F. Trig. para ángulos de cualquier magnitud

Transcripción

1 F. Tig. paa ángulos de cualquie magnitud Ahoa vamos a utiliza la ciuncfeencia unitaia paa descubi algunas popiedades de las funciones tigonométicas. Empezamos con las funciones sin cos. Al vaia el valo del ángulo el adio sobe la cicunfeencia unitaia va giando desde hasta 36 paa valoes maoes los valoes de las funciones tigonométicas se vuelven a epeti. Recueda que la poección hoizontal del adio es igual al valo de la función coseno que la poección vetical del adio es igual al valo de la función seno. Obseva que cuando = = ad, la función coseno tiene una poección hoizontal de longitud igual al adio. Es deci, cos() =. Confome los valoes de van ceciendo, los valoes de la función cos van dececiendo, hasta llega al valo ceo cuando = 9 = / ad. Paa ángulos maoes a 9 las poecciones hoizontales del adio se van al lado negativo, pues no caen sobe el lado inicial del ángulo, los valoes de la función cos van ceciendo, peo con valoes negativos, hasta llega a toma el valo cuando = 8 = ad. Cuando ebasa los 8, los valoes de la función coseno vuelven a decece (siendo negativos), hasta llega al valo cuando = 7 = (3/) ad. Finalmente, cuando el ángulo ebasa los 7, la función coseno vuelve a toma valoes positivos cecientes, hasta que alcanza el máimo valo a los 36 = ad, los valoes se vuelven a epeti de nuevo. Una discusión simila coesponde a la función seno. Cuando =, la poección vetical del adio es un punto, po eso, sin() =. Confome el ángulo va ceciendo, las poecciones veticales también cecen, son positivas, llegando a un máimo cuando = 9. Entonces, sin =, siendo = 9 = / ad. Al segui ceciendo > 9, los valoes de la función seno van dececiendo, peo siguen siendo positivos, hasta que alcanza un valo de 8, poque en ese punto la poección vetical del adio de nuevo es un punto al igual que al inicio tenemos: sin(8 ) =. Cuando ebasa los 8, los poecciones veticales del adio quedan po debajo del eje hoizontal po eso son negativas. Los valoes de la función seno van ceciendo negativamente hasta alcanza el valo paa un ángulo = 7. Paa ángulos ente 7 36 los valoes de la función seno van dececiendo en valo absoluto, peo siendo negativos llegando a ceo cuando = 36. Todo este ciclo se epite de nuevo si hacemos cece aún más el ángulo. Po eso, genealmente nos quedamos con el estudio de los valoes de las funciones tigonométicas utilizando solamente el intevalo 36, pues paa valoes maoes de podemos imaginanos que giamos vaias veces (cuantas veces sea necesaio) paa que coincida con un ángulo en el intevalo inicial ( 36 ) obtene los valoes de las funciones de aquí. En otas palabas, los valoes de las funciones tigonométicas se van epitiendo cada 36. Po eso decimos que las funciones tigonométicas son peiódicas. /5

2 Función peiódica Si una función f que tiene la popiedad: f () = f ( + k) paa un k dado caacteístico de cada función, entonces decimos que la función es peiódica. Peiodo de una función peiódica Sea f una función peiódica. El valo mínimo de k que hace que se cumpla: f () = f ( + k) paa toda en el dominio de la función f es el peiodo de la función. Obseva que po la simetía se cumple: cos = cos( ) sin( ) = sin Recueda que el ángulo positivo gia en conta de las manecillas del eloj, mientas que el ángulo negativo a favo de las manecillas. Si cambiamos el valo de po ( ), obtenemos el mismo valo de la función. poecciones hoizontales de adios con inclinaciones o ( ) son iguales. Obseva que en los tiángulos ectángulos equivalentes: Es deci, las β los ángulos β son complementaios. Lo único que hemos hecho es cambia la posición del tiángulo paa obtene el de la izquieda a pati del tiángulo de la deecha. Obseva que sin = cos β, poque: β sin = cos β = También se cumple: sec = csc β, poque: sec = csc β = /5

3 Y finalmente, también: tan = cot β, poque: tan = cot β = Ahoa obseva los nombes de las funciones elacionadas como se ha indicado: Función Cofunción Seno (sin ) Coseno (cos β) Secante (sec ) Cosecante (csc β) Tangente (tan ) Cotangente (cot β) Y al ecoda que los ángulos β son complementaios, puedes imagina de dónde viene el pefijo «co» de las cofunciones. Cofunción La cofunción C(β) de una función tigonomética f () es la función tigonomética que cumple: paa: 9. f () = C(9 ) 3 Este esultado se establece como un teoema: Las funciones tigonométicas tienen las siguientes popiedades: sin = cos(9 ) cos = sin(9 ) sec = csc(9 ) csc = sec(9 ) tan = cot(9 ) cot = tan(9 ) Teoema En palabas, cualquie función de es igual a la cofunción del complemento de. Paa gafica las funciones tigonométicas utilizamos los agumentos dados anteiomente tazamos solamente un peiodo de la función, después solamente debemos epeti la gáfica, po la definición de función peiódica. Enseguida se muesta la gáfica de la función seno: sin..5 3 Confome vamos aumentando el valo del ángulo, vamos ecoiendo el punto sobe el eje hoizontal gaficamos el valo de sin. Al considea vaios puntos podemos obtene una idea de la gáfica de la función. Al ecoda que la función es peiódica, podemos etendela en ambas diecciones epitiendo la foma de la función tantas veces como se equiea. 3/5

4 Po ota pate, la gáfica de la función coseno se obtiene fácilmente al ecoda que: cos = sin(9 ), haciendo una taslación hotizontal de la gáfica de la función sin como se muesta en la siguiente figua:. cos sin cos.5 3 Paa obtene la gáfica de la función tan basta obseva del tiángulo ectángulo que usamos paa defini las funciones tigonométicas que: tan = = = sin cos Es deci, si dividimos el valo de sin ente el valo de cos obtenemos el valo de tan. Cuando los valoes de la función sin van acecándose a ceo, los valoes de tan también tan = eactamente en los mismos puntos paa los cuales sin =. Cuando los valoes de la función cos se acecan a ceo, los valoes del cociente sin / cos cecen cada vez más, cuando cos =, la división no está definida, así que en esos puntos la gáfica de la función tan tampoco estaá definida. tan 3 tan sin cos 3 Como puedes ve, la gáfica de la función tangente también es peiódica, pues sus valoes se van epitiendo cada ad. La gáfica de tan está compuesta de muchas amas idénticas. Dado que no es posible dibuja la gáfica de la función tangente sin levanta el lápiz del papel sobe la cual se le dibuja, decimos que la gáfica es discontínua. 4/5

5 Los puntos de discontinuidad de la gáfica de la función tangente están en los puntos en donde cos = ; es deci, en todos los múltiplos impaes de / adianes. Céditos Todo debe hacese tan simple como sea posible, peo no más. Albet Einstein Este mateial se etajo del libo Matemáticas II escito po Efaín Soto Apolina. La idea es compati estos tucos paa que más gente se enamoe de las matemáticas, de se posible, mucho más que el auto. Auto: Efaín Soto Apolina. Edición: Efaín Soto Apolina. Composición tipogáfica: Efaín Soto Apolina. Diseño de figuas: Efaín Soto Apolina. Poducto geneal: Efaín Soto Apolina. Año de edición: Año de publicación: Pendiente. Última evisión: 7 de septiembe de. Deechos de auto: Todos los deechos esevados a favo de Efaín Soto Apolina. Méico.. Espeo que estos tucos se distibuan ente pofesoes de matemáticas de todos los niveles sean divulgados ente otos pofesoes sus alumnos. Este mateial es de distibución gatuita. Pofeso, agadezco sus comentaios sugeencias a la cuenta de coeo electónico: efain@apendematematicas.og.m 5/5