ECUACIONES DE LA RECTA

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1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA P hll l ecución de un ect en el espcio necesito: Dos puntos Un punto su vecto diecto Not: Nosotos utiliemos siempe un punto A(,, ) un vecto v (,b,c). Si me dn dos puntos A(,, ), B(,, ) Tomemos uno de los mismos A(,, ) como vecto v AB ( -,, ) Ecución vectoil: (,,) (,, ) k.(,b,c) k R k Ecuciones pmétics: kb k R kc Ecución continu: b c A B C D Ecución implícit (como intesección de dos plnos): A B C D Ejemplo : Hll ls ecuciones de l ect que ps po los puntos P(,,-) Q(,-) Punto : P(,, ) : Vecto : PQ Q P (,, ) (,, ) (,, ) Ecución vectoil: (,,) (,,-).(,,-) R Ecuciones pámetics: R Ecución continu: Ecución implícit: Ejemplo : Hll dos puntos un vecto de ls siguientes ects: t P (,,-) ) (,,) (,,-) t.(,,) Puntos: t P (,,) P (,,) b) Puntos: P (,-,-) P (-,,-) c) Puntos P (,,- ) Vecto: (,,) Vecto (,-,-) Vecto (,,)

2 d) Not: Ot fom de hll el vecto (7,, ) 7 P (,, ) Puntos : P (,,) Vecto : ( 7,,) i j ECUACIONES DE UN PLANO P hll l ecución de un plno en el espcio necesito: Tes puntos Un punto dos vectoes diectoes k Not: Nosotos utiliemos siempe un punto A(,, ) dos vectoes v (,b,c ), v (,b,c ) Si me dn tes puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) Tomemos uno de los mismos A(,, ) como vectoes v AB ( -,, ) v AC ( -,, ) Ecución vectoil: (,,) (,, ) s.(,b,c ) t. (,b,c ) s. t Ecuciones pmétics: s.b tb s,t R s.c tc Ecución implícit o genel: A B C D b b c c A B C D s,t R Vecto noml n (A,B,C) v v (Es pependicul los dos vectoes diectoes) Not: Si conocemos el vecto noml un punto podemos hll diectmente l ecución genel del plno. Del vecto noml conocemos A, B C ; si sustituimos el punto hllmos D. Ejemplo : Hll ls ecuciones del plno que ps po los puntos A(,,-), B(,,-), C(,,) Punto : A(,, ) : v AB (,, ) Vectoes : v AC (,,) Ecución vectoil: (,,) (,,-) s.(,,-) t.(,,) s,t R s t Ecuciones pmétics: s t s,t R s t Ecución implícit o genel: A B C D

3 (-)() - Ejemplo : Hll dos punto, dos vectoes el vecto noml P (,,) ) (,,) (,,) (,,6) µ(,,) Puntos:, µ P (,,6) v(,,6) Vectoes: v (,,) n vv (, 6, ) µ v(,, ) P (,,) b) µ Puntos: Vectoes: v (,,), µ P (,,) n vv (,, ) c) - Puntos: P(,,-), Q(,,-), R(,,-) n(,, ) Vectoes: v v PQ (,,) PR (,,) Ejemplo : Hll l ecución del plno, cuo vecto noml es (,,) ps po el punto (,,) D.. D D EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS Ejecicio 6 : Hll ls ecuciones pmétics de los ejes de coodends P Pto : P (,,) (,,) Eje OX P (,,) Vecto : P P (,,) P Pto : P (,,) (,,) Eje OY P (,,) Vecto : P P (,,) P Pto : P (,,) (,,) Eje OZ P (,,) Vecto : P P (,,) R R R

4 Ejecicio 7 : Escibe tods ls ecuciones de l ect que ps po los puntos A(-,,) B,, Punto : A(,,) : Vecto : AB,,,, (,, ) Ecución vectoil: (,,) (-,,).(,-,-) R Ecuciones pámetics: R Ecución continu: Ecución implícit: 6 Ejecicio 8 : Compueb si eiste lgun ect que pse po los puntos P(,,),Q(,-,), R(6,-,) Método: Hllmos l ect que ps po P Q, compobmos si R petenece l ect. Punto : P(,,) Rect que ps po P Q Vecto : PQ (, 6,) 6 6 Compobmos si el punto R l cumple: Flso. 6 No eiste ningun ect que pse po los puntos P, Q R l ve. Ejecicio 9 : Hll tods ls ecuciones de l ect que ps po el punto A(-,,) es plel l eje OZ. Punto : A(,,) : P (,,) Vecto eje OZ v(,,) P (,,) Ecución vectoil: (,,) (-,,).(,,) Ecuciones pámetics: R Ecución continu: Ecución implícit: R

5 Ejecicio : Escibe tods ls ecuciones de l ect que ps po el punto P(,-,) plel l vecto uv, siendo u(,,), v(,,) Punto : A(,,) i j k : Vecto : uv (,,) (,,) Ecución vectoil: (,,) (,-,).(,,) Ecuciones pámetics: R Ecución continu: Ecución implícit: R Ejecicio : ) Hll el vecto diecto de l ect detemind po los plnos Modo : Psndo pmétics:,, - v(,,-) i j k Modo : Pependicul los vectoes nomles de los dos plnos (,, ) Not: Son plelos, vle culquie de los dos. b) Escibe ls ecuciones pmétics de l ect nteio Modo : Diectmente Ecuciones pámetics: R Punto : Ddo un vlo, po ejemplo,,, Modo : Vecto : v(,,) R Ejecicio : Dd l ect, epésl como intesección de dos plnos.

6 Ejecicio : Hll tods ls ecuciones de los siguientes plnos: ) Detemindo po el punto A(,-,) po los vectoes u(,,), v(,,) Ecución vectoil: (,,) (,-,) s.(,,) t.(-,,) s,t R s t Ecuciones pmétics: s s,t R t Ecución implícit o genel: A B C D ( ) -6( ) ( ) 6 - b) Ps po el punto P(,-,) cuo vecto noml es (,-,-) - - D. -.(-) -. D D c) Pependicul l ect que ps po el punto (,,) Punto : P (,,) : D D D n v (,,) Ejecicio : Hll ls ecuciones pmétics e implícits de los plnos OXY, OYZ OXZ PuntoP (,,) OXYPuntos : P (,,),P (,,), P (,,) PP (,,) Vectoes PP (,,) s Ecuciones pmétics: t s,t R Ecución implícit o genel: A B C D Análogmente: OYZ: s t s,t R, s OXZ: t s,t R, Ejecicio : Escibe ls ecuciones pmétics de los plnos ) b) - c) s s ) t s,t R, b) s s,t R, c) t t s,t R,

7 Ejecicio 6: ) Cuál es el vecto noml del plno -? (,,) b) Escibe ls ecuciones de un ect pependicul l plno que pse po A(,,) Punto : A(,,) : : Vecto : v n (,, ) Ecución vectoil: (,,) (,,).(,,) Ecuciones pámetics: R Ecución continu: Ecución implícit: R POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Coincidentes Plels Secntes Se cun Método: Escibimos ls ecuciones pmétics de cd un de ells (con distinto pámeto), ls igulmos esolvemos el sistem: Sistem comptible detemindo Eiste un únic solución Se cotn en un punto Secntes. Sistem comptible indetemindo Eisten infinits soluciones Se cotn en infinitos puntos Coincidentes. Sistem incomptible No eiste solución No se cotn Plels o se cun. o Hll el vecto diecto de cd un o Si son plelos (popocionles) ls ects son plels o Si no son plelos, ls ects se cun. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Coincidentes Plelos Secntes Método: Escibimos ls ecuciones geneles de cd uno de ellos esolvemos el sistem: Sistem comptible detemindo No puede se Sistem comptible indetemindo Eisten infinits soluciones Se cotn en infinitos puntos Se cotn en un plno o en un ect o Si h un gdo de libetd Un vecto Se cotn en un ect Secntes o Si h dos gdos de libetd Dos vectoes Se cotn en un plno Coincidentes Sistem incomptible No eiste solución No se cotn Plelos.

8 Tems 6 7 Rects plnos en el espcio- Mtemátics II º Bchilleto 8 POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO Rect Contenid en el plno Secntes Plelos Escibimos ls ecuciones pmétics de l ect l genel del plno esolvemos el sistem: Sistem comptible detemindo Eiste un únic solución Se cotn en un punto Secntes. Sistem comptible indetemindo Eisten infinits soluciones Se cotn en infinitos puntos Rect contenid en el plno. Sistem incomptible No eiste solución No se cotn Plelos. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Coincidentes Dos coincidente Dos coincidentes Plelos Plelos el oto secnte el oto plelo Dos plelos Secntes en un ect Secntes en un punto Secntes Y el oto secnte en un ect Escibimos ls ecuciones de los tes plnos en fom genel esolvemos el sistem: Sistem comptible detemindo Eiste un únic solución Se cotn en un punto Sistem comptible indetemindo: o Un gdo de libetd: Se cotn en un ect Dos plnos coincidentes el oto secnte Los tes se cotn en un ect o Dos gdos de libetd: Se cotn en un plno Coincidentes Sistem incomptible No eiste solución o Dos coincidentes el oto plelo o Tes plelos o Dos plelos el oto los cot o Se cotn dos dos en un ect

9 Ejemplo 7 : Estudi l posición eltiv de ls siguientes ects: ) : s: Vectoes diectoes no plelos, se Cun o se cotn β Resolvemos el sistem β... β Rngo A, RngoA Sistem incomptible No eiste solución Se cun. b) : s: Vectoes diectoes plelos (plels o coincidentes), tommos un punto de, (,,) compobmos si cumple s: No lo cumple, po tnto, plels. t c) : t s: (,,) (,,) (-,,) Vectoes no plelos, se Cun o se cotn t t Resolvemos el sistem t t t Cieto Sistem comptible detemindo Eiste un únic solución, se cotn en un punto Hll el punto de cote, como t P(-,8,) d) : s: Vectoes diectoes plelos (plels o coincidentes) Cogemos un punto de s(,,) compobmos si cumple : tnto coincidentes. Si, po Ejemplo 8 : Estudi l posición eltiv de los siguientes plnos. ) b) c) Dos modos: O esolviendo el sistem o compndo sus vectoes nomles ) L últim iguldd no se cumple, plelos 6 b) Vectoes nomles no plelos, se cotn en un ect. Si nos piden l ect, esolvemos el sistem obtenemos l ect en pmétics. c) Se cumplen tods, coincidentes. 6 8

10 Ejemplo 9: Estudi l posición eltiv ente l ect el plno: t ) : : t 6t ) Sustituimos ls ecuciones de l ect en l ecución del plno: -t -( t).( 6t) -t - t t t t - Sistem comptible detemindo. Eiste un solución. Se cotn en un punto. Si nos piden el punto de cote, sustituimos en ls ecuciones de l ect: P(,,-) b) - - b) Psmos l ect pmétics sustituimos en l ecución del plno -(t-) t - Sistem comptible indetemindo, eisten infinits soluciones Rect contenid en el plno. t c) t t c) (t ) (-t ) t Sistem incomptible, no tiene solución Plelos Ejemplo : Estudi l posición eltiv de estos tes plnos: ) ) Resolvemos el sistem po Guss nos sle comptible detemindo, eiste un únic solución Se cotn en un punto P(7/,/,-/) b) b) Resolvemos el sistem po Guss nos sle un sistem comptible indetemindo con un gdo de libetd, es deci, se cotn en un ect. Como los plnos no son plelos ente se cotn los tes en un ect. c) c) Resolvemos el sistem po Guss nos sle sistem incomptible, no tiene solución. Como ninguno es plelo ente si, se cotn dos dos en un ect (Tiend de cmpñ) d) d) Como es un sistem con pámetos con el mismo númeo de ecuciones que de incógnits, hllmos el deteminnte:,

11 CASO I: Si Sistem RngoA' RngoA Incomptible El pime el tece plno plelos el otos los cot en un ect. CASO II: Si Sistem Incog Nº RngoA' RngoA... Comptible indetemindo con un gdo de libetd (ninguno plelo) se cotn en un ect. CASO III: { }, R A Sistem comptible detemindo Se cotn en un punto. Resolviendo (po Cme o po Guss) obtenemos el punto de cote en función de. REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS Ejecicio : Estudi l posición eltiv de ls siguientes ects hll el punto de cote, cundo se posible: ) : s: Vectoes diectoes (,,) (-,,) no plelos, se cotn o se cun. Resolvemos el sistem: β β β 8 8 RngoA' RngoA Sistem incomptible, no eiste solución, se Cun. b) : s: Vectoes diectoes (-,,) (,,) no plelos, se cotn o se cun. Resolvemos el sistem: β β β Incog Nº RngoA' RngoA Sistem comptible detemindo, eiste un únic solución, se cotn en un punto. P(,,) 9 9 β β β c) : s: Vectoes diectoes (,,), ) (,, k j i Plelos, Plelos o coincidentes. Tommos un punto de P (,,-) vemos si petenece s : No petenece s po tnto no pueden se coincidentes. Son plels.

12 t d) : s: 6t 8t Vectoes diectoes (,,), (,6,8) plelos, po tnto plels o coincidentes. t t / Tommos un punto de : P (,,) compobmos si petenece s: 6tt / 8t t / petenece s po tnto son coincidentes. Si Ejecicio : Obtén el vlo de p que ls ects s se coten hll el punto de cote. : s: β β Psmos pmétics esolvemos el sistem: β 7β 7 β β,, P(-.-.) Ejecicio : Hll los vloes de m n p que ls ects s sen plels: t : t s: m n t Los vectoes diectoes popocionles: m m n n Ejecicio : Clcul m n p que los plnos: : m - β: n sen plelos. Pueden se coincidentes? m n / Los vectoes nomles popocionles: n m 6 6 P que sen coincidentes: No son coincidentes. / Ejecicio : Escibe l ecución del plno que ps po los puntos (,,), (,,) (,,) Plno: Punto : A(,,) AB (,,) Vectoes : AC (,,)

13 Ejecicio 6 : Detemin l ecución del plno que contiene l punto P(,,) l ect P(,,), P (,,), v (,-,-) Punto : P(,,) Plno: PP (,,) -(-) ( ) -(-) Vectoes : v (,, ) Ejecicio 7 : Compueb que ls ects : plels hll l ecución del plno que ls contiene. s: son i j k Vectoes diectoes popocionles: v (,,), v s (-, -, -) P (,,), v (,,), P s (Po ejemplo,, - (,-,)) Punto : P (,,) Plno: v (,,) ( ) 8 -( ) Vectoes : P Ps (,, ) 8 9 Ejecicio 8 : Son coplnios los puntos A(,,), B(,,), C(,,), D(-,,)? Con tes puntos A, B C hllmos el plno que los contiene compobmos si D Al plno Punto : A(,,) Plno: AB (,,) Vectoes : AC (,,) po tnto no son coplnios. - D no cumple que, Ejecicio 9 : Hll l ecución del plno que ps po los puntos A(,,) B(-,,) es t plelo l ect t t Punto : A(,,) Plno: AB (,, ) -( ) -7( ) ( ) Vectoes : v (,, ) - 7 7

14 Ejecicio : Hll l ecución del plno que contiene l ect : es plelo : s: Punto : P (,,) Plno: v (,,) ( ) ( ) Vectoes : vs (,, ) Ejecicio : Ddo el plno : l ect :, hll l ecución del plno que contiene l ect es pependicul l plno. Punto : P (,, ) Plno: v (,,) ( ).( ) ( ) Vectoes : n (,, ) Ejecicio : Se l ect : el plno ) Clcul el vlo de p que se plel l plno. b) Eiste lgún vlo de p que se pependicul l plno? ) Vecto diecto de l ect vecto noml del plno pependicules (v.n ) v i j (,,) v.n (,,).(,-,) 8 - k b) Vecto de l ect vecto noml del plno, plelos:. No eiste. Ejecicio : Ddos l ect : el plno :, hll l ecución de un ect s contenid en el plno que pse po el punto P(,,-) se pependicul. Punto : P(,, ) i j k i j k Rect s: (,,) Vecto : vs v n v v n (,,) n (,,)

15 Ejecicio : Hll l ecución de un ect que cumpl ls condiciones siguientes: ) Es plel l ect de ecuciones: : ) Ps po el punto de intesección de l ect s con el plno : s: : 7 v:, -, - v (-,-,) t P : s: t t (t ) (t ) 7 t t P (,, ) t Ejecicio : Escibe l ecución del plno que ps po los puntos A(,-,) B(,,) es plelo l ect : Punto : A(,,) AB (,, ) Plno: i j k Vectoes : v ( 6, 9,6) (,,) ( ) ( ) ( ) Ejecicio 6 : Ddos los plnos m 6, hll m p que sen: ) Plelos b) Pependicules m ) Popocionles: m - 6 b) Vectoes nomles pependicules: (m,,-).(,-,6) m 8-8 m Ejecicio 7 : Hll l ecución de l ect que ps po el punto P(,,) es pependicul l plno que ps po el oigen po los puntos B(,,) C(,,). Punto : P(,,) Rect: Vecto : v n Punto : O(,,) : OB(,,) Vectoes : OC(,,) : : v (,,)

16 Ejecicio 8 : Escibe l ecución del plno que contiene l ect : plelo s: es Punto : P Plno: v Vectoes : vs (,, ) Psmos pmétics:, -, - - P (,, ) v (,,) Plno: -( ) - ( ) - Ejecicio 9 : Indic qué condiciones deben cumpli, b, c d, p que el plno : b c d se: ) Plelo l plno OXY b) Pependicul l plno OXY c) Plelo l eje Z d) Pependicul l eje X e) No se plelo ninguno de los ejes. ) n n o b c, b b) n. n OXY (,b,c).(,,) c c) n.v Z (,b,c).(,,) c d) n v X b c b, c e) No es plelo ninguno de los ejes,, b, c Autoevlución pág 8 del libo.

17 ÁNGULOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (, ) cos ( v, v ) v. v v. v ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (Π, Π ) cos( n, n ) n n.n. n ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (, Π) cos ( v, n Π ) v v.n. n Ejemplo : Hll el ángulo que fomn ls siguientes ects: : s: v (,, ) i j k cos (,s) cos (v, v s ) cos(v,v s ) vs (,, 7) (,,7) v.v s 7 8,7 º 9,79 v. v s Ejemplo : Hll el ángulo que fomn los siguientes plnos: : 8 : n.n 8 6 cos (, ) cos (n, n ), n. n º 9,6 Ejemplo : Hll el ángulo que fomn l ect el plno: : (,,) (,-,) t.(,,-) : 7 v.n 7 8 sen (,) sen (v, n ), 7 v. n º, Ejecicio : Hll el vlo de m p que s fomen un ángulo de 9º: t t : t s: t t mt v.v s (-,,-).(,,m) - m m -

18 Ejecicio : Hll, en cd cso, el ángulo que fomn l ect el plno: ) : : v.n 8 sen (,) sen (v, n ) 9º v. n b) : t; t; - : v.n sen (,) sen (v, n ) º v. n. c) : : 7 v.n sen (,) sen (v, n ), 87 6º v. n. 6. Ejecicio : Clcul el ángulo que fomn los dos plnos siguientes: : : n.n cos (,) cos (n, n ), 8 º,8 n. n.. 6 Ejecicio 6 : Hll los tes ángulos de un tiángulo cuos vétices son: A(,,), B(,,), C(,,) AB (,,), AC (,,), BC (,-,) Cos (AB,AC) 6, 7 º, Cos (AB,BC) 9º. 6. 8º - 9º - º,6 7º 6 8,6 Ejecicio 7 : Hll el ángulo que fom el plno : con cd uno de los ejes coodendos. v OX.n sen (OX,) sen ((,,), n ), º, v. n. 6 OX v OY.n sen (OY,) sen ((,,), n ), 8 º 8, v. n. 6 OY v OZ.n sen (OZ,) sen ((,,), n ), º, v. n. 6 OZ

19 DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(,, ), B(,, ) d(a,b) AB ( ) ( ) ( ) DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA d(p,) v PP v DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(,, ), Π: A B C D A B C D d(p, Π) A B C DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS v, v, P P [ ] s s d(,s) v v s DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO d(, Π) d(p, Π) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS d(π, Π ) d(p, Π ) : A B C D Si d(, ) : A B C D' A D D' B C Ejemplo 8 : Hll l distnci ente los puntos P(,,) Q(,-,) d(p,q) ( ) ( ) ( ) 7. Ejemplo 9 : Hll l distnci del punto P(,-,6) l ect : i j k :P(,,), v(-,-,) PP v (,6,6) PP (-,, -) u,u t t t d(p,) v PP v 6 6. u,6u Ejemplo : Hll l distnci del punto P(,,) l plno : d(p, Π),u 9

20 t Ejemplo : Hll l distnci ente ls ects : 8 t : P (,,8), v (,,) P Ps (,, ) v, vs, P Ps s : Ps (,,), vs (,,) i V V s (,, ) j k s: t t t [ ] [( ) ( 6 )] 9 [ v ], vs, P Ps d(,s) Ejemplo : Hll l distnci ente l ect :. ( ) 6 d(, Π) d(p, Π) 9 v 8 v s,u 9 u el plno : 6 Ejemplo : Hll l distnci ente dos plnos: : 9, : D D' 8 8 : 8 d(, ), 7 u A B C 6 Ejecicio : Hll l distnci que h ente los puntos A(,,-), B(-,,-) d(a,b) ( ) ( ) ( ) Ejecicio : Conside l ect : 9 6 u el plno : ) Hll ls coodends del punto S donde se cotn Psmos l ect pmétics esolvemos el sistem:,, - ( ) -( - ) S(,,) b) Clcul l distnci del punto P(,,) l punto S del ptdo nteio. d(p,s) ( ) ( ) ( ) 6 9 Ejecicio 6 : Clcul l distnci ente el punto P(,-,) el plno :.. d(p, Π),u 9 6 Ejecicio 7 : Clcul l distnci ente el punto Q(,-,) el plno que contiene P(,,) : t t Punto : P(,,) Plno: PP (,,) (,,) (,,) 7( ) - Vectoes : v (,,) d(q, Π) u u

21 Ejecicio 8: Hll l distnci ente los siguientes pes de plnos: ) : : D D' 6 : 6 d(, ), u A B C 6 b) : - No son plelos, se cotn (, ) d Ejecicio 9 : Hll l distnci ente l ect : el plno : 7.. d(, Π) d(p, Π) d((,,-),--),6u 9 6 Ejecicio 6 : Clcul l distnci que h ente el punto P(,,6) l ect : ; ; - - i j k :P(,,-), v(,,-) PP v 7 (,, ) PP (,,-7) d(p,) v PP v u Ejecicio 6 : Hll l distnci ente ls ects : : P (,,9), v (,,) P Ps (,, ) s : Ps (,,), vs (,9,) i V V s ( 8. 6,) j 9 k 9 s: t 9t t [ v, v, P P ] 9 [( ) (9 8)] 8 s s [ v ], vs, P Ps d(,s) v v s 8 8 u 96 8

22 EJERCICIOS IMPORTANTES Cot o se po Ejecicio 6 : Hll ls ecuciones de l ect que ps po el punto P(,,-) cot ls ects s : s : P s (,-,-), Ps (β,-β,--β)(--β,-β,β) PP s plelo PP s β β β 9 6β β 6 6 6β 6 β 6β β β β ( β) β Si - 6β6 β - cieto 6 Punto : P(,, ) : Vecto : PPs (,,) Ejecicio 6 : Hll l ecución de l ect que ps po A(,,), es plel l plno : cot l ect : AP (,, ) AP es pependicul n (Poducto escl ceo): P (,,) n (,, ) AP.n (,,-).(,-,) - - Punto : A(,,) : Vecto : AP (,,) (,,) Ejecicio 6 : Hll l ecución de l ect s que ps po el punto P(,-,) cot pependiculmente l ect : PP (,, ) (,,) (,, ) PP pependicul v (Poducto escl nulo) v (,,) PP.v /7 Punto : P(,,) Rect: Vecto : PP (8/ 7, / 7, / 7) (,, ) Ejecicio 6 : Hll l ect pependicul común ls ects: : s: Rect : P (,,-) v (,,) Rect s: P s (β,- β-,β) v s (,-,)

23 i V v v s (,, ) j k P.P s plelo v: β β β β 7β β / β 6 6 β Punto : Ps ( /,/, ) / / Rect: Vecto : v (,, ) Ejecicio 66 : Encuent l ect que ps po el punto P(,,-) cot ls ects l l de ecuciones: l : t l : t t Psmos l pmétics: PP l plelo PP l / 8 t t t Punto : P(,, ) ` Rect: Vecto : PPl ( / 8, / 8, / 8) (,,) Ejecicio 67 : Compueb que ls ects: : t t ecución de l ect pependicul mbs. s: 7 t t 7 se cun. Hll l Compob que se cun: v (,,), v s (,,) no son plelos, se cotn o se cun. Resolvemos el 7 s s sistem: t st Sistem incomptible, no tiene solución. Se cun. t 7 t 7 Rect pependicul común: P P s pependicul v,v s P P s (6s, -s-t, 7-t) Vecto pependicul v v s v v v s (,, ) P P s plelo v 6 s s t i 7 t Punto : P (,, ) Rect: Vecto : (,, ) j k 8 9s 7 t t 9s s s t t 6t s 9 t

24 Poección otogonl Ejecicio 68 : Clcul l poección otogonl de l ect : sobe el plno : - [] P : (--) (-) / P(-/, -/, /) [] Q un punto culquie de (distinto de P): Q(-,,) t Punto : Q(,,) [] ': t Vecto : v ' n (,,) t [] Q : (-t) (-t) t t t / Q (-/,-/,/) Punto : P( /, /, / ) [] s es l ect que ps po P Q s: Vecto : PQ' ( /,/, / ) (,, ) S: R Siméticos Ejecicio 69 : Hll el punto simético de P(,,) especto del plno : t Punto : P(,,) [] Clcul l ect : : t Vecto : v n (,,) t [] Clcul el punto C : t (-t) t t - t -/ C(/,/,/) [] C es el punto medio de P P :,,,, P,, Ejecicio 7 : Detemin el punto simético de A(-,,-7) especto de l ect : Punto : A(,, 7) [] Clcul el plno : D - D Vecto : n v (,, ) D [] Clcul el punto C : (t-) (t) (t-) 9t -8 t - C(-,-,-) [] C es el punto medio de A A : (,, ),, A (-,-,-) MÁS EJERCICIOS Libo, pgin 6 pti del

25 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS EJERCICIO : es plelo : plno que contiene l ect Escibe l ecución del. : s P hll l ecución de un plno, necesitmos un punto dos vectoes: P s, v, v s - Psmos l ect pmétics p hll un punto un vecto de : (,,) v (,,) P - Hllmos el vecto diecto de s: v s (,,) - Ecución del plno: ) ( EJERCICIO : Hll l ecución del plno que contiene ests ects: s : : Hllmos un vecto un punto de cd ect, p ello psmos pmétics: Rect : P (,,) v (-,,) Rect s: P s (,,) v s (,-,) Como no son plels tommos un punto: P (,,) los dos vectoes v (-,,), v s (,-,) L ecución del plno es: ( ) ( ) EJERCICIO : Escibe l ecución del plno,, que contiene l punto P (,,-) l ect. : Necesitmos un punto dos vectoes: P, v, PP Rect : P (,,) v (,-,) Plno: P(,,-), v (,-,), PP (,,) -(-) - 6 ( )

26 EJERCICIO : : que contiene l ect, plno, Hll l ecución del es plelo. s : Necesitmos un punto dos vectoes: P (,-,-), v (,,), PP s (-,,) 7() EJERCICIO : es : plno que contiene l ect l ecución del Detemin otogonl l plno : - -. Necesitmos un punto dos vectoes: P, v, n Psmos l ect pmétics: P (-,,) v (,-,) L ecución del plno es: -8() -7(-) POSICIÓN RELATIVA EJERCICIO 6 : Ddos ls ects: ; s : ; : ; : plno el hll l posición eltiv ente: ) s b) ) Ponemos ls dos ects en pmétics esolvemos el sistem: s : ; : Rngo A Rngo A Sistem Incomptible No tiene solución (Plels o se cun) Hllmos los vectoes diectoes: v (-,, ), v s (,, ) Los vectoes no son plelos poque no son popocionles Ls ects no son plels, po tnto, SE CRUZAN. b) Como l ect está en pmétics, esolvemos el sistem: ( - ).( ) 7 /7 Sistem comptible detemindo Eiste un únic solución SE CORTAN EN UN PUNTO. EJERCICIO 7 : Estudi, según los vloes del pámeto, l posición eltiv de ls ects s: ( ) s : : obtén, si fuese posible, sus puntos de cote.

27 Psmos ls ecuciones pmétics esolvemos el sistem: ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( s : ) ( : Igulmos los elementos de l digonl, po sepdo ceo: -,, Cuto csos Cso I: - 8 Sistem incomptible Plels o se cun v (-, -8,), v s (,, ) s no es un ect sino un punto. Cso II: Sistem incomptible Plels o se cun v (-,,-), v s (,, ) No son plelos SE CRUZAN Cso III: Sistem comptible detemindo. -, / SE CORTAN EN UN PUNTO (,,) Cso IV: R {,,-} Sistem incomptible Plels o se cun: v (-,,-) v s (,,) (-)() No puede se SE CRUZAN SOLUCIÓN Si -. s no es un ect sino un punto Si : Se cotn en el punto (,,) Si R {,-}Se cun EJERCICIO 8 : Clcul el vlo de p que ls ects: s : : se coten en un punto, hll el punto de cote. Psmos l ects pmétics β β β s β β β 7 Igulmos, po sepdo, los elementos de l digonl ceo: - / Dos csos

28 Cso I : Si / / Sistem comptible detemindo. Eiste un únic solución β, -/ SE CORTAN EN UN PUNTO P(-/,,/) Cso II : Si / * Sistem Incomptible Plels o se cun EJERCICIO 9 : Estudi l posición eltiv de ests ects: s : : Psmos ls ects pmétics esolvemos el sistem: s : : 9 Sistem Incomptible. No eiste solución Plels o se cun Hllmos los vectoes diectoes: v (-,,) v vs (,.) No son plelos SE CRUZAN EJERCICIO ) Clcul el vlo de m p que ls siguientes ects sen coplnis: s m : : b) Cuál seá l posición eltiv de s p ese vlo de m? ) P que sen coplnis no se deben cu. Estudimos su posición eltiv (psmos s pmétics esolvemos el sistem) s : m : m 8 8 m m Igulmos, po sepdo, los elementos de l digonl ceo: -m m - Cso I : m - Sistem comptible detemindo. Eiste un solución. Se cotn en un punto. Cso II : m - Sistem incomptible Plels o se cun. Hllmos los vectoes diectoes: v (-,,) v s (,-,) No plelos Se cun Po tnto: m - b) P m - Ls ects se cotn en un punto SECANTES EJERCICIO ) Hll los vloes de m n p que los siguientes plnos sen plelos: : - - : m n b) Obtén l ecución de un plno plelo que pse po el punto A(, -, ). ) Si hn de se plelos, se tiene que: n, m n m b) El plno buscdo h de se de l fom: - D Si contiene l punto A, debe veificse: ( ) D D - 9 9

29 EJERCICIO : Detemin, en función de, l posición eltiv de los siguientes plnos: ( ) ( ) ( ) Estudimos l posición eltiv esolviendo el sistem (po deteminntes) ( ) ( ), - csos CASO I: : ) los cot. o oto ( el ) o o Tenemos dos plnos coincidentes ( CASO II: -: 8 ) ( ) ( ) ( ) ( Los tes plnos se cotn en un ect. CASO III: -: A los tes plnos se cotn en un punto. EJERCICIO : Ddos los plnos: : m m 6 σ: m estudi su posición eltiv según los vloes de m. Ls ecuciones de los plnos son: m 6 m m - Los coeficientes de ls incognits son popocionles si m. En tl cso, ls ecuciones son: 6 Los plnos son plelos, pues sus téminos independientes no siguen l mism elción de popocionlidd que los coeficientes de ls incógnits. - Si m, los plnos se cotn en un ect, pues el sistem es comptible indetemindo de ngo. EJERCICIO : Hll l posición eltiv de los siguientes plnos según el vlo del pámeto : µ µ µ : : -, epesdo de fom implícit, es: - Así, tenemos el sistem: - Los coeficientes de ls incógnits son popocionles si. En tl cso, los plnos son plelos, pues sus téminos independientes no siguen l mism elción de popocionlidd que los coeficientes de ls incógnits. - Si, los plnos se cotn en un ect, pues el sistem es comptible indetemindo de ngo.

30 ÁNGULOS EJERCICIO : Ddos ls ects :, s : clcul el ángulo que fomn: ) s b) s el plno : ; i j k ) Hllmos el vecto diecto de s: (,, ) ) cos v v s (,,).(,,) 9 6,8 o v v s ' '' v s n (,,).(,,) b) sen,9 6 o v s n ' 6 ' ' EJERCICIO 6 : Conside los plnos : - σ: -. ) Clcul el ángulo que fomn σ cundo. b) Hll p que σ sen plelos. c) Detemin el vlo de p que σ σ sen pependicules. n ) n cos Un vecto noml es n (,, ). Un vecto noml σ es n (,, ). n n n n 6 cos,9 7 o ' ' ' n n b) Sus vectoes nomles hn de se popocionles: c) Sus vectoes nomles hn de se pependicules: (,,) (,,) EJERCICIO 7 : Ddos ls ects : s : el punto P (,, ); clcul el ángulo que fom l ect con el plno,, pependicul s que ps po P. sen ( ) d n d n - Un vecto diección de es: d (,, ) (,, ) ( 8, 7, ) // ( 8, 7, ) d - Un vecto noml l plno es: n (,, ) sen d n d n 6 7 ( ), d s o 7 ' ' '

31 DISTANCIAS EJERCICIO 8 : Clcul l distnci ente ls ects: : s : [v ( ), v s, P Ps ] dist, s v v s Buscmos un punto un vecto diección de cd ect: Rect : Punto: P (,-,) Vecto: v (,,-) Rect s: Punto: P s (,,-) Vecto: v s (,,) P P s (,, ) [ v, v, P P ] 9 s s i v v s 7i j k (7,, ) j k dist [v, v 9 ( ) s s, s,7 u v, P P ] v s EJERCICIO 9 : Clcul l distnci ente ls ects: : s : dist (, s) [ P P s, v, v s ] v v s P,, ; v,, Ps,, ; v s,, - En l ect : ( ) ( ) - En l ect s: ( ) ( ) P P s P P s, v, v s 9 - (,, ) - v (,, ) (,, ) ( 6,, 7) 6 ( ) ( 7) 9 v s 9 Po tnto: dist (, s), 9 Ddos clcul l distnci ente: ) P b) P EJERCICIO : el punto P (,, ), l ect : el plno :, 6 ) dist ( P, ), 67 P b) dist (P,) Pv v - Hllmos un punto un vecto diección de l ect : P (,, ) ; (,, ) - P (,, ) (,, ) (,, ) 9 P v - v (,, ) 6 Po tnto: dist ( P, ), 6 6 v

32 EJERCICIO : Clcul l distnci del punto P (,, ) l ect :. P dist (P,) Pv v - Hllmos un punto un vecto de (psmos l ect pmétics: Punto (-,,) Vecto (-/,,-7/) (-,,-7) (,, ) (,, 7) ( 8,, 6) 9 dv (,, 7) 9 P P dv 9 Po tnto: dist ( P, ), 7 9 EJERCICIO : Hll l distnci de l ect : l plno :. d(,) d(p,) P (-,,) :.( ) d(,) d(p, ), 79 u LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIO : Hll el lug geomético de los puntos, P, tles que l distnci de P A se igul l tiple de l distnci de P B, siendo A (,, ) B (,, ). Si P(,, ) es un punto del lug geomético, tenemos que: dist (P, A) dist (P, B), es deci: ( ) ( ) ( ) 9 [( - ) ] 9 [ - ] EJERCICIO : Obtén el lug geomético de los puntos que equidistn de los plnos : - - σ: -. Si P (,, ) es un punto del lug geomético, tenemos que: dist (P, ) dist (P, ), es deci: EJERCICIO : Ddos los puntos A (-, ) B (, ), hll el lug geomético de los puntos, P, dist ( P, A) del plno tles que el cociente de distncis: se igul. Identific l figu esultnte. dist P, B ( ) Si P (, ) es un punto del lug geomético, tenemos que: dist ( P, A) dist ( P, A) dist ( P, B) dist P, B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Es l ecución del eje Y, que en este cso es l mediti del segmento AB.

33 EJERCICIO 6 : Hll el lug geomético de los puntos del espcio que equidistn de A (,, -) B (6,, ). Qué figu obtienes? Si P (,, ) es un punto del lug geomético, tenemos que: dist (P, A) dist (P, B) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( ) Es el plno medido del segmento REPASO AB (es pependicul AB ps po el punto medio de AB). EJERCICIO 7 : Hll l posición eltiv de ls siguientes ects escibe l ecución del plno que ls contiene: : s : 6 - Posición eltiv de ls ects : Psmos ls ects pmétics esolvemos el sistem: : ; s : Rngo A Rngo A* Sistem Incomptible. No eiste solución: Plels o se cun. Hllmos los vectoes diectoes: v (,, -), popocionles Ls ects son PARALELAS v s (, 6, -) Los vectoes son plelos poque son - Ecución del plno que ls contiene : Necesitmos un punto dos vectoes: P, v, P P s Rect : P (-,,) Rect s: P s (-,,) v (,,-) P P s (,,-) Ecución del plno: ( ) ( ) 9 EJERCICIO 8 ) Escibe l ecución del plno,, pependicul pse po P (,, -). b) Clcul l distnci del punto P l ect. l ect :, que v L ecución del plno seá: D Sustituimos el punto P(,,-) obtenemos D: - D D : - ) Un vecto noml l plno seá el vecto diección de l ect : n (,, ) PP v b) d(p,) v Hllmos un punto un vecto de : P (,-,) v (,-,) Hllmos PP (,-,) i j k PP v PP v i j k (,, ) d(p,),7 u v

34 EJERCICIO 9 ) Clcul el vlo de m p que los puntos P(,, -), Q(, -, ), R(,, -) S(m,, ) sen coplnios, escibe l ecución del plno que los contiene. b) Obtén un punto simético de A(, -, ) especto del plno nteio. ) Escibimos l ecución del plno,, que contiene los puntos P(,, -), Q(, -, ) R(,, -): PR ( ) 6( ) 7( ) P(,,-), PQ(,, ), (,, ) Hllmos el vlo de m p que S(m,, ) : m 7 8 m b) () Obtenemos l ect,, que ps po A es pependicul : : 6 7 () Buscmos el punto, B, de intesección de : ( ) 6( - 6) 7( 7) B,, () Si A'(,, ) es el simético de A especto de A, B es el punto 6 medio de AA':,,,, A', 7 EJERCICIO : Hll l ecución de l pependicul común ls ects: : s : Un punto genéico de es R(- µ, µ, - µ). Un punto genéico de s es S(, -, ). 7, 7 7 Un vecto genéico de oigen en etemo en s es: RS ( µ, µ, µ ) Este vecto debe se pependicul s: RS d (,, ) 6 8 RS µ 7 RS d RS (,, ) µ 8 s µ 7 9 Así : R,, ; S,, RS,, // (,, )

35 Po tnto, ls ecuciones de l pependicul común son: : P EJERCICIO : Aveigu ls coodends del punto simético de P(,, -) especto de l ect. ; : P clcul l distnci de () Hllmos l ecución del plno que ps po P es pependicul : n v ) 7,, ( k j i (,,7) 7 D 6 7 D D - : 7 () Resolvemos el sistem ente l ect el plno (P ello psmos l ect pmétics: /66 Q(,,) () Si llmmos P ' (,, ) l simético de P, entonces Q es el punto medio de PP ': ( ),, ' P L distnci de P es igul l distnci de P Q: ( ) ( ) ( ), 7 9,,,, PQ Q P dist P dist EJERCICIO : es : plno que contiene l ect Hll l ecución del ) pependicul l plno : -. b) Clcul el ángulo que fomn l ect el plno. ) Necesitmos un punto dos vectoes: P (,-,), v (,-,), n (,,) -( ) ( ) -

36 v n v n (,,).(,,) 6 b) sen ( ) o 6 ' 9 ' ' EJERCICIO : Detemin l posición eltiv de ls ects s, clcul l mínim distnci 6 ente ells: : s : 6 ) Posición eltiv: Psmos ls ects pmétics esolvemos el sistem: 6 : s : Sistem Incomptible (Plels o se cun) 6 6 Hllmos los vectoes diectoes: v (,,6), v s (,,) Popocionles Son plels. P b) Como son plels d(,s) d(p,s) P s v s v s P (,,-), P s (6,-,-), v s (,,) P P s (,-,) P P s v s (,, ) (,, ) (,,) 9 d(,s) 6, 8 v s (,, ) EJERCICIO : El plno : 8 cot los ejes coodendos en tes puntos; A, B C. Hll el áe del tiángulo con vétices en esos tes puntos. Obtenemos los puntos de cote del plno con los ejes coodendos: - Con el eje X : - Punto A (-,, ) - Con el eje Y : -8 Punto B (, -8, ) - Con el eje Z : - Punto C (,, -) AB (, 8, ) ; AC (,, ) Áe AB AC ( 6, 8, ) 6 8 8, u EJERCICIO : ) Escibe l ecución del plno,, que ps po los puntos P (,, -), Q (,, ) R (-,, ). b) Clcul el áe del tiángulo cuos vétices son los puntos de cote del plno con los ejes coodendos. ) Necesitmos un punto P(,,-) dos vectoes PQ(-,-,), PR(-,,) ( ) 8( ) ( ) 8 7 b) Hllmos los puntos de cote de con los ejes coodendos: 7 7 Con el eje X Punto A,, 7 7 Con el eje Y Punto B,, 8 8 Con el eje Z AB,, ; AC,, Punto C,,

37 Áe AB AC ,, 9 6,8 u EJERCICIO 6 : Hll el punto simético de P (,, ) especto l ect :. 7 [] Hllmos l ecución del plno,, que ps po P es pependicul : D - - D D - [] Hllmos el punto, Q, de intesección de : ( ) ( ) ( ) : 6 Q,, [] El punto Q es el punto medio de PP', siendo P' el simético de P especto : Si P' (,, ): 7 P',, EJERCICIO 7 : Detemin l posición eltiv de ls ects: : s : ; hll l ecución de l pependicul común. - Psmos ls ects pmétics esolvemos el sistem: : s : Rngo A Rngo A * Sistem incomptible Se cun o son plels Hllmos los vectoes diectoes: v (-,,) v s (,,) No son popocionles SE CRUZAN - Pependicul común: Un punto genéico de es P ( -,,- ). Un punto genéico de s es P s (-,, ) El vecto P P s (-, - -, - ) es pependicul v v s : RS d RS d s 8 : P,, µ µ ; 8 8 ; 8 7 P s,, Así P,, // (,, 7) µ P s

38 8 8 Po tnto, ls ecuciones de l pependicul común son: p : EJERCICIO 8 : Obtén el punto simético de P (, -, ) especto l plno : -. [] Hllmos l ecución de l ect,, que ps po P es pependicul : : [] Obtenemos el punto, Q, de intesección de : ( ) (- ) ( ) Q,, [] Si llmmos P ' l simético de P especto de, Q es el punto medio de PP':P' (,, ) P',, EJERCICIO 9 : Ddos el punto P (,, -) el plno : - -, clcul: ) L ecución de l ect que ps po P es pependicul. b) El punto simético de P especto. c) Ecución del plno que ps po P es plelo. ) : b) [] Aptdo ) [] Hllmos el punto, Q, de intesección de : ( ) - ( - ) -(- - ) Q,, [] Si P' (,, ) es el simético de P especto, Q es el punto medio de PP':

39 8 9 9 P',, c) Un plno plelo es de l fom D Como ps po P(,, -) 9 D D -9 9 EJERCICIO : Dds ls ects: : s : b, clcul b p que sen otogonles coplnis. P (,, ) ; dv (,, ) Escibimos l ect en pmétics: : P s (,, ) ; dv s (, b, ) - P que sen otogonles, h de se: v v s b - P que sen coplnis: P P s, v, v s b b b Uniendo ls dos condiciones nteioes, tenemos que: b b EJERCICIO : Un cuddo tiene uno de sus ldos sobe l ect : oto sobe s : Clcul el áe del cuddo. v,, // v s,,. Po tnto ls dos ects son El ldo del cuddo es l distnci ente s. ( ) ( ) plels. (,, ) P P s dv s ldo del dist (, s) dist ( P, s) v s 6 cuddo ( ) u Po tnto, Áe EJERCICIO : Hll l ecución de l ect s que ps po P(,, ) cot pependiculmente l ect :. [] Hllmos el plno,, pependicul que ps po P: D D D -6 6 [] Hllmos el punto Q de intesección ente : ( ) (-) () / Q (,,,,

40 Punto : P(,,) [] L ect pedid ps po P Q 8 Vecto : v PQ,,,, (,, ) Así: s : EJERCICIO : Detemin l ecución de un plno plelo l plno de ecución - que dist uniddes del punto P(,, ). Un plno plelo - es de l fom: : D D dist P, Tenemos que hll D p que l distnci P se u: ( ) D 6 D 6 D 6 H dos plnos: 6 6 D 6 D 6 EJERCICIO : Hll l ecución de l poección otogonl, ', de l ect : sobe el plno : -. [] Hllmos el puntode cote de l ect el plno : ( ) (-) ( - ) -/ P (/, /, -9/) [] Hllmos oto punto culquie de : P (,,-) [] Clculmos l ect pependicul que pse po : s [] Hllmos el punto P de intesección ente l ect s el plno ( ) (-) (- ) -/ P (/,/,-7/) 9 Punto : P,, [] L ect pedid es l que ps po P P : : Vecto : P P,, (,, ) 6 9