FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 1

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1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 1

2 página 2 Instituto Valladolid Pepaatoia 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.1 UNA PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Los tiángulos ectángulos tienen dos popiedades que ningún oto tiángulo posee. De la pimea que a continuación se va a analiza nacen las llamadas Funciones Tigonométicas. Hágase la siguiente páctica: En el tiángulo de la figua 1.1 medi con una egla con la máxima pecisión posible la longitud del lado anotalo en el cuadeno. Después hace lo mismo con el lado x. Finalmente dividi el valo obtenido paa ente el valo de x anotalo con dos decimales. Ahoa medi igualmente con la máxima pecisión posible la longitud del lado m anotalo en el cuadeno. Después hace lo mismo con el lado n. Finalmente dividi el valo obtenido paa m ente el valo de n anotalo con dos decimales. El estudiante debe obtene el mismo esultado en ambos casos. O casi el mismo esultado. La pequeña difeencia que le salga ente el pime caso el segundo se debe a que el ojo humano no puede detecta décimas ni centésimas de milímeto que seguamente tienen esas longitudes. Esa es la pimea popiedad impotantísima que tienen los tiángulos ectángulos, que mientas sus ángulos agudos no vaíen, la división ente dos de sus lados de foma coespondiente siempe da el mismo esultado sin impota el tamaño del tiángulo. Obsévese que en el ejecicio anteio, los ángulos agudos no cambiaon, lo que cambió solamente fue el tamaño del pime tiángulo ABC medido especto del segundo ADE. El valo apoximado de la división del lado vetical ente el lado hoizontal debe se de sin impota el tamaño del tiángulo. OJO: Si el ángulo agudo cambia, la división del lado vetical ente el lado hoizontal a no da El ángulo con vétice en A mide apoximadamente 35.5º, po lo tanto el oto ángulo agudo mide 54.5º poque el tece ángulo siempe debe se de 90º, de lo contaio dejaía de se tiángulo ectángulo todo lo que se está afimando tiene validez exclusivamente paa tiángulos ectángulos.

3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 3 Ota cosa impotante: La división del lado vetical ente el hoizontal siempe daá solamente que el ángulo agudo A mida 35.5º, no impota el tamaño de los lados, sean más gandes o más chicos. figua 1.1 Entonces el estudiante debe deduci el esultado del siguiente ejecicio: Suponga que en el tiángulo ABC de la figua 1.1 se coloca un nuevo punto F sobe el lado hoizontal a una distancia de 11 cm. del vétice A desde ese punto F taza una vetical paa constui un nuevo tiángulo adento del tiángulo ABC. Cuánto debeá medi el nuevo lado vetical? La espuesta la debe obtene el alumno sin hace la constucción del nuevo tiángulo, sino deduciendo qué opeaciones debe ejecuta paa llega a la espuesta. Después compobalo haciendo ahoa sí la constucción. Si el ángulo A cambia, po ejemplo a 23.2º, la división del lado vetical ente el valo del lado hoizontal x daá oto valo difeente a que siempe se obtenía en la figua 1.1, peo ese nuevo valo seá siempe el mismo sin impota el tamaño del tiángulo, a condición de que dicho ángulo A de 23.2º pemanezca constante. Cuánto vale esa división? El alumno debe epeti la páctica que hizo con el tiángulo de la figua 1.1 peo ahoa sobe el tiángulo de la figua 1.2.

4 página 4 Instituto Valladolid Pepaatoia figua 1.2 El valo apoximado que el estudiante debe obtene al dividi con la máxima pecisión posible la longitud del lado ente la longitud del lado x de la figua 1.2 es de Igualmente al dividi la longitud del lado m ente la longitud del lado n de la misma figua. Los matemáticos de la antigüedad al descubi esta popiedad en los tiángulos ectángulos se dieon a la taea de anota los valoes de las divisiones de un lado ente oto, obtenidas paa cada ángulo difeente. Metidos en esta taea, el siguiente poblema a esolve ea que al existi seis posibles divisiones de un lado ente oto, cómo identifica una división de la ota? De allí sugieon las llamadas Funciones Tigonométicas. 1.2 DEFINICIONES Téngase en cuenta que todo lo que se mencione en este capítulo tiene validez exclusivamente paa tiángulos ectángulos. CATETOS: Son los lados que foman el ángulo ecto. En la figua 1.3 los lados x e son los catetos. HIPOTENUSA: Es el lado más gande, el que está enfente del lado ecto. En la figua 1.3 el lado es la hipotenusa. ÁNGULO ADYACENTE (a un lado): Es el que está situado en uno de los extemos de dicho lado. En la figua 1.3, el ángulo adacente al lado es β el adacente al lado x es α.

5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 5 LADO ADYACENTE (a un ángulo): Es el que foma pate del ángulo. En los tiángulos ectángulos se llama cateto adacente. En la figua 1.3, el cateto adacente al ángulo α es x. el cateto adacente al ángulo β es. ÁNGULO OPUESTO: Ángulo opuesto a un lado es el que está situado enfente a dicho lado. En la figua 1.3, el ángulo opuesto al lado x es β. el ángulo opuesto al lado es α. figua 1.3 LADO OPUESTO: Lado opuesto a un ángulo es el que está enfente del ángulo. En los tiángulos ectángulos se llama cateto opuesto. En la figua 1.3, el cateto opuesto al ángulo β es x. El cateto opuesto al ángulo α es. Las seis divisiones posibles son: x x ; ; ; ; ; x x Un poblema al que se enfentaon los matemáticos de la antigüedad fue cómo identifica cada una de esas divisiones, poque a cualquie pesona se le puede ocui en vez de llamales a los lados x,,, poneles, po ejemplo, a, b c, como se muesta en la figua 1.4. Entonces la división que paa una pesona podía b se paa ota pesona seía. Y aún más, aunque alguien le c pusiea a los lados del tiángulo x,,, sucedeía en muchos casos que dichos identificadoes quedaan en oto oden o luga de como están en la figua 1.3, es deci, que la equis quedaa en donde está la así con las demás. figua 1.4 Queda clao entonces que no se pueden identifica las divisiones posibles antes mencionadas a tavés del nombe paticula (la leta) que se le ponga a cada tiángulo a cada dibujo, sino po nombes univesales. Estos nombes univesales son Hipotenusa paa el lado opuesto al ángulo ecto Catetos paa los lados que foman el ángulo ecto. mala b De esta manea, la división que en la figua 1.3 es en la figua 1.4 es, había que lla- c cateto hipotenusa. Peo cuál cateto? Obsévese que el cateto es simultáneamente cateto adacente cateto opuesto, dependiendo especto de qué ángulo se considee. Si es especto del ángulo α se tata de cateto opuesto; si es especto del ángulo β se tata de cateto adacente.

6 página 6 Instituto Valladolid Pepaatoia De esta manea las seis divisiones posibles de las longitudes de los lados de un tiángulo ectángulo su foma de abevialas se muestan en la siguiente tabla: FIGURA 1.3 RESPECTO DEL ÁNGULO α NOMBRE DE LA DIVISIÓN ABREVIA- TURA cateto opuesto hipotenusa seno sen α x cateto adacente hipotenusa coseno cos α x cateto opuesto cateto adacente tangente tan α x cateto adacente cateto opuesto cotangente cot α x hipotenusa cateto adacente secante sec α hipotenusa cateto opuesto cosecante csc α Las anteioes son las llamadas funciones tigonométicas, que en síntesis son: seno cateto opuesto hipotenusa ; coseno cateto adacente hipotenusa tan gente cateto opuesto cateto adacente ; cot angente cateto adacente cateto opuesto secante hipotenusa cateto adacente ; cosecante hipotenusa cateto opuesto

7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página NACIMIENTO DE LAS TABLAS TRIGONOMÉTRICAS En vitud de que paa cada ángulo agudo de un tiángulo ectángulo la división de las longitudes de dos de sus lados esulta el mismo valo sin impota el tamaño del tiángulo, estos valoes los comenzaon a ecopila los matemáticos de la antigüedad en unas tablas, llamadas tablas tigonométicas. Obsévese en la página anteio que el seno la cosecante son ecípocos; que el coseno la secante son ecípocos; que la tangente con la cotangente también son ecípocos. Po esa azón es suficiente tene los valoes solamente del seno, coseno de la tangente. Así es como apaecieon inicialmente en las tablas actualmente en las calculadoas. La tabla siguiente es un ejemplo sencillo de cómo, apoximadamente, hicieon esa ecopilación de datos. En este ejemplo están los valoes desde ceo gados hasta nueve solamente, peo aquellos matemáticos lo hicieon desde ceo gados hasta noventa gados. ÁNGULO ( o ) SENO COSENO TANGENTE En la actualidad a no utilizan las tablas en vitud de que con las calculadoas se obtienen con mao exactitud facilidad dichos valoes.

8 página 8 Instituto Valladolid Pepaatoia 1.4 USO DE LAS CALCULADORAS En las calculadoas existen tes teclas paa obtene los valoes de las funciones tigonométicas, que son sin paa el seno (del inglés, sine), cos paa el coseno tan paa la tangente, como se muesta en la figua 1.5. Cuando se emplea la calculadoa paa obtene valoes de funciones tigonométicas es impotante tenela en la unidad angula adecuada, casi siempe en gados sexagesimales (D). figua 1.5 Existen tes unidades angulaes: El gado sexagesimal, el adián el gado centesimal. La calculadoa le hace sabe al usuaio en qué unidad está a tavés de una leta que apaece en la pate supeio de la pantalla: Paa gados sexagesimales una D (del inglés, Degee), paa adianes con una R paa gados centesimales con una G (ve figua 1.6). En el capítulo 8 de este libo se estudiaán los adianes. Paa cambia de una unidad angula a ota po lo geneal debe buscase la tecla MODE, casi siempe ubicada en la pate supeio del teclado, que es la que cambia a los difeentes modos de hace cálculos. Opimi esta tecla las veces que sea necesaio hasta que apaezcan las medidas angulaes. Un ejemplo se muesta en la figua 1.7. figua 1.6 Si el alumno teclea en su calculadoa, po ejemplo, figua 1.7 apaeceá en su pantalla algo semejante a la figua 1.8 figua 1.8 figua 1.9

9 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 9 Qué significa? Tes cosas: * Pimeo: Que al tatase de la función seno, po definición se efiee a la división hecha del cateto opuesto ente la hipotenusa. * Segundo: Respecto del ángulo de 25º los catetos toman los nombes de cateto opuesto de cateto adacente. En la figua 1.9 se ve que el lado es el cateto opuesto a 25º. Recoda que el significado de opuesto en un tiángulo tiene el sentido de enfente de. * Teceo: Que en cualquie tiángulo ectángulo, cuando uno de sus ángulos agudos mida 25º siempe la división de la longitud del cateto opuesto ente la hipotenusa, sin impota el tamaño del tiángulo, va a da El alumno puede veifica que en el tiángulo de la figua 1.9 de manea apoximada, si mide el cateto opuesto la hipotenusa los divide le va a da un valo cecano al antes mencionado. No puede el estudiante llega con exactitud al valo mostado en la calculadoa poque no es posible que mida la longitud de los lados con pecisión de décimas, centésimas ni milésimas de milímetos. Inclusive, al hace la impesión del libo pudo vaia un poco el valo de 25º. 1.5 APLICACIONES Todo lo anteio lleva a la aplicación más impotante de la tigonometía básica que consiste en pode obtene cuánto miden los otos dos lados de un tiángulo ectángulo conociendo el valo de uno de sus lados el de uno de sus ángulos. O bien, pode obtene el valo de sus ángulos agudos conociendo solamente dos de sus lados. Ejemplo 1: Obtene el valo de los lados desconocidos del siguiente tiángulo de la figua 1.10: Solución: Se sabe que la división del lado x ente el lado, cuando el ángulo mida 29º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto adacente ente la hipotenusa se llama coseno. Po lo tanto, buscando en la calculadoa se obtiene que cos o sea que De aquí despejando : figua Como la cantidad que se despeja siempe debe escibise del lado izquiedo poque leemos de izquieda a deecha, se llega a que

10 página 10 Instituto Valladolid Pepaatoia Con el mismo azonamiento, se sabe que la división del lado ente el lado x, cuando el ángulo mida 29º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente el cateto adacente se llama tangente. Po lo tanto, buscando en la calculadoa se obtiene que tan o sea que De aquí despejando se obtiene: (0.5543)() NOTA: Cuando se esuelven poblemas como el anteio, paa plantea la solución se escibe cos se despeja. Paa despeja se azona de la siguiente manea: El denominado está dividiendo, po lo tanto, paa eliminalo debe multiplicase (opeación invesa) po. Peo como está dento de una igualdad, debe aplicase la popiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacese también del oto lado. Entonces, como se quiee elimina la que está dividiendo se multiplican ambos lados de la igualdad po obteniendo: ( ) ( ) ( ) ( )

11 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página Paa el oto lado paa plantea la solución se escibe: tan se despeja. Paa despeja se azona de la siguiente manea: El denominado está dividiendo, po lo tanto, paa eliminalo debe multiplicase (opeación invesa) po. Peo como está dento de una igualdad, debe aplicase la popiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacese también del oto lado. Entonces, paa elimina el que está dividiendo se multiplican ambos lados de la igualdad po, obteniendo: ( ) ( ) ( ) ( ) Peo como leemos de izquieda a deecha se quiee sabe qué es, no qué es 24.94, debe invetise la igualdad anteio: Ejemplo 2: Obtene el valo de los lados desconocidos del siguiente tiángulo de la figua 1.11: figua 1.11

12 página 12 Instituto Valladolid Pepaatoia Solución: Se sabe que la división del lado x ente el lado 60, cuando el ángulo mida 32º, siem- pe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto adacente ente la hipotenusa se llama coseno. de aquí despejando x se obtiene: cos 32 x 60 60cos 32 x x 60cos 32 x Po ota pate se sabe que la división del lado ente el lado 60, cuando el ángulo mida 32º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente la hipotenusa se llama seno. de aquí despejando se obtiene: sen sen 32 60sen Ejemplo 3: Obtene el valo de los lados desconocidos del siguiente tiángulo de la figua 1.12: Solución: Se sabe que la división del lado 83 ente el lado x, cuando el ángulo mida 39º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente en cateto adacente se llama tangente. figua 1.12

13 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página tan 39 x x x 83 x x Po ota pate se sabe que la división del lado 83 ente el lado, cuando el ángulo mida 39º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente la hipotenusa se llama seno. 83 sen

14 página 14 Instituto Valladolid Pepaatoia EJERCICIO 1 Enconta los valoes de los dos lados que faltan especto de la figua 1.13, si se tienen los datos que se señalan en cada poblema: 1) 95 α 55º 2) x 115 α 17º figua ) 129 α 62º 4) 202 α 80º 5) x 158 α º 6) 84 α 76º 1.6 FUNCIONES INVERSAS El poblema inveso a todo lo visto anteiomente es: si se sabe el valo del cociente de la división hecha ente dos lados de un tiángulo ectángulo, a qué ángulo le coesponde? Se dijo en la página 3 que la división del lado vetical ente el hoizontal, especto de la figua 1.1 siempe daá solamente que el ángulo agudo A mida 35.5º, no impota el tamaño de los lados, sean más gandes o más chicos. El asunto es entonces que si dicha división da ahoa, po ejemplo, , cuánto mide el ángulo A? Como se está dividiendo el cateto opuesto ente el cateto adacente, a dicha división se le llama tangente, lo cual se escibe

15 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 15 de donde el ángulo A se despeja escibiendo tan A actan A se lee: aco tangente de A es igual a significa: La tangente de qué ángulo A es igual a ? En la calculadoa estas opeaciones llamadas funciones tigonométicas invesas están escitas de oto colo sobe el chasis aiba de la tecla de la función tigonomética coespondiente, como se ve en la figua Suelen epesentase con 1 la simbología sen, cos 1 tan 1. figua 1.14 De manea que tecleando la calculadoa expone en la pantalla el esultado del ángulo cua tangente vale , o sea 40, esto es que actan Ejemplo 4: Solución: Obtene el valo del ángulo α conocidos dos lados del siguiente tiángulo de la figua 1.15: La división del cateto opuesto ente el cateto adacente al ángulo α, llamada tangente, es tanα figua 1.15 tan α α actan α

16 página 16 Instituto Valladolid Pepaatoia Ejemplo 5: Solución: Obtene el valo del ángulo α conocidos dos lados del siguiente tiángulo de la figua 1.16: La división del cateto adacente al ángulo α ente la hipotenusa, llamada coseno, es cosα figua 1.16 cos α 080. α accos 080. α Ejemplo 6: Solución: Obtene el valo del ángulo α conocidos dos lados del siguiente tiángulo de la figua 1.17: La división del cateto opuesto al ángulo α ente la hipotenusa, llamada seno, es senα figua 1.17 sen α 076. α ac sen 076. α

17 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 17 EJERCICIO 2 Enconta el valo del ángulo α especto de la figua 1.18, si se tienen los datos que se señalan en cada poblema: 1) x figua ) x ) 63 4) x 74 5) 53 6) 83 x ) A un ectángulo que inicialmente mide 80 cm. po 40 cm. se le cota una esquina desde su extemo izquiedo hasta queda como lo muesta la figua Calcula el ángulo α de su extemo infeio izquiedo. 8) A un ectángulo que inicialmente mide 70 cm. po 32 cm. se le cotan dos de sus esquinas desde sus puntos medios de la base de la altua como lo muesta la figua Calcula el ángulo α que queda en la pate supeio después de los cotes. 9) Se constue el tiángulo ectángulo ABC de la figua 1.21 con una altua de 152 cm. un ángulo de 50º en el vétice A. Luego desde el punto medio m de la base AB se taza la mediana mc. Calcula el ángulo α que foma dicha mediana mc con la altua BC. NOTA: No es la mitad del ángulo ACB. figua 1.19 figua 1.20 figua 1.21

18 página 18 Instituto Valladolid Pepaatoia 1.7 TEOREMA DE PITÁGORAS En todo tiángulo ectángulo, solamente en los tiángulos ectángulos, se cumple que el cuadado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadados de los dos catetos. Aplicando este teoema a la figua 1.19 se obtiene que: x + figua 1.22 O bien, si se quiee conoce el valo de, sacando aíz cuadada: 2 2 x + Este teoema esulta mu útil cuando se conocen dos lados cualesquiea de un tiángulo ectángulo se equiee sabe el valo del tece lado. Ejemplo 7: Solución: Obtene el valo del lado desconocido del siguiente tiángulo de la figua 1.20: Po el teoema de Pitágoas, cuando se conocen dos lados de un tiángulo ectángulo, figua Ejemplo 8: Solución: Obtene el valo del lado desconocido del siguiente tiángulo de la figua 1.21: Po el teoema de Pitágoas, cuando se conocen dos lados de un tiángulo ectángulo, figua 1.24

19 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página Ejemplo 9: Solución: Se constue el tiángulo ectángulo ABC de la figua 1.25 con una altua BC 105 e hipotenusa AC 150. Luego se localiza el punto medio m de la base AB desde allí se taza la mediana mc. Calcula la longitud de dicha mediana. Consideando pimeo el tiángulo ectángulo ABC, po el teoema de Pitágoas se puede obtene el valo de la base AB: (AB) (AB) figua ( AB) 2 ( AB) ( AB) AB AB Como el punto m está a la mitad de la base AB, se puede foma el nuevo tiángulo ectángulo mbc de la figua 1.26, cua base es la mitad de AB, o sea Entonces la longitud de la mediana mc no es ota cosa que la hipotenusa de este nuevo tiángulo ectángulo, po lo tanto, se le puede aplica el teoema de Pitágoas: figua 1.26

20 página 20 Instituto Valladolid Pepaatoia ( ) mc ( ) 2 mc ( ) 2 mc mc mc Ejemplo 10: Solución: Se constue una piámide ecta de altua eg 70 cms de base cuadangula cuos lados miden 50 cm. Calcula la longitud de las aista ec, eb, ed ea (ve figua 1.27). Las aista ec, eb, ed ea son iguales, de manea que con calcula una de ellas es suficiente. figua 1.27 Consideando el tiangulo ectángulo egf fomado po la altua de la piámide eg 70 cua base es la mitad del lado del cuadado, gf 25, aplicándole el teoema de Pitágoas: ( ) ef ( ef ) ( ef ) ef 5525 ef Ahoa, consideando el tiángulo ectángulo efc cuos catetos miden ef (calculado en el paso anteio) cf 25 (po se la mitad del cuadado del que cb 50), la hipotenusa ec de este tiángulo es una de las aistas pedidas en el poblema (ve figua 1.28). figua 1.28

21 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 21 Aplicándole el teoema de Pitágoas: ( ) ec ( ec) ( ec) ec ec OTRO MÉTODO: Se puede constui el tiángulo ectángulo ecg como se muesta en la figua En dicho tiángulo el ángulo ecto está macado en el vétice g el cateto gc, llamado m, es la mitad de la diagonal ac del cuadado abcd. El cuadado abcd, o sea la base de la piámide, se muesta de fente en la figua De dicho cuadado se puede extae el tiángulo ectángulo que se muesta en la figua Allí la hipotenusa mide 50 ambos los catetos llevan po nombe m poque miden lo mismo. figua 1.29 Aplicando el teoema de Pitágoas al tiángulo ectángulo de la figua 1.31: 50 m + m m 2 m m 2 figua 1.30 m m 1250 Este valo se deja indicado así en aíz cuadada poque más ade- figua 1.31

22 página 22 Instituto Valladolid Pepaatoia lante, al emplea el tiángulo ectángulo ecg, va a habe necesidad de elevalo al cuadado con eso se eliminaá la aíz. Ahoa analizando el tiángulo ectángulo ecg de la figua Si se gia paa que quede de fente se obtendía lo que muesta la figua La hipotenusa ec se puede obtene po el teoema de Pitágoas: ( ec) 2 70 ( ) ( ec) ( ec) figua 1.32 ec 6150 ec que es el mismo esultado obtenido po el pocedimiento anteio. Obsévese que la hipotenusa ec es exactamente la aista de la piámide de la figua 1.29 que pide el poblema. EJERCICIO 3 Utilizando el teoema de Pitágoas, enconta el valo del lado desconocido del tiángulo de la figua 1.33 en los poblemas 1 al 4. 1) Si m 35 n 30 2) Si m 35 h 50 3) Si h 105 n 72 figua ) Si m 65 n 65 5) La base de un ectángulo mide 44 cm. su altua 36 cm. Cuánto mide su diagonal?

23 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 23 6) Si la diagonal de un cuadado mide 80 cm., cuánto miden sus lados? 7) Se constue el tiángulo abc que se muesta en la figua El lado ab mide 13, el lado ac mide 15 la altua ap, que es la misma que h, mide 12. Debe notase que la altua ap es pependicula po definición a la base bc. Además el tiángulo abc no es ectángulo. Calcula la longitud del lado bc. 8) En la figua 1.35 el lado ab está hoizontal los puntos a c están alineados veticalmente. Calcula la longitud del lado bc sabiendo que los lados ad dc son pependiculaes. figua 1.34 figua 1.35 figua ) El cono de la figua 1.36 tiene un diámeto en la base de 30 cm. Calcula su altua. 10) Existen cuato ciudades llamadas a, b, c d, como lo muesta la figua Sus ubicaciones se dan po coodenadas. La ciudad a tiene po coodenadas (0, 0); la ciudad b tiene po coodenadas (3, 1); la ciudad c tiene po coodenadas (8, 4) la ciudad d tiene po coodenadas (11, 9). Ha dos fomas de tasladase desde la ciudad a hasta la ciudad d: El camino 1 es en línea ecta de la ciudad a la ciudad d; el camino 2 es endo de una ciudad a la ota, o sea siguiendo el ecoido a - b - c - d. Calcula la distancia que se ecoe en ambos caminos.

24 página 24 Instituto Valladolid Pepaatoia figua ) Un paalelepípedo, o sea un cuepo geomético que tiene sus caas opuestas paalelas las contiguas pependiculaes, como una caja, mide como se muesta en la figua Calcula la diagonal ab. Obsévese que la diagonal ab es la hipotenusa del tiángulo ectángulo abc, cuo cateto bc es a su vez hipotenusa de oto tiángulo ectángulo. figua 1.38