Práctica 8: Carta de Smith

Transcripción

1 Páctica 8: Cata de Smith Objetivo Familiaización con el manejo de la Cata de Smith. Contenidos Repesentación de impedancias y admitancias. Obtención de paámetos de las líneas empleando la Cata de Smith. Adaptación de impedancias mediante cotocicuito vaiable. Líneas con pedidas. Pepaación Pevia: Estudio de los conceptos básicos de la Cata de Smith: Constucción. Repesentación de impedancias y admitancias. Obtención de paámetos de la línea: coeficiente de eflexión, elación de onda estacionaia, impedancia vista desde un punto. Adaptación de impedancias. Paa la ealización de la páctica es necesaio el siguiente mateial: lápiz, egla, compás y 3 catas de Smith como mínimo (cada bloque de cuestiones se puede ealiza en la misma cata de Smith). Bibliogafía [1] S. Y. Liao. Micowave devices and cicuits, pp. 8-95, Pentice-Hall [] S. V. Mashall, G.G. Skitek. Electomagnetic concepts and applications, pp , Pentice Hall Int. Ed [3] D. K. Cheng. Field and Wave Electomagnetics, pp , Addison- Wesley Pub. Co. ª ed [4] N. N. Rao. Elements of Engineeing Electomagnetics, pp , Pentice Hall Int. Ed [5] J. D. Kauss. Electomagnetics, pp , Mc.Gaw-Hill Inc. 4ª Ed

2 Intoducción La cata de Smith consiste en la epesentación gáfica, en el plano del coeficiente de eflexión, de la esistencia y la eactancia nomalizadas. Esta heamienta gáfica pemite la obtención de divesos paámetos de las líneas de tansmisión y la esolución de poblemas de adaptación de impedancias, evitando las opeaciones con númeos complejos que suelen implica estos cálculos. Constucción de la cata de Smith Recodemos la expesión del coeficiente de eflexión en la caga, Γ, en función de ésta, L, y de la impedancia caacteística de la línea, : Γ = L jθ = Γ e L = Γ + j i L + Γ (1) que se puede expesa en foma de módulo y fase imaginaia Γ +. jγ i Γ j e θ L, o como pate eal e La impedancia de caga L, nomalizada con especto a la impedancia caacteística de la línea, también puede escibise en sus pates eal e imaginaia como: 1+ Γ = = jx 1 Γ () L + donde: es la esistencia nomalizada x es la eactancia nomalizada A pati de (1) y () se pueden obtene las pates eal e imaginaia de Γ: ( + jx) 1 ( + jx) x ( + 1) + x x ( + 1) + x Γ = Γ + jγi = = + j (3) Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) paa las pates eal e imaginaia y po eliminación de o x, espectivamente, pueden obtenese las siguientes ecuaciones: 1 Γ + Γi = (4)

3 ( 1 ) + Γi = 1 1 Γ (5) x x Si epesentamos la ecuación (4) sobe el plano ( Γ, Γi ) paa valoes de constante, las gáficas obtenidas son cículos de adio 1 /(1 + ) centados en el eje eal en los puntos: Γ = /(1 ), Γ. Los distintos valoes de dan luga a + i = cículos de adio difeente con cento en distintas posiciones del eje eal. La figua 1 muesta, en línea continua, los casos =,.5, 1 y. Todos los cículos pasan po el punto (1, ). La ecuación (5), paa valoes de x constante, también descibe cículos de adio 1 / x, centados en Γ = 1, Γ i = 1/ x. En la figua 1 se muesta, en línea discontinua, los casos paa x=, ±.5, ±1 y ±. Nuevamente, todos los cículos pasan po el punto (1, ). 1 x=1 x= x=.5 P.5 Γ = =.5 =1 = θ Γ Γ i c.c. x= c.a. -.5 x=-.5 x=-1 x= Γ Figua 1. Cata de Smith 45

4 Repesentación de impedancias nomalizadas La intesección de un cículo y un cículo x define un punto que epesenta una impedancia nomalizada: +jx. Po ejemplo: el punto P de la figua 1 epesenta la impedancia nomalizada.5+j un cotocicuito, Γ = 1, se epesenta en el punto (-1, ) un cicuito abieto, Γ = 1, en el punto (1, ). Obtención del coeficiente de eflexión Si pensamos en la cata de Smith como una epesentación en polaes, la distancia de un punto al oigen de coodenadas se coesponde con el módulo del coeficiente de eflexión y el ángulo con especto al eje eal positivo se coesponde con su fase. Γ + Γi = Γ (6) Γ Γ i ac tan = θ Γ (7) La cata de Smith popociona ambas escalas, tanto paa la lectua del módulo (en la pate infeio) como paa la lectua de la fase (sobe el cículo =1). Todas las impedancias que pesenten el mismo módulo del coeficiente de eflexión se situaán sobe un cículo centado en el oigen. Po ejemplo, el punto P(.5, 1) se coesponde con un coeficiente de eflexión.6 83º y en la figua se obseva el cículo que epesenta Γ =. 6. Obtención de la ROE Si ecodamos la expesión que elaciona la azón de onda estacionaia (ROE) con el coeficiente de eflexión: 1 + Γ S = 1 Γ (8) y la compaamos con la expesión () vemos que la ROE coincide con el valo de la impedancia nomalizada cuando la fase del coeficiente de eflexión es ceo, es deci, la intesección del cículo Γ = cte. con el eje eal positivo. 46

5 Situación de los puntos V max y V min Patiendo de la expesión de la onda de tensión en la línea en función del coeficiente de eflexión: V(z) = V + 1+ ρ(z' ) (9) es fácil compoba que la posición de máximos y mínimos seá: los máximos: cuando la fase del coeficiente de eflexión sea ceo (semieje X positivo). los mínimos: cuando la fase del coeficiente de eflexión sea π (semieje X negativo). Tansfomación de impedancias Si nos desplazamos desde la caga hacia el geneado, el coeficiente de eflexión en cualquie punto z de la línea viene dado, en función del coeficiente de eflexión en la caga, po la expesión: γz' ρ (z' ) = Γe (1) Un caso paticula es el de las líneas sin pédidas, donde la ecuación (118) se educe a: jβz' ρ (z' ) = Γe (11) Po lo tanto, en una línea sin pédidas, un desplazamiento z se taduce en un cambio de fase del coeficiente de eflexión, peo el módulo se mantiene constante. Po ejemplo, un desplazamiento de z =λ/8 supone un incemento de fase de +π/ sobe el cículo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención de un nuevo punto en la cata de Smith, que se coesponde con la impedancia vista desde ese punto. De esta foma, la tansfomación de impedancias poducida a lo lago de la línea puede deducise obsevando los valoes de y x que se leen al desplazase sobe cículos centados en la cata (espiales si hay pédidas). La cata de Smith popociona dos escalas adicionales sobe su peímeto en z/λ (en longitudes de onda), una paa los movimientos hacia el geneado y ota paa los movimientos hacia la caga. 47

6 Obtención de admitancias Patiendo de la ecuación de la impedancia vista desde un punto z hacia la caga L, en una línea sin pédidas: in L + jr tg( βz' ) = ( z' ) = R R + j tg( βz' ) (1) L Si nomalizamos y vemos el caso paticula de z =λ/4: R λ + jr tg( β ) R 1 Y L in L = 4 = = = λ 1 L Y (13) R + jltg( β ) 4 YL obtenemos la admitancia de caga nomalizada. Vemos como el tansfomado λ/4 actúa como un inveso de impedancias. Un desplazamiento de un cuato de longitud de onda equivale a un cambio de fase de π adianes en el coeficiente de eflexión, po lo tanto el punto de la admitancia está diametalmente opuesto al de la impedancia coespondiente. También es posible emplea la cata de Smith como diagama de admitancias, muy útil paa esolve poblemas de conexiones de líneas en paalelo (donde las admitancias se suman). Si se tabaja con admitancias nomalizadas las posiciones de cotocicuitos y cicuitos abietos están invetidas especto de la cata de impedancias y también se inviete la posición de los lados capacitivo e inductivo. Y 48

7 Desaollo 1. Cálculo de paámetos 1. Localiza en la Cata de Smith las siguientes impedancias (toma =5 Ω): 1 = Ω, =-j1 Ω y 3 =5+j75 Ω Las taeas que se poponen a continuación deben esolvese empleando la Cata de Smith y mediante las ecuaciones de las líneas de tansmisión:. Calcula sus admitancias coespondientes. 3. Obtene el coeficiente de eflexión en la caga, la elación de onda estacionaia en la línea y la distancia del pime mínimo de la onda estacionaia de tensión a la caga, paa los tes casos. 4. Calcula la impedancia de entada de una línea de tansmisión de impedancia caacteística 5Ω y.3λ de longitud, cagada con las impedancias del ejecicio anteio. 5. La impedancia de entada de un tamo de longitud l de la línea anteio teminada en cicuito abieto es una eactancia capacitiva de 9Ω. Cuál es la longitud eléctica l/λ de la línea?. Adaptación de impedancias l1 L 1 l 6. La línea de tansmisión de la figua pesenta una impedancia caacteística de 5Ω y está cagada con una impedancia de L =1+j75Ω. Detemina la longitud (l ) y la posición (l 1 ) del cotocicuito necesaias paa adapta la línea. 49

8 3. Líneas con pédidas 7. Paa detemina las pédidas en una línea de tansmisión de apoximadamente 75Ω de impedancia caacteística se mide, a 3 MHz, la impedancia de entada en un tamo cotocicuitado de.196λ, obteniéndose un valo de 45+jΩ. Detemina la constante de atenuación de la línea. 8. Dada la línea del poblema anteio, epesenta la vaiación del coeficiente de eflexión desde su valo en la caga hasta la entada y compaalo con el que se obtendía en una línea sin pédidas. Cuestiones de evisión 1. Qué es el diagama de Smith y po qué es útil paa efectua cálculos con líneas de tansmisión?. Qué epesentan las coodenadas ectangulaes del diagama de Smith? Y las polaes? 3. Qué punto de la cata de Smith epesenta una caga adaptada? 4. En los poblemas de adaptación de impedancias cómo utilizaías la cata de Smith, como diagama de impedancias o de admitancias? po qué? 5. Demosta que el punto que epesenta una impedancia en la cata de Smith está diametalmente opuesto, es deci desplazado λ/4, al que epesenta la admitancia coespondiente. 6. Obtene, utilizando la cata de Smith, la impedancia coespondiente a una admitancia de 6+j3 Ω -1, enumeando los pasos seguidos. 7. Explica po qué el valo de la elación de onda estacionaia se mia en el semieje hoizontal deecho. 8. Paa una línea de tansmisión conectada a una caga L Cuántas posiciones (menoes de media longitud de onda) de un cotocicuito vaiable pemiten adapta la caga a la línea? Y cuántas longitudes? 9. Qué difeencia había si se empleaa un cicuito abieto paa adapta? 1. Pemanece constante la elación de onda estacionaia en una línea con pédidas? 5

9 Poblemas 1. Una línea de tansmisión de impedancia caacteística 5Ω y dieléctico el vacío se utiliza paa alimenta una antena. A 4MHz se mide una elación de onda estacionaia igual a. El pime máximo de tensión se detecta a 7.8cm de la antena. Puede considease que se tata de una línea sin pédidas. Utilizando la cata de Smith, detemine la posición y la longitud del bazo cotocicuitado necesaio paa consegui la adaptación. Posteiomente, detemine la elación de onda estacionaia en la línea si se baja a fecuencia a 375MHz.. Paa alimenta una antena a 4MHz se utiliza un cable coaxial sin pédidas de impedancia caacteística 75Ω. El dieléctico tiene una constante dieléctica elativa igual a 4. El pime mínimo de tensión se detecta a 1cm de la caga. La elación de onda estacionaia que se mide es 3. Utilizando la cata de Smith detemine: a) La posición y longitud del bazo cotocicuitado necesaio paa tene adaptación. b) La elación de onda estacionaia en la línea si se baja la fecuencia a 35 MHz. 3. En una línea de tansmisión (que puede considease sin pédidas) de impedancia caacteística 5Ω y dieléctico el vacío se mide una elación de onda estacionaia igual a 1 a 4MHz ya que se ha ealizado adaptación mediante una bazo cotocicuitado de longitud cm conectado a una distancia d de la caga, en la que se detecta un máximo de tensión. Utilizando la cata de Smith detemine: a) la impedancia de caga b) la distancia d ente la caga y el bazo cotocicuitado c) la elación de onda estacionaia en la línea si se baja la fecuencia a 48MHz. 51