecto soe un c de un csquete de supeficie es igul l ciculción de lo lgo del contono de dicho csquete. ds C d 1.15 Teoem de Guss e un supeficie que delimit un volumen V. El flujo de un vecto tvés de l supeficie ced es igul l divegenci del vecto tvés del volumen que delimit dich supeficie. ds V dv 15

16 BIBLIOGRAÍA BÁICA [1]. Buno de Ecill. IICA GENERAL. Editoil Lieí Genel, Zgo. [] M.R. Oteg. LECCIONE DE ÍICA, MECÁNICA 1. Univesidd Autónom de Bcelon, Bellte. 16