2λ λ. La ecuación del plano que buscamos es p: 5x 2y + 2z

Transcripción

1 Poducto escala 060 Halla la ecuación de la ecta que cota a y s pependiculamente. x = 1 x = 6 µ : y = 11+ s: y = + µ z = 1+ z = + µ Hallamos un punto P y un punto Q s de modo que el vecto PQ sea pependicula a ambas ectas. P( 111, +, 1+ ) PQ = ( µ, 1 + µ, + µ ) Q( 6 µ, + µ, + µ ) s PQ ( 0,, 1) = + 1µ = 0 PQ (, 1, 1) = + 18µ 0 = 0 = µ = 1 Po tanto: P ( 1,, ) PQ = ( 1,, 8 ) Q(, 1, ) s Luego, la ecta buscada es: x 1 = y z = investiga si existe un plano que contenga a la ecta y sea pependicula a la ecta s. x = 1+ x y + 1 z : = = s: y = 1 1 En caso afimativo, calcula la ecuación del plano. Si un plano es pependicula a s, todas las ectas contenidas en el plano son pependiculaes a dicha ecta, y po tanto, y s deben se pependiculaes. Como (,, 1) (,, ) = 0 Los vectoes son pependiculaes. El plano que buscamos tiene como vecto nomal el vecto diecto de s y pasa po el punto P(, 1, 0). x y + z + D = 0 ( 1) + 0+ D = 0 D = 17 La ecuación del plano que buscamos es x y + z 17 = Se considean los puntos A(, 0, 0), B(0,, 0) y C(0, 0, 1). a) Halla la ecuación geneal del plano π que los contiene. b) Halla la ecuación de la ecta pependicula a π y que pasa po el oigen de coodenadas. Halla también el punto de intesección de la ecta con el plano. (Baleaes. Junio 00. Opción A. Cuestión ) a) El plano pasa po A (, 0, 0) y tiene po vectoes diectoes AB = (,, 0) y BC = (0,, 1). x y z = x + y + 6z 6 = 0 88

2 Solucionaio b) La ecta pependicula a p que pasa po el oigen es: x = : y = z = 6 Hallamos el punto de intesección de la ecta y el plano p = 0 = 9 El punto intesección es P ,, Encuenta la ecuación continua de la ecta que cota pependiculamente a las ectas: x 1 y z 1: = = :( x, y, z) = ( 0, 0, 1) + t( 111,, ) 1 0 (Navaa. Septiembe 00. Gupo 1. Opción B) Hallamos un punto P y un punto Q s de modo que el vecto PQ sea pependicula a ambas ectas. P ( 1+,, ) PQ = ( µ 1, µ, µ 1) Q( µ, µ, 1+ µ ) P ( 10,, ) PQ (, 1, 0) = = 0 µ = 0 Q,, PQ ( 1, 1, 1) = µ = 0 µ = PQ = 1 1,, La ecta buscada es t: x 1 y z x y z = 0 = 1 t = = : Se considean las ectas: x ay = 1 : s x y z = 0 : y z = 1 x + y + z = 8 Pueba que, paa ningún valo de a, y s pueden se paalelas y aveigua el único valo de a paa el que se cotan. Paa este valo de a, se pide: a) calcula el punto P intesección de y s y la ecuación del plano π que las contiene. b) Detemina la ecuación de la ecta t que está contenida en π y es pependicula a en el punto P. Escibe la ecuación de otas dos ectas que sean pependiculaes a po el punto P. (Cantabia. Septiembe 000. Bloque. Opción B) Escibimos las ectas en foma paamética. x = 1+ a : y = P ( 10,, 1) z = 1+ v = (a, 1, 1) s: 16 1 x = µ 16 8 Q s y = µ, 8, 0 z = µ v s = (1,, ) 89

3 Poducto escala Estudiamos si v y v s son popocionales. a 1 1 = 1? Las ectas no son paalelas paa ningún valo de a. Las ectas y s son secantes si el ango de la matiz fomada po P Qs, v y v s es a = 10 a 0 y s secantes Rango (A ) = 10 a 0 = 0 a = a) Resolvemos el sistema: = µ 8 = El punto de intesección es P (,, 1). = µ = µ 1 1+ = µ El plano que contiene a las dos ectas es: x y z = x + 7y + z + 8 = 0 b) La ecta t es la intesección del plano p y oto plano pependicula a la ecta que pasa po P. El plano, p', pependicula a que pasa po P, tiene po vecto nomal u = (, 1, 1) y pasa po el punto P (,, 1) p'. p': x + y + z + D = 0 P(,, 1) p' D = 0 D = 1 El plano que buscamos es p' : x + y + z 1 = 0. La ecta t es la intesección ente los dos planos. x + y + z 1= 0 t: x + 7y + z + 8 = 0 Calculamos otas dos ectas pependiculaes a que pasan po P. Si ' v' v ( u1, u, u ) (, 1, 1) = 0 v ' = Po ejemplo: ( 0, 1, 1) cumplen esta condición. v '' = ( 1, 1, 1) Así, las ectas: x = x = + a ': y = + g y '': y = a z = 1 g z = 1 a Son pependiculaes a que pasan po P. 90

4 Solucionaio 06 Halla la ecuación del plano que pasa po el punto A(1, 0, 1), es pependicula al plano x y + z + 1= 0 y es paalelo a la ecta x y = 0 z = 0. (Andalucía. Junio 001. Opción A. Ejecicio ) El plano que buscamos tiene po vectoes diectoes el vecto nomal al plano y el vecto diecto de la ecta, y pasa po el punto A. x = La ecta en foma paamética es : y = v = (, 1, 0 ) z = 0 x y + z + 1= 0 Vecto nomal: n = (1, 1, ) La ecuación del plano que buscamos es: p' : x 1 y z = x y z = considea A(1, 1, 1), B(, 0, 1), C (,, 1) y D (,, ). a) Justifica que los puntos son los vétices consecutivos de un paalelogamo. b) azona si dicho paalelogamo es un ectángulo. c) Detemina la ecuación geneal del plano que contiene a los cuato puntos. (Cantabia. Junio 007. Bloque. Opción B) a) AB = DC = (1, 1, ) AB y DC son paalelos y de la misma medida. BC = AD = (,, ) BC y AD son paalelos y de la misma medida. Po tanto, son los vétices consecutivos de un paalelogamo. b) AB DC = ( 1, 1, ) (,, ) 0 No son vectoes pependiculaes. No es un ectángulo, es un omboide. c) Deteminamos el plano con vectoes diectoes AB y BC, y pasa po A. x 1 y 1 z = x 8y + z 1= 0 x y z + = Encuenta los puntos R petenecientes a la ecta: : x + y z 1= 0 tales que los segmentos PQ y PR foman un ángulo ecto, siendo P (1, 0, 0) y Q (0, 1, ). (Navaa. Junio 00. Opción A. Pegunta ) Escibimos la ecta en foma paamética. x = + : y = 1+ v = ( 111,, ) z = t 91

5 Poducto escala Si R R( +, 1+, ) PQ = ( 1, 1, ) PR = ( +, 1+, ) ( 1, 1, ) ( +, + 1, ) = + = 0 = Po tanto, el único punto que cumple la condición es R 10 7,,. 068 considea los puntos A(0,, 1) y B(0, 1, ). a) calcula los valoes de x sabiendo que el tiángulo ABC de vétices A, B y C ( x,, ) tiene un ángulo ecto en C. b) Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos (0, 1, ) y (,, ) y es paalelo a la ecta definida po las ecuaciones: x y + z = 0 x + y = (Andalucía. Junio 007. Opción B. Ejecicio ) a) CA CB CA CB = ( x, 1, ) ( x,, ) = x = 0 x =± b) Escibimos la ecta en foma paamética. 1 x = 1 : v = ( 1,, ) y = 1+ P ( 0, 1, ) PQ (,, ) Q(,, ) = Calculamos la ecuación del plano que pasa po el punto P (0, 1, ) y tiene po vectoes diectoes v y PQ. x y 1 z 1 = 1 x 7y + 9z 8 = Halla la ecuación continua de la ecta que cota pependiculamente a las ectas: x + z 1= 0 1 : x + y + z + 1= 0 x y z 1 : 1 = 1 = + (Navaa. Junio 006. Gupo 1. Opción B) 1 90 Hallamos un punto Q 1 y un punto Q de modo que el vecto PQ sea pependicula a ambas ectas. x = 1 1: y = + x y z 1 u = ( 111,, ) : v ( 11,, ) 1 = 1 = + = 90 9

6 Solucionaio Un punto genéico de la ecta es 1 es P ( 1, +, ) Un punto genéico de es Q( µ, µ, 1+ µ ) PQ = ( µ 1, + µ +, + µ 1) PQ = + µ + = 0 + µ + = 0 = PQ v = + 6µ + = 0 + 6µ + = 0 µ = Po tanto los puntos son P (,, ) yq(,, ). La ecta que buscamos tiene po vecto diecto PQ = (1, 1, 0) y pasa po P (,, ). s: x + = y = z Sean las ectas: x + 1 y z x y z : s: = = = = 1 1 a) Halla la ecuación de la ecta t que pasa po el oigen y cota a las dos ectas anteioes. b) Halla la pependicula común a las ectas y s. (Madid. Junio 006. Opción A. Ejecicio ) a) La ecta t es la intesección de los planos p y p', siendo p el plano que contiene a la ecta, y p' el plano que contiene a s y pasa po el oigen. O( 0, 0, 0) = (,, ) PO = ( 1,, 0 ) x y z 1 0 = 8x + y z = 0 x + y z = 0 O( 0, 0, 0) x y z p': v s = (, 1, 1) p': 1 1 = x + 8y z = 0 QO s = (, 1, ) 1 Po tanto, la ecta t es: x + y z = 0 t: x + 8y z = 0 b) Buscamos un vecto n = (a, b, c) pependicula a los vectoes u y v s. a = ( a, b, c) (,, ) = a+ b c = 0 ( a, b, c ) (, 1, 1) = a+ b+ c = 0 b = c = Po ejemplo, un vecto que cumple esta condición es n = (,, ). La ecta pependicula común a y a s es la intesección de los planos p y p', siendo p el plano que contiene a y tiene po vecto diecto n, y p' el plano que contiene a s y tiene po vecto diecto n. 9

7 Poducto escala c) = ( 1,, 1 ) x = s: y = + v s = ( 8,, ) u v = 0 a = 90 d) v s = (,, 1) x = : y = 10 u = (,, 1) cos a = v v 7 = = 0, 96 a = 17 ' 6" calcula el ángulo que foman estas paejas de ectas y planos. x = 1+ a) π: x y + z = 8 : y = + z = x y z 1 b) π: x y z = 6 : = = x + y z = 8 c) π: x + y + z = : x + y + z = p = ( 1,, ) a) a = 90 ac cos = ( 1,, 1) = 90 ac cos p p = = 90 9, 1 = 09, p = ( 1,, 1) b) a = 90 ac cos = (,, ) = 90 ac cos p p 0 11 = = = 0 c) n p = (,, ) x = : y = + u = (1, 1, 1) p a = 90 ac cos = 90 u n ac cos p = = 00

8 Solucionaio 09 Halla el ángulo que definen estas paejas de planos. a) α: x y + z = 9 β: x y z = 19 b) α: x + y + z = 1 β: x + y + 7z = 9 c) α: x + 1y 8z = 1 x = + t + s β: y = t + s z = 1 t a) a = (, 1, ) a b = 0 a = 90 b = (,, ) b) n a = ( 1,, ) b = (,, 7 ) a n b cos a = a n b = = 0, 7978 a = 7 ' " 8 c) Escibimos el plano b en foma implícita. b: x + y z = x y + 7z + 1= n a = (, 1, 8 ) cos a = b = ( 1,, 7 ) a a n b b 6 = = 1 a = Detemina el vecto o vectoes unitaios, v = (a, b, c) (con a > 0, b > 0, c > 0), que foman un ángulo de π 6 adianes con el vecto = (1, 1, 1) y un ángulo de π adianes con el vecto w = (, 0, ). (Galicia. Junio 00. Bloque. Pegunta ) Planteamos un sistema con las condiciones del enunciado. v = a + b + c = 1 u v a cos p = = + b + c = 6 v w v a+ c cos p = = = w v 8 Quitando denominadoes y supimiendo las aíces obtenemos el siguiente sistema: a + b + c = 1 a+ b+ c = a+ c = 1 01

9 Poducto escala Este sistema tiene dos soluciones: a = a = + 1 b = 1 b = c = + c = Po tanto, existen dos vectoes que cumplen las condiciones del poblema: + v 1 = 1 +,, v = 1,, 09 Dadas las ectas: x y + = 0 x : = s: z = 1 y z = 0 a) Detemina su posición elativa. b) En caso de cotase, detemina el ángulo que foman y el punto de cote. (Canaias. Junio 008. Bloque. Opción A) a) Pasamos ambas ectas a foma paamética. x = + x y + = 0 : y = = ( 110,, ) z = 1 z = 1 P(, 0, 1) x = x = s: y = + µ vs = ( 0, 1, 1) y z = 0 z = µ Qs(,, 0) Estudiamos el ango de la matiz fomada po los vectoes PQ = (,, 1), u y v s. 1 A = Rango ( A ) = Como los vectoes u y v no son paalelos, y s son secantes. b) Ángulo que foman: cos a = v s v s = 1 Calculamos el punto de cote. + = = + = µ = µ = 1 1 µ 1 = a = 60 El punto de cote ente las dos ectas es C (,, 1). 0