El Espacio Vectorial ú 3 (ú)

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1 I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Depatamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachilleato El Espacio Vectoial ú (ú) Po Javie Caoquino CaZas Catedático de matemáticas del I.E.S. Siete Colinas Ceuta 004

2 El Espacio Vectoial ú (ú) Javie Caoquino Cañas

3 Matemáticas de º de bachilleato Ciencias de la Natualeza y la Salud Tecnología El Espacio Vectoial ú (ú) Po Javie Caoquino Cañas Catedático de matemáticas I.E.S. Siete Colinas (Ceuta) Depatamento de Matemáticas Ceuta 004

4 Javie Caoquino Cañas I.E.S. Siete Colinas (Depatamento de Matemáticas) El Espacio Vectoial ú (ú) Depósito Legal : CE&6&004 ISBN : 84&688&77& Númeo de Registo : 4904 Ceuta 004

5 Pólogo Con este tema, El espacio vectoial ú (ú), se comienza a constui la estuctua matemática que nos pemitiá y facilitaá el posteio estudio del espacio físico tidimensional, esto es, el espacio que nos odea y, posteiomente, aquello que utiliza a este como continente, esto es, la cinemática, la dinámica y la estática. Desde hace muchos años el se humano se inteesa po el mundo que le odea y pone su mente y su esfuezo en compende cosas tan conocidas hoy como el movimiento, el equilibio, las enegías etc, avanzando en su compensión y utilizando esta en el desaollo tecnológico. Sivan como ejemplos desde el inteés po conoce y compende las tayectoias de los planetas, la constucción de edificios o el movimiento de un baco utilizando distintas enegías.. Es pecisamente este tema uno de los que cumplen el objetivo de se un sopote matemático paa la esolución de muy divesos poblemas, fundamentalmente elacionados con la Física y Tecnología, algo que, ecodamos, desde tiempos emotos ha peocupado y ha sido motivo de estudio del se humano. Se equiee paa la mejo compensión de estas páginas que el alumnos haya epasado peviamente los temas Matices y deteminante y Sistemas de ecuaciones lineales.

6 Matemáticas de º de bachilleato I El espacio vectoial ú (ú) Índice Página.El conjunto ú... Ejemplo... Ejemplo....Igualdad de vectoes de ú... Ejemplo....Opeaciones en ú... 4.Suma en ú... Ejemplo Popiedades de la suma en ú Ley de composición intena Asociativa... Ejemplo Conmutativa... 4 Ejemplo Existencia de elemento neuto... 4 Ejemplo Existencia de elemento opuesto... Ejemplo 8....El gupo conmutativo de los vectoes de ú... 6.Resta en ú... 6 Ejemplo Ejemplo Poducto de un númeo eal po un vecto de ú... 7 Ejemplo... 7 Ejemplo Popiedades del poduc. de un nºeal po un vec. de ú Ley de composición extena Asociativa... 8 Ejemplo Distibutividad especto de la suma en ú... 8 Ejemplo Distibutividad especto de la suma en ú... 9 Ejemplo Elem. neut. en el pod. de un nºeal po vec. de ú. 9 Ejemplo El espacio vectoial ú (ú) Popiedades del espacio vectoial ú (ú) Poducto de un númeo eal po el vecto ceo. 0 Ejemplo Poducto del nº ceo po un vecto cualquiea. Ejemplo Poducto del nº - po un vecto cualquiea... Ejemplo Combinación lineal de vectoes de ú (ú)... Ejemplo 0... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo 4...

7 Matemáticas de º de bachilleato II El espacio vectoial ú (ú) Página Ejemplo... Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Vectoes de ú (ú) linealmente dependientes... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo Ejemplo....Vectoes de ú (ú) linealmente independientes... 8 Ejemplo Ejemplo Ejemplo 8... Ejemplo 9... Ejemplo Ejemplo 4....Base del espacio vectoial ú (ú)... 4 Ejemplo Ejemplo 4....Base canónica del espacio vectoial ú (ú) Popiedad de las bases del espacio vectoial ú (ú)... 6 Ejemplo Ejemplo Componentes de un vecto especto de una base de ú (ú)... 8 Ejemplo Cambio de base en ú (ú)... 9 Ejemplo Ejemplo Ejemplo

8 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) El espacio vectoial ú (ú) Antes del estudio de este tema, el alumno debe afonta peviamente los desaollados bajo los títulos Matices y deteminantes y Sistemas de ecuaciones lineales peteneciente a esta colección de apuntes de matemáticas paa º de bachilleato (modalidad Ciencias de la Natualeza y Salud o Científico Tecnológico). Hemos de supone el conocimiento del espacio ú (ú) estudiado en el cuso anteio como paso pevio al estudio del Plano Afín..El conjunto ú.- R R Sea ú el conjunto de los númeos eales. Se define el conjunto ú como el poducto catesiano ú ú ú, es deci: {( xyz,, ) x, y, z } R R R R R R R R La expesión ( x, y, z) se llama tena odenada, siendo: x es la pimea componente de la tena y es la segunda componente de la tena z es la tecea componente de la tena Ejemplo.- ) ) (, 0, 4 7) R poque R, 0 R, 4 7 R ( π ) 4 (, 6, 6 ) 9, -, e R poque π R, - R, e R 4 R poque -6 R A los elementos de ú les denominamos vectoes y los epesentaemos de la foma: u ( x, y, z) o u ( x, x, x ) o a ( a, a, a ) etc. En definitiva: u R u ( x, y, z) siendo x, y, z R Ejemplo.- u ( x, y, z) y v ( x, y, z) a (,, ) y o ( 0, 0, 0) seían dos vectoes genéicos del conjunto ú Seían dos vectoes concetos del conjunto ú

9 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú).igualdad de vectoes de ú.- Dos vectoes de ú son iguales cuando sus componentes son espectivamente iguales. Es deci: x x u ( x, y, z) u v y y v ( x, y, z ) z z Ejemplo.- Dados los vectoes ( ) ) u, 8, y v (,, 0 ), se veifica que ) ya que ; 8 y 0 u v.opeaciones en ú.- Ya hemos definido el conjunto ú y conocemos la foma de sus elementos, peo en matemáticas, la definición de un conjunto, sin más, tiene poca utilidad, es casi obligado defini en él algunas opeaciones ente sus elementos (suma, esta, etc.). Esto es lo que veemos a continuación, es deci, qué opeaciones se pueden ealiza con los elementos (vectoes) de ú. En matemáticas, en las opeaciones ente los elementos de un mismo conjunto o de dos conjuntos distintos hay que distingui, especialmente, dos tipos: Opeación intena (o ley de composición intena) : Es aquella opeación que se ealiza ente dos elementos de un mismo conjunto y el esultado de esa opeación es oto elemento del mismo conjunto que los opeandos. Opeación extena (o ley de composición extena) : Es aquella opeación que se ealiza ente dos elementos de dos conjuntos distintos y el esultado de esa opeación es un elementos de uno de esos conjuntos. 4.Suma en ú.- Sea el conjunto ú. Sean dos vectoes cualesquiea de ú. u ( x, y, z) y v ( x, y, z ) u mas & v u + v u + { v ( x, y, z) + {( x, y, z ) ( x+ { x, y+ { y, z+ { z ) w Se define la suma y se expesa de la siguiente foma: suma de vectoes suma de numeos & Obseva que la suma de vectoes o elementos de ú se basa en la suma de númeos eales Obseva que a la suma de vectoes la denotamos con el símbolo +, igual que a la suma de númeos eales. Nótese también que el esultado de suma dos elementos de ú es oto elemento de ú. R

10 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo 4.- Sean los vectoes u 4 y v de ú,,,,. Hallemos u + v : (,, 4) (,, ) (,, 4 ) (,, ) u + v w ( ) ( ) Obseva que el esultado de la suma es oto vecto de ú. 4..Popiedades de la suma en ú.- Hemos visto como se suman elementos de ú. Insistimos en que paa suma vectoes de ú sólo se necesita sabe suma númeos eales. Ahoa veemos las popiedades que tiene la suma en ú Ley de composición intena : La suma de dos elementos cualesquiea de ú es oto elemento de ú Es deci: u, v R, se veifica que u + v w R Demostación: x x u x y z + R (,, ) R x y z y y x x y y z z v x y z,, R + ( +, +, + ) R R (,, ) x, y, z R R z + z R Ahoa bien, ( x + x, y + y, z + z ) u + v po definición, luego u + v R c.q.d Asociativa: La suma en ú es asociativa Es deci: u, v, w R, se veifica que ( u + v ) + w u + ( v + w) Demostación: Sean u ( x, y, z ), v ( x, y, z ) y w ( x, y, z ) tes vectoes de ú u v w [ x y z x y z ] x y z x x y y z z x y z (( x x) x,( y y) y,( z z) z) ( x ( x x), y ( y y), z ( z z) ) ( x, y, z ) + ( x + x, y + y, z + z) ( x, y, z) + [( x, y, z) + ( x, y, z) ] u + ( v + w) ( + ) + (,, ) + (,, ) + (,, ) ( +, +, + ) + (,, ) Po tanto : ( u + v ) + w u + ( v + w ) c. q. d. Podemos expesa también que ( u + v ) + w u + ( v + w ) u + v + w Ejemplo.- Dados los vectoes u ( 8, 7, 9), v ( 6, 9, 4) y w (, 0, ), halla u + v + w

11 Matemáticas de º de bachilleato Página 4 El espacio vectoial ú (ú) u + v + w ( 8, 7, 9) + ( 6, 9, 4) + (, 0, ) ( 8+ 6+, , ) (,, 8) 4... Conmutativa: La suma en ú es conmutativa Es deci: u v v, R, se veifica que u v + v v + u v Demostación: Sean u ( x, y, z), v ( x, y, z) dos vectoes cualesquiea de ú Vamos a ve que u v + v v + u u + v ( x, y, z) + ( x, y, z) ( x + x, y + y, z + z) po la popiedad conmutativa de numeos & ( x + x, y + y, z + z) ( x, y, z) + ( x, y, z) v + u v Es deci, u + v v + u c.q.d Ejemplo 6.- Dados los vectoes de ú 4 7 a, 6, y b,,, compoba que a + b b + a. ( ) ( ) a + b b + a Po tanto a + b b + a (, 6, ) (,, ) (, 6, ) (,, ) (,, ) (, 6, ) (, 6, ) (,, ) Existencia de elemento neuto: Existe un vecto de ú tal que sumado con cualquie oto vecto de ú, el esultado es este último. A ese vecto le llamaemos vecto ceo y lo epesentaemos como o Es deci: o R u R se veifica que u + o o + u u v Es evidente que o ( 000,, ) siendo 0 0ú el elemento neuto de la suma en ú. Demostación: Sea u ( x, y, z) un vecto cualquiea de ú. u + o ( x, y, z) + ( 000,, ) ( x + 0, y+ 0, z + 0) ( x, y, z) u Po la popiedad conmutataiva tambien & es o + u u

12 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo 7.- Sea el vecto u ( 94,, ). Vamos a sumale el vecto ceo. u + o ( 94,, ) + ( 000,, ) ( , + 0, + 0) ( 94,, ) u 4... Existencia de elemento opuesto: Paa todo vecto de ú existe oto vecto (también de ú ) tal que sumados ambos, el esultado es el vecto ceo. Es deci: Dado un vecto cualquiea u R, existe oto vecto de ú tal que sumado con u el esultado el o. A ese vecto se le denomina opuesto de u y se expesa u. Quede clao que cada vecto tiene su opuesto y que u es el opuesto de u y u es el opuesto de u. Matemáticamente esta popiedad se expesa del siguiente modo: u R u, ( ) R u + ( u ) o Cómo seá el vecto opuesto a un vecto u ( x, y, z)? opuesto de u u ( x, y, z) ( x, y, z) Demostación: u + ( u) ( x, y, z) + ( x, y, z) ( x + ( x), y + ( y), z + ( z)) ( x x, y y, z z) ( 000,, ) o Nota : la expesión u se lee opuesto de u o menos u. Ejemplo 8.- Dado el vecto u ( 4,, 7), queemos obtene su opuesto. ( 4,, 7) ( 4, 7, ) opuesto de u u.el gupo conmutativo de los vectoes de ú.- Hemos definido el conjunto ú. Hemos definido la suma en el conjunto ú. Hemos visto las popiedades que tiene la suma en ú. 4 Opeación intena (o ley de composición intena). 4 Asociativa. 4 Conmutativa. 4 Existencia de elemento neuto. 4 Existencia de elemento opuesto.

13 Matemáticas de º de bachilleato Página 6 El espacio vectoial ú (ú) Pues bien: Un conjunto dotado de una o más opeaciones intenas, se dice que es una estuctua. La foma de expesalos es ( Conjunto, Simbolo de la opeacion & ) ( R + ) ( R + ), es una estuctua., es un gupo conmutativo.. En nuesto caso: Una estuctua con una opeación intena que tiene las cinco popiedades mencionadas anteiomente, se dice que es un gupo conmutativo o gupo abeliano. 6.Resta en ú.- Sean uyv dos vectoes de ú. Se define la esta umenosv y se expesa u v como la suma de u con el opuesto de v. Nótese que se utiliza el mismo símbolo que paa la esta de númeos. Es deci: u v u + ( v) ( x, y, z) ( x, y, z) u ( x, y, z) x y z x y z v x y z (,, ) + (,, ) (,, ) ( x x, y y, z z) w Obseva que la esta de vectoes se define a pati de la suma. Ejemplo 9.- Sean los vectoes u v (,, 4) (,, 0) (,, 4 0) ( 0,, 4) 4 (,, 4) y v (,, 0) u. Halla el vecto u v Si estamos dos vectoes iguales, el esultado es el vecto ceo. Es deci: u ( x, y, z) u u ( x, y, z) ( x, y, z) ( x x, y y, z z) ( 000,, ) o Ejemplo 0.- Sean los vectoesu,, y v 4,,. Buscamos el vecto x tal que ( ) ( ) u + x v x v u + ( 4,, ) (,, ) ( 4,, ) 9 (,, 4) x u + x v

14 Matemáticas de º de bachilleato Página 7 El espacio vectoial ú (ú) 7.Poducto de un númeo eal po un vecto de ú.- Sea α un númeo eal cualquiea, es deci, α0ú. Sea u ( x, y, z) un vecto cualquiea de ú. Se define el poducto del númeo eal α po el vecto u, y se expesa α u (o también α u ) de la siguiente foma: αu α( x, y, z) ( α x, α y, α z) v R Nótese que las opeaciones α x, α y, α z son poductos de númeos eales, es deci, el poducto de un númeo eal po un vecto de ú se apoya en el poducto de númeos eales. Nótese que el poducto de un númeo eal po un vecto es un vecto. En geneal utilizaemos la notación α u α ( x, y, z) en luga de α u α ( x, y, z) Ejemplo.- Dado el vecto u (,, ) (, ( ), ) (,, ) v u 6 Nótese que u u + u + u ( ),,, halla el vecto u Ejemplo Dado el vecto a (,, ), queemos halla el vecto u sabiendo que Llamamos u ( x, y, z). Buscamos x, y, z u ( x, y, z) ( x, y, z) (,, ) 0 Po tanto u,, es el vecto buscado. ( ) x x 8 y y 0 z z 8 a 4 u 7..Popiedades del poducto de un númeo eal po un vecto de ú.- Hemos definido una nueva opeación en la que los opeandos son un númeo eal y un vecto de ú, es deci, opeamos dos elementos petenecientes a dos conjuntos distintos, ú y ú. Ahoa veemos las popiedades de esta nueva opeación Ley de composición extena: El poducto de un númeo eal po un vecto de ú es oto vecto de ú. Es deci:

15 Matemáticas de º de bachilleato Página 8 El espacio vectoial ú (ú) α R u R es α u v R Es deci, a cada pa fomado po un númeo eal α y un vecto le coesponde un único vecto v. Una foma de expesa matemáticamente esta opeación es como una aplicación del conjunto ú ú en el conjunto ú, siendo ú ú el poducto catesiano del conjunto ú po ú Es deci: R R R ( α, u) αu v Al esta el conjunto ú dotado de una ley de composición extena (u opeación extena) y se el oto opeando el conjunto ú, se expesa ú ( ú). u 7... Asociativa: αβ, R y u R se veifica que ( α β) u α( βu) Nótese que el es la opeación poducto de númeos y la no existencia de punto es poducto de un númeo po un vecto. En ocasiones, también se omite el Demostación: Sean α, β R y u ( x, y, z) R. Demostemos que ( α β) u α ( β u) : ( α β) u ( α β)( x, y, z) (( α β) x,( α β) y,( α β) z) ( α ( β x), α ( β y), α ( β z) ) α( β x, β y, β z) α β( x, y, z) α β u c. q. d. [ ] ( ) Nótese que en la demostación hemos utilizado la popiedad asociativa del poducto de númeos eales. Ejemplo.- Sea el vecto u (,, ). La opeación u podemos hacela de vaias fomas: u ( ) u ( u ) 0 (, 0, ) ( 0, 07, ) 7... Distibutividad especto de la suma en ú: El poducto de un númeo eal po un vecto de ú es distibutiva especto de la suma de númeo eales Es deci: α, β R y u R se veifica que ( α + β) u αu + βu Obseva en la igualdad anteio que el pime + es suma de númeos y el segundo + es suma de vectoes.

16 Matemáticas de º de bachilleato Página 9 El espacio vectoial ú (ú) Demostación: Sean α, β R y u ( x, y, z) R. Demostemos que ( α + β) u α u + β u : ( α + β) u ( α + β)( x, y, z) (( α + β) x,( α + β) y,( α + β) z) ( α x+ β x, α y+ β y, α z+ β z) ( α x, α y, α z) + ( β x, β y, β z) α( x, y, z) + β( x, y, z) αu+ βu c. q. d. Nótese como en la demostación se combinan las opeaciones suma de númeos, suma de vectoes, poducto de númeos y poducto de númeo po vecto. Ejemplo 4.- Dado el vecto u ( 6,, ), compoba que 8u ( + ) u u + u 8u 8 ( 6,, ) ( 48, 40, 6) u ( 6,, ) ( 0,, 0) 8u u + u u ( 6,, ) ( 8,, 6) u + u ( 0 + 8,, 0 + 6) ( 48, 40, 6) Distibutividad especto de la suma en ú : El poducto de un númeo eal po un vecto de ú es distibutiva especto de la suma de númeo vectoes Es deci: α R y u, v R se veifica que α( u + v) αu + αv Obseva en la igualdad anteio que los dos signos + que apaecen es suma de vectoes. Demostación: Sean α R y u ( x, y, z), v ( x, y, z) dos vectoes de ú. α( u + v) α ( x, y, z ) + ( x, y, z ) α( x + x, y + y, z + z ) [ ] ( α( x x ), α( y y ), α( z z )) ( αx αx, α y α y, αz αz ) ( αx, α y, αz) + ( αx, α y, αz) α( x, y, z) + α( x, y, z ) u α + α v Ejemplo.- Dados los vectoes [ ] u ( 4,, ) y v (,, 6), compoba que ( u + v ) u + v ( u + v) ( 4,, ) + (,, 6) ( 4, +, + 6) (,, 7) (, 6, ) u+ v ( 4,, ) + ( 6,, ) (, 9, ) + ( 98,, ) ( 9, 9 +, + 8) ( 6,, ) 7... Elemento neuto en el poducto de un númeo po un vecto de ú : Si multiplicamos el númeo po un vecto cualquiea de ú, el esultado es ese vecto.

17 Matemáticas de º de bachilleato Página 0 El espacio vectoial ú (ú) Es deci: u R, se veifica que u u Demostación: Se u ( x, y, z) un vecto cualquiea de ú. Veamos que u u : u ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z) u Ejemplo 6.- Sea el vecto u ( 7, e,π). Hallemos u (,, π) (, ( ), π) (,, π) u 7 e 7 e 7 e u 8.El espacio vectoial ú (ú).- Recodemos lo que hemos visto anteiomente: T El conjunto ú. A sus elementos les hemos llamado vectoes. T Suma en ú, es deci, suma de vectoes. T Popiedades de la suma en ú, es deci, popiedades de la suma de vectoes. T El gupo conmutativo (ú, +) T Poducto de un númeo eal po un vecto de ú. T Popiedades del poducto de un númeo eal po un vecto de ú. Pues bien: Con estas dos opeaciones y sus popiedades, se dice que el conjunto ú es un espacio vectoial sobe el conjunto ú. Se expesa ú (ú) o también (ú, +, ú) En la segunda expesión, el indica el poducto de un númeo eal po un vecto. 8..Popiedades del espacio vectoial ú (ú) : Veamos algunas popiedades del espacio vectoial ú (ú) 8... Poducto de un númeo eal po el vecto ceo: El poducto de un númeo eal cualquiea po el vecto ceo de ú (ú) es el vecto ceo Es deci: α R, es α o o Demostación: Sea α α un númeo eal cualquiea. o α ( 000,, ) ( α 0, α 0, α 0) ( 000,, ) o Ejemplo 7.- 7o 7 0, 0, 0 7 0, 7 0, 7 0 v ( 0, 0, 0) o ( ) ( )

18 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) 8... Poducto del númeo ceo po un vecto cualquiea: El poducto del númeo ceo po cualquie vecto de ú (ú) es el vecto ceo Es deci: u R, es 0u o Demostación: Sea u ( x, y, z) un vecto cualquiea del espacio vectoial ú (ú). 0u 0( x, y, z) ( 0 x, 0 y, 0 z) ( 000,, ) o Ejemplo R u ( 8,, ) R 0u 08 (,, ) ( 0080,, ( ) ) ( 000,, ) o 8... Poducto del númeo & po un vecto cualquiea: El poducto de & po un vecto cualquiea del espacio vectoial ú (ú), es igual al opuesto de ese vecto. Es deci: u R, se veifica que ( ) u u ( opuesto de u ) Demostación: Sea u ( x, y, z) un vecto cualquiea del espacio vectoial ú (ú). ( ) u ( )( x, y, z) (( ) x, ( ) y, ( ) z) ( x, y, z) ( xyz,, ) u cqd... Ejemplo 9.- R u ( 8,, ) R ( ) u ( ) (, 8, ) (( ),( ) 8,( ) ( ) ) (, 8, ) (, 8, ) u 9.Combinación lineal de vectoes de ú (ú).- Sean uyv dos vectoes del espacio vectoial ú (ú), que sean distintos de o. Se dice que el vecto u es combinación lineal del vecto v, si existe un númeo eal α (α 0) tal que u α v Matemáticamente: u es combinacion lineal de v { α R u αv α 0 Si u es combinación lineal de v, entonces v es combinación lineal de u. En efecto: Supongamos uyv dos vectoes distintos de o tales que u es combinación lineal de v

19 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) α u comb. lineal de v α u αv u ( αv) α v v v v { R α α ( α ) α 0 ( 0) Es deci: v u siendo v es combinacion lineal de u α α α Ejemplo 0.- Sean los vectoes u ( 6, 0, ) y v (,, ). Obseva que el vecto u es combinación lineal del vecto v ya que: u ( 6, 0, ) (,, ) (,, ) v Es deci: R u v Veamos que también el vecto v es combinación lineal del vecto u : 6 0 v,,,, 6, ( 0), ( 6, 0, ) ( ) ( ) ( ) E s deci: R v u u Ejemplo.- Sean los vectoes u ( 7, 8, 9) y v ( 9, 6, ). Es u combinación lineal de v? u es combinacion & lineal de v α R u αv ( 7, 8, 9) α ( 9, 6, ) 9α 7 α ( 7, 8, 9) ( 9α, 6α, α) 6α 8 α α 9 α Po tanto, u v, es deci, u es combinación lineal de v. También v es combinación lineal de u ya que v u. Ejemplo.- 4 Sean los vectoes u (, 4, ) y v (, 8, ). Es u combinación lineal de v? 4 u es combinacion & lineal de v α R u αv (, 4, ) α (, 8, ) 4 (, 4, ) ( α, 8α, α) α α 8α 4 α 4 α α dos valoes paa α Po tanto, òα0ú u α v, es deci, ninguno de los dos vectoes es combinación lineal del oto

20 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Sean u, v y w tes vectoes del espacio vectoial ú (ú). Se dice que el vecto u es combinación lineal de los vectoes vyw, si existen dos númeos eales α y β (alguno de ellos distinto de ceo) tal que u α v + β w. Matemáticamente: u es combinacion & lineal de v y w α, β R u αv + βw α 0 y/ o β 0 Si u es combinación lineal de v y w y α y β son distintos de ceo, entonces v es combinación lineal de u y w y w es combinación lineal de u y v. En efecto: u es combinación lineal de v y w y α y β son distintos de ceo u α v + β w α β α α β v u w v ( u β w) v u w v es comb. lineal de u y w α α α α Del mismo modo obtendíamos que w u v, es deci, w es comb. lineal de uyv Qué ocue si α 0 o β 0 (no ambos)? Supongamos que u es combinación lineal de v y w con α 0 y β 0 : β u αv + 0w u αv + o u αv v u α Es deci, u es combinación lineal de v y v es combinación lineal de u, sin embago α no es combinación lineal de los otos dos ya que seía w u v, lo cual no existe. β 0 0 Ejemplo.- Constuye tes vectoes que sean combinación lineal de u y v ( 6,, 4 ) (,, 6) Cualquie vecto obtenido de la foma α u+ β v con α y/o β distintos de ceo, es una combinación lineal de uyv 9 u+ v u+ v (, 6, 4 ) + (,, 6) ( +, 6+, 4 6) (,, 4 ) a 8 9 u v u v (, 6, 4 ) (,, 6) (, 6, 4 + 6) ( 4,, 4 ) b 4 0u+ v o+ v ( 0, 0, 0) + (,, 6) (,, ( 6)) ( 6,, ) c Los vectoes a, b y c son combinación lineal de los vectoes uyv. Ejemplo 4.- Sean u (,, ), v (,, ) y w (,, ) tes vectoes. Queemos sabe si u es combinación lineal de vyw. w

21 Matemáticas de º de bachilleato Página 4 El espacio vectoial ú (ú) u es comb. lineal de v y w α, β R u αv + βw El poblema es: Existen α y β? Qué valoes tiene α y β? Intentemos esponde a estas peguntas: αv + βw u α(,, ) + β(,, ) (,, ) ( α, α, α) + ( β, β, β) (,, ) α + β ( α + β, α + β, α + β) (,, ) α + β α + β Po tanto, las dos peguntas anteioes se educen a sabe si el sistema anteio, de tes ecuaciones con dos incógnitas (α y β) es compatible (tiene solución) y cuál o cuales son esas soluciones. Es deci: α + β u es comb. lineal de v y w S: α + β es compatible α + β Discutamos y esolvamos el sistema S : * A matiz de coeficientes y A matiz ampliada El sistema es compatible ] Rango A Rango A * Hallemos Rango A o M Rango A Hallemos Rango A * o A * * Rango A Po tanto: Rango A Rango A * númeo de incógnitas Y S es compatible deteminado Conclusión: Ya sabemos que u es combinación lineal de vyw Ahoa esolveemos el sistema S paa detemina dicha combinación : De la obtención del ango de A * sacamos la conclusión que la tecea fila de A * es combinación lineal de las dos pimeas, es deci, la tecea ecuación del sistema es combinación lineal de las dos pimeas. Eliminando la tecea ecuación obtenemos un sistema S equivalente. (): α + β S ( ): α + β Se tata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que esolvemos po educción

22 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) () α + β esolvemos ( ) ( ) α β 8 SUMAMOS : 9β β ; α + ; α ; α 4 Po tanto: u es combinación lineal de 4 u v + w vyw Obsevación impotante: Obseva las matices A y A * del ejemplo anteio (ejemplo 4). Las columnas de la matiz A son las componentes de los vectoes vyw, mientas que en la matiz A * apaece u. Es deci: * A y A v w v w u De ello intepetamos que paa sabe si uno de los vectoes es combinación lineal de oto o de los otos dos, basta con analiza los angos de esas matices. 4 Si Rango A, entonces un columna es combinación lineal de la ota, es deci, uno de los vectoes vowes combinación lineal del oto. 4 Si Rango A, entonces ninguna de las dos columnas es combinación lineal de la ota, es deci, ninguno de los vectoes vowes combinación lineal del oto. 4 Si Rango A * Rango A, entonces hay dos columnas que son combinación lineal (múltiplo) de la ota, es deci, hay dos vectoes que son combinación lineal de oto. 4 Si Rango A * Rango A, entonces hay una columna que es combinación lineal de las otas dos, es deci, uno de los vectoes es combinación lineal de los otos dos. 4 Si Rango A *, entonces ninguna columna es combinación lineal de las otas dos, es deci, ninguno de los tes vectoes es combinación lineal de los otos dos. Ejemplo.- Dados los vectoes del ejemplo anteio (ejemplo 4), expesa el vecto v combinación lineal de los vectoes uyw. Vimos que 4 u v + w 4 Despejamos: v w u ; 4v w u ; v 4 w 4 u La última expesión nos da el vecto v como combinación lineal de uyw. como

23 Matemáticas de º de bachilleato Página 6 El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo 6.- Dados los vectoes u ( 00,, ), v (,, ) y w ( 00,, ), aveigua si alguno de ellos es combinación lineal de los otos dos. Consideemos la matiz fomada po los tes vectoes anteioes situados en columna: M M 0 M 0 0 Es evidente que Rango M o o 0 Hallemos el ango de la matiz M : Elvectounoescldevnivdeu Rango M o 0 Ninguna columna es combinacion Rango M & lineal de lasotas dos. 0 Conclusión : Ninguno de los tes vectoes dados es combinación lineal de los otos dos. Obsevación: En el ejemplo anteio hemos llamado M a la matiz fomada po los tes vectoes situados como columnas y hemos hallado su ango. Recodando el tema matices y deteminantes, sabemos que una matiz y su taspuesta tienen el mismo ango, es deci, que la matiz M la podemos constui poniendo los vectoes como filas, siendo el esultado el mismo, esto es, si el ango es, ninguna de las filas es combinación lineal de las otas dos. Ejemplo Sean los vectoes u (, 4, ), v (,, ) y w (, 4, ). Queemos sabe: a) Es el vecto u combinación lineal de los otos dos? b) En caso que la espuesta anteio sea afimativa, encuenta esa combinación. a) Constuimos una matiz (M) con los vectoes vywpuestos como filas. Posteiomente ota matiz (M * ) a la que añadimos el vecto el vecto u en la última fila : v v M w y M * w 4 4 u Sabemos que w es combinacion lineal de v y w Rango M Rango M M 8 0 Rango M 4 *

24 Matemáticas de º de bachilleato Página 7 El espacio vectoial ú (ú) De lo anteio se deduce que ni el vecto v es combinación lineal de w ni este de v, ya que las dos filas son linealmente independientes. Hallemos Rango M * o M * Es deci, Rango M * Rango M Conclusión: El vecto u es combinación lineal de vyw 0 0 b) Del apatado anteio deducimos que α, β R αv + βw u ( α 0 y/ o β 0) Hallemos α y β : α v + β w u 9 α β( ) 9 ( α α α) ( β β β) (,, ) +, 4, (, 4, ),, +, 4, (, 4, ) α + β +, + 4, + (, 4, ) S: α + 4β 4 9 α + β 9 ( α β α β α β) Sistema de ecuaciones con incógnitas que sabemos es compatible. Constuyamos las matices de coeficientes y ampliada: * * A 4 y A 4 4 siendo Rango A Rango A 9 9 Como Rango A *, podemos asegua que la tecea fila (tecea ecuación) es combinación lineal de las dos pimeas. Eliminamos esa ecuación y obtenemos un sistema S equivalente a S. α + β S: siendo S S α + 4β 4 Como el sistema S es de Came, esolvemos po este método: B y B α ; β 4 8

25 Matemáticas de º de bachilleato Página 8 El espacio vectoial ú (ú) Conclusión: 4 u v + w Ejemplo 8.- Sean los vectoes u (,, ), v ( 69,, ) y w (,, ). Se pide: a) Hay algún vecto que sea combinación lineal de los otos dos? b) En caso afimativo, encuenta una combinación de cada una con los otos dos. a y b) Constuyamos la matiz fomada po los tes vectoes: u M 6 9 v Rango M o o. Hallemos y analicemos el ango w La fila es multiplo de la M 0 y 0 ª & ª El vecto v es comb. lineal de u De lo anteio deducimos que v α u. Hallemos el valo de α α 6 α ( 69,, ) α(,, ) ( α, α, α) α α 9 α Po tanto: v u+ 0w u el vecto v es comb. lineal de uyw u v + 0w v el vecto u es comb. lineal de vyw Si eliminamos la segunda fila de la matiz M obtenemos ota matiz con igual ango : T siendo RangoT Rango M o T + 0 ; + 0 RangoT Rango M De lo anteio deducimos que la segunda fila de T es combinación lineal de la pimea, es deci, el vecto w es combinación lineal de u. Hallemos esa combinación: α α (,, ) α(,, ) ( α, α, α) α α α Po tanto: w u + v u el vecto es comb. lineal de 0 w uyv u w+ 0v w el vecto u es comb. lineal de vyw Hemos expesado cada vecto como combinación lineal de los otos dos.

26 Matemáticas de º de bachilleato Página 9 El espacio vectoial ú (ú) Sean u, v, w y t cuato vectoes del espacio vectoial ú (ú). Se dice que el vecto t es combinación lineal de u, v y wsi existen tes númeos eales α, β y γ (alguno de ellos distinto de ceo), tal que t αu+ βv + γ w Matemáticamente: t es combinacion & lineal de u, v y w α, β, γ R t αu + βv + γw alguno 0 Ejemplo 9.- Sean los vectoes u (,, ) v ( 0,, ) Es t combinacion lineal de los otos tes? w ( 4,, ) t (,, 6) t es comb. lineal de u, v y w α, β, γ R t αu + βv + γ w (,, 6) α(,, ) + β( 0,, ) + γ ( 4,, ) (,, 6) ( α, α, α) + ( 0, β, β) + ( 4γ, γ, γ) (,, 6) ( α γ, α β + γ, α + β γ ) α + 0β + 4γ S: α β + γ es un sistema compatible α + β γ 6 Po tanto: t es comb. lineal de u, v y w S es compatible Discutamos el sistema S (aveigua si es compatible deteminado o indeteminado o es incompatible). Paa ello constuimos las matices de coeficientes y ampliada del sistema S * A ; A 6 Obseva que las columnas de la matiz A coesponden a los vectoes u, v y w. La matiz A * tiene como cuata columna al vecto t S es compatible ] Rango A Rango A * Hallemos Rango A o o 0 Rango A o Meno pincipal de ode A 0 v no es comb. lineal de u

27 Matemáticas de º de bachilleato Página 0 El espacio vectoial ú (ú) A Rango A Ningunode los vectoes u, v, w es combinacion & lineal de los otos dos Es evidente que Rango A * Conclusiones: Î Rango A Rango A * Ï El sistema S es de Came y, po tanto, compatible deteminado. Ð α, β, γ 0ú t αu+ βv + γ w (α, β y γ son únicos) Ñ El vecto t es combinación lineal de u, v y w NOTA: Quede clao que paa aveigua si t es combinación lineal de los otos tes vectoes, es suficiente con aveigua que Rango A *, ya que esto significa que la cuata columna ( t ) es combinación lineal de las tes pimeas (los otos vectoes). Ejemplo 0.- Queemos expesa el vecto t del ejemplo anteio (ejemplo 9) como combinación lineal de los vectoes u, v y w. El poblema se educe a enconta la solución del sistema S del ejemplo anteio. Dicho sistema sabemos que es de Came. Resolvemos po este método: α ; β ; γ A A A 7 0 Po tanto : t u + v + w En geneal, supongamos que tenemos cuatos vectoes u, v, w y t y queemos sabe si alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Paa ello, constuimos una matiz M en la que las filas (o columnas) son los cuato vectoes. Las decisiones se toman según el ango de M, es deci: u ( x, y, z) v ( x y z,, ) w ( x, y, z) t ( x, y, z ) x y z x y z M x y z x y z Rango M 0 o o o

28 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Pues bien: 0 los cuato vectoes son el o Hay tes filas( vectoes) comb. lineal de una ( de un vecto) Si Rango M Hay dos filas( vectoes) comb. lineal de otas dos( de otos dos) Hay una fila ( un vecto) comb. lineal de las otas tes ( de los otos tes) 0.Vectoes de ú (ú) linealmente dependientes.- Sean uyv dos vectoes de ú (ú). Se dice que uyv son linealmente dependientes si existen dos númeos eales α y β (alguno de ellos distinto de ceo) tales que α u + β v o. Matemáticamente: u y v son linealmente dependientes { αβ, R αu + βv o Si los vectoes uyv son linealmente dependientes, uno de ellos es combinación lineal del oto. En efecto: u y v son linealmente dependientes { αβ, R αu + βv o (sup ongamos α 0) a lguno 0 α 0 y/ o β 0 β Un vecto es combinacion u v u v u es combinacion lineal de v & α β α & lineal del oto ( c. q. d.) Si un vecto es combinación lineal de oto, entonces ambos son linealmente dependientes. En efecto: u comb. lineal de v β R u βv u βv o { α, β R αu + βv o α 0 u y v son linealmente dependientes (. c q. d.) Ejemplo.- Los vectoes u (,, 8) y v ( 4, 6, 6) son linealmente dependientes. En efecto: u v (, 8, ) ( 4, 66, ) ( 4, 66, ) ( 4, 66, ) º ( 4, 6, 6) ( 4, 6, 6) ( 0, 0, 0) o Es deci, α y β tal que αu + βv o También: 6u v 6 (, 8, ) 4 (, 66, ) (, 848, ) (, 848, ) º ( 000,, ) o α 6y β αu+ βv o Es deci, obseva que los valoes de α y β no son únicos.

29 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo.- u y v son linelamente dependientes αβ, R ( a lg uno 0) αu + βv o 9 9 ( ) ( ) ( ) ( ) α,, + β,, ( 0, 0, 0) α, α, α + β, β, β ( 0, 0, 0) Sean los vectoes de Son linealmente dependientes? (,, ) y v (,, ) u α + β ( α + β, α + β, 4 α 6 β) ( 0, 0, 0) S: α + β 0 4 α β dos vectoes de ú (ú). 6 compatible indeteminado Es deci: Los vectoes uyv son linealmente dependientes si el sistema homogéneo S de tes ecuaciones con dos incógnitas (α y β ) tiene alguna solución distinta de la solución α β 0, es deci, el sistema S es compatible indeteminado (infinitas soluciones). Discutamos el sistema S : 0 9 * 9 A matiz de coeficientes ; A 0 matiz ampliada Es evidente que Rango A Rango A* o ( es deci, el sistema es compatible) * Rango A Rango A S comp. indet. u y v lin. dep. * Rango A Rango A S comp. dete. u y v no son lin. dep. Hallemos Rango A M y Rango A Conclusión: Los vectoes uyv son linealmente dependientes Ahoa vamos a enconta valoes de α y β tales que α u + β v o. Paa ello esolvemos el sistema S : De lo visto anteiomente deducimos que las ecuaciones ª y ª del sistema S son combinación lineal de la pimea. Eliminamos esas dos ecuaciones y obtenemos oto sistema equivalente : Sistema de una ecuacion & S : α + β 0 con dos incognitas &. Númeo de incógnitas pincipales Rango A (elegimos α ) Númeo de incógnitas secundaias ( β )

30 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) : α β α β α β S Conjunto solución del sistema C s ( β β) Po ejemplo { β }, R R β α u+ v o etc. β α u v o En geneal: Si tenemos dos vectoes u x, y, z y v x, y, z de ú (ú) y queemos ( ) ( ) sabe si son linealmente dependientes, actuamos del siguiente modo: e Constuimos una matiz en la que los vectoes están como filas o columnas (seá una matiz de oden o ). x y z A x y z e El ango de la matiz A nos diá si ambos vectoes son linealmente dependientes: Una fila ( un vecto) es comb. lineal de la ota Son linealmente dependientes RangoA Ninguna fila ( nigun & vecto) es comb. lineal de la ota No son linealmente dependientes e Supongamos que Rango A En este caso, { α, β R α( x, y, z) + β( x, y, z) ( 000,, ) a lguno 0 Nos encontamos con un sistema homogéneo de ecuaciones con incógnitas (α, β) que es compatible indeteminado. e Supongamos que Rango A En este caso: No existen { α, β R α( x, y, z) + β( x, y, z) ( 000,, ) alguno 0 Nos encontamos con un sistema homogéneo de ecuaciones con incógnitas (α, β) que es compatible deteminado ( la única solución es α β 0 ). Ejemplo.- Aveigua si los vectoes u ( 4,, ) y v ( 4,, 6) son linealmente dependientes y, en caso que lo sean, expesa uno de ellos como combinación lineal del oto. A u v Rango A o 4 4 M 0 ; 44 0 Rango A Nimguna fila es comb. lineal de la ota Ningun vecto es comb. lineal del oto Los vectoes no son linealmente dependientes

31 Matemáticas de º de bachilleato Página 4 El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo 4.- Sean los vectoes 6 4 (,, ) y v (,, ) u 4. Se pide: a) Aveigua si son linealmente dependientes b) En caso que lo sean, enconta una combinación lineal de ambos que sea igual al vecto ceo. c) En caso que sean linealmente dependientes, expesa cada uno de ellos como combinación lineal del oto. v u uno de ellos es linealmente dependientes 6 4 Rango 4 v comb. lineal del oto Hallemos el ango: M + 0 y 4 0 Rango Po tanto: La segunda fila de la matiz es combinación lineal de la pimea (o la pimea de la segunda). El vecto v es combinación lineal de u (o u de v ). Los vectoes uyv son linealmente dependientes. Conclusión: a) uyv son linealmente dependientes { αβ, R αu+ βv o b) Podemos asegua que. Busquemos esos valoes: α o β 0 α 4 α + β 0,, +,, ( 0, 0, 0) S: α β α + β ( ) β( ) 4 sistema hom ogeneo & de ecuaciones con incognitas & que sabemos es compatible indet e minado Resolvemos: 4 0 Rango 0 Las ecuaciones y son multiplos de la ª ª & ª Eliminamos esas dos ecuaciones y obtenemos un sistema (una ecuación) equivalente a S : S : 4 α + β 0 siendo S S Númeo de incógnitas pincipales (elegimos α) Númeo de incógnitas secundaias ( β ) α t 4 α β ; α β Solucion & del sistema S: β t ( paameto & ) α Paa t u + v o β

32 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Conclusión: u + v o una combinacion de ambos que nos da el vecto o Obseva que existen infinitos paes (α,β) tales que α u + β v o c) Expesemos cada vecto como combinación lineal del oto: u+ v o v u v u v combinacion lineal de u u v u combinacion lineal de v Sean u, v y w tes vectoes de ú (ú). Se dice que u, v y w son linealmente dependientes si existen tes númeos eales α, β y γ (alguno de ellos distinto de ceo) tales que αu + βv + γ w o. Matemáticamente: u, v y w son linealmente dependientes αβγ,, R αu + βv + γw o Alguno 0 Podemos considea que: u, v y w Uno de ellos es combinacion son linealmente dependientes lineal de los otos dos Demostemos esta última equivalencia: u, v, w lin. depen. α, β, γ R ( alguno 0) αu + βv + γw o Y) β γ ( supongamos que α 0) u v w u es comb. lineal de v y w α α Z) Supongamos que u es comb. lineal de v y w βγ, R u βv + γw u, v y w u v + w o,, u v + w o β γ α β γ R α β γ son lin. dependientes α 0 Ejemplo.- Sean los vectoes u ( 4,, 6), v (,, ) y w ( 4, 4, 4) Se pide: a) Son linealmente dependientes? de ú (ú). b) En caso que lo sean, encuenta una combinación de ellos que sea igual a o c) Expesa, si es posible, el vecto como combinación lineal de los otos dos. u

33 Matemáticas de º de bachilleato Página 6 El espacio vectoial ú (ú) a) u, v y w son linealmente dependientes αβγ,, R ( alguno 0) αu + βv + γw o α( 4,, 6) + β(,, ) + γ ( 4, 4, 4) ( 0, 0, 0) ( 4α β + 4γ, α + β + 4γ, 6α + β + 4γ) ( 0, 0, 0) 4α β + 4γ 0 α, β, γ R S: α + β + 4γ 0 alguno 0 6α + β + 4γ 0 Ahoa bien: El sistema homogeneo S de ecuaciones con incognitas & es compatible indeteminado ( infinitas soluciones) 4 4 A 4 y S compatible indeteminado Rango A < matiz de coeficientes Hallemos el ango de la matiz A (obseva que las filas de la matiz son los vectoes): 4 Ademas,la segunda fila no es M Rango A o. combinacion & lineal de la pimea 4 4 A Rango A 6 4 De lo anteio deducimos lo siguiente: ú Los vectoes son linealmente dependientes. ú Al menos la tecea fila es combinación lineal de las otas dos (el vecto w es combinación lineal de uyv ). ú La tecea ecuación es combinación lineal de las dos pimeas. Si eliminamos esta ecuación obtenemos oto sistema S equivalente a S. Conclusión: Los vectoes dados son linealmente dependientes b) Se tata de enconta una solución del sistema S (o S ): 4α β+ 4γ 0 incognitas & pincipales α, β S : Consideamos α + β + 4γ 0 incognitas & secundaias γ Pasamos la incógnita γ a la deecha de la igualdad y la tatamos como una constante: 4α β 4γ Sistema de dos ecuaciones con S : α + β 4γ dos incognitas y de Came. Resolvemos po el método de Came: 4γ 4 4γ 4γ γ γ γ α 8 4 γ β 8 ; γ Llamando γ t

34 Matemáticas de º de bachilleato Página 7 El espacio vectoial ú (ú) α t La solución del sistema S es β t γ t ( paameto & ) Una solución : t α ; β ; γ Conclusión: u v + w o es una combinacion & posible c) Expesemos el vecto u como combinación lineal de los otos dos: v + w v + w u ; u ; v + w u ; v + w u Conclusión: u v w + vecto u como combinación lineal de los otos dos En geneal: u ( x, y, z) Supongamos tes vectoes de ú (ú), v ( x, y, z) w ( x, y, z) El poblema de sabe si son linealmente dependientes se esuelve hallando el ango de la matiz que constuimos poniendo los vectoes como filas (o como columnas), es deci: x y z Rango x y z x y z Son linealmente dependientes y cada fila es " multiplo" de cualquie ota Son linealmente dependientes y cada fila es comb. lineal de las otas dos No son linealmente depend. y ninguna fila es comb. lineal de las otas dos El que los tes vectoes no sean linealmente dependientes significa que si existen tes númeos α, β, γ tales que α u + β v + γ w o, debe se necesaiamente que α β γ 0 Es deci: u Paa que sea αu+ βv+ γ wo v no son lineal. dependientes debe se necesaiamente w α β γ 0 Nota : Recueda que 0u + 0v + 0w o + o + o o Sin enta en detalles, diemos que si tenemos cuato o más vectoes cualesquiea del espacio vectoial ú (ú), entonces son linealmente dependientes, es deci: u, u, u, u4 R ( R), αβγλ,,, R αu + u + u + u o 4 4 β γ λ 4 a lguno 0 Lo anteio es válido paa más de cuato vectoes.

35 Matemáticas de º de bachilleato Página 8 El espacio vectoial ú (ú).vectoes de ú (ú) linealmente independientes.- Sean uyv dos vectoes de ú (ú). Se dice que uyv son linealmente independientes si la elación αu + βv o implica necesaiamente que α β 0. Matemáticamente: u y v son linealmente independientes / { αβ, R αu + βv o alguno 0 De ota foma: u y v son linealmente independientes αu+ βv o unicamente & si α β 0 Si los vectoes uyv son linealmente independientes, no son linealmente dependientes y si son linealmente dependientes, no son independientes. A dos vectoes de ú (ú) le pueden ocui alguna de las dos situaciones siguientes: Que sean linealmente dependientes o que sean linealmente independientes. Si los vectoes uyv son linealmente independientes, ninguno de ellos es combinación lineal del oto. En efecto: Supongamos que uyv son linealmente independientes. Entonces, si fuese u combinación lineal de v, seía u β v y, po tanto, u β v o ( conα 0), es deci, no son linealmente independientes, en conta de lo que hemos supuesto. Dados dos vectoes tales que ninguno de ellos es combinación lineal del oto, entonces son linealmente independientes. Ejemplo 6.- Sean los vectoes de ú (ú) u (,, ) y v ( 4,, 6). Queemos sabe si son linealmente dependientes o linealmente independientes. Imaginemos una combinación lineal de ambos que sea igual al vecto ceo, es deci: αu+ βv o α(,, ) + β( 4,, 6) ( 000,, ) ( α + β, α + 4β, α 6β) ( 000,, ) α + β 0 S: α + 4β 0 sistema homogeneo de ecuaciones con incognitas & α 6β 0 Recodemos que los sistemas homogéneos son compatibles (deteminados o indeteminados). En este caso:

36 Matemáticas de º de bachilleato Página 9 El espacio vectoial ú (ú) ö Si S es compatible deteminado (solución única α β 0), los vectoes son linealmente independientes. ö Si S es compatible indeteminado (infinitas soluciones), los vectoes son linealmente dependientes. Discutamos el sistema S: A 4 matiz de los coeficientes. Rango A o 6 Hallemos el ango de A: M 4 0 Rango A 4 La fila de A es comb Rango A S S ª. α + β 0 : lineal de las pimeas α + 4β 0 Sabemos que el sistema S es de Came y, po tanto, compatible deteminado, es deci existe solución única α β 0. Conclusión: Los vectoes son linealmente independientes. En geneal, si tenemos dos vectoes u ( x, y, z) y v ( x, y, z) de ú (ú) y queemos sabe si son linealmente dependientes o independientes, actuamos del siguiente modos: P Constuimos una A matiz en la los vectoes dados están como filas (o columnas): x y z u A x y z v P Hallamos el ango de la matiz A y aplicamos el siguiente citeio: Rango A Los vectoes son linealmente dependientes Los vectoes son linealmente independientes Ejemplo 7.- Sean los vectoes (,, ) y v (,, ) u 4 de ú (ú), queemos sabe si se puede expesa uno de ellos como combinación lineal del oto. Se tata de aveigua si son linealmente dependientes o independientes. u M 4 4 v Rango A o M y Rango A 4

37 Matemáticas de º de bachilleato Página 0 El espacio vectoial ú (ú) Po tanto, los vectoes dados son linealmente dependientes. Expesemos u como combinación lineal de v : α 4 α u αv ( 4,, ) α(,, ) ( 4,, ) ( α, α, α) S: α α α α Po tanto: u v u combinacion & lineal de v v u v combinacion & lineal de u Sean u, v y w tes vectoes de ú (ú). Se dice que u, v y w son linealmente independientes si la elación ente ellos α u + β v + γ w o implica necesaiamente que α β γ 0. Matemáticamente: u, v y w son linealmente independientes / αβγ,, R αu + βv + γw o alguno 0 De ota foma: u, v y w son linealmente independientes αu+ βv + γ w o unicamente & si α β γ 0 Si los vectoes u, v y w son linealmente independientes, no son linealmente dependientes y si son linealmente dependientes, no son independientes. A tes vectoes de ú (ú) le pueden ocui alguna de las dos situaciones siguientes: Que sean linealmente dependientes o que sean linealmente independientes. Si los vectoes u, v y w son linealmente independientes, ninguno de ellos es combinación lineal de los otos dos. En efecto: Supongamos que u, v y w son linealmente independientes. Entonces, si fuese u combinación lineal de vyw, seía u β v + γ w y, po tanto, u β v γ w o ( conα 0), es deci, no son linealmente independientes, en conta de lo que hemos supuesto. Dados tes vectoes tales que ninguno de ellos es combinación lineal de los otos dos, entonces son linealmente independientes.

38 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo 8.- Sean los vectoes u ( 0,, ) ; v ( 0,, ) y w ( 00,, ) de ú (ú). Queemos sabe si son linealmente dependientes o independientes. Caso que sean linealmente dependientes, expesa alguno de ellos como combinación lineal de los otos dos. u, v, w son linealmente independientes αu + βv + γ w o, entonces tiene que se α β γ 0 α( 0,, ) + β( 0,, ) + γ ( 00,, ) ( 000,, ), unicamente & si α β γ 0 ( α β, β + γ, α) ( 000,, ), unicamente & si α β γ 0 α β 0 S: β + γ 0 sistema con solucion & unica & α β γ 0 α 0 Discutamos el sistema S : 0 0 A 0 ; A 0 0 Rango A S compatible deteminado Po tanto: El sistema S tiene solución única α β γ 0 La expesión α u + β v + γ w o ocue únicamente si α β γ 0 Los vectoes u, v, w son linealmente independientes y, po tanto, no son linealmente dependientes. Ninguno de ellos puede expesase como combinación lineal de los otos dos. Obsévese que en la matiz A, las columnas son los vectoes dados. En geneal, paa aveigua si tes vectoes son linealmente independientes, se constuye una matiz en la que las filas (o columnas) son los tes vectoes y se estudia el ango de esa matiz con el siguiente citeio: u ( x, y, z) x y z u u ( x, y, z) tes vectoes de R ( R) ; M x y z u u x y z (,, ) x y z u Entonces: Los vectoes son linealmente dependientes. Cualquie vecto es " multiplo & " de oto. Los vectoes son linealmente dependientes A uno de Rango M. lg ellos( o todos) es combinacion & lineal de los otos dos Los vectoes son linealmente independientes. Ninguno de ellos es combinacion & lineal de los otos dos Recuédese que Rango M ]*M * 0

39 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Ejemplo 9.- Sean los vectoes u (,, ) ; v (,, ) y w ( 0,, ) del espacio vectoial ú (ú). Queemos sabe si son linealmente dependientes o independientes. u M v ; RangoM o o ; M 0 w 7 0 RangoM o Hallemos el deteminante de M : Los vectoes son lineal M Rango M mente dependientes 0 De lo anteio podemos asegua que la tecea fila de M ( el vecto w ) es combinación lineal de las dos pimeas (de los vectoes uyv ). Hallemos esa combinación lineal: w αu+ βv (, 0,) α(,, ) + β(,, ) (, 0,) ( α, α, α) + ( β, β, β) ( 0,, ) ( α + β, α β, α β) De lo anteio deducimos: α + β α β S: sistema que sabemos es compatible α β 0 * A matiz de los coeficientes y A matiz ampliada. 0 * Rango A Rango A Sabemos que * A 0 La ª fila ( la ª ecuacion & ) es combinacion & lineal de las dos pimeas. Eliminamos la tecea ecuación y obtenemos oto sistema S equivalente a S : β -α (): α + β S : Resolvemos po sustitucion & α-(-α) ; 7α 4 ; α ( ): α β β ; β 4 ; β Po tanto: w u v Nos da el vecto w como combinación lineal de los vectoes uyv Ejemplo 40.- Aveigua si los vectoes de ú (ú) linealmente dependientes o independientes. i (, 00,); j (,,) 00 y k (, 00,) son

40 Matemáticas de º de bachilleato Página El espacio vectoial ú (ú) Constuimos una matiz con los vectoes colocados como filas y hallamos su deteminate: Los vectoes i j k son M M Rango M,, 0 0 ; linealmente independientes Podemos asegua que ninguno de ellos es combinación lineal de los otos dos. Es imposible que cuato vectoes de ú (ú) sean linealmente independientes, es deci, dados cuato vectoes cualesquiea, siempe es posible expesa uno como combinación lineal de los otos tes. En efecto: u ( x, y, z) u ( x, y, z) Cuato vectoes cualesquiea. Constuimos M u ( x, y, z) u4 ( x4, y4, z4) x y z u x y z u x y z u x y z u Sabemos que Rango M o o Es deci, Rango M 4, lo cual significa que una de las cuato filas es combinación lineal de las otas tes, esto es, uno de los cuato vectoes es combinación lineal de los otos tes 4 Ejemplo 4.- Sean los cuato vectoes de ú (ú) siguientes: u (, 0, ) u ( 0,, ) Expesa uno de ellos como combinación lineal de los otos tes. u ( 00,, ) u4 ( 0,, ) Constuimos una matiz con los cuato vectoes: 0 u 0 u M ; Rango M o o 0 0 u 0 u Meno pincipal de oden : 4 0 Rango M M 0 0 u, u, u son linealmente independientes 0 0 La 4ª fila ( u4) es comb. lineal de las otas( u, u, u) Ahoa vamos a expesa el vecto u 4 como combinación lineal de los otos tes: α u + β u + γ u u 4

41 Matemáticas de º de bachilleato Página 4 El espacio vectoial ú (ú) α ( 0,, ) + β ( 0,, ) + γ ( 00,, ) ( 0,, ) ( α, 0, α) + ( β, β, 0) + ( 0, γ, 0) ( 0,, ) º α β 0 β º ( α β, β + γ, α) ( 0,, ) β + γ γ γ º α α Po tanto: u u + u u 4 Obsevación : Cuando nos efeimos a que cuato vectoes de ú (ú) no pueden se linealmente independientes, nos efeimos a cuato vectoes distintos del vecto ceo..base del espacio vectoial ú (ú).- Un conjunto fomado po tes vectoes de ú (ú), que sean linealmente independientes, se dice que es una base (o que foman una base) del espacio vectoial ú (ú) Es deci: Supongamos u, u, u tes vectoes del espacio vectoial ú (ú). Entonces: u u u son linealmente B { u u u } es una base de,,,, R ( R) R ( R) independientes Exp esado de ota foma: u ( x, y, z) u ( x, y, z) u ( x, y, z ) x y z B { u, u, u} base de R ( R) Rango x y z x y z Po tanto, sabe si un conjunto de tes vectoes es una base de ú (ú), se educe a halla el ango de una matiz de oden. Ejemplo 4.- Sean los vectoes de ú (ú) u (,, ); u ( 0,,); u ( 00,,). Queemos sabe si foman una base del espacio vectoial ú (ú). {,, } B u u u es un subconjunto de tes vectoes de ú (ú) y, po tanto, puede se una base.