A B. 1 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R. 2 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

Transcripción

1 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg 7 Moimiento Cicul Geneliddes Un cuepo efectú un moimiento cicul cundo se muee sobe un cicunfeenci, como se ilust en l figu. Todo moimiento cicul se cteiz po su peíodo po su fecuenci: El peíodo de un moimiento cicul es el tiempo que emple el móil en d un uelt ente. Se design po T, se mide en [s. Po ot pte, el ecípoco del peíodo es l fecuenci, que es el númeo de uelts que d el móil en [s. Se design po f /T, se mide en [/s ó [Hz. Tmbién se suele epes en uniddes como uelts po minuto, uelts po segundo, eoluciones po minuto (pm, eoluciones po segundo (ps similes. Se dice que un móil eliz un Moimiento Cicul Unifome (MCU cundo su peíodo T es constnte. El MCU se puede nliz desde dos puntos de ist: Desde el punto de ist del co ecoido (e figu. En el MCU, el móil ecoe cos igules en tiempos igules. Desde el punto de ist del ángulo bido (e figu b. En el MCU, el móil be ángulos igules en tiempos igules. Figu Cuepo en moimiento cicul ( (b Figu Moimiento cicul unifome. ( Desde el punto de ist del co ecoido; (b desde el punto de ist del ángulo bido Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg Velociddes en el MCU Considéese el epeimento ilustdo en l figu. Un peson tom un hilo de [m de lgo, t él un pied en el etemo ( ot 8 [cm (, Posteiomente, ls hce gi zón de uelts po segundo, le pegunt dos obsedoes etenos, los que denominemos, cuál de ls dos pieds tiene mo elocidd. Desde el punto de ist del obsedo, l pied tiene mo elocidd, pues ecoe un cicunfeenci mo que l de en el mismo tiempo. Desde el punto de ist del obsedo, po más uelts que den, ningun pied le sc entj l ot, pues siempe n junts. Po lo tnto, tienen l mism elocidd. Ests conclusiones, unque pentemente contdictois, son simultánemente ciets, pues los obsedoes estbn nlizndo el MCU desde difeentes puntos de ist. El obsedo está nlizndo l situción desde el punto de ist del co ecoido (e figu, l elocidd de l cul hblb es l elocidd linel o tngencil, que se define como el cuociente ente el co ecoido el tiempo empledo (. Se mide en [m/s, [Km/h, [m/min ots uniddes similes Figu Ilustción del epeimento de ls pieds ( Figu elocidd tngencil; b elocidd ngul (b El obsedo está nlizndo l situción desde el punto de ist del ángulo bido (e figu b, l elocidd de l cul hblb es l elocidd ngul, que se define como el cuociente ente el ángulo bido el tiempo empledo (. Se mide en [d/s, [d/min, [gdos/s, [gdos/min ots uniddes similes Po consideciones de geometí S [ Donde es el dio del cículo. diidiendo po

2 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg [ Donde es l pidez medi de cmbio de co ecoido es l pidez medi de cmbio del ángulo bido. Hciendo, [ P un cuepo en MCU, l elocidd tngencil se puede defini como: π [ T, se lleg : Donde T es el peíodo. Similmente, se puede defini l elocidd ngul como: eemplzndo [ en [5 π [5 T π π [6 T T Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg En l figu 6 se pecin dos discos unidos po un coe o bnd que no desliz con ellos. Los discos unidos po coe cumplen con ls siguientes condiciones: mbos discos tienen el mismo sentido de gio mbos discos tienen l mism elocidd tngencil, es deci Eiste popocionlidd ines ente ls elociddes ngules de los discos con especto sus dios. sí, mo dio de gio, meno elocidd ngul. [8 [7 Figu 6 Discos unidos con coe L elción obtenid en l ecución [ se puede plic p clcul ls elociddes tngenciles ngules p tes difeentes configuciones de discos conectdos, moiéndose en MCU: discos solidios, discos unidos con coe engnjes En l figu 5 se pecin dos discos concénticos que no deslizn ente sí, como un disco de músic en un tonmes. En tl cso, se dice que los discos son solidios. Los discos solidios cumplen con ls siguientes condiciones: En l figu 7 se pecin dos discos que se mntienen en contcto en un punto, en el que no deslizn ente sí. En este cso, se dice que los discos ctún como engnjes. Los engnjes cumplen con ls siguientes condiciones: mbos discos tienen sentidos de gio opuestos. mbos discos tienen l mism elocidd tngencil, es deci Eiste popocionlidd ines ente ls elociddes ngules de los discos con especto sus dios. sí, mo dio de gio, meno elocidd ngul. Figu 7 Engnjes mbos discos tienen el mismo sentido de Figu 5 Discos solidios gio mbos discos tienen l mism elocidd ngul, es deci Eiste popocionlidd diect ente ls elociddes tngenciles de los discos con especto sus dios. sí, mo dio de gio, mo elocidd tngencil. [9

3 5 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg Ejemplo: En l figu 8 se pecin cuto discos conectdos de l siguiente mne: El disco el disco son solidios. El disco el disco están unidos tés de un bnd. El disco el disco son Figu 8 Ejemplo de ueds conectds engnjes Los discos tienen dios espectios,,. Si el disco tiene elocidd ngul de mgnitud sentido de gio fo del eloj, detemine, p los cuto discos Sentido de gio b Velocidd ngul elocidd tngencil, en función de los dios Hciendo un nálisis disco disco: Disco dio: Sentido de gio: fo del eloj Velocidd ngul: Velocidd tngencil: Disco Es solidio con el disco. dio: Sentido de gio: igul l del disco, es deci, fo del eloj Velocidd ngul: Velocidd tngencil: Disco Está conectdo l disco tés de un bnd dio: Sentido de gio: igul l del disco, es deci, fo del eloj Velocidd tngencil: Velocidd ngul: Disco Está unido tngencilmente l disco (engnjes. dio: Sentido de gio: opuesto l del disco, es deci, en cont del eloj Velocidd tngencil: Velocidd ngul: 6 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg En l siguiente tbl se esumen los esultdos obenidos Disco Nº / Pm dio Veloc. ngul C Posición ngul en el MCU Se puede clcul l posición ngul de un cuepo en MCU especto del tiempo en fom nálog l del moimiento hoizontl con elocidd constnte. Considendo el sistem de efeenci de l figu 9, se puede defini l posición ngul (t como: ( t + t [ simismo, l elocidd ngul W(t está dd po: ( t W [ Donde es l posición ngul inicil (en t es l elocidd ngul, que es constnte p el MCU. En genel, se suele conside como positio el sentido de gio cont ls mnecills del eloj. Un plicción de posición ngul es el cálculo de ángulos ente el hoio el minuteo de un eloj nlógico como el de l figu. En éste, el ángulo ente cd númeo es de º ó π/6 [d El minuteo d un uelt complet cd ho, po lo que su elocidd ngul está dd po: M π h [ d d [ π d π h min [ Veloc. tngencil Sentido de Gio Figu 9 Sistem de efeenci p medi posición ngul 9 8 Minuteo 7 M ( t º H ( t 6 5 Hoio Figu eloj nlógico

4 7 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg El hoio d un uelt complet cd hos ho, po lo que su elocidd ngul está dd po: H π [ d π d [ π d h 6 h 6 min [ Tomndo como efeenci l posición de ls : hs, sumiendo como positio el sentido de gio fo de ls mnecills del eloj, se puede epes l posición de cd mnecill tés de ls siguientes ecuciones: P el hoio P el minuteo: H M ( t t [ H ( t t [5 D celeción centípet En esticto igo, lo que es constnte es l mgnitud de l elocidd tngencil de un cuepo en M.C.U. L elocidd tngencil es un ecto que í con el tiempo. Y si el ecto elocidd í, entonces tiene que eisti un celeción. Se un cicunfeenci de dio, sobe l cul un cuepo gi con MCU de elocidd ngul, como se muest en l figu. El módulo de l elocidd tngencil está ddo po: [6 Considee los instntes t t +, ente los cules el cuepo be un ángulo. Definimos l pidez medi de cmbio de l elocidd tngencil como ( t + ( t [7 De l figu, podemos estblece que: ( t [ sen( ˆ + cos( ˆ M [8 + ( t ( t + Figu Cuepo en MCU ente t t + 8 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg ( t [ sen( + ˆ + cos( + ˆ [9 sen + ˆ + cos + ˆ Usndo ls identiddes tigonométics [ ( ( ( b sen( cos( b cos( sen( b ( b cos( cos( b sen( sen( b sen + + [ cos + [b Se puede epes [9 como: + ( t [ ( sen( cos( + cos( sen( ( cos( cos( sen( sen( ˆ [ eemplzndo [8 [ en [7, se lleg [ + ( sen( cos( + cos( sen( sen( ( cos( cos( sen( sen( cos( ˆ [ En l figu se obse que, medid que, el ecto pidez medi de cmbio de elocidd tngencil ddo po [ tiende tom l diección del dio el sentido hci ( t el cento de gio. C ( t L celeción centípet es el límite de l epesión [7 cundo. ( t + ( t C lim lim [ sí, : En este cso, se pueden hce ls poimciones sen ( cos(. eemplzndo [ en [ plicndo ests poimciones: ˆ ˆ Figu ecto pidez medi de cmbio de elocidd tngencil. Figu Vectoes elocidd tngencil celeción centípet en difeentes puntos de l tectoi cicunfeencil.

5 9 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg ( ( ( ( ˆ C lim [ sen + cos sen + ( cos( sen( cos( ˆ [ lim [ cos ( ˆ - sen( ˆ [ cos ˆ - sen ˆ En [ se eific clmente que Se define l celeción centípet como quell celeción instntáne que sufe un cuepo en M.C.U. Es un ecto de diección dil diigido hci el cento de gio. En l figu se muestn los ectoes elocidd tngencil celeción centípet p diesos punto de l tectoi cicul. Se peci clmente l pependiculidd ente mbos ectoes. ( ( C t mne de hce est demostción se ilust en l figu. En ell, se muest un ptícul con MCU moiéndose ente los puntos en un tiempo. En l figu, es l elocidd tngencil en, es l elocidd tngencil en. El cmbio ectoil de l elocidd se muest en el tiángulo. En itud del teoem de l hoquill (e neo l finl de este documento, los ángulos otuldos φ en los tiángulos son igules, po lo que mbos tiángulos son semejntes. sí: Considendo ' ' [5 [6 ' '. P el cuepo en MCU,. sí: φ φ Figu Deteminción del cmbio de elocidd de un ptícul que se muee com MCU ' ' ' Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg [8 Finlmente, hciendo el límite cundo p clcul l celeción instntáne: lim lim lim [9 E Vectoes posición, elocidd celeción de un cuepo en MCU En l figu 5 se muest el sistem de efeenci p detemin los ectoes posición, elocidd celeción de un cuepo en MCU. L ecución de l posición del cuepo está dd po: Donde ( t ( t ˆ + ( t ˆ [ ( t cos( + t ( t sen( + t [b [c L ecución de l elocidd del cuepo está dd po: Donde ( t ( t ˆ + ( t ˆ [ ( t sen( + t ( t cos( + t [b [c L ecución de l celeción del cuepo está dd po: ( t ( t ˆ + ( t ˆ [ c Figu 5 Sistem de efeenci p posición, elocidd celeción de un cuepo en MCU. plicndo l definición de celeción medi: [7 Donde ( t cos( + t ( t sen( + t [b [c

6 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg F Moimiento Cicul Unifomemente Vido (MCUV Cundo, en un moimiento cicul, el módulo de l elocidd ngul cmbi con el tiempo, estmos nte un moimiento cicul ido (e figu 6. En tl cso, el cuepo en moimiento tiene un celeción ngul. Si, demás, l elocidd ngul sufe iciones igules en tiempos igules, el moimiento se denomin cicul unifomemente ido (MCUV. En un MCUV, l zón de cmbio tempol de l elocidd ngul es constnte dunte todo el moimiento, lo que signific que l mgnitud de l celeción ngul es constnte Si son ls elociddes ngules instntánes en los instntes t t, definimos l celeción ngul medi α en el intelo t-t como el cmbio de l elocidd ngul diidido ente : α [ t t L celeción ngul instntáne α es el límite de α cundo Figu 6 Moimiento Cicul Vido Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg dedos de l mno deech se cun en l diección de l otción, el pulg indic l oientción (diección sentido del ecto elocidd ngul. demás, est oientción coesponde l diección de nce de un tonillo odinio con osc deechs. Si inetimos l diección de otción del cuepo, el ecto elocidd ngul cmbi de sentido (e figu 8. L figu 9 ilust l elción ente α : P un cuepo en moimiento cicul que cele, es deci, cu mgnitud de ument con el tiempo, α es plelo (igul diección e igul sentido. P un cuepo en moimiento cicul que fen, es deci, cu mgnitud de disminue con el tiempo, α es ntiplelo (igul diección sentido opuesto. Cinemátic del MCUV P el cso del MCUV se pueden deduci ecuciones p l posición, elocidd celeción ngules de mne nálog l MU. Si el eje de otción es constnte, l diección de los ectoes α es conocid, po lo que se pueden plnte ls ecuciones usndo ls mgnitudes (los cmbios de signo indicn cmbios de sentido. Figu 9 elción ente los ectoes α α t α d lim α lim [ L unidd usul p α es [d/s. En el MCUV, l celeción ngul es un ecto de mgnitud constnte. d Ddo que, se puede epes l celeción ngul como l segund deid de l coodend ngul, es deci: Usndo el sistem de efeenci de l figu, en el cul se conside positio el gio en el sentido contio ls mnecills del eloj, l posición ngul del cuepo está dd po: ( t + t + αt [6 L elocidd ngul del cuepo está dd po: ( t + t α [7 Figu Sistem de efeenci p ecuciones del MCUV. d d d d α [5 En esticto igo, l elocidd ngul l celeción ngul son ectoes α, espectimente. Si el eje de otción está fijo, ls diecciones de los ectoes α seán plels dicho eje. El sentido del ecto cuo sentido iene ddo po l egl de l mno deech. Como se peci en l figu 7, si los Figu 7 ientción del ecto Figu 8 Cmbio de sentido del ecto L celeción ngul está dd po: ( t α α [8 En ls ecuciones [6 l [8, es l posición ngul en t, es l elocidd ngul en t α es l celeción ngul constnte demás, en el MCUV eiste un epesión nálog l elción independiente del tiempo - α d del MU, que es (con efeenci l figu : α Figu elción independiente del tiempo p MCUV

7 Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg ( - α α [9 En el siguiente cudo se obsen ls ecuciones de moimiento del MU el MCUV, peciándose clmente l nlogí ente mbos tipos de moimiento. celeciones en el MCUV MU X + t V MCUV ( t X + V t ( t + t + α t t ( + t ( t t + α ( t α ( t α V - α d - α En un MCUV, l i l elocidd ngul, í tmbién el módulo de l elocidd tngencil, lo que lle l sugimiento de un celeción tngencil, el cul puede se plelo o ntiplelo, cuo mgnitud está dd po: d t t d [ sí, en un MCUV se distinguen tes tipos de ectoes celeción, ls que se muestn en l figu : celeción centípet c. celeción ngul α celeción Linel o Tngencil t. El ecto celeción totl del MCUV es l sum ectoil de los ectoes celeción centípet celeción tngencil c + t [ Usndo l ecución [, podemos defini el módulo de l celeción tngencil como: ( d d d t α [ L diección de l celeción tngencil es tngente α Figu celeciones en el MCUV Figu elción ente celeciones elociddes en un MCUV Físic Genel I Plelos 5. Pofeso odigoveg l tectoi cicul P el MCU, es constnte α t t c Tl como se demostó con nteioidd, el módulo de l celeción centípet está ddo po: [ c Esto se cumple en todo instnte, unque no sen constntes. Su diección es dil hci el cento del cículo. En l figu se isuliz l elción ente elociddes celeciones en el MCUV. En el moimiento cicul ( en genel en el moimiento en D D, se cumple que lel módulo de l deid de l elocidd es distinto l deid del módulo de l elocidd, es deci d d. Po ejemplo, en el MCU, ( d d c t. neo: Teoem de l Hoquill El teoem dice que los ángulos fomdos po ects espectimente pependicules ente sí, son igules. Imgine un lmbe dobldo en fom de hoquill : ls dos ms fomn un ángulo ϕ, como se muest en l figu. Si continución cd un de ls ms es dobld en 9º (e figu b, cuál es el ángulo que fomn los etemos dobldos? pime ist, los dos etemos dobldos no fomn ángulos. Sin embgo, los ángulos se fomn ente ls polongciones de estos tzos. En l figu c, emos que l hoquill, los etemos dobldos ls polongciones fomn un figu de ldos, cu sum de ángulos es 6º. Como dos de los ldos tienen 9º el oto tiene un ángulo ϕ, el cuto tiene (9 - ϕº. Finlmente, po geometí básic se puede demost que ϕ ϕ ϕ (b (c 9 -ϕ Figu Teoem de l hoquill ( hoquill;(b hoquill con ls punts dobld sen 9º; (c nálisis de l hoquill