EL ESPACIO AFÍN. Respecto del sistema de referencia, las coordenadas del punto A= a, a, a

Transcripción

1 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. EL ESPACIO AFÍN SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO AFÍN Un sistem de efeenci del espcio fín está compuesto po un punto fijo O del espcio físico y tes ectoes B e, e, e que fomn bse (po comodidd A otonoml) de V : A cd punto A del espcio le hemos coesponde el ecto de posición OA, que su ez, seá combinción linel de los ectoes de l bse: e e O e A OA e e e Respecto del sistem de efeenci, ls coodends del punto A=,, coinciden con ls coodends del ecto de posición LA RECTA EN EL ESPACIO Un ect en el espcio qued detemind:. Conociendo un punto po donde pse y un ecto dieccionl.. Conociendo dos puntos A y B po donde pse l ect.. Como intesección de dos plnos. R ECUACIONES DE LA RECTA es l ecución de l ect en fom pmétic, l i indo el pámeto mos obteniendo todos los puntos de l ect. Despejndo " " de ls dos epesiones nteioes e igulndo se obtiene l ecución contínu de l ect "": ecución contínu

2 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. De l ecución continu obtenemos ls ecuciones implícits o ctesins: De est últim fom, un ect en el espcio iene tmbién dd como intesección de dos plnos (no de fom únic). INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA Un punto petenece un ect cundo l sustitui sus coodends en l ecución de l ect, en culquie de sus foms, se stisfce l iguldd. CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS Ddos tes puntos del espcio, p estudi su colinelidd, se clcul l ecución de l ect detemind po dos culquie de ellos y, continución, se pueb si el oto punto petenece o no dich ect, si petenece entonces los tes puntos son colineles, en cso contio los tes puntos no son colineles. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dos ects en el espcio pueden ocup ls siguientes posiciones eltis:. Se cuzn. Secntes. Plels R s s s

3 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. 4. Coincidentes s Sen ls ects ( A, ) y s( B, w ) b w s b w b w P estudi l posición elti de dos ects podemos hcelo de is foms:. Se esuele el sistem de ecuciones fomdo po ls espectis ecuciones de ls ects: b w b w b w w b w b w b Considemos este sistem de ecuciones con dos incógnits entonces l mtiz de los coeficientes mtiz mplid es: Los csos que se pueden pesent son:. g M. g M Sistem Comptible Detemindo Ls dos ects se cotn en un punto. g M Sistem Incomptible b. Ls dos ects se cuzn.. g M. g M Sistem Comptible Detemindo Ls dos ects son coincidentes. g M Sistem Incomptible b. w b ( M, M) w b w b y, Ls dos ects son plels.. Se considen los ectoes: sen ls ects ( A, ) y s( B, w ) considemos l mtiz fomd po los ectoes (, w, AB) que seá un mtiz, estudimos su ngo:. det (, w, AB) g (, w, AB), los tes ectoes seán linelmente independientes y po tnto ls ects se cuzn. b. det (, w, AB) y g (, w) g (, w, AB), los tes ectoes seán linelmente dependientes y po tnto ls ects se cotn en un plno

4 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. c. g (, w) y g (, w, AB), ls dos ects son plels. d. g (, w) y g (, w, AB), ls dos ects son coincidentes. EL PLANO EN EL ESPACIO Un plno en el espcio qued detemindo:. Conociendo un punto po donde pse y un p de ectoes dieccionles y w.. Conociendo tes puntos A, B y C (no linedos) po donde pse el plno.. Conociendo un punto P y un ecto noml l plno n LAS ECUACIONES DEL PLANO A,, w w w w w w w w w w w w w Obteniéndose l desoll y gup téminos semejntes, l Ecución genel, implícit o ctesin del plno A B C D De l ecución genel se obtiene l ecución segmenti: A B C D A B C D A B C D D D A B C D D D D D D A B C D,, A D Siendo,, los puntos de cote del plno con los ejes coodendos OX, OY y OZ B D,, C 4

5 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS En el espcio dos plnos pueden ocup ls siguientes posiciones eltis:. Se cotn en un ect : se econoce poque los coeficientes No son popocionles. Se plelos: se econoce poque todos los coeficientes son popocionles, menos los del témino independiente.. Se coincidentes se econoce poque todos los coeficientes son popocionles CONDICIÓN DE COPLANARIEDAD DE 4 PUNTOS Ddos 4 puntos del espcio seán coplnios cundo uno culquie petenezc l plno detemindo po los otos tes. POSICIÓN RELATIVA DE PLANOS Sen los plnos: A B C D A B C D A B C D de tes ecuciones con tes incógnits, l mtiz del sistem seí: A B C D A B C D M M A B C D Los csos que se pueden pesent son: consideándolos como un sistem 5

6 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo.. g M g M Sistem Comptible Detemindo Los tes plnos se cotn en un punto, siendo l solución del sistem ls coodends del punto de intesección.. g M y g M Sistem Incomptible Los tes plnos NO se cotn l ez. Tiend de cmpñ Dos y el oto cot. g M g M Sistem Comptible Indetemindo Los tes plnos se cotn l ez en un ect. O tmbién podí se que dos plnos fuesen coincidentes y el oto los cote. 6

7 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. 4. g M y g M Sistem Incomptible Los tes plnos son plelos. Tmbién podí se que hubiesen dos plnos coincidentes y el oto plelo. 5. g M g M Plnos coincidentes POSICIÓN RELATIVA DE UN PLANO Y UNA RECTA Ddo plno y un ect, p estudi su posición elti, podemos hcelo:. Se discute el S.E.L. fomdo po ls ecuciones.. Utilizndo ectoes. Ls posibles posiciones de ect y plno son:. Plno y ect se cotn en un punto Sistem comptible detemindo.. Plno y ect son plelos Sistem incomptible. El ecto noml del plno y el dieccionl de l ect son pependicules y un punto culquie de NO está en el plno. L ect está contenid en el plno. Sistem comptible indetemindo. El ecto noml del plno y el dieccionl de l ect son pependicules y un punto culquie de SI está en el plno Not: si l sustitui ls ecuciones pmétics de l ect en l ecución del plno se lleg un ecución en que no tiene solución, el sistem seá incomptible, ect y plno seín plelos. Si se lleg un identidd del tipo = entonces l ect estí contenid en el plno. 7

8 Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. HAZ DE PLANOS DE ARISTA LA RECTA Se un ect que iene dd como intesección de dos plnos: A B C D A B C D El Hz de plnos de bse l ect es el conjunto de plnos que contienen, se epes sí: H A B C D A B C D Depende en pincipio de pámetos y peo como los dos no pueden se ceo, l ez, siempe es posible diidi po uno de ellos. Eso si se piede unos de los plnos del hz. Entonces, el hz de plnos de bse l ect lo podemos pone: H A B C D A B C D Suponiendo H A B C D A B C D A B C D A B C D H A B C D 8